Исследование точности технологического процесса обработки деталей статистическим методом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Украины

Национальный авиационный университет

Контрольная работа

по дисциплине: «Типовые процессы производства»

Исследование точности технологического процесса обработки деталей статистическим методом

1. Краткие теоретические сведенья

1.1 Статистический ряд. Гистограмма

При большом числе наблюдений (порядка сотен) простая статистическая совокупность становится слишком громоздкой и мало наглядной. Для придания большей компактности и наглядности статистический материал подвергается дополнительной обработке - строится "статистический ряд".

Для этого весь диапазон наблюденных значений X делится на интервалы (разряды) и подсчитывается количество значений m приходящееся на каждый i-й интервал. Это число делится на общее число наблюдений з и находится частота, соответствующая данному интервалу:

(1.1)

Сумма частот всех интервалов, очевидно, равна единице. Таблица, в которой приведены интервалы в порядке их расположения вдоль оси абсцисс и соответствующие частоты, называется статистическим рядом:

Таблица 1.1

Здесь - обозначение i-го интервала; - его границы; - соответствующая частота; k - число интервалов.

Практика показывает, что в большинстве случаев рационально выбирать число интервалов порядка 10-20. Длины интервалов могут быть как одинаковыми, так и различными.

Статистический ряд часто оформляется графически в виде гистограммы. По оси абсцисс откладываются интервалы, и на каждом из интервалов как их основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного интервала.

Для построения гистограммы нужно частоту каждого интервала разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь ее равна единице.

Пример гистограммы, построенной по данным статистического ряда (рис. 1.1)

Рис.1.1

При увеличении числа опытов можно выбирать более мелкие интервалы; при этом гистограмма будет все более приближаться к некоторой кривой, ограничивающей площадь, равную единице. Эта кривая представляет собой график плотности распределения величины X. Пользуясь данными статистического ряда, можно приближенно построить и статистическую функцию распределения величины X. Построение точной статистической функции распределения с несколькими сотнями скачков во всех наблюденных значениях X слишком трудоемко и себя не оправдывает. Для практики обычно достаточно построить статистическую функцию распределения по нескольким точкам, в качестве этих точек удобно взять границы интервалов, которые фигурируют в статистическом ряде. Тогда очевидно,

(1.2)

Числовые характеристики статистического распределения

Функция распределения случайной величины (св.) является самой универсальной характеристикой. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т. е. является одной из форм закона распределения.

Построение статистической функции распределения F*(x) уже решает задачу описания экспериментального материала. Однако при большом числе опытов з построение F*(x) весьма трудоемко. Кроме того, часто бывает даже выгоднее пользоваться числовыми характеристиками случайной величины. Каждой числовой характеристике случайной величины X соответствует ее статистическая аналогия. Для основной характеристики положения - математического ожидания (М. О.) случайной величины - такой аналогией является среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины:

(1.3)

где - значение случайной величины, наблюденное в i-ом опыте, n - число опытов.

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратичным отклонением (иначе - "стандартом") случайной величины X:

.

На практике часто применяется формула, выражающая дисперсию случайной величины через ее второй начальный момент:

, (1.5)

Статистический второй начальный момент случайной величины X представляет собой математическое ожидание 2-ой степени квадрата этой случайной величины:

. (1.6)

Математическое ожидание и (или среднее квадратичное отклонение ) - наиболее часто применяемые характеристики случайной величины. Они характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности.

При очень большом количестве опытов вычисление характеристик по формулам (1.3) - (1.5) становится чрезмерно громоздким, и можно применить следующий прием: воспользоваться теми же разрядами (интервалами), на которые был расклассифицирован статистический материал для построения статистического ряда или гистограммы, и считать приближенно значение случайной величины в каждом разряде постоянным и равным среднему значению, которое выступает в роли "представителя" разряда (интервала). Тогда при очень большом количестве опытов статистические числовые характеристики будут выражаться приближенными формулами:

(1.7)

(1.8)

(1.9)

где - "представитель" i-гo разряда (интервала), - частота i-гo разряда, k - число разрядов.

1.2 Выравнивание статистических рядов

Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности, связанные с тем, что число наблюдений ограничено, что произведены именно те, а не другие опыты, давшие именно те, а не другие результаты. Только при очень большом числе наблюдений эти элементы случайности сглаживаются, и случайное явление обнаруживает в полной мере присущую ему закономерность. На практике почти никогда не имеют дела с таким большим числом наблюдений и вынуждены считаться с тем, что любому статистическому распределению свойственны в большей или меньшей мере черты случайности. Поэтому при обработке статистического материала часто приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического рада теоретическую кривую распределения, выражающую лишь существенные черты статистического материала, но не случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных. Такая задача называется задачей выравнивания (сглаживания) статистических рядов.

Часто принципиальный характер функции, выражающей исследуемую зависимость, известен заранее из теоретических соображений, из опыта же требуется получить лишь некоторые численные параметры, входящие в выражение функции; именно эти параметры подбираются с помощью метода наименьших квадратов.

Предположим, например, что исследуемая величина X есть ошибка измерения, возникающая в результате суммирования воздействий множества независимых элементарных ошибок; тогда из теоретических соображений можно считать, что X подчиняется нормальному закону:

(1.2.1)

И задача выравнивания переходит в задачу о рациональном выборе параметров m и в выражении (1.10).

Следует при этом иметь в виду, что любая аналитическая функция f(x), с помощью которой выравнивается статистическое распределение, должна обладать основными свойствами плотности распределения:

(1.2.2)

Предположим, что, исходя из тех или иных соображений, выбрана функция, удовлетворяющая условиям (11), с помощью которой мы хотим выровнять данное статистическое распределение; в выражение этой функции входит несколько параметров a, b,…; требуется подобрать эти параметры так, чтобы функция f(x) наилучшим образом описывала данный статистический материал. Один из методов, применяемых для решения этой задачи, - это так называемый метод моментов.

Согласно методу моментов, параметры a, b,… выбираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик (моментов) теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам. Например, если теоретическая кривая f(x) зависит только от двух параметров a и b, эти параметры выбираются так, чтобы математическое ожидание и дисперсия теоретического распределения совпадали с соответствующими статистическими характеристиками и . Если кривая f(x) зависит от трех параметров, можно подобрать их так, чтобы совпали первые три момента, и т. д.

Из графика видно, что теоретическая кривая распределения f(x), сохраняя, в основном существенные особенности статистического распределения, свободна от случайных неправильностей хода гистограммы, вызываемых случайными причинами.

Рис. 1.2.1

2. Задание. Произвести исследования точности технологического процесса обработки деталей статистическим методом, путем построения кривой нормального распределения

Отверстия для подшипников, корпуса прибора обрабатывается на автоматическом станке до размера по чертежу .

Допуск на обработку отверстия составляет . Распределение значений диаметров после обработки приведено в табл. 2.1.

технологический обработка статистический гистограмма

Табл. 2.1

3. Алгоритм сортировки входных данных

Отсортируем данные полученные статистическим методом. Сортировку произведем по известному алгоритму - метод пузырька.

Простая обменная сортировка (в просторечии называемая "методом пузырька") для массива a[1], a[2], ..., a[n] работает следующим образом. Начиная с конца массива сравниваются два соседних элемента (a[n] и a[n-1]). Если выполняется условие a[n-1] > a[n], то значения элементов меняются местами. Процесс продолжается для a[n-1] и a[n-2] и т.д., пока не будет произведено сравнение a[2] и a[1]. Понятно, что после этого на месте a[1] окажется элемент массива с наименьшим значением. На втором шаге процесс повторяется, но последними сравниваются a[3] и a[2]. И так далее. На последнем шаге будут сравниваться только текущие значения a[n] и a[n-1]. Понятна аналогия с пузырьком, поскольку наименьшие элементы (самые "легкие") постепенно "всплывают" к верхней границе массива.

Табл.2.2

4. Расчет гистограммы и составляющих закона распределения

Разделение значения для разных интервалов выделены разными цветами.

Найдем рассеивание измеряемой величины по формуле:

мм

Из условия задачи известно, что интервал нужно разбить на 6 интервалов L=6. Найдем величину интервала:

мм

Последовательно добавляя h к минимальному диаметру, получим интервалы для гистограммы.

i1= 15.107<d

i2= 15.107?d<15.214

i3= 15.214<d?15.321

i4= 15.321<d?15.428

i5= 15.428<d?15.535

i6= d>15.535

i - интервал.

Определим значения, которые попали в соответствующий интервал, а также их частоты за следующей формулой.

Данные запишем в таблицу.

- статистическая функция распределения.

Табл. 3.1

По данным из табл. 3.1 построим гистограмму и статистическую функцию распределения:

Рис. 4.1 Статистическая функция распределения

Рис. 4.2 Гистограмма распределения

Найдем составляющие нормального закона распределения:

- математическое ожидание (среднее арифметическое в данном случае)

- дисперсия случайной величины

- среднее квадратичное отклонение

Нормальный закон распределения имеет следующий вид:

В нашем случае:

Построим график найденной функции распределения:

Размещено на Allbest.ru