Обработка результатов измерений линейного размера элемента конструкции строящегося здания

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

"Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых" (ВлГУ)

Контрольная работа по дисциплине:

"Метрология, стандартизация и сертификация"

Обработка результатов измерений линейного размера элемента конструкции строящегося здания

Выполнил Титов А.А.

Проверил Орлов Д.Ю.

Владимир, 2016

Содержание

1. Задание и исходные данные

1.1 Расчёт абсолютной, относительной и приведенной погрешностей результатов измерений

1.2 Расчёт аддитивных и мультипликативных составляющих погрешностей результатов измерений

2. Определение систематических погрешностей в исходном ряду измерений

2.1 Метод последовательных разностей

2.2 Определение грубых погрешностей в исходном ряду измерений

2.3 Критерий Граббса

2.4 Критерий "трёх сигм"

2.5 Критерий Шарлье

2.6 Критерий Диксона

Выводы

Список использованной литературы

Приложение 1.

1. Задание и исходные данные

Используя ряд многократных измерений линейного размера (L) элемента конструкции строящегося здания, приведенный в нижеприведенной таблице задания, умноженных на порядковый номер студента в журнале учебной группы, выполнить:

1) расчёт абсолютной, относительной и приведенной погрешностей результатов измерений;

2) выделение аддитивной и мультипликативной составляющих из абсолютной и относительной погрешностей результатов измерений, построить их графические зависимости;

3) необходимые вычисления по определению факта наличия или отсутствия систематических погрешностей в исходном ряду измерений линейного размера конструкции строящегося здания, используя метод последовательных разностей и метод дисперсионного анализа;

4) необходимые вычисления по выявлению грубых погрешностей в исходном ряду измерений линейного размера конструкции строящегося здания, используя критерии: Граббса, "трёх сигм", Шарлье, Шовене, Диксона.

Таблица №1

Результаты измерений линейного размера L (в метрах) элемента конструкции строящегося здания

№ измерения	Li	№ измерения	Li	№ измерения	Li
1	1,2	11	1,3	21	0,9
2	1,1	12	1,4	22	1,1
3	0,8	13	1,2	23	1,2
4	1,4	14	1,5	24	1,4
5	0,9	15	1,4	25	1,5
6	1,2	16	1,6	26	1,4
7	1,3	17	1,2	27	1,7
8	1,0	18	1,1	28	1,4
9	1,2	19	1,0	29	1,5
10	1,1	20	0,7	30	1,5

Все приведенные результаты измерений проводились одним и тем же средством измерений, в одних и тех же внешних условиях, одним и тем же субъектом измерения, с одинаковой тщательностью.

При проведении всех расчётов за истинное (действительное) значение линейного размера (L) принять значение равное 1.1м, умноженному на порядковый номер студента в журнале учебной группы.

1.1 Расчёт абсолютной, относительной и приведенной погрешностей результатов измерений

Определение "погрешность" является одним из центральных в метрологии, в котором используются понятия "погрешность результата измерения" и "погрешность средства измерения".

Погрешностью измерения называется отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины. Так как истинное значение измеряемой величины неизвестно, то при количественной оценке погрешности пользуются действительным значением физической величины. Это значение находится экспериментальным путем и настолько близко к истинному значению, что для поставленной измерительной задачи может быть использовано вместо него.

Погрешность средства измерения - разность между показаниями СИ и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины. Она характеризует точность результатов измерений, проводимых данным средством. погрешность аддитивный мультипликативный

По способу количественного выражения погрешности измерения делятся на абсолютные, относительные и приведенные.

Абсолютной погрешностью , выражаемой в единицах измеряемой величины, называется отклонение результата измерения "x" от истинного значения "xи":

(2.1)

Абсолютная погрешность характеризует величину и знак полученной погрешности, но не определяет качество самого проведенного измерения.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:

(2.2)

Погрешность часто выражают в процентах: .

Приведенной погрешностью , выражающей потенциальную точность измерений, называется отношение абсолютной погрешности , к некоторому нормирующему значению (например, к конечному значению шкалы прибора или сумме конечных значений шкал при двухсторонней шкале):

(2.3)

Представим результаты измерений линейного размера L (в метрах) элемента конструкции строящегося здания (таблица №1 задания) с учетом порядкового номера "19" студента, в виде:

Таблица №2.1

Результаты измерений линейного размера L (в метрах) элемента конструкции строящегося здания с учётом порядкового номера студента

№ измерения	Li	№ измерения	Li	№ измерения	Li
1	23	11	25	21	17
2	21	12	27	22	21
3	15	13	23	23	23
4	27	14	29	24	27
5	17	15	27	25	29
6	23	16	30	26	27
7	25	17	23	27	32
8	19	18	21	28	27
9	23	19	19	29	29
10	21	20	13	30	29

Истинное (действительное) значение линейного размера (L) элемента конструкции строящегося здания с учётом задания составит 18 м. Тогда, применяя выражение (2.1), рассчитаем суммарные (т.е. содержащие аддитивные и мультипликативные составляющие) абсолютные погрешности (Дсi) для каждого измерения:

аналогично остальные

Результаты расчётов суммарных абсолютных погрешностей приведены в таблице 2.2.

Таблица №2.2

Суммарные абсолютные погрешности

№ измерения		№ измерения		№ измерения
1	-2	11	-4	21	4
2	0	12	-6	22	0
3	6	13	-2	23	-2
4	-6	14	-8	24	-6
5	4	15	-6	25	-8
6	-2	16	-10	26	-6
7	-4	17	-2	27	-11
8	2	18	0	28	-6
9	-2	19	2	29	-8
10	0	20	8	30	-8

Применяя полученные значения суммарной абсолютной погрешности (Дсi), рассчитаем среднее значение абсолютной погрешности по зависимости вида:

(2.4)

Подставив в формулу (2.4) необходимые данные из таблицы 2.2, получим

Используя рассчитанные значения суммарной абсолютной погрешности (Дсi), рассчитываются суммарные относительные погрешности измерений (дсi), применяя зависимость вида (2.2):

Таблица 2.3

Суммарные относительные погрешности

№ измерения		№ измерения		№ измерения
1	-0,09	11	0	21	0,18
2	0	12	-0,27	22	0
3	0,27	13	-0,09	23	-0,09
4	-0,27	14	-0,36	24	-0,27
5	0,18	15	-0,27	25	-0,36
6	0	16	-0,45	26	-0,27
7	-0,18	17	-0,09	27	-0,55
8	0,09	18	0	28	-0,27
9	-0,09	19	0,09	29	-0,36
10	0	20	0,36	30	-0,36

Применяя полученные значения суммарной относительной погрешности (сi), рассчитаем среднее значение абсолютной погрешности по зависимости вида:

(2.5)

Подставив в формулу (2.5) необходимые данные из таблицы 2.3, получим , что в процентах соответствует -12,7%.

Для расчёта приведенной погрешности результатов измерений, в соответствии с формулой (2.3), необходимо знание нормирующего значения , которое, в соответствии с заданием, не определено. Поэтому, учитывая реальные линейные размеры элемента конструкции строящегося здания, допустим, что средство измерения этих размеров имеет конечное значение шкалы, например, 100 м, т.е. =100м.

Тогда средняя приведенная погрешность, с учётом выше рассчитанного значения - 2,7 м, составит:

.

1.2 Расчёт аддитивных и мультипликативных составляющих погрешностей результатов измерений

По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают погрешности (рис. 3.1):

· аддитивные , не зависящие от измеряемой величины;

· мультипликативные , которые прямо пропорциональны измеряемой величине;

· нелинейные , имеющие нелинейную зависимость от измеряемой величины.

Эти погрешности применяют в основном для описания метрологических характеристик СИ. Разделение погрешностей на аддитивные, мультипликативные и нелинейные весьма существенно при решении вопроса о нормировании и математическом описании погрешностей СИ.

Примеры аддитивных погрешностей - от постоянного груза на чашке весов, от неточной установки на нуль стрелки прибора перед измерением, от термо-ЭДС в цепях постоянного тока. Причинами возникновения мультипликативных погрешностей могут быть: изменение коэффициента усиления усилителя, изменение жесткости мембраны датчика манометра или пружины прибора, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре.

Данные разновидности погрешностей иногда называют также так:

аддитивные---- погрешность нуля;

мультипликативные-----погрешность крутизны характеристики;

нелинейные--------- погрешность нелинейности.

Рис. 3.1. Аддитивная (а), мультипликативная (б) и нелинейная (в) погрешности

В связи с тем, что аддитивная и мультипликативная составляющие погрешности характерны для средства измерения, причём в диапазоне измеряемых величин, то исходя из заданного истинного (действительного) значения линейного размера элемента конструкции (21м), допустим, что использованное средство измерений, позволяет производить измерения в диапазоне от 1 м до 100 м, причём обладает единой для всей шкалы средней относительной погрешностью , которое рассчитано по формуле (2.5) в 2-ом разделе данной работы. Исходя из выбранного диапазона измерений средства измерений (1м - 100м), возьмём из него, например, 10 равноудалённых фиксированных (эталонных) значений линейного размера элемента конструкции, включая заданное истинное (действительное) значение, равное 21 метра. В результате ряд измеряемых эталонных значений линейных размеров , использованным средством измерения, будет иметь вид: 1; 11; 21; 31; 41; 51; 61; 71; 81; 91 (м).

Используя выражение (2.5), можно определить значения суммарной абсолютной погрешности для всех членов ряда , а именно:

(3.1)

Рассчитанные значения суммарной абсолютной погрешности для всех членов ряда, с учётом выполнения правил округления результатов измерений и погрешностей измерений (приведены в Приложении 1), представлены в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Результаты расчетов суммарной, аддитивной и мультипликативной абсолютных погрешностей

№ члена ряда				Да, м
1	1	-12,7	-0,13	-0,13	0
2	11	-12,7	-1,4	-0,13	-1,3
3	21	-12,7	-2,7	-0,13	-2,5
4	31	-12,7	-3,9	-0,13	-3,8
5	41	-12,7	-5,2	-0,13	-5,1
6	51	-12,7	-6,5	-0,13	-6,4
7	61	-12,7	-7,8	-0,13	-7,6
8	71	-12,7	-9,0	-0,13	-8,9
9	81	-12,7	-10,3	-0,13	-10,2
10	91	-12,7	-11,6	-0,13	-11,5

Используя результаты расчётов суммарной абсолютной погрешности и ряд измеряемых эталонных значений линейных размеров , строится график (см. Рис.3.2) зависимости , при этом апроксимируются точки по которым он строится. На осях графика обозначаются начальные и конечные значения диапазона измерения средства измерения (Lэн = 1 м и Lэк =100 м) и максимального значения суммарной погрешности Дс (Дск = - 11,5 м).

На полученном графике (Рис.3.2) выделяется аддитивная составляющая (Да) суммарной абсолютной погрешности (Дс), которая равна суммарной абсолютной погрешности при минимальном (начальном) значении эталонных значений линейных размеров (в начале диапазона измерений СИ), т.е. Да= - 0,13 м.

Строится график (Рис.3.3) зависимости абсолютной аддитивной погрешности Да= f(LЭТ.i), который представляет собой прямую параллельную оси абсцисс, проходящей из точки с ординатой Да= -0,13 м.



На полученном графике (см. Рис.3.2) зависимости , выделяется график мультипликативной составляющей Дм= f(LЭТ), который идёт параллельно графику суммарной абсолютной погрешности, но начинается не из точки с координатами (1; 0,13), а из точки с координатами (1; 0), т.к. , то и На осях графика обозначаются начальные и конечные значения диапазона изменения линейного размера LЭТ (Lэн = 1 м и Lэк = 91 м) и максимального значения мультипликативной погрешности Дм (Дмк = 11,5 м). Результаты расчета абсолютной мультипликативной погрешности приведены в таблице 3.1, а график на рисунке 3.4.

Исходя из того, что использованное средство измерения обладает единой для всей шкалы средней относительной погрешностью -12,7%, которое рассчитано по формуле (2.5) в 2-ом разделе данной работы и использовалось для выделения аддитивной и мультипликативной составляющих погрешностей измерений в данном разделе работы, то графиком этой погрешности будет горизонтальная прямая с ординатой -10,0% для всего диапазона изменения линейного размера LЭТ.

Рассчитаем относительные аддитивные составляющие погрешности () для каждого измерения средством измерения, используя полученное значение

Да= -0,13 м и зависимость вида:

Результаты расчётов относительных аддитивных составляющих погрешностей () представлены в таблице 3.2, а график на Рис.3.5.

Таблица 3.2.

Результаты расчётов относительных составляющих погрешностей измерений.

№ члена ряда
1	1	-12,7	-12,7	0
2	11	-12,7	-1,16	-11,6
3	21	-12,7	-0,0061	-12,1
4	31	-12,7	-0,0041	-12,3
5	41	-12,7	-0,0031	-12,4
6	51	-12,7	-0,0025	-12,5
7	61	-12,7	-0,0021	-12,5
8	71	-12,7	-0,0018	-12,5
9	81	-12,7	-0,0016	-12,6
10	91	-12,7	-0,0014	-12,7

Используя результаты расчётов абсолютной мультипликативной составляющей погрешности, которые приведены в таблице 3.1, рассчитаем относительные аддитивные составляющие погрешности () для каждого измерения средством измерения, используя зависимость вида:

Результаты расчётов относительных мультипликативных составляющих погрешностей () представлены в таблице 3.2, а график на Рис.3.6.



2. Определение систематических погрешностей в исходном ряду измерений

По характеру (закономерности) изменения погрешности измерений подразделяются на систематические, случайные и грубые (промахи).

Систематические погрешности Дс - составляющие погрешности; измерений, остающиеся постоянными или закономерно изменяющиеся при многократных (повторных) измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях. Такие погрешности могут быть выявлены путем детального анализа возможных их источников и уменьшены (применением более точных приборов, калибровкой приборов с помощью рабочих мер и пр.). Однако полностью их устранить нельзя.

Известны некоторые общие методы значительного уменьшения таких погрешностей.

По характеру изменения во времени систематические погрешности подразделяются на постоянные (сохраняющие величину и знак), прогрессирующие (возрастающие или убывающие во времени), периодические, а также изменяющиеся во времени по сложному непериодическому закону.

Основные из этих погрешностей - прогрессирующие.

Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность - это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени.

Отличительные особенности прогрессирующих погрешностей:

- их можно скорректировать поправками только в данный момент времени, а далее вновь непредсказуемо изменяются;

' - изменения прогрессирующих погрешностей во времени - нестационарный (характеристики которого изменяются во времени; см. далее) случайный процесс, и поэтому в рамках хорошо разработанной теории стационарных случайных процессов они могут быть описаны лишь с известными оговорками.

Отличительным признаком постоянной и переменной систематической погрешности является то, что они могут быть предсказаны, обнаружены и благодаря этому почти полностью устранены введением соответствующей поправки.

Рис.4.1. Постоянная и переменная систематические погрешности

Способы обнаружения систематических погрешностей

При проведении измерений стараются в максимальной степени исключить или учесть влияние СП. Это возможно:

- при устранении источников погрешностей до начала измерений;

- внесением известных поправок в результат измерения;

- путем оценки границ неисключенных СП.

Постоянная составляющая СП не может быть ни выявлена, ни найдена методами совместной обработки результатов измерений. Однако она не может исказить ни показатели точности измерений, характеризующие случайную погрешность, ни результат нахождения переменной составляющей СП.

Постоянные систематические погрешности могут быть обнаружены лишь путем сравнения результатов измерений с другими, полученными с помощью более высокоточных методов и средств. Иногда эти погрешности могут быть устранены специальными приемами проведения процесса измерений.

Наиболее универсальным способом исключения неизвестных постоянных систематических погрешностей является способ их рандомизации. Суть этого способа состоит в том, что одна и та же величина измеряется различными методами (приборами). Систематические погрешности каждого из них для всей совокупности являются разными случайными величинами. Вследствие этого при увеличении числа используемых методов (приборов) систематические погрешности взаимно компенсируются.

Наличие существенной переменной СП искажает оценки характеристик случайной погрешности и аппроксимацию ее распределения. Поэтому она должна обязательно выявляться и исключаться из результатов измерений и учитываться в оценках СП.

Для выявления систематических погрешностей наиболее часто используют один из следующих трёх методов: графический, метод последовательных разностей, метод дисперсионного анализа. Рассмотрим и используем на практике, согласно задания на контрольную работу, метод последовательных разностей.

2.1 Метод последовательных разностей

Этот метод применим для обнаружения изменяющейся во времени систематической погрешности. Дисперсию результатов наблюдений можно оценить двумя способами:

Обычным

(4.1)

или вычислением суммы квадратов последовательных (в порядке последовательности измерений) разностей

(4.2)

Если в процессе измерений происходило смещение центра группирования результатов наблюдений, т.е. имела место временная систематическая погрешность, то даёт преувеличенную оценку дисперсии результатов наблюдений. Это объясняется тем, что на влияют вариации . В то же время изменения центра группирования весьма мало влияют на последовательные разности , и смещения почти не отразятся на значении .Вследствие этого отношение

(4.3)

является критерием для обнаружения систематических смещений центра группирования результатов наблюдений.

Критическая область для этого критерия (критерия Аббе) определяется как . Значения для различных уровней значимости и чисел наблюдений "n" приведены в таблице 4.1. Если полученное значение критерия Аббе меньше при заданном и "n", то нулевая гипотеза о постоянстве центра группирования результатов наблюдений отвергается, т.е. обнаруживается переменная систематическая погрешность (СП) результатов измерений (таким образом: если A<Aб, то СП есть).

Значения критерия Аббе

Таблица 4.1

Для заданного в задании ряда результатов измерений линейного размера L элемента конструкции строящегося здания (см. таблицу №2. 1) вначале вычислим среднее арифметическое значений этого ряда:

(м). (4.4)

Полученное среднее арифметическое значение, как и другие промежуточные результаты для применения критерия Аббе, сведены в таблицу 4.2.

Таблица 4.2.

Промежуточные результаты для применения критерия Аббе

№ измерения	X=Li,м
1	23	-	-	-0,8	0,58
2	21	-2	4	-2,7	7,08
3	15	-6	32	-8,4	69,89
4	27	11	130	3,0	9,24
5	17	-10	90	-6,5	41,73
6	23	6	32	-0,8	0,58
7	25	2	4	1,1	1,30
8	19	-6	32	-4,6	20,79
9	23	4	14	-0,8	0,58
10	21	-2	4	-2,7	7,08
11	25	4	14	1,1	1,30
12	27	2	4	3,0	9,24
13	23	-4	14	-0,8	0,58
14	29	6	32	4,9	24,40
15	27	-2	4	3,0	9,24
16	30	4	14	6,8	46,79
17	23	-8	58	-0,8	0,58
18	21	-2	4	-2,7	7,08
19	19	-2	4	-4,6	20,79
20	13	-6	32	-10,3	105,27
21	17	4	14	-6,5	41,73
22	21	4	14	-2,7	7,08
23	23	2	4	-0,8	0,58
24	27	4	14	3,0	9,24
25	29	2	4	4,9	24,40
26	27	-2	4	3,0	9,24
27	32	6	32	8,7	76,39
28	27	-6	32	3,0	9,24
29	29	2	4	4,9	24,40
30	29	0	0	4,9	24,40
	707		646		610,8

Используя выражение (4.2) и суммарный результат 4-го столбца таблицы 4.2, определим значение дисперсии :

.

Применяя выражение 4.1 и суммарный результат 6 -го столбца таблицы 4.2, определим значение дисперсии :



Тогда расчётное значение критерия Аббе с использованием выражения 4.3, будет равно:

Сравнивая расчётные значения критерия Аббе "А=0,529" с табличными "" из таблицы 4.1. при трёх уровнях значимости () и при "n=20" (максимальное значение числа измерений в таблице 4.1 и наиболее близкое для исследуемых результатов измерений "n=30") можно сделать следующий вывод: для уровней значимости (доверительных вероятностей) (0,529>0,393) и (0,529>0,520) выполняется неравенство A>Aб, что свидетельствует об отсутствии систематической погрешности в результатах измерений, а при уровне значимости выполняется неравенство A<Aб (0,529<0,650), что говорит о присутствии систематической погрешности в результатах измерений и необходимости устранения источников возникновения этой погрешности.

2.2 Определение грубых погрешностей в исходном ряду измерений

Грубая погрешность или промах - это случайная погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.

Источниками (причинами возникновения) грубых погрешностей могут быть:

1) ошибки, допущенные оператором во время измерений;

2) внезапные и кратковременные изменения условий измерения;

3) оставшиеся незамеченными неисправности в аппаратуре.

К наиболее распространённым грубым ошибкам, т.е. ошибкам допущенным оператором во время измерений, можно отнести:

- неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящий из-за неверного учета цены малых делений шкалы;

- неправильная запись результата наблюдений;

- неправильная запись значений отдельных мер использованного набора, например, гирь.

Критерии исключения грубых погрешностей

Грубые погрешности, как правило, возникают при однократных измерениях и обычно устраняются путем повторных измерений.

Вопрос о том, содержит ли результат наблюдений грубую погрешность, решается общими методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат xi, не содержит грубой погрешности, т.е. является одним из значений измеряемой величины. Пользуясь определенными статистическими критериями, пытаются опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если это удается, то результат наблюдений рассматривают, как содержащий грубую погрешность, если нет - то не исключают.

Для выявления грубых погрешностей задаются вероятностью б того, что сомнительный результат действительно мог иметь место в данной совокупности результатов измерений. Эту вероятность б называют уровнем значимости; б=1-сдов, где сдов является доверительной вероятностью. Обычно б выбирают равным 0,100; 0,050; 0,010.

Так как в подавляющем большинстве случаев действительные значения параметров законов распределения результатов наблюдений и их погрешностей неизвестны, то мы рассмотрим здесь лишь критерии, основанные на статистических оценках этих параметров. Рассмотрим некоторые из существующих критериев.

2.3 Критерий Граббса

Этот критерий применяется для нормально распределенных результатов измерений. Задавшись уровнем значимости б, по таблице 5.1 с учетом числа измерений "n" находят tr.

Табличное значение этого коэффициента (tr) сравнивают с вычисленными значениями " t ", (для сомнительных результатов измерений "xi"), которые определяют по формуле:

. (5.1)

Здесь и далее

(5.2)

среднее арифметическое результатов измерений и оценка среднего квадратического отклонения результата измерений.

Если окажется, что t < tr, то считают, что в результатах измерений отсутствует грубая погрешность - в противном случае, т.е. t > tr считают, что результат измерений "xi" содержит грубую погрешность, его исключают из ряда измерений и не обрабатывают.

Используя вышеприведенную методику по выявлению грубых погрешностей, допустим, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения и определим, имеются ли промахи в ряду измерений линейного размера L элемента конструкции строящегося здания, приведенные в таблице 2.1. Для этого, применяя выражения для вычисления среднего арифметического результатов измерений и оценки среднего квадратического отклонения у вида (5.2), а также уже рассчитанные в разделе 4 данной работы эти параметры, запишем:.

Таблица 5.1

Рассчитаем значение критерия Граббса для сомнительного результата измерений Xi, которым является максимальное значение результатов измерений 26 м (см. 27-й результат измерений в таблице 2.1) по формуле:

.

Тогда

Для нахождения табличного значения критерия Граббса (tr), вначале зададимся значением доверительной вероятности Рдов =0,999 и переведём его в проценты, так как в таблице №1 значение уровня значимости б =1 - Рдов задано именно в %. Тогда значению Рдов =0,999 соответствует её процентное значение Рдов =99,9%, следовательно, б =1 - Рдов=100% - 99,9%=0,1%.

Войдя в таблицу при б =0,1% и при числе наблюдений n = 30, найдём табличное значение критерия Граббса "tr" равным 3,672. Таким образом, получено неравенство вида: t < tr, (так как 1,9< 3,672). Это говорит о том, что подверженный сомнению максимальный результат измерений равный 32 м, не является результатом грубой погрешности и не может быть исключён из ряда наблюдений, а, следовательно, и все остальные результаты измерений также не могут быть отнесены к промахам и не могут быть отброшены из ряда измерений.

2.4 Критерий "трёх сигм"

Данный критерий применяется для результатов измерений, распределённых по нормальному закону. В этом случае считается, что результат, возникающий с вероятностью (уровнем значимости) б маловероятен и его можно квалифицировать промахом, т.е. сомнительный результат "xi" отбрасывается если

(5.3)

Входящие в данное выражение величины (среднее значение X) и у (с.к.о. результатов измерений) вычисляются без учёта сомнительного результата Xi, используя соответствующие выражения, применяемые в критерии Граббса. Данные критерий надёжен при числе измерений n20...50.

Используя вышеприведенную методику по выявлению грубых погрешностей, допустим, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения и определим, имеются ли промахи в ряду измерений линейного размера L элемента конструкции строящегося здания, приведенные в таблице 2.1. Для этого, применяя выражения для вычисления среднего арифметического результатов измерений и оценки среднего квадратического отклонения у вида (5.2), а также уже рассчитанные в разделе 4 данной работы эти параметры, запишем:

Тогда, для проверки неравенства (5.3) при сомнительном результате измерений Xi, которым является максимальное значение результатов измерений 26 м (см. 27-й результат измерений в таблице 2.1) вычислим левую и правую части этого неравенства, а именно:

(5.4)

Полученные значения левой и правой частей неравенства (5.3), говорят о том, что это неравенство не выполняется , а, следовательно, подверженный сомнению максимальный результат измерений равный 32 м, не является результатом грубой погрешности и не может быть исключён из ряда наблюдений. Все остальные результаты измерений также не могут быть отнесены к промахам и не могут быть отброшены из ряда измерений, так как их значения меньше максимального результата измерений 32 м.

2.5 Критерий Шарлье

Критерий Шарлье используется при числе результатов наблюдений n > 5 (5 … 100). При использовании данного критерия для сомнительного результата измерений проверяется выполнение неравенства вида:

(5.5)

Значения критерия Шарлье определяются по табл.5.2. В случае выполнения неравенства (5.5) сомнительный результат отбрасывается из ряда наблюдений.

Таблица 5.2. Значения критерия Шарлье

n	5	10	20	30	40	50	100
	1,3	1,65	1,96	2,13	2,24	2,32	2,58

Используя вышеприведенную методику по выявлению грубых погрешностей с помощью критерия Шарлье, определим, имеются ли промахи в ряду измерений линейного размера L элемента конструкции строящегося здания, приведенные в таблице 2.1. Для этого, применяя выражения для вычисления среднего арифметического результатов измерений и оценки среднего квадратического отклонения у вида (5.2), а также уже рассчитанные в разделе 4 данной работы эти параметры, запишем:

Тогда, для проверки неравенства (5.5) при сомнительном результате измерений Xi, которым является максимальное значение результатов измерений 32 м (см. 27-й результат измерений в таблице 2.1) вычислим левую и правую части этого неравенства, используя таблицу 5.2 (при "n" = 30 критерий "tШ" равен 2,13), а именно:

(5.6)

Полученные значения левой и правой частей неравенства (5.5), говорят о том, что это неравенство не выполняется , а, следовательно, подверженный сомнению максимальный результат измерений равный 32 м, не является результатом грубой погрешности и не может быть исключён из ряда наблюдений. Все остальные результаты измерений также не могут быть отнесены к промахам и не могут быть отброшены из ряда измерений, так как их значения меньше максимального результата измерений 32 м.

2.6 Критерий Диксона

Это чрезвычайно удобный и достаточно мощный (с малыми вероятностями ошибок) критерий, используемый при n = 4 … 30. Его особенность заключается в том, что результаты измерений раскладываются в вариационный возрастающий ряд. Х 1 … Хn.

. (5.7)

Расчетное значение КД сравнивается с табличным значением (см. таблицу 5.3), которое зависит от уровня значимости б. В случае выполнения неравенства сомнительный результат измерений Хn отбрасывается.

Используя вышеприведенную методику по выявлению грубых погрешностей с помощью критерия Диксона, определим, имеются ли промахи в ряду измерений линейного размера L элемента конструкции строящегося здания, приведенные в таблице 2.1. Для этого результаты измерений таблицы 2.1 представим вариационным возрастающим рядом, который примет вид таблицы 5.4.

Таблица 5.3.

Значения критерия Диксона

n	при , равном
	0,10	0,05	0,02	0,01
4	0,68	0,76	0,85	0,89
6	0,48	0,56	0,64	0,70
8	0,40	0,47	0,54	0,59
10	0,35	0,41	0,48	0,53
14	0,29	0,35	0,41	0,45
16	0,28	0,33	0,39	0,43
18	0,26	0,31	0,37	0,41
20	0,24	0,30	0,36	0,39
30	0,22	0,26	0,31	0,34

Таблица 5.4

Результаты измерений линейного размера L (в метрах) элемента конструкции строящегося здания с учётом порядкового номера студента в форме вариационного возрастающего ряда

№ измерения	Li	№ измерения	Li	№ измерения	Li
1	13	11	23	21	27
2	15	12	23	22	27
3	17	13	23	23	27
4	17	14	23	24	27
5	19	15	23	25	29
6	19	16	23	26	29
7	21	17	25	27	29
8	21	18	25	28	29
9	21	19	27	29	30
10	21	20	27	30	32

Используя результаты таблицы 5.4, рассчитаем значение критерия Диксона "КД" по формуле (5.7), приняв за "n" равное 30 (последний номер члена вариационного ряда), а именно:

. (5.8)

Сравнивая расчётное значение критерия Диксона "КД=0,10" с любым из табличных значений при любом уровне значимости (см. таблицу 5.3, где ), можно сделать вывод о том, что неравенство (5.7) никогда не выполняется, а следовательно сомнительный результат измерений Хn не отбрасывается. Все остальные результаты измерений также не могут быть отнесены к промахам и не могут быть отброшены из ряда измерений, так как их значения меньше максимального (сомнительного) результата измерений равного 32 м.

Применение рассмотренных критериев требует осмотрительности и учета объективных условий измерений. Конечно, оператор должен исключить результат наблюдения с явной грубой погрешностью и выполнить новое измерение. Но он не имеет права отбрасывать более или менее резко отличающиеся от других результаты наблюдений. В сомнительных случаях лучше сделать дополнительные измерения (не взамен сомнительных, а кроме них) и затем привлекать на помощь рассмотренные выше статистические критерии.

Выводы

Выполненная контрольная работа позволила:

1) произвести расчёт абсолютной, относительной и приведенной погрешностей результатов измерений линейного размера конструкции строящегося здания, средние значения которых составили соответственно:

2) рассчитать и построить графики суммарной абсолютной и относительной погрешностей результатов измерений линейного размера конструкции строящегося здания, выделить из них и построить графики аддитивной и мультипликативной составляющих погрешностей;

3) установить факт отсутствия систематических погрешностей при уровне значимости и присутствии систематических погрешностей при уровне значимости в исходном ряду измерений линейного размера конструкции строящегося здания, с помощью метода последовательных разностей;

4) установить факт отсутствия грубых погрешностей в исходном ряду измерений линейного размера конструкции строящегося здания, с помощью критерия Граббса, критерия "трёх сигм", критерия Шарлье и критерия Диксона.

Список использованной литературы

1. Сергеев А.Г., Крохин В.В. Метрология: Учеб.пособие для вузов. М.: Логос,2000.-408с.

2. Метрология и электрорадиоизмерения в телекоммуникационных системах: учебник для вузов-В.И. Нефедов, В.И. Хахин, Е.В. Федорова и др,;Под ред. В.И. Нефедова.-М.:Высш.шк.,2001-381 с.

3. Алиев Т.М.,Тер-Хачатуров А.А. Измерительная техника: Учеб. пособие для техн. вузов.-М.:Высш.шк.,1991.-384с.

4. Методические указания к практическим занятиям по курсу "Теоретическая метрология" / Под ред. А.Г. Сергеева. Сост.: А.Г. Сергеев и др., Владим. гос. ун-т; Владимир, 1997, 64 с.

5. Куприянов В.Е. Общая теория измерений: в 2 ч. Ч.2.Методы измерений. Математические модели. Погрешности и обработка результатов измерений: учеб.пособие/В.Е. Куприянов, Э.Ф. Касаткина; Владим.гос.ун-т - Владимир: ВлГУ,2005. -148 с.

Приложение 1.

Правила округления результатов измерений

1. Погрешность указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна единице или двойке, и одной, если первая цифра равна трем и более.

2. Результат измерения округляется до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерений оканчивается нулями, то нули отбрасываются до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности.

3. Если цифра старшего отбрасываемого разряда меньше пяти, то остальные цифры числа не меняются. Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются.

4. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна пяти, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличиваем на единицу.

5. Если отбрасываемая цифра равна пяти, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она не четная.

6. Округление производится в окончательном ответе, а все предварительные расчеты проводят с 2-3 лишними знаками.

Размещено на Allbest.ru