Розв’язання основних та мішаних крайових задач термопружності для багатошарових основ

Размещено на http://allbest.ru

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Розв'язання основних та мішаних крайових задач термопружності для багатошарових основ

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

багатошаровий деформація функція

Актуальність теми. Математичне моделювання складених конструкцій представляє інтерес для інженерної практики. Пружними багатошаровими основами зручно моделювати об'єкти, у яких пружні властивості неперервно змінюються з глибиною або описуються кусково-постійними функціями. Прикладами таких об'єктів є дорожній одяг, підлоги промислових будинків, аеродромні покриття і тому подібне. У процесі експлуатації такі конструкції знаходяться під дією різних фізико-механічних полів, які впливають одне на одне. При розрахунках на міцність реальних інженерних об'єктів необхідно враховувати цей вплив. Таким чином, розробка способів визначення характеристик фізико-механічних полів у багатошарових основах є актуальною задачею.

На практиці для розв'язання задач термопружності для неоднорідних тіл, як правило, використовують чисельні методи. Прості аналітичні розв'язки задач механіки деформівного твердого тіла для неоднорідних по глибині основ відомі тільки в найпростіших випадках. Перевагою аналітичних методів є можливість отримання функціональної залежності шуканих величин від навантажень, пружних та температурних характеристик, геометричних параметрів. Окрім того, аналітичні розв'язки можуть використовуватися як тестові для оцінки вірогідності чисельних методів та можливості застосування спрощуючих гіпотез.

Отже, побудова точних розв'язків основних граничних задач термопружності для багатошарових основ, які досить легко можна реалізувати за допомогою комп'ютера, є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов'язані з фундаментальною дослідницькою роботою 11/04 «Розробка точних аналітичних методів розв'язку граничних задач теорії пружності для багатошарових середовищ» (№ держреєстрації 0103У000718, 2004-2005 рр. на підставі рішення науково-експертної ради), яка фінансується Міністерством освіти і науки України. Частина результатів дисертації ввійшла в річний звіт зазначеної НДР за 2004-2005 роки.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова аналітичних розв'язків основних і наближених розв'язків мішаних граничних задач термопружності для багатошарових основ з будь-якою скінченною кількістю шарів.

Для досягнення цієї мети було необхідно:

· розробити спосіб отримання надійних чисельних результатів у задачі про деформацію термопружної багатошарової основи в рамках незв'язної стаціонарної термопружності;

· запропонувати спосіб наближеного розв'язання мішаних граничних задач для термопружних багатошарових основ з будь-якою скінченною кількістю шарів;

· реалізувати за допомогою персонального комп'ютера отримані розв'язки та розв'язати конкретні задачі;

· проаналізувати вплив характеристик багатошарових основ на розподіл температур, напружень та переміщень у шарах основи; виявити нові механічні ефекти.

Об'єктом дослідження є стаціонарний термонапружено-деформівний стан багатошарової основи з будь-якою скінченною кількістю шарів.

Предметом дослідження є розробка ефективних аналітичних методів визначення напружень, переміщень та температури точок багатошарової основи в рамках незв'язної стаціонарної теорії термопружності, а також наближених розв'язків мішаних задач.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої в роботі мети було використано ряд математичних методів. Для отримання розв'язку першої основної граничної задачі незв'язної стаціонарної термопружності для багатошарової основи використано методи інтегральних перетворень Фур'є, Ханкеля, Лапласа та узагальнено метод функцій податливості. При проведенні інтегральних перетворень для обчислення інтегралів використовувався метод Файлона, а також метод апроксимації функцій. Розв'язання мішаних задач термопружності для багатошарових основ зводилось до інтегральних рівнянь. Для чисельної реалізації розв'язків отриманих інтегральних рівнянь використовувались методи скінченних сум, поточкової колокації та ортогональних поліномів.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень і висновків дисертаційної роботи забезпечується коректною математичною постановкою задач, строгістю та обґрунтованістю використаних математичних методів. При тестуванні створених автором програм розв'язання основних граничних задач термопружності перевірялось виконання граничних умов і умов спряження шарів. Аналітичні розв'язки для випадку півпростору збігаються з відомими результатами, отриманими без використання методу функцій податливості. Усі одержані чисельні результати не суперечать очікуваній фізичній картині. У випадку, коли температура не враховується, отримані результати збігаються з відомими результатами для пружних основ.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в такому:

· метод функцій податливості дослідження деформації пружних основ вперше поширено на випадок термопружної деформації багатошарових основ із будь-якою скінченною кількістю шарів;

· у дисертації та публікаціях автора вперше побудовані і досліджені функції податливості для термопружних багатошарових основ;

· запропоновано метод аналітичного розв'язання першої, другої основних граничних задач термопружності плоскої та просторової деформації багатошарової основи з будь-якою скінченною кількістю шарів;

· отримані точні розв'язки основних граничних задач (у вигляді невласних інтегралів), складено програми для їх чисельної реалізації на комп'ютері;

· побудовані інтегральні рівняння мішаних задач для розглянутих термопружних багатошарових основ (у випадку плоскої і осесиметричної деформацій), виділено сингулярні частини ядер;

· запропоновано наближений метод розв'язання отриманих рівнянь;

· для інтегрального рівняння плоскої мішаної задачі встановлено умови існування розв'язку;

· частково проаналізовано вплив характеристик шарів на термо-напружено-деформівний стан пружних неоднорідних основ.

Практичне значення отриманих результатів. Одержані в роботі результати дозволяють обчислити напруження, переміщення та температуру в точках багатошарової основи в рамках незв'язної теорії термопружності. Результати роботи отримані у вигляді інтегралів Фур'є, які можна обчислити з будь-якою точністю, тому запропоновану методику можна застосовувати для тестування наближених методів розв'язання граничних задач термопружності для багатошарових основ. Розроблені в дисертації алгоритми та створені програми для персонального комп'ютера дозволяють дослідити вплив пружних та температурних характеристик шарів основи на її термо-напружено-деформівний стан.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на

· щорічних наукових конференціях Запорізького національного університету 2003-2007 рр.;

· наукових семінарах кафедри алгебри і геометрії Запорізького національного університету 2003-2007 рр.;

· ІV Всеукраїнській науковій конференції «Математичні проблеми технічної механіки», м. Дніпропетровськ, 2004;

· другій регіональній науковій конференції молодих дослідників «Актуальні проблеми математики та інформатики», м. Запоріжжя, 2004;

· десятій міжнародній науковій конференції ім. академіка М.Кравчука, м. Київ, 2004;

· конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я.С. Підстригача, м. Львів, 2005;

· ІІІ Міжнародній конференції «Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла», м. Донецьк, 2005.

Повністю дисертаційна робота розглядалася на

· міжвузівському науковому семінарі «Актуальні проблеми прикладної механіки та математики», м. Запоріжжя, 2005, 2007 рр.; (керівник - д.т.н., проф. Грищак В.З.);

· семінарі кафедри теоретичної і прикладної механіки Дніпропетровського національного університету, м. Дніпропетровськ, 2006 р. (керівник - д.ф.-м.н., проф. Лобода В.В.);

· науковому семінарі «Математичне моделювання та методи дослідження термомеханічних процесів» відділу термомеханіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача, м. Львів, 2006 р. (керівник - д.ф.-м.н., проф. Кушнір Р.М.);

· семінарі кафедри програмного забезпечення автоматизованих систем Запорізької державної інженерної академії, м. Запоріжжя, 2006 р. (керівник - д.ф.-м.н., проф. Пожуєв В.І.);

· міжвузівському науковому семінарі при кафедрі прикладної математики та математичного моделювання Херсонського національного технічного університету, м. Херсон, 2006 р. (керівник - д.ф.-м.н., проф. Хомченко А.Н.);

· науковому семінарі кафедри теорії пружності та обчислювальної математики Донецького національного університету, м. Донецьк, 2008 р. (керівник - д.ф.-м.н., проф. Калоєров С.О.).

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 10 наукових роботах. Із них - шість статей [1-6] (п'ять - статті в наукових виданнях, затверджених ВАК України фаховими [1-5]), чотири - тези наукових конференцій [7-10].

Роботи [1-3, 6] написані у співавторстві з науковим керівником - доцентом Величком І.Г. У них автору належать отримання розрахункових формул, створення програм розрахунку для персонального комп'ютера, проведення чисельних експериментів, участь в обговоренні отриманих результатів.

Особисто автору належать такі, включені до дисертаційної роботи і публікацій, результати:

· отримання аналітичного (у квадратурах) розв'язку основних граничних задач про розподіл температури, напружень та переміщень у багатошаровій основі з будь-якою скінченною кількістю шарів у випадку плоскої та просторової деформації;

· побудова і дослідження функції податливості для термопружної багатошарової основи;

· отримання і розробка способів наближеного розв'язання інтегральних рівнянь для визначення невідомої функції теплового потоку (мішана задача) та контактних напружень (контактна задача);

· створення програм для комп'ютера в середовищі Maple для чисельних розрахунків. Проведення та аналіз результатів чисельних експериментів.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатка. Загальний обсяг дисертації становить 181 сторінку. Дисертація містить 42 рисунка, які розташовані на 31 сторінці. Список використаних джерел займає 22 сторінки і складається із 223 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертаційної роботи обґрунтовано актуальність теми роботи; сформульовано мету і задачі дослідження; показано наукову новизну, теоретичне та практичне значення отриманих результатів; зазначено зв'язок дисертації з науковими програмами, планами, темами; вказано особистий внесок здобувача; стисло викладено зміст дисертації.

Перший розділ присвячено огляду стану проблеми, що досліджується. Наведено аналіз праць вчених, які здійснили істотний внесок у розвиток теорії пружних та термопружних багатошарових середовищ. Серед них Б.В. Аверін, Є.В. Алтухов, М.Є. Бабешко, В.Г. Барило, С.Г. Блажевський, В.В. Болотін, Н.М. Бородачов, М.I. Бугрiй, Я.Й. Бурак, І.Г. Величко, В.М. Вігак, В.Г. Габрусев, В.М. Галазюк, А.З. Галішин, Ю.Я. Годес, М.І. Горбунов-Посадов, В.Ф. Грибанов, Е.І. Григолюк, Д.В. Гриліцький, О.М. Гузь, І.О. Гузь, О.О. Євтушенко, С.О. Калоєров, В.Г. Карнаухов, Т.В. Карнаухова, Г.С. Кіт, І.Ф. Киричок, О.Д. Коваленко, В.І. Козлов, Г.Б. Колчин, Ю.М. Коляно, І.М. Конет, В.Ф. Кондрат, Б.Г. Коренев, В.П. Корж, О.С. Космодаміанський, В.О. Кудінов, В.Д. Купрадзе, Р.М. Кушнір, В.Д. Ламзюк, М.П. Ленюк, В.О. Ломакін, Т.А. Маліков, Р.М. Мартиняк, В.А. Мерзляков, І.А. Мотовиловець, С.П. Нагалка, Т.С. Нагірний, В.І. Наумов, Б.Ю. Неміш, Ю.М. Неміш, Н.Р. Панічкін, І.В. Панферов, В.І. Петрішин, Я.С. Підстригач, В.В. Піскун, Ю.М. Подильчук, А.К. Приварников, І. Прохоренко, Б.В. Процюк, І.О. Прусов, Я.Д. П'янило, О.В. Пятецька, Р.М. Раппопорт, О.О. Рассказов, Ю.В. Ревенко, В.М. Семерак, В.І. Соломін, В.А. Стулєй, Е.А. Ткаченко, Ю.В. Токовий, Г.Н. Третьяченко, І.Н. Турчин, О.І. Уздальов, Е.А. Фаверман, Г.А. Фень, Є.Я. Чапля, В.Ф. Чекурін, В.М. Чехов, Ю.О. Шевляков, В.А. Шевчук, Б.Г. Шелестовський, Ю.М. Шевченко, О.Я. Шехтер, J.L. Barber, R.C. Batra, C.K. Chao, Z.-Q. Cheng, T. Elperin, Furukawa Toshio, B. Gao, D.L. George, D. Joachim-Ajao, L.G. Hector, Nakanishi Hiroshi, G.S. Mishuris, G. Rudin, V.V. Silberschmidt, I.N. Sneddon, Uneyama Hiroshi, S.P. Wu та інші.

За результатами аналізу літератури зроблено такі висновки. Існує суттєвий інтерес інженерів і дослідників до проблеми термопружної деформації багатошарової основи, про що свідчить велика кількість публікацій. Більша частина публікацій присвячена або чисельним методам, або розв'язку задач термопружності при спрощуючих гіпотезах, що говорить про складність аналітичного розв'язку цієї задачі в точній постановці. Об'єктом дослідження майже всіх публікацій, у яких розглядаються точні методи розв'язання задач термопружності, є або термопружний півпростір, або термопружний шар. Це пов'язано з тим, що врахування великої кількості шарів стикається з суттєвими математичними труднощами. Існують лише окремі статі, в яких розглядаються більш ніж двошарові основи.

Велике практичне значення мають розв'язки контактних задач, які враховують вплив температурного поля. Майже у всіх роботах як основа виступає або термопружний півпростір або шар. Реальні конструкції більш точно наближаються багатошаровими середовищами, проте відповідні задачі в літературі майже відсутні. Це пов'язано зі складністю аналітичних розв'язків основних граничних задач термопружності.

Таким чином, перенесення методу функцій податливості, який раніше ефективно застосовувався для пружних багатошарових основ, на випадок термопружних багатошарових основ є важливою та актуальною задачею.

У другому розділі розглядається плоска деформація термопружної багатошарової основи. Під терміном «термопружна багатошарова основа» розуміється пружна багатошарова основа, яка зазнає термопружної деформації. Дослідження проводиться в рамках теорії незв'язної стаціонарної термопружності. Багатошарова основа - це пакет, складений зі скінченної кількості шарів, який лежить на абсолютно жорсткому півпросторі. Шар - це частина простору, обмежена двома паралельними площинами. Усі шари є однорідними, невагомими та ізотропними. Кожен шар характеризується товщиною , двома пружними константами (модулем зсуву) та (коефіцієнтом Пуассона), коефіцієнтом теплопровідності та коефіцієнтом теплового розширення .

Нумерація шарів проводиться зверху вниз, починаючи з одиниці. Для -шарової основи півпростір має номер . Усі величини, які відносяться до шару з номером , позначаються відповідним індексом. У кожному шарі введено локальну декартову систему координат з початком на верхній межі шару так, щоб усі осі лежали на одній прямій, а осі були паралельні .

На межі багатошарової основи окрім температури відомі напруження або переміщення. На межі абсолютно жорсткого півпростору підтримується нульова температура. Усі шари в основі зчеплені. Треба знайти напруження, переміщення і температуру для усіх точок основи.

Враховувалось, що напруження, які виникають у багатошаровій термопружній основі, складаються з суми двох напружень: ті, які виникають під дією зовнішніх зусиль (пружні напруження), та ті, які виникають через неоднорідне температурне поле в основі (температурні напруження). Оскільки розглядається незв'язна термопружність, то для визначення пружних напружень потрібно розв'язувати задачі теорії пружності, для яких існують ефективні методи. Тому в дисертації чисельні приклади побудовані для температурних напружень.

У дисертації доведено, що термонапружений стан будь-якого шару основи можна визначити, якщо відомі допоміжні функції шару, пов'язані з трансформантами Фур'є напружень, переміщень, температури та потоку на верхній межі шару:

, , ,

. (2.35)

Тут , , , - координати вектору переміщень, - температура, - параметр інтегрального перетворення. Таким чином, задача зводиться до знаходження шістки допоміжних функцій кожного шару. З умови контакту шарів отримано рекурентні співвідношення між допоміжними функціями сусідніх шарів. Це дозволило звести задачу до знаходження шістки допоміжних функцій першого шару. Безпосередньо з граничних умов ми можемо знайти лише три із них.

У роботі доведено, що допоміжні функції будь-якого шару пов'язані такими співвідношеннями:

, (2.19)

, (2.40)

де , , , .

Елементи матриць , та функції називаються функціями податливості. Функції та уведені автором дисертації. Функції податливості можуть бути побудовані до розв'язання конкретної задачі термопружності, оскільки вони не залежать від прикладених навантажень. У дисертаційній роботі описано спосіб знаходження цих функцій, описано їхні властивості. Формули (2.19) та (2.40) дозволяють визначити три невідомі допоміжні функції першого шару і тим самим розв'язати задачу.

При практичних розрахунках зручно використовувати вирази трансформант шуканих величин для деякого шару не через шістку допоміжних функцій цього шару, а через трійку допоміжних функцій та функції податливості цього шару. Вводяться модифіковані функції податливості як різниця між границями функцій податливості при прагненні параметрів інтегральних перетворень до нескінченності та самими функціями податливості. Для багатошарової основи, яка лежить на абсолютно жорсткому півпросторі, обчислення модифікованих функцій податливості за рекурентними співвідношеннями починається з функцій для півпростору, які тотожно рівні нулю. Наприклад, для модифікованої функції податливості маємо таке рекурентне співвідношення:

, (2.23)

де .

Вираз для температури через допоміжну функцію та функцію податливості має такий вигляд:

. (2.25)

Приділяється увага чисельній реалізації отриманих розв'язків. При проведенні оберненого інтегрального перетворення Фур'є відокремлюються доданки, які повільно спадають (вони обчислюються точно) та доданки, які містять модифіковані функції податливості (їх можна обчислити на комп'ютері з будь-якою точністю). При малій кількості шарів при проведенні оберненого перетворення використовуються явні вирази для функцій податливості. При великій кількості шарів функції податливості апроксимуються.

Отримано аналітичні розв'язки задачі для півплощини. Явні вирази для переміщень, напружень та температури співпали з наведеними в книзі Л.О. Галіна «Развитие теории контактных задач в СССР» результатами. Для випадку шару зчепленого з півпростором з ненульовою теплопровідністю отримані в дисертації результати збігаються з формулами, які наведені в монографії Я.С. Підстригача, В.О. Ломакіна та Ю.М. Коляно «Термоупругость тел неоднородной структуры».

Наведемо приклад розрахунку. Розглянемо двошарову основу, яка складається з бетонного та сталевого шарів. На верхній межі основи відома температура навантаження відсутні, тобто . Матеріали шарів основи мають такі характеристики: бетон: , , ; , ; сталь: , , , ; .

Размещено на http://allbest.ru

На рисунку 2.13 наведено нормовані нормальні напруження для композитуа «бетон-сталь» на спільний межі шарів для різних товщин бетонного шару. При розрахунках вважалось, що товщина сталевого шару є постійною і дорівнює 0,1 м.

Як можна побачити з рисунку, збільшення товщини бетону призводить до збільшення нормальних напружень практично у всій області спільної межі шарів. На спільній межі бетонного та сталевого шарів, яка знаходиться під зоною впливу температури, напруження є додатними, а при віддаленні від зони нагріву - від'ємними. При збільшенні товщини бетонного шару зона додатних напружень збільшується. Зауважимо, що при деяких співвідношеннях товщин шарів функція додатних нормальних напружень під зоною нагріву перестає бути монотонною.

Також розглянута деформація тришарової основи. На верхній межі основи задано температуру зовнішні навантаження відсутні. Шари основи мають однакові товщини й однакові термопружні характеристики за виключенням коефіцієнтів теплового розширення . Коефіцієнти .

Размещено на http://allbest.ru

На рисунку 2.15 зображено нормальні напруження на спільній границі першого та другого шарів (тобто для ) при рівних коефіцієнтах теплового розширення першого та третього шарів. Як бачимо, якщо коефіцієнт теплового розширення другого шару більше ніж коефіцієнти теплового розширення сусідніх шарів, то під зоною нагріву нормальні напруження є стискаючими. Коли ж коефіцієнти теплового розширення всіх шарів основи рівні (тобто маємо однорідну основу), то напруження близькі до нуля. Це не суперечить фізичному сенсу, оскільки для однорідної півплощини напруження при відповідному температурному навантаженні. Якщо ж менше ніж та , то нормальні напруження під зоною нагріву є додатними (тобто розтягуючими).

Размещено на http://allbest.ru

На рисунках 2.16, 2.17 для тришарової основи зображено нормальні напруження для різних коефіцієнтів та відповідно. Як бачимо, знак нормальних напружень не залежить від коефіцієнта теплового розширення третього шару, а абсолютна величина зростає зі збільшенням цього коефіцієнта.

Размещено на http://allbest.ru

Отже, аналізуючи розподіл напружень на нижній межі першого шару (рис. 2.15-2.17) під ділянкою нагріву, можна зробити такі спостереження. Якщо коефіцієнт теплового розширення першого шару більший за цей же коефіцієнт другого шару, то розглянуті напруження є розтягуючими. Якщо ці показники рівні, то напруження приблизно дорівнюють нулю, а якщо ж коефіцієнт теплового розширення другого шару більший ніж коефіцієнт теплового розширення першого шару, то напруження є стискаючими. Збільшення будь-якого з коефіцієнтів теплового розширення шарів призводить до збільшення за модулем нормальних напружень на межі першого та другого шарів під зоною нагріву.

Розглянуто десятишарову основу. Товщини шарів основи дорівнюють . Шари відрізняються лише коефіцієнтами теплопровідності, які пов'язані такими співвідношеннями . Граничні умови ,

Размещено на http://allbest.ru

На рисунку 2.19 наведено графік нормальних напружень , тобто в середині першого шару десятишарової основи.

Крім того, у дисертації досліджено термо-напружено-деформівний стан двошарової основи, шари якої відрізняються лише коефіцієнтами теплопровідності. Наведено графіки температури та напружень , і на спільній межі шарів при різних відношеннях коефіцієнтів теплопровідності шарів.

У третьому розділі «Просторова термопружна деформація багатошарової основи» за допомогою двомірного інтегрального перетворення Фур'є

 (3.10)

та узагальнення методу функцій податливості отримано точний розв'язок основних граничних задач про просторову термопружну деформацію багатошарової основи. Через допоміжні функції шарів

, , , ,

, , , , (3.32)

де , , ,

, ,

записані трансформанти напружень, переміщень та температури в основі, що розглядається. Побудовано функції податливості, досліджено їхні властивості. Як частинний випадок, розглянуто задачу про осесиметричну термопружну деформацію багатошарової основи. У випадку однорідного термопружного півпростору вирази для напружень та температури збігаються з формулами, отриманими в інший спосіб у монографії В. Новацького «Основы термоупругости».

Для прикладу розглянуто деформацію двошарової основи з такими характеристиками: товщини шарів , коефіцієнти теплового розширення та модулі зсуву рівні, . На верхній границі температура навантаження відсутні. На рисунку 3.9 наведено графіки температури при різних відношеннях . На рисунку 3.10 наведено розподіл нормальних напружень на різних глибинах.

Размещено на http://allbest.ru

Як приклад також розглянуто десятишарову основу, товщини шарів якої дорівнюють , коефіцієнти теплопровідності шарів зв'язані такими співвідношеннями

Размещено на http://allbest.ru

Коефіцієнти теплового розширення матеріалу та модулі зсуву рівні.

Размещено на http://allbest.ru

Граничні умови . Навантаження на верхній межі основи відсутні. На рис. 3.13 наведено графік нормальних напружень у середині та на нижній границі першого шару десятишарової основи.

У четвертому розділі розглянуто такі задачі: плоска мішана задача, осесиметрична мішана задача, плоска контактна задача та осесиметрична контактна задача. Під мішаною задачею розуміється задача про термопружну деформацію багатошарової основи, на частині межі якої відома температура, а на решті - тепловий потік. Пружні навантаження на верхній межі відсутні. У випадку, коли на багатошарову основу тисне нагрітий штамп, то мова йтиметься про контактну задачу. У дисертації розглядаються штампи тільки з плоскою підошвою. Для перелічених задач отримані інтегральні рівняння. Наприклад, плоска контактна задача зведена до інтегрального рівняння з додатковою умовою

(4.47)

де - невідомі контактні напруження,

,

,

- сила, під дією якої штамп вдавлюється в багатошарову основу, - функція, яка описує температуру в зоні дії штампа. У випадку контакту нагрітого штампа та пружної півплощини, отримано аналітичний розв'язок, що з точністю до позначень збігається з відомим розв'язком Н.М. Бородачова.

Інтегральне рівняння плоскої мішаної задачі термопружності для півпростору

, (4.10)

розв'язується за умов:

, (4.5)

, (4.16)

де - невідома функція потоку на ділянці , що є частиною верхньої межі основи, та - її парна та непарна складові відповідно; - задана функція температури на ділянці .

При розв'язанні отриманого інтегрального рівняння було використано доведену в дисертації теорему.

Теорема. Якщо парні функції та , задані на проміжку , пов'язані рівністю (4.10), то умови

(4.11)

та

. (4.12)

еквівалентні.

Запропоновані наближені способи розв'язання інтегральних рівнянь мішаних та контактних задач. У випадку плоскої контактної задачі (4.47) розв'язок шукається у вигляді:

, (4.51)

де - поліноми Чебишова.

Отримано систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих коефіцієнтів. Наведені приклади розрахунків основних і мішаних задач термопружності для багатошарових основ.

Розглянуто контактну задачу для тришарової основи у випадку плоскої деформації. Товщина всіх шарів основи дорівнює . Зона контакту штампа та основи - це проміжок . Штамп вдавлюється в багатошарову основу під дією сили . Коефіцієнти теплопровідності шарів рівні, тобто , та . Закон розподілу температури на верхній межі основи На рисунку 4.12 наведено графіки контактних напружень у випадку, коли шари основи мають рівні коефіцієнти теплового розширення та різні модулі зсуву: (крива 1), (крива 2); (крива 3). Розглядається основа, шари якої мають різні коефіцієнти теплового розширення: (крива 1), (крива 4); (крива 5). Модулі зсуву всіх шарів рівні. На рисунку 4.13 наведено напруження .

Зроблено висновок, що зміна пружних характеристик шарів більш істотно впливає на розподіл контактних напружень, ніж зміна термопружних характеристик.

Для випадку плоскої мішаної задачі для півпростору отримане інтегральне рівняння зводиться до рівняння Карлемана, яке можна розв'язати точно. Отриманий розв'язок збігається з формулою Н.М. Бородачова, але вираз записаний у іншій, більш простій, формі. Для випадку багатошарової основи запропоновано способи наближеного розв'язання отриманих інтегральних рівнянь, що ґрунтуються на методах скінченних сум, поточкової колокації та ортогональних поліномів. При розв'язанні рівнянь також враховуються інтегральні спектральні співвідношення для застосованих ортогональних поліномів.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота є науковою працею, у якій метод функцій податливості, що раніше застосовувався до розв'язання основних граничних задач для пружних багатошарових основ, перенесено на більш загальні об'єкти - термопружні багатошарові основи.

Основні наукові і практичні результати досліджень полягають у такому:

· У роботі запропоновано аналітичний спосіб розв'язання основних граничних задач статичної незв'язаної термопружності для основ з будь-яким скінченним числом шарів.

· Побудовано інтегральні рівняння для розв'язання деяких типів мішаних задач термопружності у випадку істотно багатошарових основ.

· У інтегральних рівняннях мішаних задач виділені сингулярні й регулярні частини ядер, що дозволило запропонувати ефективні способи їхнього розв'язання.

· Сформульовано умови можливості розв'язання інтегрального рівняння для плоскої змішаної задачі термопружності.

· Метод функцій податливості, що раніше застосовувався для пружних багатошарових основ, перенесений на випадок термопружних багатошарових основ.

· Досліджено властивості уведених у роботі нових функцій податливості.

· За допомогою запропонованого методу отримані відомі раніше розв'язки основних і мішаних граничних задач для півплощини й півпростору.

· Частково досліджено вплив характеристик шарів на термо-напружено-деформівний стан основ. Виявлені нові механічні ефекти, серед яких:

– можливість виникнення як розтягуючих, так і стискаючих нормальних напружень на загальній межі першого та другого шарів основи, яка знаходиться під областю локального нагріву верхньої межі двошарової основи;

– у тришаровій основі під нагрітим штампом з плоскою підошвою при збільшенні коефіцієнта теплового розширення середнього шару може відбуватися зростання контактних тисків;

– більш суттєвий вплив значень пружних характеристик, ніж термопружних, на розподіл контактних напружень при дії плоского нагрітого штампа на тришарову основу;

– та інші.

Вищеперелічене можна кваліфікувати як внесок у теорію термопружних багатошарових середовищ.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Величко І.Г. Плоска термопружна деформація багатошарової основи / І.Г. Величко, І.Г. Ткаченко // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Механіка. - 2004. - Вип. 8. - Т. 1, № 6. - С.154-161.

2. Величко І.Г. Просторова та осесиметрична термопружна деформація багатошарової основи / І.Г. Величко, І.Г. Ткаченко // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Механіка. - 2004. - Вип. 8. - Т. 2, № 6/2. - С.36-43.

3. Величко И.Г. Осесимметричная контактная задача термоупругости для многослойного основания / И.Г. Величко, И.Г. Ткаченко // Теорет. и прикл. мех. - 2005. - Вып. 41. - С.70-74.

4. Ткаченко І.Г. Двовимірна задача про контакт нагрітого штампа та багатошарової основи / І.Г. Ткаченко // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Механіка. - 2005. - Вип. 9. - Т. 1, № 10/1. - С.139-146.

5. Ткаченко І.Г. Двовимірна мішана задача термопружності для багатошарової основи / І.Г. Ткаченко // Прикладні проблеми механіки і математики. - 2005. - Вип. 3 - С.70-78.

6. Величко И.Г. Стационарная задача о распределении температуры в многофазной пластинке / И.Г. Величко, И.Г. Ткаченко // Вісник ЗДУ. Фізико-математичні науки. Біологічні науки. - 2004. - № 2. - С.16-20.

7. Ткаченко І.Г. Дослідження плоскої деформації термопружної багатошарової основи під дією температури / І.Г. Ткаченко // ІV Всеукр. наук. конф. «Математичні проблеми технічної механіки», 19-21 квітня 2004 р.: матеріали конференції. - Дніпропетровськ, 2004. - С.33.

8. Ткаченко И.Г. Определение напряжений в термоупругом двухслойном пакете, сцепленном с жесткой полуплоскостью / И.Г. Ткаченко // Друга регіональна наук. конф. молодих дослідників «Актуальні проблеми математики та інформатики», 22-23 квітня 2004 р.: зб. тез доповідей. - Запоріжжя, 2004. - С.56-57.

9. Ткаченко И.Г. Аналитическое решение задачи о распределение тепла в многофазной пластине / И.Г. Ткаченко // Десята міжнар. наук. конф. ім. академіка М.Кравчука, 13-15 травня 2004 р.: матеріали конференції. - К., 2004. - С.254.

10. Ткаченко І.Г. Дослідження плоскої деформації термопружної багатошарової основи / І.Г. Ткаченко // Конф. молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я.С. Підстригача, 24-27 травня 2005: тези доповідей. - Львів, 2005. - С.48.

Размещено на Allbest.ru