Расчет посадки с зазором в системе вала

Размещено на http://www.allbest.ru/

Часть 1. Рассчитать параметры посадки ; написать все виды обозначения предельных отклонений размеров на конструкторских и рабочих чертежах

Решение

Для расчета дана посадка с зазором в системе вала.

1. Определяем отклонения отверстия и вала по ГОСТ 25347-82.

Рис. 1. Схема расположения полей допусков посадки

2. Рассчитываем величины предельных размеров.

3. Рассчитываем допуски отверстия и вала.

или

4. Определяем минимальный и максимальный зазоры.

или

5. Определяем средний зазор.

6. Вычисляем допуск зазора посадки.

7. Обозначение предельных отклонений размеров на конструкторских чертежах:

а) условное обозначение полей допусков:



б) числовые значения предельных отклонений:

в) условное обозначение полей допусков и числовых значений предельных отклонений:

8. Обозначение размеров на рабочих чертежах:

Часть 2. Расчет линейных размерных цепей методом полной взаимозаменяемости

Исходные данные

N₁=19 мм, N₂=56 мм, N₃=19 мм, N₄=108 мм, N₅=14 мм, мм.

Прямая задача

1. Согласно заданию имеем:

N_?=0 мм,

2. Составляем график размерной цепи.

3. Составляем уравнение размерной цепи:

Значения передаточных отношений равны:

Таким образом, уравнение размерной цепи будет иметь вид:

4. Производим проверку правильности назначения номинальных значений составляющих размеров:

Так как по условию задачи N_?=0 мм, следовательно, номинальные размеры назначены правильно.

5. Осуществляем увязку допусков, для чего исходя из величины T_?, рассчитаем допуски составляющих размеров.

Так как в узел входят подшипники качения, допуски которых являются заданными, то коэффициент относительной ассиметрии определяется по формуле (2.1)

(2.1)

где T_? - допуск замыкающего размера, мкм;

T_cm - допуски стандартных деталей, мкм;

i_j - значение единицы допуска, мкм;

m - число стандартных деталей с заданными допусками.

Допуск ширины подшипников равен 0,12 мм, т.е. T₁=T₃=0,12 мм.

Значения i для диапазона размеров до 630 мм (5…17 квалитетов) приведены в таблице 1.

Таблица 1

Интервалы размеров, мм	До 3	св. 3 до 6	св. 6 до 10	св. 10 до 18	св. 18 до 30	св. 30 до 50	св. 50 до 80	св. 80 до 120	св. 120 до 180
ij, мкм	0,55	0,73	0,90	1,08	1,31	1,56	1,86	2,17	2,52

Интервалы размеров, мм	св. 180 до 250	св. 250 до 315	св. 315 до 400	св. 400 до 500	св. 500 до 630
ij, мкм	2,89	3,22	3,54	3,89	4,34

По таблице 1 определяем значения i для данных размеров:

для размера N₂=56 мм i₂=1,86;

для размера N₄=108мм i₄=2,17;

для размера N₅=14 мм i₅=1,08;

По формуле (2.1) определяем a_c

6. По ГОСТ 25346-82 такому значению a_c соответствует точность, лежащая между 8 и 9 квалитетами. Примем для всех размеров 8 квалитет, тогда

T₂=0,046 мм; T₄=0,054 мм; T₅=0,027мм;

7. Производим проверку правильности назначения допусков составляющих размеров по уравнению (2.2)

(2.2)



Так как полученная сумма допусков меньше заданного допуска замыкающего размера на величину 0,033 мм, что составляет 8,25% от T_?, то на размер N₂=56мм (увязочный размер) назначаем нестандартный допуск, определяемый по формуле (2.3)

(2.3)

8. Осуществим увязку средних отклонений, для чего примем следующий характер расположения полей допусков составляющих размеров.

Средние отклонение EC для каждого составляющего размера определяется по формуле (2.4)

(2.4)

где ES_j - верхнее предельное отклонение;

EI_j - нижнее предельное отклонение.

Определяем среднее отклонение увязочного размера, используя уравнение (2.5)

(2.5)

Откуда

Предельные отклонения размера N₅ равны:

Таким образом,

Вывод: по заданным номинальным значениям составляющих размеров N_i и значению замыкающего размера A_? методом полной взаимо-заменяемости установлены следующий характер допусков и предельных отклонений составляющих размеров:

Обозначение размера	Размер

Обратная задача

Сведем данные для расчета, полученные при решении прямой задачи, в таблицу 2.

Таблица 2

Обозначение размера	Размер		Nj	ECj	Tj
N1			19	-0,06	0,12	- 19	+0,06	0,12
N2			56	-0,407	0,079	-56	+0,407	0,079
N3			19	-0,06	0,12	-19	+0,06	0,12
N4			108	-0,027	0,054	+108	-0,027	0,054
N5			14	0	0,027	-14	-0	0,027

1. Номинальное значение замыкающего размера:

2. Среднее отклонение замыкающего размера:

3. Допуск замыкающего размера:

4. Предельные отклонения замыкающего размера:

5. Сравниваем полученные результаты с заданными:

Вывод: проверка методом полной взаимозаменяемости показала, что допуски и предельные отклонения составляющих размеров назначены правильно и не требуют изменения.

Расчет линейных размерных цепей теоретико-вероятностным методом

Прямая задача

1. Согласно заданию имеем:

N_?=0 мм,

2. Составляем график размерной цепи.

3. Составляем уравнение размерной цепи:

Значения передаточных отношений равны:

Таким образом, уравнение размерной цепи будет иметь вид:

4. Производим проверку правильности назначения номинальных значений составляющих размеров:

Так как по условию задачи N_?=0 мм, следовательно, номинальные размеры назначены правильно.

5. Осуществляем увязку допусков, для чего исходя из величины T_?, рассчитаем допуски составляющих размеров.

Так как в узел входят подшипники качения, допуски которых являются заданными, то коэффициент относительной ассиметрии определяется по формуле (2.6)

(2.6)

где T_? - допуск замыкающего размера, мкм;

T_cm - допуски стандартных деталей, мкм;

i_j - значение единицы допуска, мкм;

m - число стандартных деталей с заданными допусками.

Допуск ширины подшипников равен 0,12 мм, т.е. T₁=T₃=0,12 мм.

Значения i для диапазона размеров до 630 мм (5…17 квалитетов) приведены в таблице 1. По этой таблице определяем значения i для данных размеров:

для размера N₂=56 мм i₂=1,86;

для размера N₄=108 мм i₄=2,17;

для размера N₅=1,08 мм i₅=1,08;

По формуле (2.6) определяем a_c

6. По ГОСТ 25346-82 устанавливаем, что полученное значение a_c расположено между 10 и 11 квалитетами. Установим для всех размеров допуски по 11 квалитету, тогда

T₂=0,19 мм; T₄=0,22 мм; T₅=0,11 мм;

7. Производим проверку правильности назначения допусков составляющих размеров по уравнению (2.7)

(2.7)

где _j - передаточные отношения j-го составляющего размера;

и _j - относительные средние квадратические отклонения законов распределения значений замыкающего и j-го составляющего размеров.

Для рассматриваемого случая (при допустимом количестве брака на сборке равном 0,27%) , для всех размеров.

Полученная сумма допусков оказалась меньше заданного допуска замыкающего размера. Для того чтобы полностью использовать заданный допуск замыкающего размера, расширим допуск размера N₂=56 мм и найдем его из уравнения (2.7)

Откуда

.

8. Осуществим увязку средних отклонений. Увязку будем производить за счет среднего отклонения размера N₂, принятого в качестве увязочного.

Примем следующий характер расположения полей допусков составляющих размеров.

Сведем данные для расчета в таблицу 3.

Таблица 3

Обозначение размера	Размер		ECj	Tj	j
N1			-0,06	0,12	+0,2	0,012	-0,048	+0,048
N2				0,147		0,0147
N3			-0,06	0,12	+0,2	0,012	-0,048	+0,048
N4			-0,11	0,22		0,022	-0,088	-0,088
N5			0	0,11	0	0	0	0

По уравнению (2.8) найдем среднее отклонение размера N₂

(2.8)

где и _j - коэффициенты относительной ассиметрии законов распределения значений замыкающего и j- го составляющего размеров. Для замыкающего размера .

Откуда

Предельные отклонения размера N₅ равны:

Таким образом,

Вывод: по заданным номинальным значениям составляющих размеров N_i и значению замыкающего размера A_? теоретико-вероятностным методом установлены следующие допуски и предельные отклонения составляющих размеров:

Обратная задача

Сведем данные для расчета, полученные при решении прямой задачи, в таблицу 4.

Таблица 4

Обознач размера	размер			Tj
N1		-1	-0,06	0,12	+0,2	0,012	-0,048	+0,048	0,12	0,0144
N2		-1	-0,5067	0,147		0,0147	-0,492	+0,492	0,147	0,0216
N3		-1	-0,06	0,12	+0,2	0,012	-0,048	+0,048	0,12	0,0144
N4		+1	-0,11	0,22		0,022	-0,088	-0,088	0,22	0,0484
N5		-1	0	0,11	0	0	0	0	0,11	0,0121

1. Номинальное значение замыкающего размера:

2. Среднее отклонение замыкающего размера определяем по формуле (2.8):

3. Допуск замыкающего размера определяем по формуле (2.7):

4. Предельные отклонения замыкающего размера равны:



5. Сравниваем полученные результаты с заданными:

Вывод: проверка теоретико-вероятностным методом показала, что допуски и предельные отклонения составляющих размеров назначены правильно и не требуют изменения.

Часть 3. Проверка гипотезы о нормальности распределения вероятности результатов измерения. Представить два варианта доверительного интервала

Даны 100 независимых числовых значений результата измерения напряжения «U» цифровым вольтметром, каждое из которых повторилось m раз. Проверить гипотезу о нормальности распределения вероятности результатов измерения. Записать результат в принятой форме, исходя из уровня доверительной вероятности 0.90. Представить два варианта доверительного интервала - для нормального и для неизвестного закона распределения вероятности среднего арифметического значения измеряемого напряжения.

37,67	37,35	37,40	37,52	37,79	37,27	37,35	37,39	37,70	37,52	37,36	37,24	37,29
37,43	37,19	37,48	37,48	37,63	37,37	37,46	37,47	37,58	37,44	37,52	37,45	37,69
37,62	37,56	37,44	37,46	37,28	37,42	37,66	37,67	37,44	37,73	37,76	37,72	37,42
37,70	37,64	37,38	37,67	37,23	37,39	37,48	37,66	37,45	37,55	37,53	37,30	37,79
37,76	37,50	37,58	37,37	37,46	37,74	37,47	37,39	37,63	37,44	37,54	37,60	37,55
37,46	37,28	37,56	37,29	37,50	37,49	37,57	37,54	37,53	37,62	37,50	37,40	37,39
37,77	37,56	37,77	37,24	37,34	37,43	37,41	37,32	37,66	37,58	37,33	37,82	37,45
37,41	37,38	37,51	37,58	37,59	37,80	37,49	37,49	37,55

Решение.

В таблице 5 приведены 100 независимых числовых значений результата измерения напряжения «U» цифровым вольтметром, каждое из которых повторилось m раз.

Таблица 5

U, В	37.19	37.23	37.24	37.27	37.28	37.29	37.30	37.32	37.33	37.34	37.35
m	1	1	2	1	2	2	1	1	1	1	2
U, В	37.36	37.37	37.38	37.39	37.40	37.41	37.42	37.43	37.44	37.45	37.46
m	1	2	2	4	2	2	2	2	4	3	4
U, В	37.47	37.48	37.49	37.50	37.51	37.52	37.53	37.54	37.55	37.56	37.57
m	2	3	3	3	1	3	2	2	3	3	1
U, В	37.58	37.59	37.60	37.62	37.63	37.64	37.66	37.67	37.69	37.70	37.72
m	4	1	1	2	2	1	3	3	1	2	1
U, В	37.73	37.74	37.76	37.77	37.79	37.80	37.82
m	1	1	2	2	2	1	1

1. Определяем среднее арифметическое и стандартное отклонение для данных таблицы 5:

(3.1)

(3.2)

2. С помощью правила «трех сигм» проверяем наличие или отсутствие промахов.



Таким образом, ни один из результатов не выходит за границы интервала , следовательно, с вероятностью 0,9973 гипотеза об отсутствии грубых погрешностей принимается.

3. Построение гистограммы и выдвижение гипотезы о виде закона распределения вероятности.

Для этого разбиваем вариационный ряд значений напряжения (таблица 1) на 11 интервалов.

Рассчитываем значение интервалов по формуле (3.3).

, (3.3)

где k - число интервалов .

Примем k=11

.

Выбираем начало первого интервала равным

Конец последнего (11 интервала) в точке

Затем для каждого интервала подсчитывается количество результатов , попавших в данный интервал и определяется

(3.4)

Так в первый интервал попало меньше пяти измерений, то объединяем его со вторым интервалом.

Так как в одиннадцатом интервале также меньше пяти наблюдений, то объединим его с десятым.

Таким образом общее число интервалов становится равным 9.

Результаты производимых вычислений заносятся в таблицу 6.0

Таблица 6.

i	интервалы
1	37,185	37,245	4	0,83	-2,17	-1,36	-0,4854	-0,4131	0,0723	1,06	0,6
2	37,245	37,305	6
3	37,305	37,365	6	2	-1,36	-0,96	-0,4131	-0,3315	0,0816	0,57	1,36
4	37,365	37,425	14	2,33	-0,96	-0,55	-0,3315	-0,2088	0,1227	0,24	2,045
5	37,425	37,485	18	3	-0,55	-0,14	-0,2088	-0,0557	0,1531	0,47	2,55
6	37,485	37,545	14	2,33	-0,14	0,26	-0,0557	0,1026	0,1583	0,21	2,638
7	37,545	37,605	13	2,17	0,26	0,67	0,1026	0,2486	0,146	0,18	2,43
8	37,605	37,665	8	1,33	0,67	1,07	0,2486	0,3577	0,1091	0,78	1,818
9	37,665	37,725	7	1,17	1,07	1,48	0,3577	0,4306	0,0729	0,01	1,215
10	37,725	37,785	6	0,83	1,48	2,29	0,4306	0,4893	0,0587	2,91	0,489
11	37,785	37,845	4

Затем строится гистограмма (рис.1). При построении гистограммы выбираем масштаб таким образом, чтобы высота относилась к основанию как 5 к 8.

линейный цепь арифметический напряжение



Рис. 1 Гистограмма

Из вида гистограммы на рис 1 можно сделать предположение о том, что вероятность результата измерения подчиняется нормальному закону. Проверим правдивость этой гипотезы.

4. Проверка нормальности закона распределения по критерию Пирсона.

Если выдвинута гипотеза о нормальности распределения, то для расчета вероятностей используется функция Лапласа по формуле (3.5)

,(3.5)

где значения и соответствуют началу и концу интервала соответственно. При этом учитываем, что конец предыдущего интервала является началом следующего интервала. Для каждого из этих значений рассчитаем относительный доверительный интервал по формуле (3.6)

,(3.6)

а затем из таблиц функции Лапласа найдем соответственные значения и

. Данные заносим в таблицу 2.

Находим доверительную вероятность для каждого интервала по формуле (3.7).

(3.7)

Затем рассчитаем значение и найдем суммарное значение

Данные расчета занесем в таблицу 2.

Определим табличное (критическое) значение , задавшись доверительной вероятностно 0,9 и вычислив по формуле r = k - 3 число степеней свободы:

.

.

Таким образом, с вероятностью 0,9 гипотеза о нормальности распределения вероятности результата измерения напряжения принимается.

5. В тех же координатах, что и гистограмма, строим теоретическую кривую плотности вероятности. Для этого рассчитываем значения плотности вероятности для середины каждого интервала . Результат расчета заносим в таблицу 2. Эти значения откладываем как ординаты из середин соответствующих интервалов; полученные точки соединяем плавной кривой, симметричной относительно математического ожидания (среднего арифметического значения) (рис.1).

6. Представление результата в виде доверительного интервала.

Для этого определим стандартное отклонение среднего арифметического по формуле (3.8):

,(3.8)

.

Закон распределения вероятности для среднего арифметического считаем нормальным (что следует из нормальности распределения самой измеряемой величины), тогда доверительный интервал определяем по выражению

,

при доверительной вероятности 0,90. Этому значению соответствует аргумент функции Лаплапса t = 1,60.

Так как закон распределения вероятности для среднего арифметического считается неизвестным, то относительный доверительный интервал рассчитываем в соответствии с неравенством Чебышева (3.9):

(3.9)

,

Как видно из сравнения результатов, неизвестность закона распределения вероятности приводит к расширению доверительного интервала, то есть к увеличению дефицита измерительной информации.

Размещено на Allbest.ru