Расчеты элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчеты элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость



Задача 1

Исходные данные:

Сложное сечение состоит из двух составляющих: 1 - швеллер №12, 2 - прямоугольник с размерами h₂=22 см, b₂=0.7 см. Ось X проходит через центр тяжести обоих составляющих.

Решение

Рисунок 1 - Сложное сечение

Геометрические характеристики швеллера относительно его собственных центральных осей согласно ГОСТ 8240-72 следующие:

площадь A₁=13.30 см²;

высота сечения h₁=12 см;

ширина сечения b₁=5.2 см;

моменты инерции I_X1=304 см⁴; I_Y1=31.2 см⁴;

абсцисса центра тяжести швеллера x₀= 1.54 см

Геометрические характеристики прямоугольника относительно его собственных центральных осей следующие:

площадь A₂=h₂*b₂=0.7*22=15.4 см²;



моменты инерции относительно собственных центральных осей

I_X2=h₂b₂³/12=22*0.7³/12=0.6288 см⁴; I_Y2=b₂h₂³/12=0.7*22³/12=621.133 см⁴;

Определение координаты центра тяжести сечения.

Строим вспомогательную систему координат. В качестве вспомогательной системы координат выбираем центральные оси швеллера X₁ и Y₁.

Определяем координаты центра тяжести сечения относительно вспомогательной системы координат. Для рассматриваемого сечения необходимо вычислить только одну координату x_c, так как другая координата y_c известна. Поскольку центр тяжести всего сечения должен лежать на прямой, соединяющей центры тяжести простых составляющих, то в нашем случае центр тяжести лежит на оси X₁, а значит координата y_c=0.

Координата центра тяжести сечения определяется по формуле

где S_Y - статический момент всего сечения относительно оси Y; A - площадь всего сечения.

Применительно к нашей задаче формула примет следующий вид:

Проводим проверку правильности определения центра тяжести сечения.



y_c1=y₁-y_c=0-0=0 см, y_c2=y₂-y_c=0-0=0 см;

x_c1=x₁-x_c=0-(-6.73)=6,73 см; x_C2=x₂-x_c=-12.54-(-6.73)=-5.81 см

S_Xc=0

Определяем главные центральные моменты инерции всего сечения.

Вычисляем центробежный момент инерции всего сечения.

I_XcYc=¹I_XcYc+²I_XcYc=(I_X1Y1+x_C1y_c1A₁)+(I_X2Y2+x_c2y_c2A₂)=(0+0)+(0+0)=0

Находим главные оси всего сечения.

Так как центробежный момент инерции сечения относительно главных осей равен нулю, то в нашем случае оси X_c и Y_c - главные оси инерции всего сечения.

Вычисляем главные центральные моменты инерции всего сечения.

Определяем значения осевых моментов сопротивления.

где x_max и y_max - расстояния от соответствующих осей до наиболее удаленных точек сечения.



Здесь

Задача 2

К стальному валу приложены три вращающих момента (рис.2).

Требуется:

1. Определить реактивный момент в заделке.

2. Построить эпюру крутящих моментов.

3. Определить диаметр вала (расчёты произвести из условия прочности и условия жёсткости).

4. Построить эпюру углов закручивания.

Данные взять из табл. 4. Общие данные: допускаемое касательное напряжение ; допускаемый относительный угол закручивания ; модуль сдвига .



Рисунок 2 - Схема задания 3

1)

2)Эпюра крутящих моментов представлена на рисунке 3:

Рисунок 3 - Эпюра крутящих моментов

3)

Эпюры углов закручивания представлены на рисунке 4:

Рисунок 4 - Эпюры углов закручивания

Задача 3

Даны две схемы стальных балок.

Требуется:

Для схемы «а»:

1. Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M.

2. Определить максимальное нормальное напряжение в балке сложного поперечного сечения, уже рассмотренного в задаче 1.

3. Определить фактический коэффициент запаса прочности.

4. Определить прогиб конца консоли аналитическим методом, составляя и интегрируя дифференциальные уравнения изогнутой оси балки.

Для схемы «б»:

1. Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M.

2. Подобрать сечения следующей формы: прямоугольное (h[b = k); круглое; кольцевое (б = d[D); состоящее из двух швеллеров; двутавровое.

3. Оценить эффективность формы сечения.

Данные взять из табл.5. Общие данные: предел текучести материала ; коэффициент запаса прочности ; модуль упругости (модуль Юнга) .

Решение

Схема «а»

1)1-ый участок: 0?z₁?1.6

Q(z₁)=0

M(z₁)=M

z₁=0: Q=0; M=30кНм

z₁=1.6: Q=0; M=30кНм

2-ой участок: 0?z₂?1.8

Q(z₂)=-q*z₂

M(z₂)=M-q*z₂²/2

z₂=0: Q(z₂)=0; M(z₂)=30кНм

z₂=1.8: Q(z₂)=-26*1.8=-46,8кН; M(z₂)=30-26*1.8²/2=-12,12кНм

z₂=0.9: M(z₂)=30-26*0.9²/2=19.47кНм

Расчетная схема «а» и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов представлены на рисунке 5:



Рисунок 5 - расчетная схема «а», эпюра поперечных сил Q, эпюра изгибающих моментов M

2)

3)

Конструкция непригодна к эксплуатации.

1-ый участок: 0?z₁?1.6 EI_xy”(z₁)=M

2-ой участок: 0?z₂?1.8 EI_xy”(z₂)=M-q*(z₂-1.6)²/2

1-ый участок:

2-ой участок:

z₁=z₂=1.6 y₁'=y₂'; y₁=y₂

при z₂=3.4 y'(z₂)=0

При z₂=3.4 y”(z₂)=0

z₁=0

схема «б»

1) Определение реакций опор:

УM_A=0: V_B*1.8-F*1.6+q*1.8*0.9=0

УM_B=0: F*3.4+q*1.8*0.9-V_A*1.8=0

Проверка: УY=0: -20+61.18+5.26-26*1.8=0

1-ый участок: 0?z₁?1.6

Q(z₁)=-F

M(z₁)=-F*z₁

z₁=0: Q(z₁)=-20кН; M(z₁)=0

z₁=1.6: Q(z₂)=-20кН; M(z₂)=-20*1.6=-32кНм

2-ой участок: 0?z₂?1.8

Q(z₂)=-F+V_A-q*z₂

M(z₂)=-F(1.6+z₂)+V_A*z₂-q*z₂²/2

z₂=0: Q(z₂)=-20+61.18=41,18кН; M(z₂)=-20*1.6=-32кНм

z₂=1.8: Q(z₂)=-20+61.18-26*1.8=-5.62кН;

M(z₂)=-20*(1.6+1.8)+61.18*1.8-26*1.8²/2=0

z₂=0.9: M(z₂)=-20*(1.6+0.9)+61.18*0.9-26*0.9²/2=-5,468кНм

Расчетная схема «б» и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов показаны на рисунке 6:

Рисунок 6 - Расчетная схема «б», эпюра поперечных сил Q, эпюра изгибающих моментов M

2)



Подбираем прямоугольное сечение (h/b=2) (Рисунок 7)

Подбираем круглое сечение (Рисунок 8)

Подбираем кольцевое сечение (б=0,8)



Подбираем сечение, состоящее из двух швеллеров

По таблице ГОСТ 8240-93 принимаем швеллер №16аУ Wx=103см³; A=2*19.5=39см²=39*10^-4м²

Подбираем двутавровое сечение

Принимаем двутавр №20а W_x^дв=203см³ А^дв=28,9см²

3) A^пр/А^дв=89,78/28,9=3,11;

А^кр/А^дв=126/28,9=4,35;

А^кц/А^дв=64,5/28,9=2,23;

А^шв/А^дв=39/28,9=1,35.

Наиболее эффективной формой сечения балки является двутавровое сечение; наименее - круглое сплошное сечение.

Рисунок 7 - Двутавровое сечение

Размещено на Allbest.ru