Анализ и синтез линейной системы автоматического управления электроприводом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Анализ и синтез линейной системы автоматического управления электроприводом



1. Анализ исходной САУ

передаточный автоматический управление

1.1 Определение передаточной функции САУ в разомкнутом состоянии

Рассмотрим структурную схему исходной САУ:

Имеем двухконтурную систему подчиненного регулирования. Найдем передаточную функцию разомкнутой системы, применив правила преобразования структурных схем:

Система может быть представлена состоящей из 3-х звеньев: усилительного, апериодического и звена второго порядка. Так как соблюдается соотношение , то звено колебательное.



1.2 Определение требуемого коэффициента усиления разомкнутой САУ из условия статической точности и необходимого диапазона регулирования

Требуемый коэффициент усиления с учетом необходимого диапазона регулирования:

,

С учетом полученной выше ПФ разомкнутой системы и определения статического режима как режима, в котором приращения координат равны 0, можно записать:

.

Зная , , и , найдем требуемый коэффициент передачи предварительного усилителя :

.

Требуемый может быть реализован следующей схемой на основе операционного усилителя:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для подобных схем .

Найдем величину статической ошибки при найденном:

.

Видно, что при данном статическая ошибка меньше допустимой. Это означает, что исходная система в статическом режиме устойчива.

1.3 Определение передаточной функции замкнутой САУ по управляющему, возмущающему воздействиям и по ошибке регулирования

а) передаточная функция замкнутой системы по управляющему воздействию



Подставляя численные значения, получаем:

б) передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию:

Подставляя численные значения, получаем:

в) передаточная функция замкнутой системы по ошибке.

Ошибка:

Передаточная функция:



Подставляя численные значения, получаем:



2. Анализ устойчивости исходной САУ

2.1 Определение характеристического уравнения системы

Передаточная функция замкнутой САУ имеет вид:

Отсюда получим характеристическое уравнение системы:

Подставив численные значения, получим:

.

В соответствии с общим видом :

, , , .

2.2 Анализ устойчивости исходной САУ с помощью критерия Гурвица

Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительными при а0>0.

Характеристическое уравнение системы в замкнутом состоянии:



Коэффициенты характеристического уравнения:

Составляем определитель Гурвица: по главной диагонали записываются коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а₁, определитель заполняется по столбцам, вниз от главной диагонали записываются коэффициенты с убывающим индексом, вверх - с возрастающим индексом, недостающие коэффициенты заполняются нулями.

Условие устойчивости:

Т.к. определитель Гурвица и его диагональные миноры отрицательные, то делаем вывод, что система неустойчивая.



2.3 Анализ устойчивости исходной САУ с помощью критерия Найквиста

Построим годограф Найквиста для передаточной функции САУ Wраз(р). Для этого заменяем оператор р на комплексную переменную jщ

Подставляя значения щ от 0 до +? строим на комплексной плоскости годограф Найквиста.

Годограф Найквиста с увеличением частоты охватывает точку с координатами (-1; j0). Значит САУ неустойчива.

2.4 Анализ исходной САУ по диаграмме Боде

Используя программу MatLAB строим диаграмму Боде для исходной САУ.

Используем передаточную функцию разомкнутой системы.



>>Ta = 0.038; Tm = 0.042; Ttp = 0.01; K = 50;

>>Wraz = tf (K, [Ttp 1]) * tf (1, [Ta*Tm Tm 1])

Transfer function:

50

1.596e-005 s^3 + 0.002016 s^2 + 0.052 s + 1

>>margin (Wraz)

Из диаграммы Боде видно, что система неустойчива. Она обладает отрицательными запасами устойчивости:

- по амплитуде: -19.1 дБ;

- по фазе: -42.6°.

2.5 Определение влияния величины коэффициента усиления САУ на ее устойчивость методом корневого годографа

С помощью системы MATLAB построим корневой годограф разомкнутой системы. Для этого найдем значения полюсов ПФ:



>>Wraz=tf([129.8], [0.00001596 0.002016 0.052 51])

Transferfunction:

129.8

-

1.596e-005 s^3 + 0.002016 s^2 + 0.052 s + 51

>>tzero (Wraz)

ans =

Empty matrix: 0-by-1

>>pole (Wraz)

ans =

1.0e+002 *

-1.9424

0.3396 + 1.2369i

0.3396 - 1.2369i

>>Wzp=zpk ([], [-1.9424 (0.3396 + 1.2369i) (0.3396 - 1.2369i)], 129.8)

Zero/pole/gain:

129.8

-

(s+1.942) (s^2 - 0.6792s + 1.645)

>>rlocus (Wzp)



3. Синтез корректирующих устройств

3.1 Синтез последовательного КУ

Для синтеза последовательного КУ построим асимптотическую ЛАХ исходной разомкнутой системы W, желаемую ЛАХ Wж в соответствии с требованиями. Графическим методом найдем ЛАХ корректора:

Lк=Lж-Lисх

(построение - см. рисунок).

По виду ЛАХ корректора по [1, стр. 542, табл. П. 7] найдем схему последовательного КУ. Данное КУ является пассивным RC-четырехполюсником.

Передаточная функция корректора:

Постоянные времени и определяются через частоты и (см. построение ЛАХ корректора) по общей формуле

Найдем численные значения постоянных времени:

с; с

Из схемы КУ:

;

Отсюда:

Зная эти соотношения, нетрудно подобрать соответствующие схемные элементы.

Выберем по [4] в качестве конденсатор К50-6-100мкФ с номинальной емкостью 100 мкФ. Тогда Ом. По справочнику [5, табл. 2.2, стр. 20; табл. стр. 83] выберем в качестве резистор типа МЛТ с номинальным сопротивлением 450 Ом.

Найдем : Ом. По тому же справочнику [5, табл. 2.2, стр. 20; табл. стр. 83] в качестве выберем резистор МЛТ с номинальным сопротивлением Ом (ряд допусков Е96).

Постоянные времени КУ с учетом стандартных значений R и C:

с

с

3.2 Синтез параллельного КУ

Параллельная коррекция реализуется за счет подключения к какому-либо элементу схемы КУ в качестве обратной связи.

Для синтеза параллельного КУ используем желаемую ЛАХ, построенную в предыдущем пункте.

Корректирующей ОС целесообразно охватить тиристорный преобразователь и предварительный усилитель. Таким образом, скорректированная схема будет выглядеть следующим образом:

В этой схеме:

- коэффициент передачи предварительного усилителя;

- передаточная функция тиристорного преобразователя;

- передаточная функция двигателя;



- коэффициент передачи датчика скорости;

- искомая передаточная функция корректирующего устройства.

Передаточная функция звеньев, охваченных корректирующей ОС:

Общая передаточная функция звеньев, охваченных корректирующей ОС, и корректирующего звена:

Передаточная функция звеньев, не охваченных корректирующей ОС:

ПФ скорректированной системы при параллельной коррекции:

Переходя к ЛАХ:

,

где - ЛАХ скорректированной системы (желаемая ЛАХ, см. последовательную коррекцию);

- ЛАХ нескорректированной (исходной) системы;

- ЛАХ звеньев, охваченных корректирующей ОС;

- ЛАХ корректирующего устройства.

Отсюда найдем ЛАХ корректирующего устройства:

Решение осуществим графически (см. рисунок).

Из рисунка видно, что ЛАХ корректирующего устройства имеет следующий вид:

Из [1, стр. 542, табл. П. 7] по виду ЛАХ найдем схемное решение данного корректирующего устройства:



Данное КУ имеет передаточную функцию вида

.

Параметры , и можно определить непосредственно из построения асимптотической ЛАХ корректора.

Параметры элементов схемы связаны с параметрами ЛАХ следующими соотношениями:

, , .

Из построения: . Отсюда:

Кроме того, из построения видно, что частоты сопряжения (а, следовательно, и соответствующие им постоянные времени) равны соответствующим для последовательной коррекции, т.е.

с; с

Зная , и , найдем параметры реальных элементов схемы параллельной коррекции. Для нахождения этих параметров составим систему уравнений:



Очевидно, что данная система неразрешима, так как число переменных больше числа уравнений. Поэтому зафиксируем параметр Ом. Решение системы осуществим с помощью системы MathCAD.

По справочнику [4] выберем в качестве конденсатор типа К50-6-100мкФ с номинальной емкостью 100 мкФ. По справочнику [5, табл. 2.2, стр. 20; табл. стр. 83] выберем в качестве резистор МЛТ с номиналом 100 Ом, в качестве - резистор типа МЛТ с номиналом 40.2 Ом (ряд допусков Е96), в качестве - резистор типа МЛТ с номиналом 196 кОм (ряд допусков Е96).

Постоянные времени КУ с учетом стандартных значений R и C:

с

с



3.3 Структурно-параметрическая синтез оптимизированной САУ

Синтез будем проводить в соответствии с рекомендациями [3, стр. 253-256].

Выделим в схеме контуры подчиненного регулирования - внутренний (контур тока) и внешний (контур скорости). Кроме того, введем в схему ООС по току якоря (датчик тока) и регуляторы тока и скорости вращения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пунктиром выделен контур тока.

На данной схеме: - коэффициент передачи предварительного усилителя; (рад/с)/В-коэффициент, характеризующий двигатель; В/(рад/с) - коэффициент передачи датчика скорости; В/А - коэффициент передачи датчика тока.

Передаточные функции звеньев схемы:

- передаточная функция тиристорного преобразователя;

- передаточные функции, характеризующие электрические и механические свойства двигателя;

- искомая передаточная функция регулятора скорости;

- искомая передаточная функция регулятора тока якоря.

В контуре тока объектом управления является инерционное звено 2-го порядка:

.

В соответствии с [3, стр. 247, табл. 7.2] целесообразным является применение ПИ-регулятора, настроенного по критерию модульного оптимума (МО), т.е. с полной компенсацией наибольшей постоянной времени ОУ, т.е. с.

Передаточный коэффициент регулятора [3]:

В/В



Таким образом:

При выбранных настройках достигается компенсация и эквивалентная ПФ замкнутого контура тока зависит только от и равна

В соответствии с рекомендациями [3, стр. 255] членом можно пренебречь из-за малости . Таким образом:

Контур тока является внутренним для контура скорости. С учетом последнего приближения объект регулирования в контуре скорости можно представить как:

Данным ОУ можно управлять при помощи настроенного на СО ПИ-регулятора [3, стр. 247, табл. 7.2] вида [3, стр. 248, ф. 7.45]:



с коэффициентом передачи:

В/В

и постоянной времени:

с.

Таким образом:

Однако, согласно [3, стр. 256] в этом случае будут возникать значительные перерегулирования, в этом случае в схему требуется включить сглаживающий фильтр [3, стр. 252, ф. 7.69] вида:

Постоянная времени фильтра: с.

Схемная реализация ПИ-регуляторов будет выглядеть следующим образом [6, стр. 149-150]:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/



В этой схеме звено 1 реализует требуемые значения и , а звено 2 - соответственно и . Для подобной схемы (в общем виде):

;

Таким образом, не составляет труда подобрать соответствующие схемные элементы.



4. Анализ синтезированных САУ

В качестве критериев анализа примем устойчивостьсинтезированных систем, их запасы устойчивости по модулю и фазе и показатели качества переходных процессов.

4.1 Анализ синтезированной САУ при последовательной коррекции

Построим ЛАЧХ скорректированной системы (в MATLAB):

>> W=tf ([0 0 0 155.333], [0.0000144 0.00189 0.055 1])

Transfer function:

155.3

-

1.44e-005 s^3 + 0.00189 s^2 + 0.055 s + 1

>>wku=tf([0.0124 1], [17.4 1])

Transfer function:

0.0127 s + 1

-

17.83 s + 1

>>Wsk=W*wku

Transfer function:

1.973 s + 155.3

-

0.0002567 s^4 + 0.03371 s^3 + 0.9824 s^2 + 17.88 s + 1



Видно, что после применения КУ система устойчива и имеет удовлетворительные запасы устойчивости по модулю и фазе.

Оценим показатели качества переходных процессов в скорректированной системе. Для этого воспользуемся системой MATLAB.

а) Канал управления.

Видно, что время переходного процесса составляет 0.41 с, что значительно меньше допустимого значения 0.7 с. Перерегулирование составляет 1.6%.

б) Возмущающее воздействие.

Видно, что длительность переходного процесса составляет 0.36 с, что меньше допустимого. Перерегулирование равно 0.

Таким образом, данное последовательное КУ обеспечивает устойчивость исходной системы, приемлемые запасы устойчивости и отличные показатели качества при относительной простоте реализации КУ.

4.2 Анализ синтезированной САУ при параллельной коррекции

Проверим запасы устойчивости скорректированной САУ. ПФ скорректированной САУ будет иметь вид:

,



где - ПФ корректируемых звеньев, ;

- ПФ корректирующего устройства, .

Построение (с учетом всех параметров) осуществим в MATLAB.

Запасы устойчивости составляют 12 дБ по амплитуде и 21.9 град по фазе.

Построим переходную характеристику:



Время переходного процесса составляет 0.26 с, перерегулирование - 0.488%.

По возмущающему воздействию:



Время переходного процесса - 0.39 с, перерегулирование - 0.478%

4.3 Анализ синтезированной САУ при структурно-параметрической оптимизации

За основу при построении характеристик примем расчет из п. 3.3. Осуществив построение в системе MATLAB, получим ЛАФЧХ скорректированной разомкнутой системы:

>>Wtp=tf([0 22], [0.01 1])

Transfer function:

22

-

0.01 s + 1

>>Wya=tf([0 1.4286], [0.032 1])

Transfer function:

1.429

-

0.032 s + 1

>> Wm=tf([0 8.867], [1 0])

Transfer function:

8.867

-

s

>>kpu=232.838

kpu =

232.8380

>>kd=0.57

kd =

0.5700

>>kds=0.0532

kds =

0.0532

>>kdt=0.12

kdt =

0.1200

>> WOI=kdt*Wtp*Wya

Transfer function:

3.772

-

0.00032 s^2 + 0.042 s + 1

>> TI=0.032

TI =

0.0320

>>Kpt=0.424

Kpt =

0.4240

>> FI=tf([0 1/kdt], [0.02 1])

Transfer function:

8.333

-

0.02 s + 1

>>Wpc=tf([0.03*0.08 0.03], [0.08 1])

Transfer function:

0.0024 s + 0.03

-

0.08 s + 1

>>Wf=tf([0 1], [0.08 1])

Transfer function:

1

-

0.08 s + 1

>>km=8.867

km =

8.8670

>>Wraz=Wf*Wpc*Wow

Transfer function:

0.001132 s + 0.01415

-

1.536e-005 s^3 + 0.001152 s^2 + 0.0216 s + 0.12

>>margin (Wraz)

Видно, что система, подвергнутая структурно-параметрической оптимизации, абсолютно устойчива в широком диапазоне частот.

а) Канал управления.



Время переходного процесса равно 0.336 с, перерегулирование равно 0%.

б) Канал возмущения



4.4 Сравнительный анализ различных способов коррекции

Способ синтеза	Последовательная коррекция	Параллельная коррекция	Структурно-параметрическая оптимизация
Запас устойчивости разомкнутой системы по модулю, дБ	11.4	12
Запас устойчивости разомкнутой системы по фазе, град	66.3	21.9
Управляющее воздействие	Время переходного процесса, с	0.41	0.26	0.336
	Перерегулирование, %	1.6	0.488	0
Возмущающее воздействие	Время переходного процесса, с	0.36	0.39	0.222
	Перерегулирование, %	0	0.478	0

Из таблицы видно, что наилучшими характеристиками обладает система, синтезированная по методу структурно-параметрической оптимизации.

Недостатком данного способа является сравнительно сложная реализация регуляторов.



Библиографический список

1. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / Под ред. В.А. Бесекерского - М. «Наука» 1972.

2. Башарин А.В., Голубев Ф.Н., Кепперман В.Г. Примеры расчета автоматизированного электропривода. - Л. «Энергия». 1972.

3. Лукас В.А. «Теория автоматического управления» - М.: «Недра», 1990. - 416 с.

4. Конденсаторы: Справочник / И.И. Четвертаков, М.Н. Дьяконов, В.И. Присняков и др.: Под ред. И.И. Четвертакова, М.Н. Дьяконова - М.: Радио и связь, 1993. - 392 с.

5. Резисторы: Справочник / В.В. Дубровский, Д.М. Иванов, Н.Я. Пратусевич и др.; Под ред. И.И. Четверткова и В.М. Терехова. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1991. - 528 с.

6. Терехов В.М. «Элементы автоматизированного электропривода» - М.: Энергоатомиздат, 1987. - 224 с.

Размещено на Allbest.ru