Методы обработки данных, получаемых средствами измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методы обработки данных, получаемых средствами измерений

Основы теории измерений

Основная задача метрологии заключается в обеспечении единства измерений. Под единством измерений понимают такое их состояние, при котором результаты измерений выражены в узаконенных единицах, а погрешность измерения известна. Измерения можно определить как экспериментальное нахождение отношения измеряемой физической величины к другой однородной величине, принятой за единицу. Таким образом, сущность измерений заключается в сравнении измеряемой величины с заранее выбранной единицей. В ГОСТ измерения определяются как нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.

Физической величиной называют свойства, общие в качественном отношении для многих объектов, но в количественном отношении индивидуальные для каждого. Количественное содержание физической величины, характеризующее конкретный объект, называют размером физической величины. Оценку физической величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц называют значением физической величины.

Различают истинное и действительное значение физической величины. Истинное значение идеальным образом отражает в количественном и качественном отношениях соответствующие свойства объекта, и его стараются найти при измерениях. Однако из-за неизбежных погрешностей измерений истинное значение получить не удается. На практике вместо истинного значения экспериментально определяют действительное значение, настолько приближающееся к истинному значению, что может быть использовано вместо него.

Метод измерений - совокупность правил и приемов использования средств измерений, позволяющее решить измерительную задачу. Методы измерений можно классифицировать по различным признакам. Для общеметрологического анализа более важными являются традиционные классификации, основанные на следующих признаках:

Физический принцип, положенный в основу измерения;

Режим взаимодействия средства измерения с объектом;

Вид применяемых средств измерений;

Вид хранителя единицы физической величины.

Наиболее разработана классификация методов по виду хранителя единицы. При реализации метода непосредственной оценки хранителем единицы выступает измерительный прибор прямого действия или измерительная система, а для метода сравнения с мерой хранителем единицы служит мера. Основные разновидности метода сравнения: метод противопоставления (в том числе нулевой и метод неполного уравновешивания), дифференциальный метод, методы совпадений и замещения.

Применяемые при измерениях технические средства, имеющие нормированные метрологические характеристики (характеристики, влияющие на точность измерений) называют средствами измерений. К средствам измерений относят эталоны физических величин, меры, измерительные приборы, измерительные преобразователи, измерительно-вычислительные комплексы (ИВК), компьютерно-измерительные сиситемы (КИС) и измерительные информационные системы (ИИС).

Измерительный преобразователь - структурный элемент более сложных средств измерений, имеющие самостоятельные метрологические характеристики. Различают первичные, передающие, промежуточные и масштабные преобразователи. Привесные преобразователи называют датчиками или сенсорами.

На основе нескольких измерительных преобразователей создают измерительные приборы и меры. Измерительный прибор предназначен для образования выходного сигнала в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателя. Измерительные приборы делят на аналоговые и цифровые. Показание аналогового прибора является непрерывной функцией измеряемой величины. К аналоговым относят, например, приборы со стрелочными указателями. Цифровые приборы вырабатывают дискретный сигнал измерительной информации в цифровой форме.

Мера служит для воспроизведения физической величины заданного размера.

Классификация измерений

По способу получения результата измерения делят на прямые, косвенные, совместные и совокупные. Прямыми называют измерения, при которых искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных. К ним, например, относятся измерения напряжения с помощью вольтметра, измерение интервала времени с помощью измерителя временных интервалов.

При косвенных измерениях искомое значение y величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами х₁, х₂, … х_n, измеряемые прямым методом:

y=f(х₁, х₂, … х_n).

Совместные измерения состоят в одновременном измерении двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними. Примером совместных измерений может служить получения зависимости сопротивления резистора от его температуры.

Совокупными называются производимые одновременно измерения двух или нескольких одноименных величин, при которых искомое значение находят из решения системы уравнений, полученных при прямых измерениях разных сочетаний этих величин.

По точности измерения делят на 3 группы:

измерения максимально возможной точности, достижимое при существующем уровне развития науки и техники. К ним относят измерения, связанные с созданием и эксплуатацией эталонов, а также некоторые измерения, проводимые при научных исследованиях. Для таких измерений характерны тщательная оценка погрешностей и анализ их источников;

метрологическая аттестация средств измерений, лабораторный анализ, экспертные измерения. Погрешность таких измерений не должна превышать определенного уровня;

технические измерения, при которых погрешность оценивают по метрологическим характеристикам средств измерений с учетом применяемого метода измерений. Технические измерения получили наибольшее распространение.

Важнейшим для обработки экспериментальных данных является разделение измерений на прямые, косвенные, совместные и совокупные при этом основным признаком является вид уравнения измерения связывающего измеряемую и непосредственно наблюдаемые величины.

При прямом измерении измеряемая величина Q пропорциональна непосредственно X:

Q = cX

где с - заданный коэффициент.

При косвенном измерении величина Q является известной функцией от непосредственно наблюдаемых аргументов Х₁, Х₂, … Х_n:

Q = f(Х₁, Х₂, … Х_n).

При совместных измерениях находят функциональную зависимость Y=f(X) между переменными величинами X и Y путем измерения ряда величин Х₁, Х₂, … Х_n и соответствующих им величин Y₁, Y₂, … Y_n:

Y_i = f(X_i).

При совокупных измерениях значения набора одноименных величин Q₁, Q₂, … Q_k, как правило, определяют путем измерений сумм или разностей этих величин в различных сочетаниях

где коэффициенты с_ij принимают значения 1 или 0.

Условия измерений, которые влияют на точность результатов, характеризуют с помощью влияющих величин. В соответствии с установленными для конкретных ситуаций диапазонами значений влияющих величин различают нормальные и рабочие условия применения средств измерений. Нормальные условия характеризуются комфортным состоянием оператора (температура 2510^оС, влажность 80%, давление 101 кПа). Рабочие условия определяются паспортными данными прибора.

Условия измерения могут быть контролируемыми и неконтролируемыми. Контроль условий осуществляется двумя способами. Во-первых, можно стабилизировать условия с помощью технических средств так, чтобы влияющие величины находились в требуемых пределах. Во-вторых, контролировать условия можно путем измерений влияющих величин с использованием результатом этих измерений при обработке данных.

При особо точных и ответственных измерениях контроль условий их проведения осуществляют комбинированным способом: насколько возможно, стабилизируют условия и достаточно точно измеряют влияющие величины, что позволяет ввести соответствующие поправки в результаты.

Результат измерения выражает собой конечную цель спланированного или подготовленного измерительного эксперимента и непосредственную цель обработки данных.

Погрешность результата измерения определена как отклонение результата от истинного значения измеряемой величины. Истинное значение и результат принадлежат не к ряду реальностей, а к ряду отражений (моделей).

Отклонение результата измерений х от истинного значения Х измеряемой величины называют погрешностью измерений (абсолютная погрешность).

= х - Х.

Это соотношение служит исходным для теоретического анализа погрешностей. Погрешность измерений иногда удобно характеризовать ее относительным значением

,

поскольку х Х.

Систематическими называют погрешности, которые остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных наблюдениях одной и той же величины. Случайные погрешности в указанных условиях изменяются непредсказуемо.

Измерения можно характеризовать их точностью - близостью результата измерения к истинному значению. Количественно точность выражают как обратную величину модуля относительной погрешности. Так, если равна 10^-3, то точность равна 10³. Чем выше точность, тем с меньшей погрешностью произведено измерение. Обычно понятие точности используют для сравнительной характеристики различных измерений или средств измерений.

Основные этапы измерений

Измерение, направленное на изучение определенного свойства объекта, представляет собой познавательную процедуру. В ней естественно выделить три этапа: подготовку, измерительный эксперимент, обработку экспериментальных данных.

Первый этап измерительной процедуры целесообразно разделить на две части: постановку измерительной задачи и планирование измерительного эксперимента.

Постановка измерительной задачи осуществляется в такой последовательности:

уточнение данных обо условиях измерения и исследуемой физической величине;

формирование модели объекта и определение измеряемой величины;

постановка измерительной задачи на основе принятой модели объекта;

формулирование уравнения измерения.

Планирование измерения в зависимости от вида и сложности задачи выполняется в такой последовательности:

выбор методов измерений непосредственно измеряемых величин (аргументов), возможных типов средств измерений;

априорная оценка погрешностей измерения;

формулирование требований к метрологическим характеристикам средств измерений и условия измерения;

выбор средств измерений в соответствии с указанными требованиями;

выбор параметров измерительной процедуры: числа наблюдений для каждого аргумента, моментов времени и точек выполнения наблюдений;

подготовка средств измерений к выполнению экспериментальных операций;

обеспечение требуемых условий или создание возможности их контроля.

Для многих видов массовых измерений разрабатывают методики выполнения измерений. Планирование измерений составляет существенную часть разработки такой методики. В целом эффективная подготовка является необходимым, но, разумеется, недостаточным, условием достижения цели измерения. Ошибки, допущенные при подготовке измерений, с трудом обнаруживаются и корректируются в дальнейшем.

Измерительный эксперимент. Основные измерительные операции, из которых состоит конкретная измерительная процедура: измерительные преобразования, включая первичное и промежуточные преобразования; воспроизведение физической величины заданного размера; сравнение величин.

Содержание и этапы обработки данных при измерениях

измерение погрешность метрологический данные

В общем случае, обработка данных осуществляется в последовательности, которая отражает логику решения измерительной задачи:

предварительный анализ информации, полученной на предыдущих этапах измерения;

вычисление и внесение возможных поправок на систематические погрешности;

формулирование и анализ математической задачи обработки данных;

построение или уточнение возможных алгоритмов обработки данных, т.е. алгоритмов вычисления результата измерения и показателей его погрешности;

анализ возможных алгоритмов обработки и выбор одного из них на основании известных свойств алгоритмов, априорных данных о погрешностях и предварительного анализа экспериментальных данных;

проведение вычислений согласно принятому алгоритму, в итоге получают значение измеряемой величины и показатели погрешности измерения;

анализ и содержательная интерпретация полученных результатов;

запись результата измерения и показателей погрешности в соответствии с установленной формой представления.

Классификация погрешностей

Погрешности классифицируют по различным признакам: по причине возникновения, по закономерности проявления и зависимости от скорости изменения измеряемой величины.

Методическая, инструментальная и субъективная погрешности. По причине возникновения различают методические, инструментальные и субъективные погрешности.

Методическая погрешность _м обусловлена несовершенством метода измерений или упрощениями, допущенными при измерениях. Она возникает из-за использования приближенных формул при расчете результата или неправильной методики измерений. Выбор ошибочной методики возможен из-за несоответствия измеряемой физической величины и ее модели.

Методическая погрешность может быть вызвана использованием приближенных формул при расчетах измеряемой величины.

Причиной методической погрешности может быть не учитываемое взаимное влияние объекта измерений и измерительных приборов или недостаточная точность такого учета.

К методической относят погрешность отсчитывания по шкале аналоговых приборов и погрешность квантования и дискретизации в цифровых приборах. Если в приборах введены средства вычислительной техники, то появляется методическая погрешность, обусловленная преобразованием аналогового измерительного сигнала в цифровой.

Инструментальная погрешность _и обусловлена несовершенством применяемых средств измерений. Причинами ее возникновения являются неточности, допущенные при изготовлении и регулировке приборов, изменение параметров элементов конструкции и схемы вследствие старения. В высокочувствительных приборах могут сильно проявляться их внутренние шумы.

Субъективная погрешность обусловлена индивидуальными особенностями экспериментатора: его опытом, внимательностью, состоянием органов чувств, в первую очередь зрения.

Систематические и случайные погрешности, грубые погрешности и промахи. По закономерности проявления погрешности делят на систематические и случайные погрешности, грубые погрешности и промахи.

Систематической погрешностью называют составляющую погрешности измерений, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.

К постоянным систематическим погрешностям относят некоторые методические погрешности, например из-за использования приближенных соотношений при проведении косвенных измерений. Систематическими являются некоторые составляющие инструментальной погрешности, например, погрешность градуировки прибора.

Общую систематическую погрешность можно представить как сумму частных погрешностей _i, вызванных различными причинами:

,

где k - число учитываемых составляющих систематической погрешности.

Случайными называют составляющие погрешностей измерений, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности определяются совместным действием ряда причин: внутренними шумами элементов электронных схем, наводками на входные цепи средств измерений, пульсацией постоянного питающего напряжения, дискретностью счета. Поэтому случайную погрешность можно также представить в виде суммы частных погрешностей _i,так что , где m - число учитываемых составляющих погрешности. Случайные погрешности оценивают методами математической статистики.

Общую погрешность определяют как сумму систематической и случайной составляющих:

= + .

Иногда появляются грубые погрешности, существенно превышающие ожидаемое значение погрешности, их исключают из дальнейшего рассмотрения статистическими методами.

Промахи обусловлены неправильными действиями экспериментатора, заключающимися, например, в описках при считывании показаний. Промахи обнаруживают нестатистическими методами и исключают.

Традиционные статистические методы обработки данных

Рассмотрим основные методы оценивания. Оценка параметра , полученная по выборке, является случайной величиной. Поэтому необходимо сформулировать основные требования к оценкам, обуславливающие возможности их применения на практике.

Несмещенность. Оценка параметра а является несмещенной, если ее математическое ожидание равно искомому параметру: М = а.

Состоятельность. Оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки n она стремиться к истинному значению параметра (по вероятности): P {|-a| > } 0, > 0.

Эффективность. Оценка называется эффективной (в определенном классе оценок), если она имеет минимальную дисперсию в этом классе.

Как правило, основной характеристикой случайной погрешности является среднее квадратическое отклонение (СКО) ( = S²). Например, если при прямых измерениях величины получен ряд результатов наблюдений х₁, х₂, … х_n, то СКО их погрешностей чаще всего оценивают по формуле

.

Если в качестве результата измерения принимают среднее , то его СКО оценивают как .

Доверительные границы случайной погрешности получают путем умножения оценки СКО S() на коэффициент t_p, зависящий от распределения погрешностей, числа наблюдений n и доверительной вероятности Р:. В частности, при гауссовском распределении погрешностей t_p - коэффициент Стьюдента с числом степеней свободы n-1 соответствует вероятности Р.

Для выборки из нормального распределения метод максимального правдоподобия дает оценки:

математического ожидания - среднее арифметическое выборки

;

дисперсии - выборочную дисперсию

.

Оценки и - асимптотически эффективные, причем не смещена, а имеет смещение. Несмещенной оценкой дисперсии является

.

Отметим, что соответствующая оценка СКО

является смещенной, однако ее смещение можно сделать малым, если заменить в знаменателе (n - 1) на (n - 1,5).

Идентификация формы закона распределения погрешности

Гистограмма.

Исходные данные для выбора закона распределения получают из гистограммы. Для ее построения по результатам многократных наблюдений строят вариационный ряд - располагают результаты в порядке возрастания и выбирают минимальное х₁ и максимальное х_n значения - крайние члены вариационного ряда. Отрезок (х_n - x₁) между ними делят на m интервалов одинаковой протяженности d. Интервалы ограничены значениями х_i и х_i+1, где х_i = х₁ + (i - 1)d; х_i+1 = х₁ + id (i = 1, 2, … n+1). Заметим, что верхняя граница последнего интервала х_m+1 = х_n. По вариационному ряду определяют число n_i результатов, попавших в каждый интервал, а затем вычисляют относительные частоты n_i/n.

Относительные частоты являются оценками вероятности р_i попадания результатов в данный интервал, т.е. .

Выбор числа разбиений при построении гистограммы.

Для каждого вида закона распределения существует оптимальное число интервалов, при котором гистограмма будет в наибольшей мере соответствовать изменению плотности вероятности.

Оптимальное число интервалов в первую очередь должно зависеть от числа наблюдений. Действительно, если принять СКО высоты столбцов независящим от числа измерений, то с ростом n число интервалов также должно возрастать. Исследования показали, что для большинства встречающихся на практике законов распределения оптимальное число интервалов

,

где m - оптимальное число интервалов.

Оптимальное число m лежит от m_н = 5,4lg n / 10 до m_в = 9,8lg n / 10. Область значений m при разных числах наблюдений показано на рисунке:

Выбор интервалов одинаковой длины не всегда целесообразен. Так, на участках быстрого изменения плотности вероятности или в тех точках, где плотность вероятностей меняется скачкообразно, интервалы следует уменьшить. Крайние же столбцы гистограммы можно сделать более протяженными.

Обработка результатов наблюдений, содержащих грубые погрешности

В ходе статистической обработки результатов многократных наблюдений иногда выясняется, что некоторые результаты аномальны т.е. значительно превышают ожидаемую погрешность. Аномальные результаты могут проявлением случайного характера погрешности или особенностей измеряемой величины. Такие результаты следует сохранить для последующей обработки. Однако появление аномальных результатов может быть и обусловлено факторами, не отражающими сущность эксперимента.

Разработка и анализ методов исключения имеют большое практическое значение, поскольку при использовании сложной измерительной аппаратуры доля аномальных результатов может достигать 10… 15% общего числа измерений.

Общие методы исключения грубых погрешностей.

Наиболее распространенным методом исключения результатов содержащих грубые погрешности, является цензурирование результатов измерения - исключение результатов, погрешности которых превышают установленные границы цензурирования х_с. грубые оценки н=границы получают, пользуясь правилом «трех сигма», согласно которому границы цензурирования х_с = 3S. Для гауссовского закона распределения погрешностей вероятность превышения погрешностью этого уровня составляет 0,0027 и результат с такой погрешностью исключают.

Обработка совместных измерений

В ходе исследований часто прибегают к совместным измерениям, целью которых является установление вида функции y = f(x) - математической модели исследуемой зависимости. Из-за погрешности измерений и неполноты модели экспериментальные точки x_i, y_i имеют определенный разброс (рис1), поэтому точно определить модель невозможно, и ограничиваются нахождением ее оценки = f(x). Оценка должна удовлетворять двум противоречивым требованиям: обеспечивать сглаживание случайных отклонений экспериментальных точек и при этом отражать все особенности полученной зависимости.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Экспресс-методы определения графического вида математической модели

При значительных погрешностях применяют метод контура - проводят линии ограничивающие поле экспериментальных точек сверху и снизу (рис 2 а). График искомой математической модели строят как центральную линию полученного контура.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При больших погрешностях и часто встречающихся промахах из-за возрастания неопределенности при построении контура и центральной линии метод контура становиться мало эффективным. В таких случаях можно использовать метод медианных центров, основанный на устойчивых к промахам медианным оценкам среднего значения. Все поле экспериментальных точек делят на несколько областей. Например, на рисунке 2 б выделены три области, ограниченные штриховыми линиями. В каждой области находят медианный центр. Для этого проводят горизонтальную линию, выше и ниже которой число точек одинаково (по две точки в каждой области), а затем вертикальную линию, справа и слева от которой число точек также одинаково. Медианные центры, лежащие на пересечении линий соединяют плавной линией.

Медианные оценки можно использовать для исключения промахов. Например, при монотонно изменяющихся отсчетах вместо очередного отсчета берут медиану трех соседних отсчетов. Так на рисунке 2 в исходные результаты показаны точками, причем точка 4 выпадает из общей зависимости. Если не один из трех соседних отсчетов не содержит промаха, то медианные значения (отмечены знаком +) совпадают со средними отсчетами. При двух следующих подряд промахах метод не эффективен.

Выбор математической модели. Вид зависимости = f(x), описывающий опытные данные, выбирает экспериментатор на основе предварительных данных о природе исследуемой зависимости или о расположении экспериментальных точек. Модель должна быть содержательной, т.е. чтобы входящим в нее постоянные можно было приписать определенный физических смысл.

Размещено на Allbest.ru