Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования РФ

Тульский государственный университет

Кафедра автоматики и телемеханики

Система автоматического регулирования температуры воды в баке

Пояснительная записка к курсовой работе

по курсу «Моделирование систем»

Выполнил: студент группы

220601 Ломихин Ю.Ю.

Проверил: ассистент кафедры АТМ Ермаков А.С.

Тула 2002

Аннотация

Данная работа посвящена построению математической модели системы автоматического регулирования температуры воды в баке, заданной в виде принципиальной схемы. Результаты, полученные при выполнении работы, в дальнейшем будут использоваться как исходные данные для курсовой работы по курсу «Теория автоматического управления».

Пояснительная записка содержит в себе следующие разделы: предварительный анализ САУ, построение сигнального графа, составление системы дифференциальных уравнений, ее линеаризация, переход к операторной форме системы дифференциальных уравнений, построение взвешенного сигнального графа САУ и ее структурной схемы, определение главного оператора и контурной передаточной функции.

Записка содержит 36 страниц, 10 рисунков.

Содержание

• Введение
• 1. Предварительное описание исследуемой САУ
• 2. Сигнальный граф САУ
• 3. Составление исходной системы дифференциальных уравнений
• 4. Линеаризация системы дифференциальных уравнений
• 5. Взвешенный сигнальный граф и структурная схема линейной математической модели САУ
• 5.1. Переход к операторной форме системы дифференциальных уравнений
• 5.2 Построение взвешенного сигнального графа и структурной схемы САУ
• 6. Контурная и сквозная передаточные функции САУ
• 6.1 Определение главного оператора САР температуры воды в баке при помощи формулы Мейсона
• 6.2 Определение главного оператора САР температуры воды в баке с помощью правил преобразования структурных схем
• 6.3 Определение контурной передаточной функции САР температуры воды в баке
• Заключение
• Список использованных источников

Введение

Нормальный ход различных технологических и производственных процессов может быть обеспечен лишь тогда, когда те или иные величины, характеризующие эти процессы, удовлетворяют определенным условиям.

Так, например, при холодной прокатке металла толщина прокатываемой полосы должна находиться в заданных пределах. Производство химических продуктов требует постоянства количества и концентрации их компонентов. При термической обработке изделий нужно, чтобы температура печи изменялась по определенному закону с течением времени и т.п.

Необходимость поддержания той или иной величины или изменения её в соответствии с каким-либо законом возникает в самых разнообразных отраслях техники. В энергосистемах должно поддерживаться постоянство напряжения и частоты, активной и реактивной мощностей, в атомной энергетике - постоянство мощности энергетического ядерного реактора, в радиосвязи - постоянство усиления, напряжения, частоты, тока; в космонавтике необходимо обеспечение движения космического корабля по заданной траектории и т.д. Сами по себе объекты, в которых протекают те или иные рабочие процессы, часто не обеспечивают нормального их хода, иначе говоря, сами по себе объекты не могут устранить отклонения в режиме работы, вызываемого различными причинами. Поэтому такие объекты снабжаются управляющим или регулирующим органом, воздействием на который можно изменить режим их работы, а значит нужным образом управлять процессом.

Создание условий, обеспечивающих требуемое протекание процесса, т.е. подержание необходимого режима работы, называется управлением.

Управление может быть ручным и автоматическим. При ручном управлении воздействие на управляющий орган осуществляет человек, наблюдающий за ходом процесса или, точнее, за отклонением процесса от требуемого, и воздействующий в зависимости от этого отклонения на управляющий орган так, чтобы процесс удовлетворял заданным требованиям.

При автоматическом управлении воздействие на управляющий орган осуществляет специальное управляющее устройство. В частности, в простейшем случае задача управления может состоять в поддержании постоянства тех или иных величин, характеризующих рабочий процесс. В этом случае процесс управления называют регулированием, а управляющее устройство - автоматическим регулятором.

В данной работе описывается принцип действия системы автоматического регулирования (САР) температуры воды в баке, строится её линейная математическая модель, сигнальный граф, взвешенный сигнальный граф, структурная схема, а также определяются главный оператор САУ и ее контурная передаточная функция.

1. Предварительное описание исследуемой САУ

Принципиальная схема САУ представлена на рис. 1.

Рис .1. Принципиальная схема системы автоматического регулирования температуры воды в баке.

Прежде всего, определим объект управления, управляемую величину и управляющее воздействие САУ.

Назначением данной системы автоматического управления является поддержание постоянной температуры воды в баке. Таким образом, объектом управления является бак для воды, а управляемой величиной - температура воды в нем. вода автоматический регулирование температура

Управляемая величина является выходным сигналом объекта управления, характеризующим его реакцию на значение управляющего воздействия, которое вырабатывается системой управления. Очевидно, что управляющим воздействием в рассматриваемой САУ является поток тепла, создаваемый нагревательной горелкой бака.

Измерение температуры воды в баке производится посредством термопары, исполняющей роль датчика. Напряжение на ее клеммах тем больше, чем выше температура воды в баке.

Задающим устройством является реостат R2, входящий в резисторный каскад. От положения движка реостата зависят величины R1' и R2''. Эти величины связаны соотношением R2''= R2- R1'. Таким образом, в качестве сигнала задания можно принять любую из этих двух величин, например, R2''.

В качестве сравнивающего устройства (элемента сравнения) выступает резисторный каскад, состоящий из резисторов R1, R2, R3 и R4. Сигнал рассогласования - напряжение на выходе моста U_вх.

Сигнал рассогласования поступает на вход усилителя электрических сигналов. На его выходе - напряжение U_вых.

Роль исполнительного механизма выполняют несколько устройств: генератор, электродвигатель, редуктор и нагревательная горелка. Входным сигналом исполнительного устройства служит усиленный сигнал рассогласования, а выходным - управляющее воздействие.

Выявим возмущающие воздействия, связывающие систему с внешней средой. К возмущающим воздействиям следует отнести все физические величины, влияющие на режим работы системы, значения которых в то же время не зависят от процессов в системе, а определяются некоторыми внешними условиями.

В рассматриваемой системе существенными возмущающими воздействиями являются: скорость поступления воды в бак (поток воды) и температура поступающей воды.

Дадим описание принципа функционирования системы автоматического регулирования температуры воды в баке.

Предположим, что система находится в установившемся режиме. Пусть, например, понизилась температура воды, втекающей в бак. Тогда температура воды в баке также будет понижаться. Это приведет к уменьшению напряжения на выходе термопары и, в свою очередь, к увеличению сигнала рассогласования на выходе резисторного каскада (элемента сравнения) и на выходе усилителя.

Увеличившийся сигнал рассогласования приведет к увеличению последовательно магнитного потока ?_у, ЭДС генератора E_г, скорости вращения вала двигателя, степени открытости заслонки крана, потока топлива и, наконец, потока тепла, передаваемого баку.

Увеличившийся потока тепла компенсирует уменьшение температуры воды в баке, и через некоторое время она достигнет требуемого уровня, при котором сигнал рассогласования будет нулевым. Система вернется в установившееся состояние.

Выясним, является ли система статической или астатической.

Система, в которой регулируемая величина в установившемся режиме зависит от величины возмущения, называется статической, а отклонение регулируемой величины от заданного значения - статической ошибкой.

Системы, в которых установившееся значение управляемой величины постоянно и не зависит от величины возмущения, называются астатическими.

В рассматриваемой системе температура воды в баке в установившемся режиме не зависит от величины возмущающих воздействий (входной поток воды, температура воды на входе). Таким образом, система является астатической.

Последним этапом предварительного анализа САУ является составление ее функциональной схемы (рис. 2).

Рис. 2. САР температуры воды в баке. Функциональная схема.

На схеме применены следующие сокращения:

ОУ - объект управления;

ИУ - измерительное устройство;

ЗУ - задающее устройство;

СУ - сравнивающее устройство;

УУ - усилительное устройство;

ИУ - исполнительное устройство.

2. Сигнальный граф САУ

Вид математической модели САУ (системы её дифференциальных уравнений) зависит прежде всего от того, совместное изменение во времени каких переменных отражает данная модель, и какова качественная структура взаимосвязи этих переменных. Структуру взаимосвязи переменных в системе отражает сигнальный граф САУ.

Сигнальный граф является направленным графом и как таковой представляет собой совокупность множества элементов (множества вершин) и некоторого множества упорядоченных пар этих элементов (множества направленных рёбер). В сигнальном графе роль множества вершин играет множество сигналов в САУ, совместное изменение которых во времени описывается данной математической моделью.

Перед тем, как составлять сигнальный граф САУ, выпишем все сигналы, играющие роли внутренних и внешних вершин графа.

Список сигналов, играющих роль внешних вершин сигнального графа.

R₂” [Ом]- активное сопротивление одного из плеч реостата.

U_З [В]- напряжение, подаваемое на резисторный каскад.

W_Г [рад/с]- частота вращения вала генератора.

U_В [В]- напряжение питания обмотки электродвигателя.

M_Н [Н·м]- вращающий момент, приложенный к валу электродвигателя со стороны нагрузки.

DP [Па]- разность давления в топливопроводе и атмосферного давления.

T_ВОДЫ [К]- температура воды, поступающей в бак.

Q_ВОДЫ [м³/с]- скорость поступления воды в бак.

Список сигналов, играющих роль внутренних вершин сигнального графа.

T [К] - температура воды в баке.

U_Т [В] -напряжение на клеммах термопары.

U_ВХ [В] - напряжение на выходе резисторного каскада (и на входе усилителя).

U_ВЫХ [В] - напряжение на выходе усилителя.

I_ВЫХ [А] - ток в обмотке генератора.

F_У [Вб] - магнитный поток, создаваемый обмоткой генератора.

E_Г [В] - ЭДС, создаваемая генератором.

I_Я [А] - ток якоря электродвигателя.

M_Д [Н·м] - момент силы на валу электродвигателя.

I_В [А] - ток, протекающий в обмотке электродвигателя.

F_В [Вб] - магнитный поток, создаваемый обмоткой электродвигателя.

E_СИ [В] - ЭДС самоиндукции, возбуждаемой в якоре электродвигателя.

W [рад/с] - частота вращения вала электродвигателя.

W_Р [рад/с] - частота вращения вала редуктора на его выходе.

L [рад] - суммарный угол поворота вала крана на топливопроводе.

X [м] - ширина открытой части крана.

S [м²] - площадь открытой части крана.

Q_ТОПЛ [м³/с] - скорость поступления топлива в горелку.

Q_ТЕПЛА [Дж/с] - скорость поступления тепла от горелки к баку.

Сигнальный граф САР температуры воды в баке представлен на рис. 3.

Рис. 3. Сигнальный граф САР температуры воды в баке.

3. Составление исходной системы дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения являются одним из основных средств анализа свойств автоматических систем. Математическая модель САУ имеет вид системы дифференциальных уравнений, связывающих значения отдельных переменных, действующих в реальной системе.

Элементы, входящие в САУ, могут быть различной природы: механические, электрические, электромеханические, пневматические, гидравлические, тепловые и т.д. Поэтому для составления дифференциальных уравнений элементов системы используются функциональные законы природы, выражаемые уравнениями Ньютона, Кирхгофа, Лагранжа и т.п. Количественная связь между переменными системы изучается в таких дисциплинах, как механика, электротехника, электромеханика, термодинамика и др. При составлении математической модели САУ необходимо пользоваться руководствами по соответствующим дисциплинам.

Составим систему дифференциальных уравнений САР температуры воды в баке.

1. Зависимость напряжения на клеммах термопары от измеряемой температуры, вообще говоря, достаточно сложна. Однако, если диапазон измеряемых температур невелик (в нашем случае 0C<T<100C), то эту зависимость можно представить в следующем виде.

U_T=K₁'+K₂'T.

K₁' [В] - напряжение на клеммах термопары в нижнем пределе диапазона измеряемой температуры.

K₂' [В/К] - температурный коэффициент термопары.

2. Определим зависимость выходного напряжения резисторного каскада от U_З и R2”. Схема резисторного каскада изображена на рис. 4.

Рис. 4. Схема резисторного каскада.

Применим 1-е и 2-е правила Кирхгофа (см., например, [3]).

I₁+I₃=I₂

I₁R₃=U_Т-U_З

I₂(R₂+R₁'+R₁+R₂”)= U_З

;

.

U_ВХ= -Uт + (K₃'+K₄'R₂”)U_З.

K₃'=R₁/(R₁+R₂+R₄)(безразмерная величина);

K₄'= 1/(R₁+R₂+R₄)[1/Ом].

3. Зависимость напряжения на выходе усилителя электрических сигналов от напряжения на входе:

U_ВЫХ = K₅' U_ВХ.

K₅' - коэффициент усиления по напряжению (безразмерная величина).

4. Зависимость тока в обмотке возбуждения генератора от напряжения имеет инерционный характер и описывается дифференциальным уравнением:

.

K₆' [Гн] - индуктивность обмотки.

K₇' [Ом] - активное сопротивление обмотки.

5. Зависимость магнитного потока возбуждения от мгновенного значения тока в обмотке трудно выражается аналитически. Представим ее в виде графика (рис. 5).

Рис. 5. График зависимости магнитного потока возбуждения генератора от тока возбуждения.

6. ЭДС, создаваемая генератором, зависит как от магнитного потока возбуждения генератора, так и от скорости вращения якоря.

E_Г=K₈'F_УW_Г.

K₈' [(с•В)/(Вб•рад] - электрическая постоянная якоря генератора.

7. Ток, протекающий по обмотке якоря двигателя, определяется разностью напряжения на щетках якоря, и ЭДС самоиндукции, вырабатываемой при вращении якоря. Эта связь является инерционной в силу того, что якорь обладает значительной индуктивностью.

.

K₉' [Гн] - индуктивность обмотки якоря.

K₁₀' [Ом] - активное сопротивление обмотки.

8. Вращающий момент на валу двигателя определяется мгновенными значениями тока, протекающего по виткам якорной обмотки, и магнитного потока возбуждения.

M_Д=K₁₁'I_ЯF_В.

K₁₁' [(Н•м)/(А•Вб)] - моментная постоянная якоря двигателя.

9. Угловое ускорение вращающегося вала двигателя есть производная от его угловой скорости. В свою очередь, угловое ускорение, согласно второму закону Ньютона (см., например, [2]), пропорционально суммарному вращающему моменту, который равен разности вращающего момента двигателя и момента сопротивления нагрузки, приложенного к валу двигателя.

.

K₁₂' [(Н•м•с²)/рад] -суммарный момент инерции якоря, редуктора и нагрузки.

10. Зависимость тока в обмотке возбуждения двигателя от напряжения возбуждения имеет инерционный характер и описывается дифференциальным уравнением:

.

K₁₃' [Гн] - индуктивность обмотки.

K₁₄' [Ом] - активное сопротивление обмотки.

11. Зависимость магнитного потока возбуждения F_В от мгновенного значения тока I_В аналогична представленной на рисунке 5.

12. Якорь двигателя, вращающийся в магнитном поле возбуждения, фактически представляет собой генератор, вырабатывающий противо-ЭДС самоиндукции.

E_СИ=K₁₅'F_ВW.

K₁₅' [(с•В)/(Вб•рад)] - электрическая постоянная якоря генератора.

13. Частота вращения выходного вала редуктора пропорциональна частоте вращения входного вала.

W_Р=K₁₆’W.

K₁₆' - коэффициент преобразования частоты редуктором (безразмерная величина).

14. Зависимость угла поворота вала крана (отсчет от закрытого состояния) на топливопроводе от скорости вращения вала носит интегральный характер.

15. Высота открытой части топливопровода прямо пропорциональна углу поворота вала крана.

X=K₁₇'L.

K₁₇'=h/2p [м/рад], где h- шаг резьбы на валу крана.

16. Для простоты будем считать, что топливопровод и задвижка крана имеют прямоугольную форму. Тогда площадь открытой части топливопровода прямо пропорциональна высоте открытой части.

S=K₁₈'X.

K₁₈' [м] - высота топливопровода.

17. Поток топлива, подаваемого горелке, зависит как от площади открытой части топливопровода, так и от избыточного давления, создаваемого топливным насосом.

Q_топл=K₁₉'SDP.

K₁₉' [м/(Па•с)] - величина, обратная вязкости топлива.

18. Поток тепла, привносимого в бак с водой при сгорании топлива, прямо пропорционален потоку топлива, подаваемого горелки, и зависит также от к.п.д. горелки.

Q_тепла=K₂₀' Q_топл.

K₂₀' [Дж/(м³)] - произведение удельной теплоты сгорания топлива на к.п.д. горелки.

19. Вполне естественно считать, что вода вытекает из бака с такой же скоростью, с какой затекает в него (в противном случае может произойти переполнение бака). Тогда за небольшой отрезок времени dt через бак протечет некоторый объем воды dV=Q_ВОДЫdt. Этот объем воды получит некоторое количество теплоты от горелки: dQ=Q_ТЕПЛАdt. Температура такой «порции» воды изменится и будет равна . Преобразовав, получаем:

K₂₁' [(м³•К)/ Дж] - величина, обратная удельной теплоемкости воды.

4. Линеаризация системы дифференциальных уравнений

Часто некоторые уравнения, входящие в систему дифференциальных уравнений САУ, нелинейны, что затрудняет исследование и решение системы уравнений. Поэтому обычно стремятся заменить уравнения линейными так, чтобы получаемая при этом система линейных уравнений (линейная модель) приближённо отражала свойства САУ при выполнении некоторых условий. Такую приближённую замену нелинейных уравнений называют линеаризацией системы дифференциальных уравнений.

Как правило, САУ предназначена для поддержания некоторого вполне определённого значения управляемой величины. Такое значение называют номинальным.

Номинальному значению управляемой величины соответствуют номинальные значения всех внешних воздействий. Если после установления номинальных значений внешних воздействий в системе завершились переходные процессы, то такой режим работы САУ называется номинальным режимом. В свою очередь номинальному режиму соответствуют номинальные значения внутренних переменных.

Линеаризация системы дифференциальных уравнений САУ основана на двух предположениях.

Во-первых, предполагается, что при номинальной работе системы отклонения внешних воздействий от их постоянных номинальных значений мало, а следовательно, и мало отклонение всех переменных в системе:

Во-вторых, линеаризация некоторого дифференциального уравнения предполагает, что все функции от переменных, входящие в данное уравнение не имеют разрыва и являются гладкими при номинальных значениях аргументов.

Линеаризация дифференциального уравнения сводится к линеаризации входящих в него функций. В общем случае линеаризация заключается в разложении функции в ряд Тейлора в окрестности номинальных значений аргументов и отбрасывании членов ряда, порядок которых выше первого:

Проведем линеаризацию системы дифференциальных уравнений, описывающей САР температуры воды в баке.

1. U_T=K₁'+K₂'T - уравнение нелинейно.

, [В/К]

u_T=K₁”t.

2. U_ВХ= -U_т + (K₃'+K₄'R₂”)U_З - уравнение нелинейно.

;

;

;

K₂”= K₃'+ K₄'R₂”₀;(безразмерная величина);

K₃”= K₄' U_З; [А].

u_ВХ= -u_т + K₂” u_З +K₃”r₂”.

3. U_ВЫХ = K₅' U_ВХ - уравнение линейно.

u_ВЫХ = K₄” u_ВХ.

K₄”=K₅' (безразмерная величина).

4. - уравнение линейно.

K₅”=K₆' [Гн].

K₆”=K₇' [Ом].

5. Зависимость магнитного потока возбуждения от мгновенного значения тока в обмотке задана графически. Отметив на графике точку номинального режима и проведя касательную к графику в этой точке, получим линеаризованную зависимость в отклонениях (рис. 6).

Рис. 6. График зависимости магнитного потока возбуждения генератора от тока возбуждения.

_У=K₇”i_вых.

K₇” [Вб/А] = [Гн] - тангенс угла наклона касательной.

6. E_Г=K₈'F_УW_Г - уравнение нелинейно.

[В/Вб]

[(с•В)/рад]

E_Г=K₈”_У+ K₉”w_Г.

7. - уравнение линейно.

K₁₀”= K₉' [Гн].

K₁₁”=K₁₀' [Ом].

8. M_Д=K₁₁'I_ЯF_В - уравнение нелинейно.

[Н•м/А]

[Н•м/Вб]

m_Д=K₁₂”i_Я+ K₁₃”_В.

9. - уравнение линейно.

K₁₄”=K₁₂' [(Н•м•с²)/рад].

10. - уравнение линейно.

K₁₅”₌K₁₃' [Гн].

K₁₆”=K₁₄' [Ом].

11. Зависимость магнитного потока возбуждения ?_В от мгновенного значения тока I_В задана графически.

_В=K₁₇”i_в.

K₁₇” [Вб/А]= [Гн] - тангенс угла наклона касательной.

12. E_СИ=K₁₅'F_ВW - уравнение нелинейно.

[В/Вб]

[(с•В)/рад]

e_СИ=K₁₈”_В+ K₁₉”w.

13. W_Р=K₁₆'W - уравнение линейно.

w_Р=K_{2_}”w

K₂₀”= K₁₆' (безразмерная величина).

14. - уравнение линейно.

15. X=K₁₇'L - уравнение линейно.

x=K₂₁”l.

K₂₁”= K₁₇' [м/рад].

16. S=K₁₈'X - уравнение линейно.

s=K₂₂”x.

K₂₂”=K₁₈' [м].

17. Q_топл=K₁₉'SDP - уравнение нелинейно.

[м/с].

[м³/(Па•с)].

q_топл=K₂₃”s+ K₂₄”Dp

18. Q_тепла=K₂₀' Q_топл - уравнение линейно.

q_тепла=K₂₅” q_топл.

K₂₅”=K₂₀' [Дж/(м³)].

19. - уравнение нелинейно.

[К·с/Дж].

[К·с/м³].

5. Взвешенный сигнальный граф и структурная схема линейной математической модели САУ

Математическая модель САУ в виде системы линейных дифференциальных уравнений позволяет определить, как будет изменяться во времени любая переменная в данной САУ, соответствующая какой-нибудь внутренней вершине сигнального графа, если задан закон изменения одного из внешних сигналов - управляющего или возмущающего воздействия. В этом случае искомая переменная расcматривается как выход модели, а соответствующее внешнее воздействие - как её вход. Для определения закона изменения во времени данной выходной величины необходимо исключить все остальные переменные, являющиеся в данном случае промежуточными и получить одно дифференциальное уравнение, связывающее выходную величину с входной.

Однако операции исключения промежуточных переменных из системы дифференциальных уравнений очень трудоёмки и сложны, поэтому возникает потребность упростить эти операции. С этой целью в линейных математических моделях САУ обычно используют операторную форму записи, представляя уравнение каждой связи сигнального графа в виде так называемой передаточной функции.

Замена дифференциальных уравнений передаточными функциями позволяет представить систему линейных дифференциальных уравнений САУ в виде взвешенного сигнального графа, либо в виде структурной схемы. Эти две равносильные формы представления линейной математической модели САУ отличаются от обычной системы дифференциальных уравнений, наглядностью и позволяют заменить трудоёмкую процедуру исключения промежуточных переменных простыми правилами преобразования структурной схемы, либо сигнального графа.

5.1 Переход к операторной форме системы дифференциальных уравнений

1. u_T=K₁”t.

u_T=K₁t.

K₁= K₁”= W₁(p)[В/К].

2. u_ВХ= -u_т + K₂” u_З +K₃”r₂”.

u_ВХ= -u_т + K₂u_З +K₃r₂”.

K₂= K₂”= W₂(p)(безразмерная величина);

K₃= K₃”= W₃(p)[А].

3. u_ВЫХ = K₄” u_ВХ.

u_ВЫХ = K₄ u_ВХ.

K₄= K₄” = W₄(p)(безразмерная величина).

4.

K₅”= [Гн];K₆”= [Ом].

T₁=K₅”/ K₆” [с];

K₅= 1/ K₆” [1/Ом].

.

W₅(p)=K₅/(T₁p+1)[1/Ом].

5. _У=K₇”i_вых.

_У=K₆i_вых

K₆= K₇”= W₆(p) [Гн].

6. E_Г=K₈”_У+ K₉”w_Г.

E_Г=K_7У+ K₈w_Г.

K₇=K₈” = W₇(p) [В/Вб]

K₈=K₉”= W₈(p) [(с•В)/рад]

7.

K₁₀”= [Гн]; K₁₁”= [Ом].

T₂=K₁₀”/ K₁₁” [с];

K₉= 1/ K₁₁” [1/Ом].

.

W₉(p)=K₉/(T₂p+1)[1/Ом].

8. m_Д=K₁₂”i_Я+ K₁₃”_В.

m_Д=K₁₀i_Я+ K_11В

K₁₀= K₁₂” =W₁₀(p) [Н•м/А]

K₁₁= K₁₃”= W₁₁(p) [Н•м/Вб]

9.

K₁₂=1/K₁₄” [рад/(Н•м•с²)].

W₁₂(p)=K₁₂/p.

10.

K₁₅” [Гн];K₁₆”=[Ом].

T₃=K₁₅”/ K₁₆” [с];

K₁₃= 1/ K₁₆” [1/Ом].

.

W₁₃(p)=K₁₃/(T₃p+1)[1/Ом].

11. _В=K₁₇”i_в.

_В=K₁₄i_в.

K₁₄=K₁₇”= W₁₄(p) [Гн]

12. e_СИ=K₁₈”_В+ K₁₉”w.

e_СИ=K_15В+ K₁₆w.

K₁₅=K₁₈”= W₁₅(p) [В/Вб];

K₁₆=K₁₉”= W₁₆(p)[(с•В)/рад].

13. w_Р=K_{2_}”w

w_Р=K₁₇w

K₁₇= K₂₀”= W₁₇(p) (безразмерная величина).

14.

l=w_р/p.

W₁₈(p)=1/p.

15. x=K₂₁”l

x=K₁₈l.

K₁₈= K₂₁”= W₁₉(p) [м/рад].

16. s=K₂₂”x

s=K₁₉x

K₁₉= K₂₂”= W₂₀(p) [м].

17. q_топл=K₂₃”s+ K₂₄”Dp

q_топл=K₂₀s+ K₂₁Dp

K₂₀= K₂₃”= W₂₁(p) [м/с].

K₂₁= K₂₄”= W₂₂(p) [м³/(Па•с)].

18. q_тепла=K₂₅” q_топл

q_тепла=K₂₂q_топл.

K₂₂=K₂₅”= W₂₃(p) [Дж/(м³)].

19.

W₂₄(p)=1.

K₂₃=K₂₆”= W₂₅(p) [К·с/Дж];

K₂₄=K₂₇”= -W₂₆(p) [К•с /м³].

5.2 Построение взвешенного сигнального графа и структурной схемы САУ

На основе произведённых выше преобразований построим теперь взвешенный сигнальный граф (рис. 7) и структурную схему (рис. 8) САР температуры воды в баке

Фундаментальное отличие взвешенного сигнального графа от исходного состоит в том, что внутренняя вершина с несколькими входящими рёбрами интерпретируется как линейная зависимость переменной от переменных , в то время как в обычном графе зависимость может иметь любую форму. Кроме того, вершины взвешенного графа соответствуют отклонениям переменных от их номинальных значений.

Рис. 7. Взвешенный сигнальный граф САР температуры воды в баке.

Рис. 8. Структурная схема САР температуры воды в баке.

6. Контурная и сквозная передаточные функции САУ

Пусть - некоторая входная переменная линейной математической модели САУ, соответствующая какой-нибудь внешней вершине сигнального графа, - одна из выходных переменных, соответствующая одной из внутренних вершин графа. Дифференциальное уравнение, связывающее эти две переменные, называется сквозным дифференциальным уравнением, а передаточная функция, соответствующее этому уравнению, называется сквозной передаточной функцией, которая обозначается как F_{y x} (p).

Одним из входов математической модели является задающее воздействие. Его называют главным входом математической модели САУ. Аналогично среди выходов выделяют управляемую величину. Её называют главным выходом математической модели САУ.

Сквозную передаточную функцию, связывающую главный вход с главным выходом, называют главным оператором САУ и обозначают ?(p).

Для определения главного оператора САУ мы будем использовать как формулу Мейсона, так и правила преобразования структурной схемы.

6.1 Определение главного оператора САР температуры воды в баке при помощи формулы Мейсона

Всякая сквозная передаточная функция от некоторого входа системы к некоторому ее выходу(в том числе и главный оператор САУ) ищется при равенстве нулю всех других входных сигналов, точнее при равенстве нулю их отклонений от номинальных значений. В данном случае следует принять равным нулю значения всех возмущающих воздействий, для чего необходимо удалить из взвешенного сигнального графа все внешние вершины, кроме входной вершины r2", а также ребра, исходящие из этих вершин (рис. 9).

Формула Мейсона, позволяющая вычислить передаточную функцию от любой внешней вершины взвешенного сигнального графа к любой внутренней вершине, имеет вид:

.

Здесь - определитель взвешенного сигнального графа;

k - число прямых путей из вершины в вершину ;

Wⁱ - передаточная функция i-ого прямого пути;

- минор i-ого прямого пути.

Применим формулу Мейсона для определения главного оператора САУ:

Прежде всего, найдем определитель сигнального графа. Он представляет собой передаточную функцию, вычисляемую по формуле:

Здесь W_0i - передаточные функции всех контуров графа, W_0iW_0j - произведение передаточных функций всех пар несоприкасающихся контуров, и т.д.

В сигнальном графе (рис. 9) есть только два контура. Они являются соприкасающимися.

Рис. 9. Взвешенный сигнальный граф САУ при занулении входных сигналов.

.

.

Тогда .

Теперь необходимо найти передаточные функции всех прямых путей из вершины r2" в вершину t и их миноры. В данном случае существует лишь один прямой путь.

Его передаточная функция:

.

Соответствующий минор D₁=1, так как при удалении пути в графе не остается ни одного замкнутого контура.

По Формуле Мейсона получаем:

Приведем главный оператор к стандартной форме записи. Для этого раскроем скобки и разделим числитель и знаменатель на свободный член знаменателя. Введем обозначения:

.

.

.

.

.

Окончательно получим:

.

Установим размерность главного оператора САУ.

Коэффициент K имеет размерность[]=[].

Коэффициент a₄ имеет размерность

[]=[с⁴].

Коэффициент a₃ имеет размерность

[]=[с³].

Коэффициент a₂ имеет размерность

[]=[с²].

Коэффициент a₁ имеет размерность

[]=[с].

Таким образом, главный оператор F имеет размерность [], что полностью соответствует его физическому смыслу: t=F·r₂”.

6.2 Определение главного оператора САР температуры воды в баке с помощью правил преобразования структурных схем

Выше был рассмотрен метод нахождения главного оператора САУ по формуле Мейсона. На практике также применяется более наглядный метод, основанный на применении правил преобразования структурных схем.

Для определения передаточных функций автоматических систем по их структурным схемам необходимо уметь определять передаточные функции групп соединенных определенным образом элементов по передаточным функциям отдельных элементов. Можно выделить три характерных соединения - последовательное, параллельное, и обратное (в виде отрицательной либо положительной обратной связи). Правила, позволяющие определять передаточные функции системы в целом по передаточным функциям отдельных элементов, составляют алгебру передаточных функций (см. [1]).

Перед началом преобразований необходимо удалить все «лишние» входные сигналы, как и в случае нахождения главного оператора САУ по формуле Мейсона.

Последовательность преобразований структурной схемы показана на рис. 10.

На первом этапе произведена замена групп последовательно соединенных элементов одиночными, с передаточными функциями, равными произведению передаточных функций всех элементов группы.

Затем была произведена замена обратно соединенных элементов одиночными, а также объединение последовательно соединенных элементов.

Рис. 10. Последовательность преобразований структурной схемы САУ.

В результате преобразований получен главный оператор САУ:

Как видим, он полностью совпадает с полученным по формуле Мейсона.

6.3 Определение контурной передаточной функции САР температуры воды в баке

Сквозные передаточные функции позволяют найти переходный процесс на том или ином выходе математической модели САУ при заданном изменении любого входного сигнала. Однако построение переходных процессов не исчерпывает всех задач, возникающих при исследовании САУ. В частности, основной задачей, решаемой при проектировании САУ, является исследование её устойчивости, т.е. способность системы возвращаться в исходное состояние при прекращении действия возмущений.

Исследование устойчивости САУ связано с анализом так называемого контурного дифференциального уравнения и соответствующей этой задаче контурной передаточной функции.

Для определения контурной передаточной функции применим формулу Мейсона.

Удалим из взвешенного сигнального графа все внешние вершины и связанные с ними рёбра. Разорвём основной контур системы, например, в месте соединения термопары с резисторным каскадом. Это эквивалентно появлению ещё одного внешнего воздействия u_t' (после этого в графе останется только один контур). Контурная передаточная функция есть не что иное, как сквозная передаточная функция от внешней вершины u_t' к внутренней u_t, взятая со знаком минус.

Найдем определитель сигнального графа.

.

Тогда .

.

Соответствующий минор D₁=1, так как при удалении пути в графе не остается ни одного замкнутого контура.

По формуле Мейсона получаем:

.

Запишем контурную передаточную функцию в стандартном виде.

Введем обозначения:

.[1/с]

.[с³]

.[с²]

.[с]

Окончательно получим:

.

Как видим, контурная передаточная функция является безразмерной величиной, что соответствует ее физическому смыслу: u_t=W(p)·u_t'.

Заключение

В этой работе рассматривалась система автоматического регулирования температуры воды в баке. Была построена функциональная схема, позволяющая наглядно получить представление об элементах САУ и принципах ее функционирования.

Составлена система дифференциальных уравнений, описывающая поведение САУ. Проведена ее линеаризация и переход к эквивалентной системе уравнений в операторной форме.

Построен взвешенный сигнальный граф, дающий представление о взаимодействии сигналов системы, а на его основе - структурная схема.

Конечным результатом работы является определение главного оператора и контурной передаточной функции САУ с помощью формулы Мейсона и правил преобразования структурных схем.

Список использованных источников

1. Моттль В. В. Конспект лекций по курсу «Теория систем управления». Тула, 1999.

2. Савельев И. В. Курс физики: Учеб.: В 3-х томах. Т. 1: Механика. Молекулярная физика. - М.: Наука., 1989.

3. Савельев И. В. Курс физики: Учеб.: В 3-х томах. Т. 2: Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. - М.: Наука., 1989.

Размещено на Allbest.ru