Математичне моделювання теплових процесів в областях з рухомими межами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТЕПЛОВИХ ПРОЦЕСІВ В ОБЛАСТЯХ З РУХОМИМИ МЕЖАМИ

01.05.02 - “Математичне моделювання та обчислювальні методи”

ГУБІН ОЛЕКСАНДР ІГОРОВИЧ

Дніпропетровськ - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара Міністерства освіти і науки України, м. Дніпропетровськ.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент

Веселовський Володимир Борисович

Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара,

доцент кафедри прикладної газової динаміки і тепломасообміну.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Рядно Олександр Андрійович

Дніпропетровська державна фінансова академія,

проректор з наукової роботи,

завідуючий кафедрою вищої математики і комп'ютерних технологій;

доктор технічних наук, професор

Недопьокін Федір Вікторович

Донецький національний університет,

професор кафедри фізики нерівноважних процесів, метрології та екології.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Велика кількість процесів теплообміну пов'язана зі зміною агрегатного стану або фізико-хімічної природи матеріалу. При цьому теплофізичні характеристики тіла змінюються стрибкоподібно, і для фазових переходів потрібна теплота плавлення (сорбції, випаровування) або теплота хімічних реакцій. Розв'язання такого роду задач має велике практичне значення в металургії, будівельній теплотехніці, а також в інших прикладних дисциплінах. Ці процеси математично моделюються задачею Стефана. Істотно новою рисою подібного класу задач є наявність рухомої поверхні між фазами, причому доводиться визначати закон руху цієї поверхні, на якій відбувається виділення або поглинання тепла. У загальному випадку термічні властивості фаз з обох сторін рухомої поверхні виявляються різними.

Зараз велика увага приділяється розв'язанню задач нестаціонарної теплопровідності для областей з рухомими межами. Особливо гостра необхідність у розв'язанні таких задач відчувається при визначенні температурних полів у складених тілах з урахуванням руху фронтів фазових переходів, а також неідеальності теплового контакту між складовими тіла.

Задачі теплопереносу в системах тіл з рухомими межами відносяться до класу істотно нелінійних задач. Їх точний розв'язок одержати, як правило, не вдається, тому звичайно застосовують наближені методи розв'язання, як аналітичні, так і чисельні. Однак, на сьогоднішній день, розроблене досить вузьке коло ефективних методів розв'язання задач типу Стефана й, як правило, вони застосовні лише для спрощених задач (одновимірних, однофазних, зі спеціальним виглядом залежності теплофізичних коефіцієнтів від температури). Тому актуальною є розробка нових методів розв'язання таких задач, а також удосконалення існуючих методів.

Дослідженню та розв'язанню задач теплопровідності в областях з рухомими межами присвячені роботи таких провідних вчених, як С.Л. Каменомостська, А.М. Мейрманов, Л.І. Рубінштейн, Е.М. Карташов, Л.А. Коздоба, Б.Я. Любов, Б.М. Будак, А.А. Самарський, П.М. Вабищевич, А.Б. Успенський, Н.Л. Гольдман, М.І. Никитенко, В.І. Мажукін, В.І. Тимошпольський, О.А. Рядно, Ф.В. Недопьокін, В.Б. Веселовський.

У зв'язку з розвитком нових технологій, де протікають високоінтенсивні процеси теплообміну, математичне моделювання яких не можливе на основі класичної теорії теплопровідності Фур'є й вимагає урахування скінченності швидкості розповсюдження тепла, перспективною стає розробка математичних моделей процесів теплообміну в областях з рухомими межами фаз на основі узагальненого закону теплопровідності.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась на кафедрі прикладної газової динаміки і тепломасообміну Дніпропетровського національного університету у відповідності з індивідуальним планом підготовки аспіранта та в рамках теми Міністерства освіти і науки України: № державної реєстрації 0103U000536 “Дослідження процесів нарощування з урахуванням фазових переходів та полів різної фізичної природи”.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є математичне моделювання теплових процесів у системах тіл з фазовими перетвореннями, розробка та вдосконалення методів розв'язання крайових задач для областей з рухомими межами.

Задачі, які необхідно вирішити для досягнення поставленої мети:

1) розробка математичних моделей теплових процесів у системах тіл з рухомими межами фазових перетворень, які протікають у технічних системах;

2) розв'язання початково-крайових задач теплопровідності в областях з рухомими межами чисельними і наближеними аналітичними методами;

3) розрахунок температурних полів за умов варіювання параметрів, що впливають на протікання досліджуваних процесів, й аналіз отриманих результатів.

Об'єкт дослідження - теплові процеси в областях з рухомими межами.

Предмет дослідження - математичні моделі процесів теплообміну при наявності фазових перетворень.

Методи дослідження: чисельні та наближені аналітичні методи.

Наукова новизна отриманих результатів:

1. Вперше при математичному моделюванні теплових процесів в областях з рухомими межами враховані наступні теплофізичні ефекти: термічний опір на межі контакту тіл й поверхневе випаровування через некласичні граничні умови; джерела і стоки тепла за рахунок хімічних реакцій та газовиділення в утворюваних фазах.

2. Подальший розвиток отримали методи розв'язання задач стефанівського типу, серед яких метод малого параметра, метод степеневих рядів, неявний різницевий метод із дробовими кроками фронтів, комбінований сітковий метод з явним виділенням границь фаз.

3. Побудована нова математична модель процесу теплопровідності з урахуванням релаксації теплового потоку, для якої розроблена двошарова симетрична різницева схема, що має апроксимацію і є безумовно стійкою, а отже збігається зі швидкістю .

Достовірність й обґрунтування отриманих у дисертаційній роботі результатів. Сформульовані та викладені в роботі припущення при розробці математичних моделей адекватні їх фізичному змісту й оцінкам меж застосування. Результати порівнянні в окремих випадках із результатами інших авторів. Основні результати дисертаційної роботи підтверджені при їх впровадженні й опублікуванні.

Наукове значення роботи. Розробка методу степеневих рядів для розв'язання нелінійних крайових задач теплопровідності в областях з рухомими межами, запропонована схема застосування методу малого параметра до однофазних задач Стефана, де у початковий момент часу фаза вироджена в точку, одержані розв'язки розглянутих задач є подальшим розвитком теорії теплопровідності в системах тіл при наявності фазових переходів.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблені математичні моделі, побудовані для них розрахункові схеми та розв'язки дозволяють отримати розрахункові дані для аналізу теплових процесів в областях з рухомими межами, що є складовими технологічних процесів у металургії, теплоенергетиці, ракетобудуванні та інших галузях. Результати дисертаційної роботи були використані у виробництві на ДП “КБ “Південне”, а також у навчальному процесі Дніпропетровського національного університету.

Особистий внесок здобувача. Розроблені математичні моделі, отриманий наближений аналітичний розв'язок задачі про кристалізацію напівобмеженого масиву, побудовані на основі методу степеневих рядів та методу скінченних різниць алгоритми розв'язання крайових задач теплопровідності, програмна реалізація алгоритмів та висновки відносно результатів здійснених розрахунків належать авторові. При використанні теоретичних результатів, результатів чисельних, лабораторних і промислових експериментів інших авторів зроблені посилання на відповідні джерела інформації.

Особистий внесок здобувача в опублікованих у співавторстві роботах: в роботі [1] - отримання наближеного аналітичного розв'язку та співставлення з чисельним розв'язком, що одержаний методом скінченних різниць; в роботі [2] - побудова алгоритму розв'язання задачі на основі методу скінченних різниць, його програмна реалізація, проведення параметричних досліджень; в роботах [4, 9, 14] - розв'язання задач методом степеневих рядів, проведення розрахунків на ЕОМ; в роботах [5, 16] - розв'язання задачі на основі комбінованого сіткового методу з явним виділенням границі поділу фаз, його програмна реалізація, проведення чисельних досліджень; в роботі [6] - розробка математичної моделі та побудова різницевої схеми для чисельного розв'язання задачі; в роботах [7, 10] - розробка математичних моделей та алгоритмів розв'язання задач на основі методу скінченних різниць, програмна реалізація алгоритмів; в роботі [15] - розробка математичної моделі та програмна реалізація алгоритму розв'язання задачі.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати дисертаційної роботи доповідалися на ІV міжнародній конференції “Проблеми промислової теплотехніки” (Київ, Інститут технічної теплофізики, 26 - 30 вересня 2005 р.), міждержавній науково-методичній конференції “Проблеми математичного моделювання” (Дніпродзержинськ, Дніпродзержинський державний технічний університет, 25 - 27 травня 2005 р.), XІV міжнародній конференції “Теплотехніка та енергетика в металургії” (Дніпропетровськ, Національна металургійна академія України, 18 - 20 жовтня 2005 р.), міжнародній конференції “7^th international symposium of Croatian metallurgical society - SHMD'2006” (Croatia, 2006), регіональній науковій конференції “Прикладні проблеми аерогідромеханіки та тепломасопереносу” (Дніпропетровськ, ДНУ, 16 - 17 листопада 2006 р.), міжнародній науково-технічній конференції пам'яті академіка НАН України В. І. Моссаковського “Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій” (Дніпропетровськ, ДНУ, 17 - 19 жовтня 2007 р.), міжнародній конференції “9^th international symposium of Croatian metallurgical society - SHMD'2008” (Croatia, 2008), XV міжнародній конференції “Теплотехніка та енергетика в металургії” (Дніпропетровськ, Національна металургійна академія України, 7 - 9 жовтня 2008 р.), ІІ міжнародній науковій конференції “Прикладні проблеми аерогідромеханіки та тепломасопереносу” (Дніпропетровськ, ДНУ, 13 - 15 листопада 2008 р.), підсумкових наукових конференціях Дніпропетровського національного університету (Дніпропетровськ, ДНУ, 2002 - 2008 р. р.), а також на наукових семінарах кафедри прикладної газової динаміки і тепломасообміну Дніпропетровського національного університету. У повному обсязі робота доповідалась на розширеному засіданні кафедри прикладної газової динаміки і тепломасообміну Дніпропетровського національного університету та на регіональному семінарі “Математичне моделювання, проблеми прикладної інформатики і керування” (науковий керівник д. т. н., професор Михальов О.І.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані у восьми наукових статтях [1 - 8], з яких шість у фахових виданнях [1 - 6], та восьми тезах доповідей на наукових конференціях [9 - 16].

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаної літератури (155 найменувань) і двох додатків. Загальний обсяг роботи - 150 сторінок, у тому числі 35 рисунків.

Робота виконана на кафедрі прикладної газової динаміки і тепломасообміну Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність дисертаційної роботи, сформульовано її мету і задачі, а також основні наукові та практичні результати. Визначено особистий внесок автора і відомості про апробацію роботи.

У першому розділі здійснено аналіз теплотехнологічних процесів у різних галузях промисловості, що дозволив виявити актуальні теплові задачі з рухомими межами фаз. Наведена класифікація математичних моделей теплових процесів відповідно до повноти описуваних явищ і визначені умови застосування моделей різних рівнів. Вдосконалена математична модель теплових процесів в областях з рухомими межами шляхом врахування наступних теплофізичних ефектів: термічного опору на межі контакту тіл й поверхневого випаровування через некласичні граничні умови; джерел і стоків тепла за рахунок хімічних реакцій та газовиділення в утворюваних фазах. Ця математична модель може бути записана в такий спосіб. Для кожної з фаз системи справедливе рівняння теплопровідності

Теплоємність , густина , коефіцієнт теплопровідності передбачаються заданими функціями координат, часу або температури . Щільність теплових джерел може залежати як від координат, часу і температури так і від градієнта температури. Наприклад, при протіканні фізико-хімічних перетворень , де , , відповідно теплоємність, густина та швидкість газу, вивільнюваного в зоні реакцій, а тепловий ефект фізико-хімічних перетворень.

Границі фаз у залежності від фізичних процесів, що протікають на них, можуть бути розділені на три види. До першого відносяться нерухомі границі, для яких умови теплообміну можуть бути представлені в такий спосіб:

Числові параметри і приймають значення 0 і 1, унаслідок чого співвідношення (2) містить у собі, як окремі випадки, граничні умови першого, другого, третього і четвертого роду. Функція вважається заданою. контактний термічний опір.

До другого виду відносяться рухомі границі; їх переміщення обумовлене фазовими перетвореннями. Розташування кожної границі при цьому встановлюється відповідно до умови, що температура на ній дорівнює температурі фазового перетворення , яка передбачається заданою в функції координат і часу. Швидкість переміщення граничної точки у напрямку нормалі до граничної поверхні підлягає визначенню відповідно до умов

Тут , , - границі функцій , , , коли при незмінному точка прямує до точки , залишаючись у фазі ; , , - границі тих самих функцій, коли при незмінному точка прямує до точки , залишаючись у фазі ; - теплота фазового переходу.

Похідні по від температурної функції, що входять у рівняння (4) і (5), можуть бути виражені через градієнти функції у точці

До третього виду відносяться рухомі границі, для яких задаються швидкість переміщення уздовж нормалі до зовнішньої поверхні

В області простору, що зайнята розглянутою системою тіл, повинні бути задані в залежності від координат функції, які описують розподіл температур і розташування границь поділу фаз у початковий момент часу. Функція , що характеризує початковий розподіл температури, повинна бути неперервною, однозначною, досить гладкою і повинна задовольняти умовам узгодження. Рівняння (1) - (6) разом з початковими даними, що задовольняють умовам узгодження, являють собою математичну модель теплових процесів в областях з рухомими межами, коли число поверхонь поділу фаз, які змінюються у часі, довільне, теплофізичні характеристики тіла залежать від координат і температури, а температури фазового переходу - від координат і часу.

Також у цьому розділі дано огляд методів розв'язання задач стефанівського типу та встановлена можливість їх застосування в залежності від вимірності задачі та кількості фронтів фазових перетворень у досліджуваній системі. Аналіз літературних джерел вказує на необхідність розробки нових ефективних методів розв'язання задач теплообміну в областях з рухомими межами та подальшого розвитку існуючих методів, а також отримання наближених аналітичних розв'язків для задач, що моделюють важливі технологічні процеси.

Другий розділ присвячений математичному моделюванню теплових процесів в одновимірних однофазних областях з рухомими межами. Тут було розглянуто задачу, що моделює затвердіння масивного злитка, безрозмірна постановка якої має вигляд:

Розв'язання цієї крайової задачі здійснювалося методом малого параметра за схемою введення умовного параметра малості в диференціальне рівняння теплопровідності. Отриманий наближений аналітичний розв'язок задачі (7) у першому наближенні має вигляд:

Проведено порівняння наближеного аналітичного розв'язку (8) з результатами, отриманими за допомогою методу скінченних різниць. З рис. 1 і рис. 2 видно, що для відносно малих значень часу результати розрахунку цими методами досить добре узгоджуються, а зі зростанням безрозмірного часу криві 2 усе більше відхиляються від кривих 1. Одержаний наближений аналітичний розв'язок задачі (7), на відміну від чисельного розв'язку, зручно використовувати для якісного аналізу процесів кристалізації.

Отже, методом малого параметра отриманий новий наближений аналітичний розв'язок задачі про затвердіння масивного злитка, а використаний при розв'язанні підхід дає можливість одержати розв'язки одновимірних однофазних задач Стефана з фазою виродженою в точку в початковий момент часу.

Наступною в цьому розділі була розглянута математична модель теплових процесів з фазовими переходами у складених елементах конструкцій. Диференціальне рівняння теплопровідності для кожної складової має вигляд

У режимі оплавлення на поверхні поділу фаз зберігається температура фазового перетворення і тепловий баланс між тепловим ефектом перетворення й тепловими потоками

Перехід від розв'язання задачі в режимі прогріву до задачі Стефана здійснюється за умовою

Для розв'язання задачі (9) - (16) було застосовано метод степеневих рядів. Температурні поля шукалися у вигляді де компоненти визначаються з розв'язання системи звичайних диференціальних рівнянь з початковими умовами, які отримані з (10). Значення замикаючих компонент , визначаються з розв'язання системи алгебраїчних рівнянь, елементи матриці та вільні члени якої отримуємо з відповідних виразів, що відрізняються для етапів прогріву і оплавлення та дістаються з граничних умов (11) - (13).

Закони переміщення границь фазових перетворень визначаються зі звичайних диференціальних рівнянь, що дістаються з умов Стефана (14), з відповідними початковими умовами.

На основі отриманих співвідношень було здійснено розрахунки, результати яких представлені на рис. 3 і рис. 4.

Порівняльний аналіз показує, що нев'язка розв'язків зі збільшенням прямує до нуля.

Таким чином, метод степеневих рядів вперше застосований до задачі типу Стефана для складених тіл з неідеальним контактом на стику та лінійною залежністю теплофізичних властивостей від температури, що дозволило звести її розв'язання до стандартної процедури - інтегруванню системи звичайних диференціальних рівнянь у формі Коші.

Третій розділ присвячений математичному моделюванню теплових процесів в одновимірних багатофазних областях з рухомими межами. Першою в цьому розділі розглянута математична модель руйнування композиційних матеріалів. Вважалося, що з моменту часу температура поверхні теплозахисного матеріалу монотонно зростає від значення до значення . Для цього періоду характерна поява другої фази, заданої в області , де відбуваються фізико-хімічні перетворення з виділенням деякої кількості газу й тепла. Математичне формулювання задачі прогріву для цього періоду полягає в наступному. Задано дві області , і поверхня поділу фаз . Позначимо шукані температурні поля через і відповідно для областей й . Тоді гранична умова, що повинна виконуватися на поверхні , запишеться у вигляді

Другою умовою буде умова теплового балансу між тепловими ефектами фазового перетворення й тепловими потоками (умова Стефана):

До рівняння (19) ще необхідно додати початкову умову

Зовнішні умови задані уніфікованими граничними умовами

Припускалося, що теплофізичні характеристики матеріалів фаз залежать від температури за законом

При зроблених вище припущеннях функції й повинні задовольняти рівнянням:

Початкові умови мають вигляд

У даній дисертаційній роботі показано, що розв'язок подібного класу багатофазних задач досить просто можна побудувати, якщо скористатися методом степеневих рядів. Розв'язок початково-крайової задачі (18) - (23) шукався у вигляді

Компоненти замикаючих зв'язків , визначаються з розв'язання системи алгебраїчних рівнянь, елементи матриці та вільні члени якої отримуємо з відповідних виразів, що дістаються з граничних умов (18), (21).

Закон переміщення границі фазових перетворень визначається зі звичайного диференціального рівняння, що дістається з умови Стефана (19), з відповідною початковою умовою.

Таким чином, розв'язання двофазної початково-крайової задачі (18) - (23) зведене до стандартної процедури - до інтегрування системи звичайних диференціальних рівнянь у формі Коші.

Розроблений алгоритм побудови розв'язку двофазної задачі Стефана досить просто узагальнюється на випадок багатофазного протікання процесу руйнування композиційних теплозахисних покриттів. Розв'язок багатофазної задачі буде мати вигляд (24), де невідомі компоненти () будуть визначатися з більшого числа блоків рівнянь у формі Коші.

Запропонований алгоритм розв'язання багатофазних задач Стефана дозволяє уникати чисельного диференціювання по координаті , неминучого для скінченно-різницевих методів, отже, більш економічний по витратах машинного часу.

Наступним у даному розділі здійснено математичне моделювання прогріву та відновлення залізорудних матеріалів. Протікання процесу поділяється на три етапи. На першому етапі відбувається прогрів кульового брикету від початкової температури до температури початку хімічних реакцій на зовнішній поверхні. На цій стадії стоки тепла і джерела газоподібної фази усередині брикету відсутні. Коли температура поверхні досягає в деякий момент часу значення , настає другий етап прогріву брикету. Утворюється зона фізико-хімічних перетворень , що просувається до центра кулі. При досягненні деякого моменту часу настає третій етап прогріву кульового брикету, що характеризується появою з боку зовнішньої поверхні металізованого шару , у якому відсутні фізико-хімічні перетворення, однак існує пористе охолодження за рахунок вивільнюваного газу в зоні протікання реакцій.

За допомогою вдосконаленого неявного різницевого методу із дробовими кроками фронтів здійснені розрахунки температурного поля кульового брикету та законів просування зони фізико-хімічних перетворень до його центру.

Також в цьому розділі побудована математична модель теплових процесів при обробці покриттів лазерним випромінюванням, що враховує поверхневе випаровування через некласичні граничні умови та термічний опір на границі контакту основи і покриття. На етапі прогріву системи до початку фазових перетворень температурні поля основи та покриття задовольняють квазілінійним рівнянням теплопровідності:

На етапі прогріву системи основа-покриття з урахуванням проплавлення та поверхневого випаровування рівняння теплопровідності для покриття матиме вигляд звідки витікають рівняння теплопровідності для рідкої та твердої фаз покриття, а також умова Стефана на фронті плавлення. Температурне поле основи задовольняє рівнянню (26).

Початкові умови дістаються з першого етапу прогріву, а визначається з рівняння

На оброблюваній зовнішній поверхні покриття задається гранична умова

На зовнішній поверхні основи виконана умова (29), а на поверхні контакту умови (30).

Швидкість руху фронту випаровування визначається з рівняння

Тут питома теплота випаровування матеріалу покриття; питома теплота плавлення; температура плавлення; координата фронту випаровування; дельта-функція Дірака. Теплофізичні властивості покриття задаються наступним чином:

Для розв'язання задачі застосовувався метод скінченних різниць з попереднім згладжуванням коефіцієнтів рівняння (31). За побудованою різницевою схемою здійснені розрахунки теплових процесів у системах Fe-Ti та Fe-Mo при дії імпульсного лазерного випромінювання. Теплова дія лазерного випромінювання моделювалася наступними функціями:

1. Для прямокутних імпульсів

2. Для синусоїдальних імпульсів

3. Для трикутних імпульсів

де час дії імпульсу; період; час між імпульсами; номер періоду; максимальне значення щільності теплового потоку на оброблюваній поверхні. Для всіх розрахунків приймалося: ; ; ; ; ;.

Результати розрахунків для системи Fe-Ti при, , , , наведені на рис. 5 і рис. 6, де криві 1 відповідають прямокутним імпульсам, криві 2 - синусоїдальним імпульсам, а криві 3 - імпульсам трикутної форми. Під час розрахунків обиралося відповідно до глибини проникнення теплової дії.

Рис. 5. Зміна температури оброблюваної поверхні у часі для системи Fe-Ti.

Аналіз результатів показує, що при врахуванні поверхневого випаровування в математичній моделі лазерної обробки покриття температура поверхні розплаву швидко досягає граничного значення. При знехтуванні випаровуванням спостерігається необмежене зростання температури поверхні розплаву.

У четвертому розділі здійснено математичне моделювання теплових процесів при безперервній розливці сталі. Розглянута задача має наступне формулювання. Нехай необхідно визначити поле температур і розташування фронту фазового переходу в процесі затвердіння безперервного злитка прямокутного перетину . Теплофізичні характеристики сталі, а також температура фазового переходу є сталими. У кристалізаторі задаються граничні умови ІІ-го роду, де величина теплового потоку на зовнішній поверхні злитка задається як функція часу. У зоні вторинного охолодження задаються граничні умови ІІІ-го роду, де коефіцієнт тепловіддачі є функцією часу. У початковий момент часу злиток перебуває в рідкому стані і його температура дорівнює . У силу осьової симетрії поля температур розглядається не весь злиток, а лише четверта його частина.

Для розв'язання задачі використовувався алгоритм на основі комбінованого сіткового методу з явним виділенням границі поділу фаз. Результати проведених розрахунків для злитка поперечним перетином 200Ч400 мм наведені на рис. 7 - рис. 9.

Отже, на основі комбінованого сіткового методу з явним виділенням границі поділу фаз побудовано алгоритм розв'язання двовимірної задачі Стефана, яка описує затвердіння злитка прямокутного перетину. Розроблена математична модель теплових процесів при безперервній розливці сталі та здійснено розрахунок температурних полів і закону руху фронту фазового переходу в злитку. З аналізу результатів параметричних досліджень виявлені основні закономірності процесу затвердіння злитків прямокутного перетину.

П'ятий розділ присвячений математичному моделюванню теплових процесів при лазерному термічному зміцненні з урахуванням релаксації теплового потоку. Математична модель складається з двох диференціальних рівнянь у частинних похідних першого порядку відносно щільності теплового потоку і температури

Для розв'язання задачі (36), (37) у даній дисертаційній роботі була запропонована та досліджена двошарова симетрична різницева схема, що має апроксимацію і є безумовно стійкою, а отже збігається зі швидкістю .

На ЕОМ були проведені розрахунки полів температури та теплових потоків для сталі, де приймалося:, , , , ,. Результати розрахунків наведені на наступних рисунках.

На рис. 10, рис. 11 криві 1 отримані на основі моделі теплопровідності з урахуванням релаксації теплового потоку (36), (37), а криві 2 - на основі класичної моделі теплопровідності Фур'є. Отримані результати вказують на суттєву кількісну та якісну відмінність температурних полів, які дають ці дві моделі для високоінтенсивних процесів теплообміну, тому врахування релаксації теплового потоку вкрай необхідне при моделюванні таких нових перспективних технологічних процесів, як лазерна обробка матеріалів.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі побудовані нові математичні моделі теплових процесів в областях з рухомими межами, які відрізняються від існуючих урахуванням теплофізичних ефектів, характерних для сучасних технологій, а також дістали подальшого розвитку методи розв'язання задач стефанівського типу.

1. Вперше при математичному моделюванні теплових процесів в областях з рухомими межами враховані наступні теплофізичні ефекти: термічний опір на межі контакту тіл й поверхневе випаровування через некласичні граничні умови; джерела і стоки тепла за рахунок хімічних реакцій та газовиділення в утворюваних фазах.

2. Розроблена нова математична модель процесу теплопровідності з урахуванням релаксації теплового потоку на основі двох диференціальних рівнянь у частинних похідних першого порядку відносно щільності теплового потоку й температури, що дозволить у подальших дослідженнях перейти до постановки таких задач для областей з рухомими межами.

3. Запропоновано підхід, який дає можливість отримувати методом малого параметра наближені аналітичні розв'язки одновимірних однофазних задач Стефана з фазою виродженою в точку в початковий момент часу.

4. Вперше метод степеневих рядів застосовано до багатофронтових задач типу Стефана на основі квазілінійного рівняння теплопровідності з розривними коефіцієнтами та розривною шуканою температурною функцією.

5. Вдосконалено неявний різницевий метод із дробовими кроками фронтів за рахунок введення нерівномірної за простором і часом сітки та врахування температурної залежності теплофізичних характеристик.

6. Подальший розвиток отримав комбінований сітковий метод з явним виділенням границь фаз його застосуванням до багатовимірних задач Стефана зі змінним у часі типом граничних умов.

7. Побудована двошарова симетрична різницева схема для розв'язання початково-крайової задачі теплопровідності зі скінченною швидкістю розповсюдження тепла, що має апроксимацію і є безумовно стійкою, а отже збігається зі швидкістю .

8. Розроблені математичні моделі, одержані для них розрахункові схеми та розв'язки дозволили створити методику розрахунку теплових процесів в областях з рухомими межами для зразків нової техніки ДП “КБ “Південне”.

Достовірність отриманих результатів підтверджується коректністю формулювання поставлених задач, строгістю математичних викладок, використанням фундаментальних законів теорії теплопровідності. Сформульовані та викладені в роботі припущення адекватні своєму фізичному змісту й оцінкам меж застосування.

Всі розрахунки на ЕОМ для даної дисертаційної роботи здійснювалися через реалізацію відповідних алгоритмів мовою програмування C++.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ

1. Веселовський В.Б. Розв'язання задачі про кристалізацію напівобмеженого масиву методом малого параметра / В.Б. Веселовський, О.І. Губін // Вісник Тернопільського державного технічного університету. - 2006. - Т. 11, № 4. - С. 207 - 213.

2. Веселовський В.Б. Дослідження температурних полів злитків прямокутного перетину в нагрівальних печах / В.Б. Веселовський, О.І. Губін, О.І. Губська // Вісник Дніпропетровського університету. Механіка. - 2007. - № 2/1. - С. 146 - 150.

3. Губін О.І. Математичне моделювання теплових процесів в областях з рухомими межами / О.І. Губін // Вісник Дніпропетровського університету. Механіка. - 2009. - № 13. - С. 70 - 88.

4. Веселовский В.Б. Математическое моделирование тепловых процессов в составных телах с фазовыми переходами / В.Б. Веселовский, А.И. Губин, Н.В. Селезнева // Металлургическая теплотехника. - Днепропетровск: Пороги, 2005. - C. 71 - 79.

5. Веселовский В.Б. Численное исследование затвердевания слитка прямоугольного сечения / В.Б. Веселовский, А.И. Губин // Металлургическая теплотехника. - Днепропетровск: «ПП Грек О.С.», 2006. - C. 42 - 52.

6. Веселовский В.Б. Математическое моделирование лазерного термического упрочнения без плавления поверхности / В.Б. Веселовский, А.И. Губин // Металлургическая теплотехника. - Днепропетровск: Новая идеология, 2008. - C. 47 - 54.

7. Губін О.І. Математичне моделювання плавлення металобрухту в конвертерній ванні при комбінованій продувці / О.І. Губін, І.С. Тиріна // Диференціальні рівняння та їх застосування. - Дніпропетровськ: Вид. ДНУ, 2006. - С. 81 - 87.

8. Губін О.І. Математичне моделювання процесів теплопровідності з урахуванням релаксації теплового потоку / О.І. Губін // Диференціальні рівняння та їх застосування. - Дніпропетровськ: Вид. ДНУ, 2008. - С. 58 - 67.

9. Веселовский В.Б. Математическое моделирование образования и разрушения гололедоизморозевых отложений на элементах конструкций / В.Б. Веселовский, А.И. Губин, Н.В. Селезнева // Тези доповідей Міждержавної науково-методичної конференції “Проблеми математичного моделювання”. - Дніпродзержинськ: ДДТУ, 2005. - С. 38 - 39.

10. Веселовский В.Б. Математическое моделирование высокотемпературных тепловых процессов / В.Б. Веселовский, А.И. Губин // Труды XV международной конференции “Теплотехника и энергетика в металлургии”, НМетАУ, г. Днепропетровск, Украина, 7 - 9 октября 2008 г. - Днепропетровск: Новая идеология, 2008. - С. 25 - 26.

11. Губин А.И. Математическое моделирование тепловых процессов при обработке покрытий концентрированными потоками энергии / А.И. Губин // Матеріали регіональної наукової конференції “Прикладні проблеми аерогідромеханіки та тепломасопереносу”. - Дніпропетровськ: ДНУ, 2006. - С. 62 - 63.

12. Губин А.И. Приближенные решения задач Стефана для тел различной конфигурации / А.И. Губин // Тези доповідей Міжнародної науково-технічної конференції пам'яті академіка НАН України В.І. Моссаковського “Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій”. - Дніпропетровськ: ДНУ, 2007. - С. 321 - 323.

13. Губін О.І. Математичне моделювання процесів теплопровідності в областях з рухомими межами / О.І. Губін // Матеріали ІІ міжнародної наукової конференції “Прикладні проблеми аерогідромеханіки та тепломасопереносу”. - Дніпропетровськ: ДНУ, 2008. - С. 110 - 112.

14. Veselovskiy V.B. Mathematical simulation and heat processes calculation in composite bodies with moving boundaries / V.B. Veselovskiy, A.I. Gubin, N.V. Selezneva // Abstracts of ІV-th international conference “Problems of industrial heat engineering”. - Kyiv: Institute of Engineering Thermophysics, 2005. - P. 233 - 234.

15. Gubin O.I. Mathematical model operation and calculation of thermal processes at laser handling coats / O.I. Gubin, V.B. Veselovsky, I. Mamuziж, O.O. Kochubey // Metalurgija: Summaries of lectures of 7^th international symposium of Croatian metallurgical society. - Zagreb, 2006. - Vol. 45, br. 3. - P. 266 - 267.

16. Gubin A.I. Mathematical simulation and choice of optimum thermal models of continuous pouring became /A.I. Gubin, V.B. Veselovskiy, D. Жurиija, A.A. Kochubey// Metalurgija: Summaries of lectures of 9^th international symposium of Croatian metallurgical society. - Zagreb, 2008. - Vol. 47, br. 3. - P. 255.

АНОТАЦІЯ

Губін О.І. Математичне моделювання теплових процесів в областях з рухомими межами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Національна металургійна академія України, Дніпропетровськ, 2009 р. теплопровідність рухомий фазовий

Дисертаційна робота присвячена розробці математичних моделей теплових процесів у системах тіл з рухомими межами фазових перетворень, що є складовими сучасних технологічних процесів, а також розробці й вдосконаленню методів розв'язання задач стефанівського типу.

Вдосконалена математична модель теплових процесів в областях з рухомими межами шляхом врахування наступних теплофізичних ефектів: термічного опору на межі контакту тіл й поверхневого випаровування через некласичні граничні умови; джерел і стоків тепла за рахунок хімічних реакцій та газовиділення в утворюваних фазах. На її основі виконано математичне моделювання затвердіння масивного злитка, теплових процесів з фазовими переходами у складених елементах конструкцій, руйнування композиційних матеріалів, прогріву та відновлення залізорудних матеріалів, теплових процесів при обробці покриттів лазерним випромінюванням, затвердіння злитків прямокутного перетину при безперервній розливці сталі. При дослідженні цих моделей отримали подальший розвиток методи розв'язання задач стефанівського типу, серед яких метод малого параметра, метод степеневих рядів, неявний різницевий метод із дробовими кроками фронтів, комбінований сітковий метод з явним виділенням границь фаз.

Розроблена математична модель процесів теплопровідності з урахуванням релаксації теплового потоку на основі двох диференціальних рівнянь у частинних похідних першого порядку відносно щільності теплового потоку й температури, яка може бути застосована, наприклад, для дослідження теплових процесів при лазерному термічному зміцненні. Для розв'язання задачі запропонована двошарова симетрична різницева схема, що має апроксимацію і є безумовно стійкою, а отже збігається зі швидкістю .

Розроблені математичні моделі, побудовані для них розрахункові схеми та розв'язки дозволяють отримати розрахункові дані для аналізу теплових процесів в областях з рухомими межами, що є складовими технологічних процесів у металургії, теплоенергетиці, ракетобудуванні та інших галузях.

Ключові слова: математичне моделювання, теплові процеси, рухомі межі, фазові переходи, задача Стефана, контактний термічний опір, поверхневе випаровування, метод скінченних різниць, метод степеневих рядів, метод малого параметра.

Губин А.И. Математическое моделирование тепловых процессов в областях с подвижными границами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Национальная металлургическая академия Украины, Днепропетровск, 2009 г.

Диссертационная работа посвящена разработке математических моделей тепловых процессов в системах тел с подвижными границами фазовых превращений, являющихся составляющими современных технологических процессов, а также разработке и усовершенствованию методов решения задач стефановского типа.

Усовершенствована математическая модель тепловых процессов в областях с подвижными границами путем учета следующих теплофизических эффектов: термического сопротивления на границе контакта тел и поверхностного испарения через неклассические граничные условия; источников и стоков тепла за счет химических реакций и газовыделения в образующихся фазах. На ее основе выполнено математическое моделирование затвердевания массивного слитка, тепловых процессов с фазовыми переходами в составных элементах конструкций, разрушения композиционных материалов, прогрева и восстановления железорудных материалов, тепловых процессов при обработке покрытий лазерным излучением, затвердевания слитков прямоугольного сечения при непрерывной разливке стали. При исследовании этих моделей получили дальнейшее развитие методы решения задач стефановского типа, среди которых метод малого параметра, метод степенных рядов, неявный разностный метод с дробными шагами фронтов, комбинированный сеточный метод с явным выделением границ фаз.

Разработана математическая модель процессов теплопроводности с учетом релаксации теплового потока на основе двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно плотности теплового потока и температуры, которая может быть применена, например, для исследования тепловых процессов при лазерном термическом упрочнении. Для решения задачи предложена двухслойная симметричная разностная схема, имеющая аппроксимацию и являющаяся безусловно устойчивой, а следовательно сходящаяся со скоростью .

Разработанные математические модели, построенные для них расчетные схемы и решения позволяют получить расчетные данные для анализа тепловых процессов в областях с подвижными границами, являющихся составляющими технологических процессов в металлургии, теплоэнергетике, ракетостроении и других отраслях.

Ключевые слова: математическое моделирование, тепловые процессы, подвижные границы, фазовые переходы, задача Стефана, контактное термическое сопротивление, поверхностное испарение, метод конечных разностей, метод степенных рядов, метод малого параметра.

Gubin A.I. The mathematical simulation of thermal processes in areas with moving boundaries. - Manuscript.

The dissertation on competition of a scientific degree of the candidate of technical science on a speciality 01.05.02 - mathematical simulation and computational methods. - National metallurgical academy of Ukraine, Dnepropetrovsk, 2009.

The dissertation work is devoted of mathematical models development of thermal processes in the system of bodies with the moving boundaries of phase transformation, being the constituents of modern technological processes. And also it devoted of development and improvement of solution methods of Stephan's type problems.

The mathematical model of thermal processes has been improved in area with moving boundaries at the account of following thermal physical effects: thermal resistance on the bodies contact and superficial evaporation through nonclassical boundary conditions; sources and flows of heat due to chemical reaction and gas emission in appearing phases. On the basis of this model the mathematical simulation of massive ingot solidification, thermal processes with phase transitions in the component elements of construction, destruction of composition materials, warming up and renewal of iron-ore materials, thermal processes at treatment by laser radiation, solidification of ingot of rectangle-section at continuous steel pouring has been conducted. At research of these models the methods of solution of Stephan's type problems have been received development. Among these methods are: method of small parameter, method of sedate rows, implicit difference method with fractional steps of fronts, combined net method with obvious selection of boundaries of phases.

The mathematical model of heat conduction processes has been developed taking into account relaxation of thermal stream on the basis of two differential equations with partial derivatives of first order in relaxation to density of thermal stream and temperature, can be applied, for example, for research of thermal processes at the laser flash consolidating. For solution of problem two-layered symmetric difference scheme has been offered. It has approximation and it is unconventionally steady. It converges with speed .

Developed mathematical models, built for them calculation schemes and solutions allow to get calculation information for the analysis of thermal processes in areas with moving boundaries, being the constituents of technological processes in metallurgy, heat-and-power engineering, rocket production and other industries.

Key words: mathematical simulation, thermal processes, moving boundaries, phase transitions, Stephan's problem, contact thermal resistance, superficial evaporation, method of finite differences, method of sedate rows, method of small parameter.

Размещено на Allbest.ru