Управляемость и наблюдаемость системы автоматизированного управления
Понятие, сущность и характеристика управляемости и наблюдаемости системы автоматизированного управления. Расчет поведения линейной системы в пространстве состояний собственных векторов матрицы. Условия управляемости в терминах исходной системы Калмана.
Рубрика | Производство и технологии |
Вид | лекция |
Язык | русский |
Дата добавления | 22.07.2015 |
Размер файла | 94,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Управляемость и наблюдаемость системы автоматизированного управления
Рассмотрим случай, когда все переменные состояния могут быть измерены, а результаты этих действий могут быть использованы для управления системой. Однако такой случай не всегда технически реализуем. Поэтому для систем автоматического управления вводится понятие управляемости.
Рассмотрим :
,
где - матрицы с постоянными коэффициентами.
При этом управление полагается скалярным, т.е. управление объектом осуществляется по одной координате.
Заданы начальная и конечная точка , и . Задача состоит в том, чтобы перевести систему из заданного начального положения в некоторую точку, совпадающую с началом координат. При этом никаких ограничений на величину управляющего воздействия и время регулирования не накладывается. Если такая задача решается при любых начальных и конечных условиях, то такая система является управляемой.
Система называется управляемой, если существует такое управление, которое из любого начального состояния в любое конечное положение. При каких условиях система является управляемой. Попытаемся выяснить причины неуправляемости. Это удобно сделать с помощью геометрического представления движения системы. Как отмечалось выше решение линейного однородного уравнения имеет вид:
Если какой-нибудь из коэффициентов , а остальные отличны от нуля, то движение происходит в инвариантном подпространстве матрицы . С геометрической точки зрения все траектории лежат в плоскости S, т.е. вектор также направлен вдоль этой плоскости. Предположим, что вектор тоже лежит в плоскости . Очевидно, что добавка к вектору величины оставляет вектор в той же плоскости, хотя и деформирует траекторию движения вектора состояния. Следовательно, если начальная точка лежит в плоскости , а конечная -- нет, то попасть в точку с заданными координатами нельзя, так как не существует управления, которое переводит состояние системы с заданными параметрами из начальной точки в конечную. Такая система неуправляема по определению.
Условия управляемости в терминах исходной системы получены Калманом и имеют вид:
Для управляемости системы (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие вида
.
Это условие выполняется, если матрица U вида
имеет ранг, равный N.
Рангом матрицы называется наибольший порядок ее определителя, отличный от нуля.
Рассмотрим поведение системы в пространстве состояний собственных векторов матрицы А (для простоты будем полагать, что собственные значения матрицы А -- действительные и различные). Как мы убедимся в дальнейшем, в этом пространстве условия управляемости становятся практически очевидными. Введем неособое преобразование вида
,
где .
Выше отмечалось, что и существует. Поэтому вектора X и Y связаны однозначной зависимостью. Следовательно, задачи об управляемости в пространствах этих переменных эквивалентны.
В пространстве новых переменных
поведение САУ описывается уравнением
.
Рассмотрим произведение
.
так как
,
То
,
Где
Следовательно, уравнение (4) приводится к виду
.
Или
.
-- вектор столбец с компонентами .
Так как матрица Р диагональная, то
,
где .
и если хотя бы одно , то координата -- неуправляема. Поэтому можно предположить, что, если все , то система управляема.
Рассмотрим n-мерное пространство состояния Х, в котором каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки, определяемое значениями фазовых координат .
Пусть в пространстве состояния заданы два множества и . Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление , определенное на конечном интервале времени , которое переводит изображающую точку в пространстве Х из подобласти в подобласть .
Можно сузить определение управляемости и понимать под ней возможность перевода изображающей точки из любой области пространства состояний Х в начало координат. Система будет управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле.
От пространства состояний Х перейдем к другому пространству посредством неособого преобразования , причем , где -- матрица коэффициентов .
Тогда вместо уравнения вида
,
где j -- матрица возмущающих и задающих воздействий,
u -- матрица-столбец управляющий величин,
y -- матрица-столбец регулируемых величин,
x- матрица-столбец фазовых координат,
будем иметь
.
Здесь использованы преобразованные матрицы коэффициентов:
, , , и .
Введение новых фазовых координат посредством неособого преобразования
приводит к эквивалентным системам различной структуры. При некотором преобразовании может оказаться, что часть управляющих величин не входит в некоторые дифференциальные уравнения (7) или часть фазовых координат не участвует в формирование вектора выходного сигнала . В первом случае система не будет полностью управляемой, а во втором -- полностью наблюдаемой.
В случае не полностью управляемой системы ее исходное уравнение могут быть представлены в виде
Это иллюстрирует рис. 7. Набор фазовых координат соответствует управляемой части фазовых координат, а набор -- неуправляемой части.
Рис. 1. Пример не полностью управляемой системы
Калманом был доказан критерий управляемости, который гласит, что размерность управляющей части системы, то есть порядок первой группы уравнений (7) совпадает с рангом матрицы
,
где k -- размерность управляющего вектора.
При система полностью управляема, при -- система не полностью управляема, при -- система полностью не управляема.
Рис. 2. Структура исходной системы
На рис. 8 представлен простейший пример. Если рассматривать выходную величину при нулевых начальных условиях, то можно записать
,
где
определяются начальными условиям до приложения входного сигнала , а -- вынужденная составляющая. Система устойчива при .
Если начальные условия до приложения управляющего сигнала были нулевыми, то поведение системы может быть рассчитано по передаточной функции
В этом случае переходный процесс в системе определяется как
управляемость наблюдаемость автоматизированный калман
Как следует из последнего выражения, во втором случае система описывается дифференциальным уравнением не третьего, а второго порядка. Система будет устойчивой даже при .
Рассмотренная система будет не полностью управляемой. В ней оказывается , а .
При введении второй составляющей управления система оказывается полностью управляемой, и ей будет соответствовать матрица-строка передаточный функций по управлению
.
В случае не полностью наблюдаемой системы ее уравнения могут быть представлены в виде
.
Эти уравнения отличаются от (7) тем, что фазовые координаты группы не входят ни в выражения для и , ни в первое уравнение, куда входят фазовые координаты группы . Группа фазовых координат относится к ненаблюдаемым.
Калманом показано, что порядок первой группы уравнений совпадает с рангом матрицы V вида
.
При система полностью наблюдаема, при -- система не полностью наблюдаема, при -- система полностью ненаблюдаемая.
На рис. 9 изображен простейший пример. Для него легко показать, что в формировании выхода участвуют только две фазовые координаты из трех.
Рис. 3. Пример не полностью наблюдаемой системы
В общем случае система может содержать четыре группы фазовых координат:
управляемую, но ненаблюдаемую часть ,
управляемую и наблюдаемую часть ,
неуправляемую и ненаблюдаемую часть ,
неуправляемую но наблюдаемую част .
Исходные уравнения системы (7) можно для самого общего случая записать следующим образом:
Левая часть характеристического уравнения
,
где Е -- единичная матрица размера , системы в этом случае содержит четыре сомножителя:
Управляемость и наблюдаемость системы в изложенном смысле не всегда совпадает с практическими представлениями. Даже если какая-либо фазовая координата и может быть вычислена по доступным для измерения выходным величинам обработка измеренных величин может быть, во-первых, сложной и, во-вторых, она может быть затруднена наличием помех. Поэтому практически наблюдаемыми координатами обычно считаются те из них, которые могут быть измерены датчиками различных типов.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Ознакомление с принципами действия автоматических регуляторов температуры для теплицы. Составление математической модели системы автоматизированного управления. Описание и характеристика системы автоматического управления в пространстве состояний.
курсовая работа [806,1 K], добавлен 24.01.2023Описание технологического процесса обезжелезивания и деманганации воды. Цели создания и внедрения системы автоматизированного управления насосными агрегатами, ее структурные уровни. Расчет и выбор элементов силовой части и системы защиты электропривода.
дипломная работа [3,0 M], добавлен 30.01.2013Анализ системы улучшения устойчивости СУУ-400. Разработка системы автоматической проверки. Требования к безопасности обслуживания перед началом работы. Технико-экономическое обоснование проекта. Расчет эксплуатационных расходов внедряемой технологии.
дипломная работа [740,9 K], добавлен 18.01.2011Генерация случайного виртуального объекта в пространстве переменных состояния. Получение модели в виде матрицы передаточных функций. Анализ управляемости и наблюдаемости объекта управления. Построение структурной схемы с указанием переменных состояния.
курсовая работа [513,3 K], добавлен 19.04.2013- Техническая реализация системы автоматизированного управления уровнем воды в барабане парового котла
Характеристика котла для производства перегретого пара. Функции регулятора уровня воды в барабане парового котла. Разработка технической структуры системы автоматизированного управления и функциональной схемы регулятора. Организация безударных переходов.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 21.12.2011 Оценка точности в установившемся режиме. Проверка устойчивости исходной системы. Расчет корректирующего устройства. Построение области устойчивости скорректированной системы в плоскости параметров, графика переходного процесса и оценка качества системы.
курсовая работа [400,4 K], добавлен 21.10.2013Анализ автогенных процессов в цветной металлургии. Характеристика технологического процесса как объекта управления. Разработки системы оптимального управления технологическим процессом плавки в печи Ванюкова в условиях медеплавильного завода "Балхашмыс".
дипломная работа [762,5 K], добавлен 25.02.2014Исследование автоматизированного электропривода типовых производственных механизмов и технологических комплексов. Определение показателей качества математической модели электропривода, оптимизирования регулятора. Анализ поведения системы без регулятора.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 07.06.2011Основное оборудование, входящее в состав резервуарного парка НПС "Рязань". Технологический процесс перекачки нефтепродуктов. Комплекс обслуживающих технических средств. Разработка системы автоматизированного управления нефтеперекачивающей станции.
дипломная работа [4,2 M], добавлен 03.11.2014Особенности системы автоматического управления температуры печи, распространенной в современном производстве. Алгоритм системы управления температуры печи. Устойчивость исходной системы автоматического управления и синтез корректирующих устройств.
курсовая работа [850,0 K], добавлен 18.04.2011