Обработка прямых многократных измерений

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Основные определения

Каждая из работ физического лабораторного практикума посвящена изучению определенного физического явления и связана с измерением тех или иных физических величин, характеризующих данное явление или свойства тела. Как правило, такое исследование состоит из одного или нескольких измерений.

Измерением называется нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. В метрологии измерения классифицируют: по методике обработки экспериментальных данных - прямые, косвенные и совместные; по числу измерений - однократные, многократные.

Прямые измерения - это измерения, при которых искомое значение физической величины находят непосредственно с помощью специальных технических средств. Например, измерение длины с помощью линейки, измерение массы с помощью весов и др.

Косвенные измерения - это измерения, при которых искомое значение величины вычисляют по формуле, связывающей эту величину с величинами, полученными прямыми измерениями. Например: вычисление объема тела по прямым измерениям его геометрических размеров; вычисление скорости равномерного движения по прямым измерениям длины пройденного пути и соответствующего промежутка времени V = S*t и т. п.

Совместные измерения - это измерения, состоящие из измерений нескольких величин в изменяющихся условиях и последующего нахождения зависимости между этими величинами. Причем, измерения этих величин могут быть как прямыми, так и косвенными. Например, определение температурной зависимости электрического сопротивления проводника путем его измерения при различных значениях температур.

Однократное измерение - измерение, выполненное один раз. К данному виду измерений можно отнести: измерение массы детали, определение тока или напряжения на участках электрической цепи, измерение промежутка времени и т. п.

Многократные измерения - измерения, состоящие из серии однократных измерений.

Никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно. В результате измерений мы всегда получаем значение величины с некоторой погрешностью. Поэтому в задачу измерений входит не только нахождение значения величины, но также и оценка допущенной при этом погрешности.

Погрешностью измерения называется отклонение измеренного значения от истинного значения измеряемой величины. При этом различают абсолютную и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность измерения - это разница между измеренным и истинным значениями измеряемой величины, выраженная в единицах измеряемой величины

Относительная погрешность измерения - это отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины

Относительная погрешность может быть выражена в относительных единицах (в долях) е = 0,005 или процентах .

Иногда пользуются понятием точности, которая характеризует близость измеренного значения к истинному значению измеряемой величины. Количественно точность равна обратной величине модуля относительной погрешности, выраженной в долях



Так, если относительная погрешность составляет в долях это будет , то точность .

Поскольку истинное значение измеряемой величины неизвестно, то для получения хотя бы приближенных сведений о погрешности измерения приходится в формулах (1.2) и (1.3) вместо истинного значения использовать измеренное значение величины.

Все погрешности по характеру происхождения делятся на случайные и систематические.

Случайные погрешности - это погрешности, значения которых изменяются непредсказуемым образом при повторных измерениях одной и той же величины. Они обусловлены большим числом случайных причин, действие которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено (колебания воздуха, вибрации здания, трения в осях при взвешивании, изменение внимания оператора и т. д.). Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерениях невозможно, математическая теория случайных явлений позволяет существенно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат и оценить их значение.

К этой же группе относятся грубые погрешности - это погрешности, существенно превышающие ожидаемые значения погрешностей (резкое изменение напряжения в сети), а также промахи - погрешности, зависящие от наблюдателя и связанные с неправильным обращением со средствами измерений, неверным отсчетом показаний или ошибками при записи результатов. Грубые погрешности и промахи обнаруживают статистическими методами и обычно исключают из рассмотрения.

Систематические погрешности - это такие погрешности, значения которых при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону. Если удается обнаружить причину и найти закон изменения систематической погрешности, то ее необходимо исключить введением поправки к измеренному значению.

В зависимости от причин возникновения различают четыре вида систематических погрешностей:

а) погрешности метода, происходящие от ошибочности или недостаточной разработанности принятой теории метода измерения, например: при измерении диаметра не учитывается температурное расширение детали, обрабатываемой на станке; тонкое кольцо деформируется излишним усилием при измерении его диаметра штангенциркулем и т. п.;

б) инструментальные погрешности, зависящие от погрешностей применяемых средств измерений;

в) погрешности, обусловленные неправильной установкой и взаимным расположением средств измерения, например: весы не выставлены по уровню; параллакс при отсчете по шкале и т. п.;

г) личные погрешности, обусловленные индивидуальными особенностями наблюдателя, например: запаздывание или опережение при регистрации изменяющегося во времени показания прибора и т. п.

2. Погрешности прямых измерений

Как уже говорилось, измерения бывают однократные и многократные. Однократные измерения проводить проще и дешевле. Но многократные дают более точный результат, так как они уменьшают влияние случайных погрешностей.

При изложении материала в данном разделе приняты следующие обозначения:

x - символ измеряемой величины, например, время t , давление p , масса m и т. п.;

- значение, полученное при однократном измерении величины x, например: c, c и т. д.;

- измеренное значение величины x , в качестве которого могут быть приняты: результат одного измерения при однократных измерениях; среднее арифметическое из всех измерений при многократных измерениях.

3. Теория метода обработки прямых многократных измерений

При условии исключения из результатов экспериментов систематических и грубых ошибок, остается лишь случайная составляющая погрешности. Случайную ошибку можно рассматривать как суммарный эффект действия многих факторов, каждый из которых не проявляет себя отчетливо. Поэтому случайные ошибки при многократных измерениях получаются различными как по величине, так и по знаку. Их невозможно учесть как систематические, но можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины. Анализ случайных ошибок является важнейшим разделом математической обработки экспериментальных данных.

Для получения результатов, минимально отличающихся от истинных значений величин, проводят многократные наблюдения за измеряемой величиной с последующей математической обработкой опытных данных. Поэтому наибольшее значение имеет изучение погрешности как функции номера наблюдения, т.е. времени ?(t). Тогда отдельные значения погрешностей можно будет трактовать как набор значений этой функции:

?₁= ?(t₁), ?₂= ?(t₂),… ?_n= ?(t_n).

В общем случае погрешность является случайной функцией времени, которая отличается от классических функций математического анализа тем, что нельзя сказать, какое значение она примет в момент времени t. Можно указать лишь вероятности появления ее значений в том или ином интервале.

При проведении измерений целью является оценка истинного значения измеряемой величины, которое до опыта неизвестно. Результат измерения включает в себя помимо истинного значения еще и случайную погрешность, следовательно, сам является случайной величиной. В этих условиях фактическое значение случайной погрешности, полученное при поверке, еще не характеризует точности измерений, поэтому не ясно, какое же значение принять за окончательный результат измерения и как охарактеризовать его точность.

Ответ на эти вопросы можно получить, используя при метрологической обработке результатов измерения методы математической статистики, имеющей дело именно со случайными величинами.

Рассмотрим результат наблюдений х за постоянной физической величиной Q как случайную величину, принимающую различные значения Z, в различных наблюдениях за ней. Значения X_i будем называть результатами отдельных наблюдений.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения X_i в i-м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения х, от самой величины х:

Здесь и в дальнейшем большие буквы используются для обозначения случайных величин, а маленькие - значений, принимаемых случайными величинами.

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей:

Физический смысл f(x) состоит в том, что произведение f(x)dx представляет вероятность попадания случайной величины Х в интервал от х до х+dx , т.е.

Свойства плотности распределения вероятности:

Ї - вероятность достоверного события равна 1; иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице;

Ї - вероятность попадания случайной величины в интервал от х1 до х2.

От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования:



Размерность плотности распределения вероятностей обратна размерности измеряемой величины, поскольку сама вероятность - величина безразмерная.

Таким образом, вероятность попадания результата наблюдения или случайной погрешности в заданный полуоткрытый интервал равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого интервала. Необходимо отметить, что результаты наблюдений в значительной степени сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины и по мере приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Это дает основание принять за оценку истинного значения измеряемой величины координату центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения, и называемую математическим ожиданием результатов наблюдений:

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Поэтому к такому способу описания случайных погрешностей прибегают иногда при исследовании принципиально новых мер и измерительных приборов.

Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами .

Начальным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида



представляющий собой математическое ожидание степени Хⁿ.

При n=1

т.е. первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов измерений.

Центральным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

Вычислим первый центральный момент:

Таким образом, первый центральный момент результатов наблюдений равен нулю. Важно отметить, что начальные и центральные моменты случайных погрешностей совпадают между собой и с центральными моментами результатов наблюдений, поскольку математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений.

При n=2

Дисперсия D[X] случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания.

Если математическое ожидание результатов наблюдений можно рассматривать в механической интерпретации как абсциссу центра тяжести фигуры, заключенной между кривой распределения и осью Ох, то дисперсия является аналогом момента инерции этой фигуры относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением результатов наблюдений:

С помощью среднеквадратического отклонения можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины е, т.е. вероятность P{|д|}< е. Для этого рассмотрим формулу, известную как неравенство Чебышева:

Или

.

Полагая е = 3у_х, можно найти вероятность того, что результат однократного наблюдения отличается от истинного значения на величину, большую утроенного среднеквадратического отклонения, т. е. вероятность того, что случайная погрешность окажется больше 3у_х:

Вероятность того, что погрешность измерения не превысит 3у_х, составит соответственно P{|д|}< е ?1 - 0,11=0,89.

Неравенство Чебышева дает только нижнюю границу для вероятности P{|д|}< е, меньше которой она не может быть ни при каком распределении. Обычно P{|д|}< езначительно больше 0,89. Так, например, в случае нормального распределения погрешностей эта вероятность составляет 0,9973.

Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, поскольку они определяют наиболее важные черты распределения: положение центра распределения и степень его разбросанности. Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий момент случайных погрешностей служит характеристикой асимметрии, или скошенности распределения. В общем случае любой нечетный момент случайной погрешности характеризует асимметрию распределения. Отличие этих моментов от нуля как раз и указывает на асимметрию распределения. Простейшим из нечетных моментов является третий момент м₃[д]. Чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент делят на третью степень среднеквадратического отклонения и получают коэффициент асимметрии, или просто асимметрию Sk распределения:

Для иллюстрации сказанного на рисунке 5 приведены три кривые распределения случайных погрешностей с положительной, отрицательной и нулевой асимметрией.

Рисунок 5 - Кривые распределения случайных погрешностей с положительной, отрицательной и нулевой асимметрией

Четвертый момент служит для характеристики плосковершинности распределения случайных погрешностей. Эти свойства описываются с помощью эксцесса - безразмерной характеристики, определяемой выражением

Для нормального распределения эксцесс равен нулю, более плосковершинные распределения обладают отрицательным эксцессом, более островершинные - положительным.

Случайная погрешность измерения образуется под влиянием большого числа факторов, сопутствующих процессу измерения. В каждой конкретной ситуации работает свой механизм образования погрешности. Поэтому естественно предположить, что каждой ситуации должен соответствовать свой тип распределения погрешности. Однако во многих случаях имеются возможности еще до проведения измерений сделать некоторые предположения о форме функции распределения, так что после проведения измерений остается только определить значения некоторых параметров, входящих в выражение для предполагаемой функции распределения.

В практика измерений широкое распространение получило нормальное распределение погрешностей, что объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых замечательных математических теорем, в разработке которой принимали участие многие крупнейшие математики - Муавр, Лаплас, Гаусс, Чебышев и Ляпунов. Центральная предельная теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко в нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Задача оценки истинного значения на основании полученной в эксперименте группы результатов наблюдений, т.е. нахождения результата измерений, и оценки его точности, т.е. меру его приближения к истинному значению, является частным случаем статистической задачи нахождения оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки - ряда значений, принимаемых этой величиной в n независимых опытах.

Для наиболее часто встречающегося на практике нормального распределения случайных погрешностей оценки максимального правдоподобия имеются особые обозначения.

Оценкой истинного значения является среднее арифметическое из результатов отдельных наблюдений x_i,

Вторая производная от логарифмической функции преобразования равна

,

поэтому дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии у²_x результатов наблюдений, т. е.

Оценка дисперсии результатов наблюдений при малом n является немного смещенной, поэтому точечную оценку дисперсии принято определять как

а оценку среднеквадратического отклонения результатов наблюдений как

Дисперсия оценки S_x среднеквадратического отклонения составляет

С помощью полученных оценок итог измерений можно записать в виде

что уже позволяет сделать некоторые выводы относительно точности проведенных измерений.

В настоящее время большое распространение получила оценка с помощью интервалов. Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.

Вначале остановимся на определении доверительного интервала для среднего арифметического значения измеряемой величины. Предположим, что распределение результатов наблюдений нормально и известна дисперсия у²_x Найдем вероятность попадания результата наблюдений в интервал (m_x - t_pуx, m_x + t_pуx). Согласно формуле для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t_p)

Но

и, если систематические погрешности исключены (m_x=Q),

Это означает, что истинное значение Q измеряемой величины с доверительной вероятностью P=2Ф(t_p)-1 находится между границами доверительного интервала (X - t_pуx, X + t_pуx).

Половина длины доверительного интервала t_pуx называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей доверительной вероятности Р. Для определения доверительной границы (при выполнении перечисленных условий) задаются доверительной вероятностью, например Р=0,95 или Р=0,995 и по формулам

определяют соответствующее значение 2Ф(t_p) интегральной функции нормированного нормального распределения. Затем по данным таблицы 1 приложения находят значение коэффициента t_p и вычисляют доверительное отклонение t_pуx Проведение многократных наблюдений позволяет значительно сократить доверительный интервал. Действительно, если результаты наблюдений X_i (i=l, 2,..., n) распределены нормально, то нормально распределены и величины X_i/n, а значит, и среднее арифметическое, являющееся их суммой. Поэтому имеет место равенство

где t_p определяется по заданной доверительной вероятности Р.

Полученный доверительный интервал, построенный с помощью среднего арифметического результатов n независимых повторных наблюдений, в «корень из» n раз короче интервала, вычисленного по результату одного наблюдения, хотя доверительная вероятность для них одинакова. Это говорит о том, что сходимость измерений растет пропорционально корню квадратному из числа наблюдений.

Половина длины нового доверительного интервала

называется доверительной границей погрешности результата измерений, а итог измерений записывается в виде

Теперь рассмотрим случай, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна. В этих условиях пользуются отношением



называемым дробью Стьюдента. Входящие в нее величины вычисляют на основании опытных данных; они представляют собой точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.

Плотность распределения этой дроби, впервые предсказанного Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент, выражается следующим уравнением:

где S(t,k) - плотность распределения Стьюдента. Величина k называется числом степеней свободы и равна n-1. Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале (_t_p, +t_p), согласно выражению, вычисляется по формуле:

или, поскольку S(t,k) является четной функцией аргумента t,



Подставив вместо дроби Стьюдента t ее выражение через истинное значение результата, точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений, получим окончательно

Величины t_p, вычисленные по этим формулам, были табулированы Фишером для различных значений доверительной вероятности Р в пределах 0,10 - 0,99 при k=n-1=1,2,…,30. В таблице 5 приведены значения t_p для наиболее часто употребляемых доверительных вероятностей Р.

Итог измерений записывается в виде

В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной.

Кроме того, на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей можно утверждать, что при достаточно большом числе наблюдений распределение среднего арифметического как суммы случайных величин X_i/n будет сколь угодно близким к нормальному.

Таблица 1- Коэффициент Стьюдента

n	Значения Р
	0.6	0.8	0.95	0.99	0.999
2	1.376	3.078	12.706	63.657	636.61
3	1.061	1.886	4.303	9.925	31.598
4	0.978	1.638	3.182	5.841	12.941
5	0.941	1.533	2.776	4.604	8.610
6	0.920	1.476	2.571	4.032	6.859
7	0.906	1.440	2.447	3.707	5.959
8	0.896	1.415	2.365	3.499	5.405
9	0.889	1.397	2.306	3.355	5.041
10	0.883	1.383	2.262	3.250	4.781
11	0.879	1.372	2.228	3.169	4.587
12	0.876	1.363	2.201	3.106	4.437
13	0.873	1.356	2.179	3.055	4.318
14	0.870	1.350	2.160	3.012	4.221
15	0.868	1.345	2.145	2.977	4.140
16	0.866	1.341	2.131	2.947	4.073
17	0.865	1.337	2.120	2.921	4.015
18	0.863	1.333	2.110	2.898	3.965
19	0.862	1.330	2.101	2.878	3.922
20	0.861	1.328	2.093	2.861	3.883
21	0.860	1.325	2.086	2.845	3.850
22	0.859	1.323	2.080	2.831	3.819
23	0.858	1.321	2.074	2.819	3.792
24	0.858	1.319	2.069	2.807	3.767
25	0.857	1.318	2.064	2.797	3.745
26	0.856	1.316	2.060	2.787	3.725
27	0.856	1.315	2.056	2.779	3.707
28	0.855	1.314	2.052	2.771	3.690
29	0.855	1.313	2.048	2.763	3.674
30	0.854	1.311	2.045	2.756	3.659
31	0.854	1.310	2.042	2.750	3.646
40	0.851	1.303	2.021	2.704	3.551
60	0.848	1.296	2.000	2.660	3.460
120	0.845	1.289	1.980	2.617	3.373
?	0.842	1.282	1.960	2.576	3.291

Если эксперимент состоит в многократном измерении одной и той же величины постоянного размера, то результатом измерения является группа из n независимых показаний (измерений), составляющих массив экспериментальных данных. Главной особенностью измерительного эксперимента, проводимого с использованием статистической обработки полученных данных, является получение и использование большого объема апостериорной измерительной информации.

При статистической обработке многократных показаний решаются три основные задачи:

Ї оценивание области неопределенности исходных экспериментальных данных;

Ї нахождение более точного усредненного результата измерения;

Ї оценивание погрешности этого усредненного результата, то есть более узкой области неопределенности.

При практическом выполнении статистической обработки многократных показаний необходимо знание методов определения по экспериментальным данным числовых характеристик распределений случайной величины. Основной смысл усреднения многократных показаний заключается в том, что найденная усредненная оценка координаты их центра имеет меньшую случайную погрешность, чем отдельные показания, по которым она находится. При этом принципиальным является допущение, что показания подчиняются нормальному закону распределения вероятности. Справедливость этого допущения необходимо проверять.

Рисунок 6 - Гистограмма

Правдоподобно или нет допущение о том, что полученные показания подчиняются нормальному закону распределения вероятности, можно предварительно оценить по виду гистограммы, построенной на основании полученных экспериментальных данных (рисунок 6).

Для отображения n полученных показаний СИ в виде гистограммы область численных значений между наименьшим и наибольшим показаниями L = Q_max _ Q_min делят на интервалы одинаковой ширины ДQ и определяют число показаний n_k, попавших в каждый из полученных интервалов. Полученные результаты изображают графически, откладывая по оси абсцисс полученные максимальное и минимальное показания с обозначением границ интервалов между ними, а по оси ординат - величину n_k/(nДQ). Построив над каждым из интервалов прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов, а высотой - n_k/(nДQ), получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения вероятности полученных показаний в данном эксперименте. Относительную частоту попаданийn_k/n можно условно приравнять к вероятности попадания в конкретный интервал, а высоту прямоугольника считать равной эмпирической плотности вероятности р_k =n_k/(nДQ). Тогда площадь каждого прямоугольника равна вероятности попадания в интервал, а площадь всех прямоугольников будет равна единице, что соответствует условию нормировки (k - число интервалов):

.

Полигон представляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований столбцов гистограммы. Полученная таким образом кусочнолинейная аппроксимация более наглядно, чем гистограмма, отражает форму искомой кривой распределения.



4. Алгоритм обработки прямых многократных измерений

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

1. Результат каждого измерения запишите в таблицу.

2. Вычислите среднее значение из n измерений

= У x _i / n.

3. Найдите погрешность отдельного измерения

.

4. Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений

(Дx ₁)², (Дx ₂)², ... , (Дx _n)².

5. Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического

6. Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95).

7. Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.

8. Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)

Дx = · t.

9. Если величина погрешности результата измерения Дx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора д , то в качестве границы доверительного интервала возьмите

.

Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

10. Окончательный результат запишите в виде

.

11. Оцените относительную погрешность результата измерений

.

Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул.

5. Пример обработки прямых многократных измерений

Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм ). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую - их квадраты (таблица 2).



Таблица 2

n	d, мм
1	4.02	+ 0.01	0.0001
2	3.98	- 0.03	0.0009
3	3.97	- 0.04	0.0016
4	4.01	+ 0 .00	0.0000
5	4.05	+ 0.04	0.0016
6	4.03	+ 0.02	0.0004
У	24.06	-	0.0046

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10).

Дd = 0.01238 · 2.57 = 0.04 мм.

Сравним случайную и систематическую ошибки:

,

следовательно, д = 0.005 мм можно отбросить.

Окончательный результат запишем в виде

d = (4.01 ± 0.04) мм при Р = 0.95.



Список литературы

погрешность измерение асимметрия

1. Курепин В. В., Баранов И. В. Обработка экспериментальных данных / В. А. Самолетова. - СПб.: СПбГУНиПТ, 2003. -57 с.

2. http://teachmen.ru/methods/phys_prac6.php

3. http://studopedia.ru/3_19527_obrabotka-rezultatov-mnogokratnih-izmereniy.html

4. Демидова Н. В., Бисерова В. А., Якорева А. С. Метрология, стандартизация и сертификация: конспект лекций / Н. В. Демидова. - М.: ЭКСМО, 2007. - 38 с.

Размещено на Allbest.ru