Основи статистичної динаміки систем управління

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методичні вказівки

до виконання практичних робіт для студентів навчання за напрямом підготовки: 6.050201 "Системна інженерія"

Основи статистичної динаміки систем управління

Вступ

Метою дисципліни є формування у студентів знань методів створення сучасних високоякісних систем управління та практичних засобів їх самостійного застосування при виробничий діяльності на основі теоретичних підходів до аналізу та синтезу систем управління в умовах дії на них зовнішніх збурень, похибок вимірювання приладів та систем, а також сучасного математичного забезпечення етапів проектування систем управління.

Згідно з модульно-рейтинговою системою курс "Основи статистичної динаміки систем управління" складається з 6 змістових модулів. Лабораторні роботи є складовою частиною кожного з модулів. Метою лабораторного практикуму є закріплення та поглиблення базових знань з основ статистичної динаміки систем управління й отримання навиків з практичного їх застосування.

Вчасно захищеною вважається робота захист якої студентом відбувся в межах часу передбаченого для цієї роботи в робочій навчальній програмі та згідно з розкладом занять.

Якщо за результатами модульно-рейтингового контролю студент отримав середнє арифметичне за три змістовні модуля, яке менше ніж 60 балів (тобто в сумі менше 36 підсумкових балів), то студент не допускається до іспиту і вважається таким, що не виконав всі види робіт, які передбачаються навчальним планом на семестр з дисципліни "Основи статистичної динаміки систем управління".

1.Дослідження динаміки систем

Мета роботи: ознайомлення з основними характеристиками динамічних систем та засвоєння методів первинного аналізу кореляційних функцій та спектрів сигналів за допомогою блоків Auto Correlator та Power Spectral Density середовища Matlab-Simulink.

Теоретичні відомості

Випадковий процес - це випадкова функція часу. Це означає, що спостерігач "бачить" лише одну реалізацію випадкового процесу (вона виділена на рис. 1.1 штрих-пунктиром) з безлічі можливих функцій (суцільні лінії).

Повний набір всіх можливих реалізацій називають ансамблем. Випадковий процес - це і є ансамбль реалізацій, а не функція в звичайному розумінні. Далі позначатимемо весь ансамбль (випадковий процес) через , а окрему реалізацію - через .

Характеристикою випадкового процесу (точніше - характеристикою ансамблю реалізацій) в кожен фіксований момент часу є щільність розподілу імовірності (вірогідності) випадкової величини .

За цими даними можна знайти середнє значення (математичне очікування), дисперсію, середнє квадратичне відхилення (СКВВ) та інші характеристики випадкового процесу. Процеси з нульовим середнім значенням називаються центрованими.

Для багатьох (хоча і не для всіх) випадкових процесів значення в моменти часу і якось зв'язані. Для того щоб оцінити зв'язок випадкових величин і використовують кореляцію - математичне очікування добутку :

, (1.1)

Кореляція дозволяє виявити лінійну залежність між двома величинами. У випадку знаки і найчастіше співпадають(обоє позитивні або обоє негативні), а при - більше вірогідність того, що знаки різні. Якщо , величини і називаються некорельованими. Важливо розуміти, що це не означає, що вони незалежні. З іншого боку, незалежні величини завжди некорельовані. Для випадкових величин з нормальним розподілом некорельованість одночасно означає і незалежність.

Згадуючи, що і - це значення випадкового процесу в моменти і , можна розглядати кореляцію як функцію двох аргументів:

.

Ця функція називається кореляційною (або автокореляційною) функцією випадкового процесу . У цій формулі використовується усереднювання по ансамблю, тобто по всіх можливих реалізаціях випадкового процесу. Практично ця операція важкоздійснювана, оскільки потрібно мати повну інформацію про процес (розподіли вірогідності, імовірності).

Якщо випадковий процес - ця напруга у вольтах, то його кореляційна функція вимірюється у В2, так само, як середній квадрат і дисперсія.

Стаціонарність.

Якщо усі властивості випадкового процесу(щільність розподілу вірогідності) не залежать від часу, випадковий процес називається стаціонарним (у вузькому сенсі). Інакше процес - нестаціонарний, його властивості з часом змінюються. Строго кажучи, усі реальні процеси - нестаціонарні, вони колись почалися і колись закінчаться. Проте часто на практиці можна вважати, що на інтервалі часу (наприклад, під час переходу судна з одного порту в інший) властивості випадкових процесів (хвилювання, вітри), що цікавить нас, не змінюються. Це допущення дозволяє істотно спростити рішення багатьох завдань.

Стаціонарність - це дуже сильне допущення. Щоб довести його справедливість, треба знати усю щільність розподілу у будь-який момент часу, а вони найчастіше невідомі. На щастя, стаціонарність(у вузькому сенсі) зовсім не потрібна в інженерних завданнях. Замість цього досить розглядати процеси, стаціонарні в широкому сенсі, для яких:

- математичне очікування не залежить від часу;

- кореляційна функція залежить тільки від того, наскільки моменти і далекі один від одного, тобто від різниці , тому її часто записують у вигляді:

, (1.2)

де

.

Далі, кажучи про стаціонарні процеси, ми матимемо на увазі процеси, стаціонарні в широкому сенсі.

Ергодичність.

При першому знайомстві з випадковими процесами завжди виникає закономірне питання: "Як же вивчати випадкові процеси на практиці?" Річ у тому, що у багатьох випадках ми спостерігаємо лише одну реалізацію зі всього ансамблю, і повторити експеримент з тими ж умовами неможливо. Дослідники майже завжди передбачають, що тривале спостереження за однією реалізацією випадкового процесу дозволяє вивчити властивості ансамблю, тобто, один елемент ансамблю містить інформацію про всі останні елементи. Випадкові процеси, що володіють такою властивістю, називають ергодичними. Відмітимо, що лише стаціонарний процес може бути ергодичним.

З одного боку, в реальних ситуаціях дуже складно довести ергодичність. З іншої - зазвичай має сенс передбачити, що процес ергодичний, якщо немає вагомих аргументів проти цього. Для ергодичних процесів по одній реалізації можна знайти всі основні характеристики, замінивши усереднювання по ансамблю на усереднювання за часом. Наприклад, математичне очікування стаціонарного випадкового процесу можна теоретично знайти через його щільність розподілу:

, (1.3)

Якщо ми знаємо тільки одну реалізацію, можна спробувати оцінити середнє значення на інтервалі , поділивши інтеграл від функції на ширину інтервалу:

, (1.4)

Переходячи до межі при (застосовуючи усереднювання на нескінченному інтервалі), отримуємо оцінку середнього значення по одній реалізації :

, (1.5)

Для ергодичних процесів це значення збігається з , яке отримане шляхом усереднювання по ансамблю.

Кореляційна функція.

Кореляційна функція стаціонарного процесу також може бути обчислена двома способами: усереднюванням по ансамблю (через спільну щільність вірогідності) і усереднюванням однієї реалізації за часом. Для ергодичного процесу обидва методи дають один і той же результат. Далі ми розглядатимемо лише ергодичні процеси, для яких можна знайти кореляційну функцію по одній реалізації. Щоб обчислити для деякого , потрібно знайти середнє значення добутку :

, (1.6)

Побудувати графік функції можна по крапках, виконавши таку інтеграцію для кожного значення з деякого масиву.

Кореляційна функція володіє рядом властивостей:

- - це середній квадрат випадкового процесу, тому завжди ;

- для центрованих процесів (з нульовим середнім) ця величина збігається з дисперсією;

- при кореляційна функція має найбільше значення, в тому числі й найбільше за модулем, тобто при всіх ;

- ,

тобто - симетрична (парна) функція.

Як приклад приведемо кореляційну функцію дискретного сигналу, який перемикається між значеннями А і -А у випадкові моменти часу (рис. 1.2).

Кореляційна функція не завжди позитивна. На рис. 1.3 показана зміна ординати поверхні морського хвилювання і кореляційна функція цього сигналу (одна з теоретичних моделей):

Тут - дисперсія хвилевої ординати, - коефіцієнт загасання і - середня частота хвилювання. Відмітимо також, що найчастіше кореляційна функція зменшується по модулю, тобто чим далі від нуля, тим менше значення модуля кореляційної функції (чим більше відстань між відліками, тим менше зв'язок між ними). Це справедливо не для всіх випадкових процесів, але для більшості практичних ситуацій.

Спектральна щільність.

У теорії управління існують і взаємно доповнюють один одного два підходи:

- часовий - дослідження процесів в часі;

- частотний - дослідження частотних властивостей сигналів і систем (за допомогою передаточних функцій і частотних характеристик).

Аналогічна ситуація спостерігається і при розгляді випадкових процесів. Основна часова характеристика стаціонарного процесу - це кореляційна функція, а частотні властивості описуються спектральною щільністю.

Спектральна щільність - це функція, яка показує розподіл потужності сигналу по частотах. Така інформація про корисні сигнали, перешкоди і збурення дуже важлива для розробника систем управління. Система має бути спроектована так, щоб підсилювати сигнали з "корисними" частотами і пригнічувати "шкідливі" частоти, характерні для перешкод і збурень. Для переходу від часового опису детермінованих (не випадкових) процесів до частотного, використовують перетворення Фур'є і Лапласа. Аналогічно спектральна щільність випадкового процесу може бути знайдена як перетворення Фур'є від кореляційної функції:

, (1.7)

Спектральна щільність чимось схожа на щільність розподілу вірогідності, але вона характеризує щільність розподілу потужності сигналу по частотах. Якщо випадковий процес - це напруга у вольтах, то його кореляційна функція вимірюється у В2, а спектральна щільність - у В2/Гц.

На рис. 1.4 зліва показана кореляційна функція, а справа - відповідна їй спектральна щільність потужності:



Гармонійний сигнал.

Розглянемо гармонійний сигнал:

, (1.8)

де - випадкова фаза, рівномірно розподілена в інтервалі від 0 до . Три реалізації цього процесу (з різними фазами ) показано на рис. 1.5:

Це теж випадковий процес, проте його відмінність від "класичних" випадкових процесів полягає в тому, що знаючи (або визначивши) випадкову фазу , ми може обчислити значення цього сигналу при будь-якому . Такі процеси називають квазідетермінованими. Як тільки фаза визначена, процес стає детермінованим (не випадковим).

Білий шум.

У математиці для теоретичних досліджень інколи зручно використовувати математичні об'єкти, які не реалізовуються на практиці (наприклад, дельта-функцію). У теорії випадкових процесів важливу роль грає білий шум (назва пов'язана з білим світлом, спектр якого вміщує всі частоти видимого спектру), що має рівномірну спектральну щільність по всіх частотах, тобто .

Очевидно, що при цьому площа під кривою спектральної щільності (що визначає середній квадрат процесу) нескінченна, тобто сигнал має нескінченну потужність і не може існувати в природі. Якщо немає жодної інформації про властивості випадкових збурень, що діють на системи, часто вважають, що вони приблизно описуються моделлю білого шуму. Якщо ми доведемо, що навіть в цьому випадку характеристики системи залишаться задовільними, то вони будуть не гірші і при будь-якій іншій випадковій перешкоді.

Оцінка кореляційної функції.

Для візуальної оцінки кореляційної функції сигналу за серією останніх відліків можна використовувати блок Auto Correlator (група Simulink Extras - Additional Sinks). Для роботи цього блоку необхідно встановити пакет Signal Processing Toolbox. Під час моделювання виводяться два графіка - процес у часі та його кореляційна функція (для ), наведено на рис. 1.6.

Для візуальної оцінки спектральної щільності можна використовувати блоки Power Spectral Density та Averaged Power Spectral Density (група Simulink Extras - Additional Sinks). Для роботи цих блоків також необхідно встановити пакет Signal Processing Toolbox.

Блок Power Spectral Density оцінює спектральну щільність за останніми вимірюваннями, а блок Averaged усереднює її, враховуючи минулі значення (спектр буде більш згладженим).

Під час моделювання на екрані з'являються три графіка - процес у часі, оцінка його спектральної щільності (для додатних частот) та оцінка фази сигналу (третій графік ми використовувати не будемо). Для прикладу, на рис. 1.7 видно, що процес має сигнали з частотами 5 та 10 Гц.

Джерело шуму.

Випадкові процеси в Simulink зазвичай генеруються за допомогою блоку Band-Limited White Noise (білий шум з обмеженою полосою, група Sources).

В параметрах цього блоку можна налаштувати наступне (рис. 1.8):

- інтенсивність шуму (Noise Power, значення спектральної щільності при нульовій частоті);

- інтервал кореляції (Sample Time, інтервал, через який два виміряних значення стають некорельованими);

- початкове значення послідовності випадкових чисел, які використовуються для побудови сигналу (Seed).

Фактично на виході блоку буде ступінчастий сигнал, який змінюється випадковим чином через інтервал . Його кореляційна функція має трикутну форму (рис. 1.9):



Чим менший інтервал кореляції, тим ближче спектр цього сигналу до рівномірного (на низьких частотах).

Основна частина команд вводиться в командному вікні середовища Matlab. Команди, які необхідно використовувати в інших вікнах, позначені іконками відповідних програм.

Етап виконання завдання	Команди та ілюстрації
Завантажте Simulink та створіть нову модель. Встановіть час моделювання 100 с (меню Simulation - Simulation Parameters - Stop Time).	на панелі інструментів, у вікні Simulink
Додайте в модель блоки Sine Wave (гармонійний сигнал, синус, група Sources) та Scope (осцилограф, група Sinks). Встановіть для синусоїди частоту 10 рад/с (параметр Frequency).
Додайте блок Auto Correlator (автокореляційна функція, група Simulink Extras - Additional Sinks). Завантажте модель та подивіться на кореляційну функцію цього сигналу.
Скопіюйте графік кореляційної функції у звіт. Використовуйте клавіші Alt+PrintScreen для копіювання зображення активного вікна до буферу обміну. Потім вставте рисунок у звіт за допомогою клавіш Ctrl+V.
Під'єднайте до виходу блок Power Spectral Density (спектральна щільність, група Simulink Extras - Additional Sinks). Завантажте модель та подивіться на спектр цього сигналу. Скопіюйте графік спектральної щільності у звіт.
Додайте до вхідного сигналу ще одну синусоїду з частотою 5 рад/с та амплітудою 2 (параметр Amplitude). Подивіться, як зміняться автокореляційна функція та спектральна щільність. Поясніть результат.
Додайте до сигналу випадкову перешкоду. Для цього використовуйте блок Band-Limited White Noise (білий шум з обмеженою полосою, група Sources). Подивіться, як зміняться автокореляційна функція та спектральна щільність. Поясніть результат.
Встановіть для білого шуму параметр Noise Power (потужність), яка дорівнює 0,1. Завантажте модель та скопіюйте у звіт графіки кореляційної функції та спектральної щільності. Тепер збільшіть потужність шуму до 1 та повторіть моделювання. Поясніть результати.

1. Дослідити (авто)кореляційну функцію та спектральну щільність для гармонійних сигналів.

2. Дослідити вплив перешкод вимірювань на кореляційну функцію та спектр сигналу.

2. Дослідження розімкнутої системи при випадкових збуреннях

Мета роботи: вивчити статистичні характеристики сигналів на виході лінійної системи та виконати аналіз випадкових процесів, використовуючи програмне середовище MATLAB.

Теоретичні відомості

В прикладних задачах часто потрібно визначити кореляційну функцію і спектральну щільність за експериментальними даними. При цьому ми можемо спостерігати і аналізувати лише "шматок" реалізації на тимчасовому інтервалі від нуля до деякого , тому неможливо використовувати усереднювання по ансамблю. Залишається сподіватися на те, що процес ергодичний, і застосовувати усереднювання за часом.

Нехай відома реалізація випадкового процесу на інтервалі від 0 до . Для оцінки кореляційної функції при (тобто при додатних , достатньо невеликих у порівнянні з ) можна використовувати формулу:

, (2.1)

Зверніть увагу, що час усереднення дорівнює , а не , оскільки інтервал має як , так і . Нажаль, точно розрахувати цей інтеграл неможливо, оскільки мине знаємо математичну формулу для . В реальності зазвичай відомі лише значення цієї функції (вибірка) в моменти , де - інтервал між вимірюваннями. Тоді можна приблизно розрахувати тільки для (де ) за формулою:

, , (2.2)

Оцінка спектральної щільності.

Використання оцінки кореляційної функції.

Передбачимо, що ми досліджуємо ергодичний процес і знаємо одну реалізацію на інтервалі від 0 до деякого . Вище було показано, що за цими даними можна побудувати оцінку кореляційної функції. Якби ми знали повністю безперервну кореляційну функцію, для оцінки спектральної щільності можна було б використовувати перетворення Фур'є:

, (2.3)

В реальності відомі лише значення в окремих точках, тому останню формулу потрібно перевести в дискретний вигляд, замінивши інтеграл на кінцеву суму:

, (2.4)

Цей метод оцінки спектральної щільності називають методом Блекмана-Тьюки. На жаль, такий підхід не завжди дає задовільні результати. Річ у тому, що ми знаємо лише частину кореляційної функції, для значень від 0 до . Ця неповнота знань може дуже істотно впливати на результати оцінки спектру, аж до того, що обчислення за формулою (2.4) можуть дати для деяких частот від'ємні значення спектральної щільності. Цього не може бути в принципі, оскільки потужність сигналу (і будь-якій його складовій) не може бути від'ємною.

Вікна.

Щоб виправити ситуацію, потрібно якось "згладити" незнання кореляційної функції при великих і зробити оцінку спектральної щільності більш надійною. Для цього використовуються так звані "вікна" - парні функції, на які треба перемножити кореляційну функцію перед тим, як застосувати до неї перетворення Фур'є. Одне з простих "вікон" - вікно Хемінга:

, (2.5)

На рис. 2.1 зліва показано вікно Хемінга, а праворуч - вихідна оцінка кореляційної функції та результат використання до неї вікна Хемінга

Ясно видно, що використання цього вікна (і інших теж) практично не змінює форму кореляційної функції при малих , але згладжує всі викиди при великих , які, швидше за все, викликані випадковими помилками.

Для оцінки спектральної щільності з урахуванням вікна використовують формулу, аналогічну (2.4):

, (2.5)

Не варто засмучуватися з приводу того, що вікно вносить додаткове спотворення. Так або інакше, "вікно" використовується завжди. Фактично, усікаючи кореляційну функцію, ми застосовуємо прямокутне вікно:

, (2.6)

На рис.2.2 наведені оцінки спектру сигналу, отримані при використанні прямокутного вікна (, суцільна лінія) та вікна Хемінга (, штрих-пунктир).

Добре видно, що графік заходить в негативну зону, що неможливе з фізичної точки зору. Вживання вікна Хемінга дозволило позбавитися від цієї проблеми і згладити стрибкоподібні зміни оцінки спектру.

Головний недолік класичного методу оцінки спектральної щільності (методу Блекмана-Тьюки) - великий обсяг обчислень. Значно менше операцій потрібно при використанні прямого методу, заснованого на використанні дискретного перетворення Фур'є (ДПФ) і сучасних обчислювальних алгоритмах швидкого перетворення Фур'є (ШПФ). При цьому не потрібно будувати кореляційну функцію, а можна відразу знайти спектральну щільність, обробивши вибірку значень вихідного сигналу. В теорії обробки аналогових сигналів для переходу з тимчасової області в частотну використовується перетворення Фур'є:

, (2.7)

Воно має сенс для будь-якої детермінованої (невипадковою) функції , яка абсолютно інтегрована, тобто інтеграл від її модуля на всій осі сходиться:

, (2.8)

Для стаціонарного випадкового процесу, не рівного нулю, ця умова ніколи не виконуватиметься, тому використовувати перетворення Фур'є в звичайному сенсі для аналізу спектру випадкових процесів не можна.

Для оцінки спектру в теорії обробки сигналів зазвичай використовують сітку частот (у герцах):

, (2.9)

з кроком

.

В теорії управління прийнято будувати спектри як функції кутової частоти (у радіанах в секунду), яка виходить з "звичайної" частоти множенням на :

, (2.10)

Для частоти отримуємо:

, (2.11)

де через позначена сума, яка називається дискретним перетворенням Фур'є (ДПФ):

, (2.12)

Відмітимо, що ця величина - комплексна, така, що містить як речову, так і уявну частині. Легко підрахувати, що при розрахунку ДПФ по цих формулах для частот кількість операцій складання і множення буде пропорційна . Це означає, що якщо збільшується, скажімо, в 10 разів, то кількість операцій - приблизно в 100 разів. Для , особливо при аналізі сигналів в реальному часі, такі розрахунки виконуються недопустимо довго.

Для швидкого обчислення ДПФ були розроблені спеціальні алгоритми, які називаються швидким перетворенням Фур'є (БПФ). Вони дозволили скоротити кількість операцій з до .

У функції fft середовища Matlab використовується модифікація алгоритму БПФ, запропонованого Дж. Кулі і Дж. Тьюки. Цей алгоритм найбільш ефективний, якщо числом відліків є степінь двійки ( при цілому ). Відмітимо, що якщо це не так, завжди можна доповнити ряд нулями до найближчої степені двійки.

Згідно з теоремою Котельникова-Шенона, по дискретних вимірах з періодом можна відновити частотні властивості сигналу лише до частоти

(або до відповідної кутової частоти

,

яка називається частотою Найквіста, синусоїду необхідно вимірювати більше 2 раз за період). Тому лише оцінка спектру на частотах дає нам практично корисну інформацію ( можна довести, що , де * позначає комплексно-спряжену величину).

Підведемо підсумок. Для оцінки спектру сигналу по відліках потрібно виконати наступні дії:

1) за допомогою ШПФ (функція fft в Matlab) знайти масив ;

2) взяти першу половину цього масиву, розрахувати відповідні значення

для частот, які не перевищують частоту Найквіста

;

для кожної частоти знайти оцінку спектральної щільності потужності за формулою:

.

Для згладжування спектральної щільності так само, як і в методі Блекмана-Тьюки, використовуються вікна. Лише тепер на вагову функцію умножається не оцінка кореляційної функції, а сама реалізація на інтервалі , рис. 2.3.

Для цього випадку вікно Хемінга на інтервалі має виглад:

, (2.13)

Далі дискретне перетворення Фур'є обчислюється для відліків зваженої функції, тобто:

, де , (2.14)

Використання вікна для вихідного сигналу приводить до зменшення його енергії і, як наслідок, до занижених оцінок спектральної щільності. Щоб компенсувати ці втрати, вагова функція умножається на додатковий коефіцієнт , який визначається з умови нормування (збереження енергії вагової функції вікна, яка повинна залишитися такій же, як для прямокутного вікна):

, (2.15)

Нескладно підрахувати, що для вікна Хемінга з цієї умови отримуємо:

, (2.16)

Проходження випадкових сигналів через лінійні системи.

Існує два підхода до дослідження систем управління при випадкових збуренням:

1) імовірнісний - на основі щільностей розподілу імовірностей;

2) статистичний - за допомогою усереднених характеристик математичного очікування, дисперсії, кореляційної функції та спектральної щільності.

Використання імовірнісного підходу, як правило, пов'язане із значними труднощами. З одного боку, вони викликані недоліком інформації про щільність розподілу випадкових сигналів. З іншого боку, існуючий математичний апарат досить складний. Приведемо лише один важливий факт: якщо вхідний сигнал має нормальний розподіл, то на виході лінійної системи буде також сигнал з нормальним розподілом.

У прикладних завданнях нас найчастіше цікавить не щільність розподілу імовірності на виході системи, а деякі відчутніші характеристики - середнє значення, дисперсія і так далі Тому в переважній більшості випадків використовується статистичний підхід. Далі ми передбачатимемо, що на вхід лінійної системи з відомою передаточною функцією діє стаціонарний випадковий процес із заданою спектральною щільністю .

Перш за все, відзначимо, що при стаціонарному випадковому вході вихід лінійної системи - теж стаціонарний випадковий процес (лінійна система його не "псує"). Для процесу потрібно знайти: математичне очікування; дисперсію ; кореляційну функцію ; спектральну щільність .

Виділимо один важливий випадок, коли вхідний сигнал - це одиничний білий шум з постійною спектральною щільністю (білий шум одиничної інтенсивності). Тоді отримуємо:

, (2.17)

Таким чином, спектральна щільність виходу системи, на вхід якої діє одиничний білий шум, дорівнює квадрату її амплітудної характеристики.

Нехай передаточна функція лінійної системи рівна

.

Білий шум, проходячи через таку ланку, перетворюється на сигнал, що має спектральну щільність:

, (2.18)

графік якої наведено на рис. 2.4.

Білий шум "містить" всі частоти, але вони по-різному перетворяться. Постійний сигнал (що має частоту ) передається на вихід системи без змін. На низьких частотах спотворення досить малі, а високі частоти пригнічуються (фільтруються) системою. Це типовий фільтр низьких частот (він пропускає низькочастотні сигнали і блокує високочастотні). Відзначимо дуже важливий факт: оскільки високі частоти пригнічуються, відхилення спектру вхідного сигналу від рівномірного спектру білого шуму в цій області істотно не впливатимуть на спектр виходу. На цій ідеї засновано комп'ютерне моделювання випадкових процесів (див. далі).

Аналіз випадкових процесів в MATLAB.

Для того щоб розрахувати дисперсію та СКВВ випадкового процесу, значення якого записані до масиву х, використовують функції var та std:

v = var(x);% дисперсія

sigma = std(x);% СКВВ

Для аналізу кореляційної функції зручно використовувати функції пакету Signal Processing Toolbox (обробка сигналів). Функція xcorr розраховує двосторонню кореляційну функцію . Для того, щоб отримати правильні абсолютні значення кореляційної функції, результат треба поділити на кількість відліків вихідного сигналу. Наприклад, якщо значення сигналу знаходяться в масиві x, кореляційна функція може бути розрахована таким чином:

R = xcorr(x) / length(x);

Якщо побудувати її ми отримаємо значення як для додатних, так і для від'ємних . Якщо потрібні лише значення при , першу частину доводиться "обрізувати", враховуючи, що графік симетричний.

Rplus = R(floor(length(R)/2):end);

Тут функція length розраховує довжину масиву, а floor - округлює результат в менше сторону.

Для оцінки спектру в заданому частотному діапазоні, наприклад, рад/с, можна використовувати два підходи. Метод Блекмана-Тьюки використовує перетворення Фур'є кореляційній функції:

w = [0:0.1:5];

Sw = [];

for i=1:length(w)

Sw(i) = sum(Rplus .* cos(w(i)*t));

end;

Sw = 2*T*Sw;

Тут в масиві t записаний час, відповідний відлікам оцінки кореляційної функції Rplus для додатних , а T - це інтервал між цими відліками. Операція .* (крапка і знак множення) позначає поелементне множення масивів одного розміру.

При використанні вікна потрібно заздалегідь помножити кореляційну функцію на вагові коефіцієнти. Наприклад, для вікна Хеммінга:

Rplus = Rplus .* hamm;

Потім виконується програма оцінки спектру, приведена вище.

Інколи потрібно забезпечити заданий крок по частоті. Для цього потрібно відповідним чином вибрати , враховуючи, що

.

Звідси отримуємо

.

Це значення потрібно округлити "вгору" до найближчої степені двійки - це можна зробити за допомогою функції nextpow2, яка обчислює найближчу степінь двійки, яка більше заданого числа. У програмі це виглядає так (для рад/с):

N = 2*pi / dw / T; % кількість точок в ДПФ

При використанні спектрального вікна потрібно заздалегідь помножити вихідний сигнал на вагові коефіцієнти. При цьому для збереження енергії сигналу враховується масштабний коефіцієнт для конкретного вікна. Наприклад, для вікна Хеммінга:

Тут для побудови вікна використовується функція hamming з пакету Signal Porcessing Toolbox, при визові якої в дужках вказують кількість відліків сигналу. Потім ДПФ виконується для зваженого сигналу:

Fw = T * fft(x.*hamm, N); % оцінка F_X(w)

Інші команди в програмі не змінюються.

Використовуючи наведену вище інформацію виконати наступне (варіанти для розрахунків отримати у викладача):

- обчислити СКВВ і дисперсію на виході лінійної системи, що збуджується одиничним білим шумом;

- змоделювати випадкові процеси, використовуючи як джерело сигналу білий шум (з обмеженою смугою);

- оцінити СКВВ і дисперсію випадкового процесу, отриманого при моделюванні;

- обчислити автокореляційну функцію випадкового процесу.

3. Дослідження статистичних характеристик сигналів

Мета роботи: виконати моделювання випадкових сигналів та визначити автокореляційну функцію і спектральну щільність випадкового процесу, використовуючи Matlab-Simulink.

Моделювання випадкових сигналів.

На жаль, аналіз системи далеко не завжди можна виконати теоретично. Це особливо актуально для нелінійних систем. В цьому випадку єдиним методом залишається імітаційне моделювання. Тому важливо уміти моделювати випадкові процеси, що діють на систему: збурення (наприклад, вплив вітру і хвиль на судно) і перешкоди виміру (похибки вимірювальної системи).

Зазвичай задана спектральна щільність і потрібно отримати процес, що має таку спектральну щільність. Пригадаємо, що спектральна щільність невід'ємна для будь-якої частоти. Тоді функція , отримана при підстановці в , невід'ємна на уявній осі, тобто при

для всіх . Можна довести, що в цьому випадку її можна представити у вигляді добутку

.

При цьому завжди можна вибрати передаточну функцію так, щоб вона була стійкою (не мала полюсів в правій напівплощині) і мінімально-фазовою (не мала нулів в правій напівплощині). Такий перехід від до називається факторизацією (англ. розкладання на множники).

Якщо на вхід ланки з передаточною функцією подати одиничний білий шум, процес на виході матиме задану спектральну щільність . Функція називається передаточною функцією формуючого фільтру.

У складніших випадках факторизація виконується за допомогою чисельних методів. Потрібно розкласти на прості співмножники чисельник і знаменник і включити в лише ті множники, корені яких знаходиться в лівій напівплощині.

Отже, формуючий фільтр ми побудували. Тепер залишається одне дуже практичне питання: як отримати білий шум, який, як відомо, є сигналом з нескінченною енергією? Пригадаємо, що білий шум - це лише допоміжний сигнал, який, проходячи через систему з передаточною функцією , генерує сигнал із заданою спектральною щільністю. Виявляється, можна замінити його на інший сигнал (який просто отримати на комп'ютері), і при цьому спектральна щільність виходу виявляється досить близька до заданої.

Відомо, що на комп'ютері легко отримати випадкову послідовність чисел з рівномірним або нормальним розподілом. По цих числах можна побудувати ступінчастий сигнал, фіксуючи кожне значення протягом деякого часу , рис. 3.1.

Теоретично ці числа некорельовані; при цьому можна показати, що кореляційна функція ступінчастого сигналу - трикутна (див. рис. 3.1 праворуч). При вона дорівнює дисперсії послідовності випадкових чисел, а при перетворюється на нуль (оскільки моменти часу і знаходяться на різних інтервалах і, отже, відповідні значення некорельовані). Число називають інтервалом кореляції - так називається інтервал, після якого можна рахувати кореляційну функцію (приблизно) рівною нулю.

Взявши перетворення Фур'є від кореляційної функції:

, (3.1)

отримаємо спектральну щільність:

, (3.2)

Обчислюючи межу цієї функції при , знаходимо

,

так що при виборі це значення дорівнює 1 (як в білого шуму). Відмітимо, що , коли , тобто

при будь-якому цілому . Форма спектральної щільності показана на рис. 3.2 (тут і далі приймається ).

Звичайно, це далеко не білий шум, в якого спектральна щільність має бути постійною на всіх частотах. Проте, при зменшенні інтервалу кореляції "дзвін" розширюється, і для низьких частот можна вважати, що . У межі при спектр приближається до рівномірного спектру одиничного білого шуму. Далі буде показано, що при грамотному виборі такий сигнал можна використовувати як джерело замість білого шуму.

Для прикладу передбачимо, що потрібно отримати сигнал із спектральною щільністю

,

тобто формуючий фільтр має передаточну функцію

.

Як вхідний сигнал для цієї ланки використовуватимемо описаний вище ступінчастий сигнал при с. На рис. 3.3 приведені графіки спектральної щільності ступінчастого сигналу (жирна суцільна лінія), бажаної спектральної щільності (тонка суцільна лінія) і фактичної спектральної щільності виходу (штрихова лінія).

По графіку видно, що в існуючий смузі частот (де частотна характеристика ланки ненульова) спектр вхідного сигналу істотно нерівномірний, тому бажаний і фактичний спектри на виході системи трохи розрізняються в області високих частот. Прийнявши , маємо абсолютно іншу картину рис. 3.4.



Спектр вхідного сигналу в області, що цікавить нас, практично рівномірний, а спектр реального виходу практично точно збігається із заданим.

Очевидно, що при виборі потрібно враховувати частотні властивості формуючого фільтру, точніше, смугу частот, де його частотна характеристика досить відрізняється від нуля.

Для цього використовують поняття смуги пропускання системи - так називається частота, для якої амплітудна частотна характеристика зменшується на 3 дБ (децибела) порівняно з максимальним значенням (складає приблизно 0,708 від максимуму). Розробники MATLAB рекомендують при моделюванні використовувати значення:

, (3.3)

У нашому випадку амплітудно-частотна характеристика (аперіодичної ланки) має вигляд

,

її максимум дорівнює 1 (при ), тому смуга пропускання визначається рівністю

.

Звідси слідує

,

так що .

Основна частина команд вводиться в командному вікні середовища Matlab. Команди, які необхідно використовувати в інших вікнах, позначені іконками відповідних програм.

Етап виконання завдання	Команди та ілюстрації
1. Очистіть робочий простір Matlab (пам'ять).	clear all
2. Очистіть вікно Matlab.	clc
3. Введіть передаточну функцію .	F = tf(1, [1 1])
4. Використовуючи функцію norm, розрахуйте СКВВ виходу цієї системи при одиничному білому шумі на вході.	norm ( F )
5. Розрахуйте дисперсію виходу системи при одиничному білому шумі на вході.	norm ( F )^2
6. Знайдіть полосу пропускання цієї системи (в рад/с).	bw = bandwidth ( F )
7. Знайдіть рекомендований максимальний інтервал кореляції для моделювання за формулою	tau = 2*pi/100/bw
8. Завантажте Simulink та створіть нову модель. Встановіть час моделювання 100 с (меню Simulation - Simulation Parameters - Stop Time).	на панелі інструментів, у вікні Simulink
9. Додайте в модель блоки Band-Limited White Noise (білий шум з обмеженою полосою, група Sources) та Scope (осцилограф, група Sinks). Встановіть для білого шуму параметр Noise Power (потужність) рівну 1. Завантажте модель та подивіться, що представляє собою цей сигнал.
10. Під'єднайте блоки Auto Correlator (автокореляційна функція) та Power Spectral Density (спектральна щільність) з групи Simulink Extras - Additional Sinks). Подивіться властивості цього сигналу.
11. Додайте в схему ланку з передаточною функцією так, як показано на схемі.
12. В параметрах блока Band-Limited White Noise зменшите час кореляції (Sample Time) до значення, розрахованого в п. 7. Для цього можна ввести в потрібне поле імя змінної tau.
13. Відкрийте вікно осцилографа, натисніть кнопку та налаштуте параметры так, як показано на рисунку. На вкладці General в списку Sampling оберіть варіант Sampling time (встановіть інтервал вручну), а в сусідньому полі введіть ім'я змінної tau. На вкладці Data history треба прибрати флажок Limit data points to last, встановіть флажок Save data to workspace, ввести ім'я змінної out та вибрати формат даних Array. Завантажте моделювання.
14. перейдіть у вікно Matlab, знайдіть СКВВ та дисперсію сигналу на виході ланки. Порівняйте їх із значеннями, отриманими в п. 4 и 5 за теоретичними формулами. Розрахуйте відносну похибку при визначенні СКВВ за допомогою моделювання.	t = out(:,1); y = out(:,2); std ( y ) var ( y )
15. У вікні блока Auto Correlator подивіться, як виглядає кореляційна функція процесу, визначена за результатами моделювання.
16. Розрахуйте автокореляційну функцію на виході, використовуючи функції Matlab, та побудуйте її графік. Порівняйте його з теоретичною кореляційною функцією . Зручно створити новий m-файл та записати в нього такі команди (без номерів рядків): 1R = xcorr(y)/length(y); 2Rplus = R(floor(length(R)/2):end); 3 M = 200; 4 t = t(1:M); Rplus = Rplus(1:M); 5 R_teor = 0.5*exp(-abs(t)); 6 figure(1); 7plot(t, R, t, R_teor) 8xlim([0 max(t)]);
17. Під'єднайте блок Averaging Power Spectral Density (усереднена спектральна щільність) з групи Simulink Extras - Additional Sinks). Виконайте моделювання ще раз та порівняйте спектри, отримані за допомогою двох різних блоків. Зробіть висновки.
18. Побудуйте спектральну щільність сигналу для частот від 0 до 5 рад/с. За отриманими даними порівняйте її з теоретичною спектральною щільністю . 1T = t(2) - t(1); 2w = 0:0.02:5; 3Sw = []; Sw_teor =[]; 4for i=1:length(w) 5 Sw(i) = sum(Rplus .* cos(w(i)*t)); 6 Sw_teor(i) = 1 / (w(i)*w(i) + 1); 7end; 8Sw = 2*T*Sw; 9 figure(2); 10plot ( w, Sw, w, Sw_teor ); Коментар: 1 - знаходимо інтервал дискретизації (він повинен бути рівним tau) 2 - задаємо сітку частот, від 0 до 5 рад/с з кроком 0,02 рад/с 3 - звільняємо масиви 4-7 - цикл по всім обраним частотам 5 - знаходимо спектр як перетворення Фур'є кореляційної функції 6 - теоретичний спектр
19. Використовуючи формулу , за допомогою функції trapz (чисельне інтегрування методом трапецій), оцініть дисперсію по експериментальному та теоретичному спектрах. Поясніть результати, порівнявши їх із значеннями дисперсії, отриманими в п. 5.	trapz(w,Sw)/pi trapz(w,Sw_teor)/pi
20. Побудуйте згладжену оцінку кореляційної функції за допомогою вікна Хемінга. Для цього треба додати (в потрібне місце скрипта) команди hamm = 0.54 + 0.46*cos(pi*t/max(t)); Rhamm = Rplus .* hamm; та при побудові кореляційних функцій вивести третю лінію plot(t, Rplus, t, R_teor, t, Rhamm) Перенести у звіт отриманий графік.
21. Побудуйте оцінку спектральної щільності, використовуючи згладжену кореляційну функцію. На графіку мають бути три спектри (теоретичний, оцінка без згладжування і оцінка із згладжуванням). Скопіюйте графік в звіт.
22. Додайте в скрипт команди для оцінки спектральної щільності потужності за допомогою швидкого перетворення Фур'є (ШПФ) і виконаєте його. 1N = 2*pi/0.5/T; 2N = 2^nextpow2(N); 3Fw = T * fft(y, N); 4Sw_fft = Fw .* conj(Fw) / N / T; 5Sw_fft = Sw_fft(1:N/2+1); 6w1 = 2*pi*[0:N/2] / N / T; 7plot ( w, Sw_teor, w1, Sw_fft ); 8xlim([0 max(w)]); Порівняйте отриманий результат з теоретичною кривою. Зробіть висновки.
23. Повторіть побудову спектральної щільності, використовуючи вікно Хемінга з масштабуванням. Для цього додайте в скрипт наступні команди: 1scale = 1/sqrt(0.54^2 + 0.46^2/2); 2hamm = hamming(N) * scale; 3yHamm = y(1:N) .* hamm; 4Fw = T * fft(yHamm, N); 5Sw_fftHamm = Fw .* conj(Fw) / N / T; 6Sw_fftHamm = Sw_fftHamm(1:N/2+1); 7plot ( w, Sw_teor, w1, Sw_fft, w1, Sw_fftHamm ); 8xlim([0 max(w)]); Завантажити скрипт. Скопіюйте отриманий у звіт. Зробіть висновки.

Використовуючи наведену вище інформацію та дані отримані в попередній лабораторній роботі №2 виконати наступне (варіанти для розрахунків отримати у викладача):

- обчислити СКВВ і дисперсію на виході лінійної системи, що збуджується одиничним білим шумом;

- змоделювати випадкові процеси, використовуючи як джерело сигналу білий шум (з обмеженою смугою);

- оцінити СКВВ і дисперсію випадкового процесу, отриманого при моделюванні;

- обчислити автокореляційну функцію випадкового процесу;

- обчислити спектральну щільність випадкового процесу по відомій кореляційній функції;

- використати швидке перетворення Фур'є (ШПФ) для оцінки спектральної щільності випадкового процесу;

- використати спектральні вікна для згладжування оцінки спектральної щільності випадкового процесу.

4. Дослідження випадкових процесів за допомогою формуючих фільтрів

Мета роботи: ознайомитись з методами математичного опису та моделювання випадкових збурень на прикладі морського хвилювання, використовуючи програмне середовище MATLAB.

Морське хвилювання - це коливання поверхні води, викликані вітром (а також приливами, відливами і іншими причинами). Проста модель морського хвилювання - гармонійні коливання поверхні, коли хвилева ордината (вертикальна координата точок поверхні) змінюється за законом синуса. Таке хвилювання називають регулярним (штрихова лінія на рис. 4.1)

Проте, насправді хвилева ордината міняється по складнішому закону, його можна (знову-таки приблизно) представити як суму великої кількості гармонік (синусоїд) з різними амплітудами і фазами (теоретично - це сума безконечного числа гармонік). Це так зване нерегулярне хвилювання, яке найчастіше описується як випадковий процес. Можна передбачити, випадкові хвилеві ординати розподілені по нормальному закону, і це дійсно підтверджується експериментами. При цьому щільність розподілу висот відповідає закону Релея.

Існують два типи моделей нерегулярного хвилювання, двомірна і тривимірна. У двомірній моделі передбачається, що гребені хвиль мають безконечну довжину і переміщаються паралельно один одному в одному напрямі (рис. 4.2а). Кожен, хто бачив реальне хвилювання, знає, що на практиці це не так. Точніша (але і складніша) тривимірна модель враховує складання безлічі двомірних хвиль, що йдуть у різних напрямах (рис. 4.2б).

Строго кажучи, хвилювання - це нестаціонарний процес. Воно починається з брижів, потім вітер за рахунок завихорень потоків повітря розганяє хвилі. Але якщо вітер з постійними властивостями діє досить тривалий час (декілька годин) на великій акваторії (десятки кілометрів), можна говорити про розвинене (сталому) хвилювання, яке вважають стаціонарним ергодичним процесом. Такий підхід дозволяє використовувати методи аналізу випадкових процесів на основі кореляційних функцій і спектральних щільностей.

Під терміном "спектр морського хвилювання" зазвичай розуміють спектральну щільність хвилевої ординати. З експериментальними даними краще всього узгоджуються експоненціальні спектри вигляду:

, (4.1)

де параметри , характеризують інтенсивність хвилювання, а та залежать від його особливостей

Уявні спектри.

До цього ми розглядали спектри хвилювання без врахування руху судна. Очевидно, що рухатися проти хвилювання важче, ніж "по хвилі", а рух судна "лагом" до хвилі (при бортовій хвилі) викликає сильну хитавицю. Це означає, що ефект дії хвилювання на судно залежить від швидкості і напряму його руху по відношенню до основного напряму поширення хвиль. Математично це виражається в зміні спектральній щільності збурення.

У фізиці добре відомий ефект Доплера, який полягає в тому, що при русі датчика виміряна ним частота хвилі змінюється залежно від його власної швидкості згідно із законом

,

де - дійсна частота хвилі, - уявна (виміряна) частота, - швидкість руху датчика у напрямі джерела хвиль, а - швидкість поширення самих хвиль. При русі судна проти хвилювання () уявна частота хвиль, буде більша, ніж достеменна, а при русі "по хвилюванню" () - менше достеменною.

З гідродинаміки відомо, що швидкість поширення хвилі з частотою (на глибокій воді) дорівнює

.

Крім того, якщо судно рухається з швидкістю (м/с) під кутом до напряму поширення хвиль (вважається, що відповідає руху проти хвилі), воно наближається до джерела з швидкістю

.

Таким чином, формула перетворення дійсної частоти в уявну набуває вигляду:

, (4.2)

Якщо судно "втікає" від хвиль, то при збільшенні швидкості уявна частота, обчислена за цією формулою (4.2), виявляється від'ємною це означає, що судно обганяє хвилі. Тому для того, щоб працювати лише з додатними частотами, потрібно узяти модуль вираження в правій частині. Остаточно отримуємо:

, (4.3)

де

- фактор відносного руху. Отже, складову хвилювання з частотою судно буде сприймати з уявною частотою .

Щоб побудувати уявний спектр потрібно навчитися вирішувати зворотну задачу - по заданій уявній частоті , визначити частоту (або частоти!) вихідного спектру, які судно сприймає як . Використовуючи (4.3), формально отримуємо два квадратні рівняння:

та , (4.4)

Нас цікавлять всі дійсні та додатні розв'язки цих рівнянь (фактично таких "відповідних" частот може бути від однієї до трьох).

Припустимо, що судно йде під гострим кутом до хвилі, так що і . В цьому випадку перше рівняння в (4.4) свідомо не має відповідних рішень (оскільки ), а друге має лише одне додатне рішення. На рис. 4.3 зліва наведено графік функції, який ясно показує, що одній уявній частоті , відповідає лише одна частота вихідного спектру і навпаки.

Тепер припустимо, що судно йде під тупим кутом до хвилі ("втікає" від хвиль), так що і . На рис. 4.3 праворуч показаний графік функції

для цього випадку. Використовуючи знання шкільної математики, легко побачити, що парабола пересікає вісь при

,

а її вершина знаходиться в точці . Всі хвилі з частотами більше судно випереджає, тому уявна частота стає від'ємною.

Якщо уявна частота менше максимальної (рівної ), то енергія хвиль на трьох частотах (, та ) складається на частоті уявного спектру. Якщо , залишається лише одне рішення - .

Основна частина команд вводиться в командному вікні середовища Matlab. Команди, які необхідно використовувати в інших вікнах, позначені іконками відповідних програм.

Етап виконання завдання	Команди та ілюстрації
1. Очистіть робочій простір Matlab (пам'ять) та вікно вводу-виводу.	clear all clc
2. Створіть новий m-файл (скрипт). Задайте в ньому висоту хвилі 3%-ої забезпеченості та діапазон частот (від 0 до 5 рад/с): h3 = 2; % для волнения 4-5 баллов w = 0.01:0.01:5; % массив частот
3. Додайте в скрипт команди для розрахунку параметрів хвилювання Dr = 0.0356*h3^2; % дисперсія хвилевої ординати, кв.м Ts = 3.1*sqrt(h3); % середній період хвилювання, с ws = 2*pi/Ts; % середня частота хвилювання, рад/с wm = 0.71*ws; % частота максимума спектра, рад/с
4. Додайте в скрипт команди для розрахунку спектру для заданого діапазону частот та побудови графіка. Збережіть скрипт та завантажте його на виконання клавішею F5. Smkob = []; for i=1:length(w) Smkob(i) = 7.06*pi*Dr/ws*(wm/w(i))^5*exp(-0.25*(wm/w(i))^4); end; plot(w, Smkob);
5. Додайте в скрипт команди для розрахунку приблизного спектру, окий описується дробово-раціональною функцією . Змініть команду plot так, щоб побачити два спектра на одному графіку. Завантажте скрипт на виконання. beta = wm / 1.02; alpha = 0.21*beta; a2 = alpha^2; b2 = beta^2; ab2 = a2 + b2; Sapp = []; for i=1:length(w) Sapp(i)=4*Dr*alpha*w(i)^2/(w(i)^4+2*(a2-b2)*w(i)^2+ab2^2); end; plot(w, Smkob, w, Sapp); Порівняйте два спектра та зробіть висновки про помилки апроксимації для низьких та високих частот.
6. Побудуйте формуючий фільтр для дробово-раціонального спектру : gamma = 2*sqrt(Dr*alpha); delta0 = a2 + b2; delta1 = 2*alpha; H = tf([gamma 0], [1 delta1 delta0])
7. Перевірте, що функція співпадає з спектральною щільністю , яка відповідає формуючому фільтру: S = tf( [-4*Dr*alpha 0 0], [1 0 2*(b2-a2) 0 (a2+b2)^2]) SH = H*H'
8. Створіть нову модель в Simulink, додайте в неї джерело білого шуму (Band Limited White Noise, група Sources), передаточну функцію (Transfer Fcn, група Continuous), осцилограф (Scope, група Sinks) та блок для побудови усередненої спектральної щільності (Averaging Power Spectral Density, група Simulink Extras/Sinks) .
9. В командному вікні Matlab розрахуйте інтервал кореляції для джерела білого шуму, враховуючи, що спектр сигналу знаходиться полосі частот від 0 до 5 рад/с.	tau = 2*pi/100/5
10. Введіть параметри джерела білого шуму та формуючого фільтру як показано на рисунку праворуч.
11. Виконайте моделювання та подивіться на отриманий сигнал і його спектр (блоки Scope та Averaging Power Spectral Density).
12. Тепер подивіться як зміняться спектр збурень при різних кутах зустрічі судна з хвилею. Створіть новий m-файл з ім'ям mkob.m; ця функція розраховує спектр для заданого масиву частот: function S = mkob ( h3, w ) Dr = 0.0356*h3^2; % дисперсія хвилевої ординати, кв.м Ts = 3.1*sqrt(h3); % середній період хвилювання, с ws = 2*pi/Ts; % середня частота хвилювання, рад/с wm = 0.71*ws; % частота максимума спектра, рад/с S = []; for i=1:length(w) S(i) = 7.06*pi*Dr/ws*(wm/w(i))^5*exp(-1.25*(wm/w(i))^4); end;
13. Створіть новий скрипт та визначите в ньому параметри руху та хвилювання: v = 6; % скорость судна, м/с ksi = 45*pi/180; % угол встречи с волной, радианы h3 = 2; % высота волны 3%-ной обеспеченности wk = 0.01:0.01:3; % массив частот
14. Д команди для розрахунку уявного спектру хвилювання: a = v*cos(ksi)/9.81; % фактор відносного руху Sk = []; for i=1:length(wk) Sk(i) = 0; w = [roots([a 1 wk(i)]); roots([a 1 -wk(i)])]; for r=1:4 if imag(w(r))==0 && real(w(r))>0 Sk(i) = Sk(i) + mkob(h3, w(r)) / abs(1 + 2*w(r)*a); end; end; end;
15. Побудуйте на одному графіку істинний та уявний спектри і порівняйте їх: plot(wk, mkob(h3,wk), wk, Sk);
16. Порівняйте дисперсію хвилевої ординати для уявного спектра хвилювання з заданою дисперсією: fprintf('Dr = %g\n', Dr) fprintf('Dr(Sk): %g\n', trapz(wk,Sk)/pi )
17. Змініть значення кута зустрічі з хвилею на 135 градусів та завантажте скрипт ще раз. Поясніть отримані результати.
18. Тепер подивіться, як зміняться дробово-раціональні спектри, які було використано при розрахунках та моделюванні. Створіть новий скрипт та додайте в нього ті ж самі вихідні дані, що і в п. 13, v = 6; % швидкість судна, м/с ksi = 45*pi/180; % кут зустрічі з хвилею, радіани h3 = 2; % висота хвилі 3%-ої забезпеченності w = 0.01:0.01:3; % массив частот а також команди для розрахунку характеристик хвилювання: Dr = 0.0356*h3^2; % дисперсія хвилевої ординати, кв.м Ts = 3.1*sqrt(h3); % середній період хвилювання, с ws = 2*pi/Ts; % середня частота хвилювання, рад/с wm = 0.71*ws; % частота максимума спектра, рад/с a = v*cos(ksi)/9.81; % фактор відносного руху
19. Додайте в скрипт команди для розрахунку вихідного спектра: beta = wm / 1.02; alpha = 0.21*beta; a2 = alpha^2; b2 = beta^2; ab2 = a2 + b2; S = []; for i=1:length(w) S(i)= 4*Dr*alpha*w(i)^2/(w(i)^4+2*(a2-b2)*w(i)^2+ab2^2); end; уявної частоти максимума спектра wmk = wm*abs(1 + a*wm); та уявного спектра betak = wmk / 1.02; alphak = 0.21*betak; a2k = alphak^2; b2k = betak^2; ab2k = a2k + b2k; Sk = []; for i=1:length(w) Sk(i)=4*Dr*alphak*w(i)^2/(w(i)^4+2*(a2k-b2k)*w(i)^2+ab2k^2);

Страница:

•  1 
•  2 

методичка "Основи статистичної динаміки систем управління" скачать

Подобные документы

• Дослідження лінійної безперервної системи автоматичного керування

  Властивості та функціональне призначення елементів системи автоматичного керування. Принцип дії, функціональна схема, рівняння динаміки. Синтез коректувального пристрою методом логарифмічних частотних характеристик. Граничний коефіцієнт підсилення.
  
  курсовая работа [2,9 M], добавлен 22.09.2013
  

• Аналіз динамічних характеристик гідравлічного приводу

  Опис принципової схеми та принципу дії гідравлічного слідкуючого приводу. Складання рівнянь динаміки системи автоматичного керування та їх лінеаризація. Створення структурної схеми даної системи та аналіз її стійкості. Побудова частотних характеристик.
  
  курсовая работа [252,1 K], добавлен 31.07.2013
  

• Передаточні функції динамічних ланок

  Визначення передаточних функцій, статичних та динамічних характеристик об’єкта регулювання. Структурна схема одноконтурної системи автоматичного регулювання. Особливості аналізу стійкості, кореляції. Годограф Михайлова. Оцінка чутливості системи.
  
  курсовая работа [1,1 M], добавлен 10.01.2015
  

• Дослідження класифікаційних ознак сигналів дефектів при магнітній дефектоскопії залізничних рейок

  Застосування неруйнівного контролю для визначення показників якості матеріалів без порушення їх властивостей та функціонування. Класифікація сигналів та методів дефектоскопії. Аналіз придатності виробів на підставі норм бракування та умов експлуатації.
  
  курсовая работа [283,3 K], добавлен 11.09.2014
  

• Розробка одноконтурної автоматичної системи регулювання (АСР)

  Проблеми забезпечення необхідних властивостей лінійних автоматичних систем. Застосовування спеціальних пристроїв, для корегування динамічних властивостей системи таким чином, щоб забезпечувалася необхідна якість її функціонування. Методи їх підключення.
  
  контрольная работа [605,5 K], добавлен 23.02.2011
  

• Розрахунок та дослідження лінійної та каскадної системи автоматичного регулювання парокотельної установки на заданий запас стійкості

  Мета впровадження автоматичних систем управління у виробництво. Елементи робочого процесу в парокотельній установці. Вибір структури моделі об'єкта регулювання та розрахунок її параметрів. Розрахунок параметрів настроювання автоматичних регуляторів.
  
  курсовая работа [986,6 K], добавлен 06.10.2014
  

• Теоретичні основи теплотехніки

  Характеристика основних положень термодинаміки. Аналіз термодинамічних процесів ідеального газу. Поняття, структура та призначення теплового насосу. Принцип розрахунку теплообмінних апаратів. Методи термодинамічного аналізу енерго-технологічних систем.
  
  учебное пособие [2,5 M], добавлен 28.11.2010
  

• Автоматична система регуляції температури пари на виході з котла-утилізатора

  Опис видів котлів-утилізаторів і характеристика автоматичної системи регуляції температури перегрітої пари на виході з котла-утилізатора КУ-80. Розрахунок метрологічних характеристик вимірювальних каналів АСР. Структурна схема функцій і надійності АСР.
  
  дипломная работа [1,4 M], добавлен 31.03.2011
  

• Підвищення якості сертифікаційних випробувань в лабораторії

  Основи управління якістю та її забезпечення в лабораторіях. Виникнення систем управління якістю. Поняття якості результатів діяльності для лабораторії. Розробка системи управління якістю випробувальної лабораторії. Проведення сертифікаційних випробувань.
  
  дипломная работа [4,0 M], добавлен 15.12.2011
  

• Автоматизація процесу виготовлення бетонних сумішей

  Автоматизація роботи підприємств по виготовленню бетонних ростворів, автоматичне управління технологічним процесом. Теоретичні основи технологічного процесу в окремих технологічних апаратах і машинах. Розроблення системи автоматичного керування.
  
  курсовая работа [2,5 M], добавлен 26.09.2009
  

Другие документы, подобные "Основи статистичної динаміки систем управління"

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам