Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X, среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X, среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала



Исходные данные

Цена деления прибора С, мм 0,010

Результаты измерений, мм

1	100,12	10	100,09	19	100,17	28	100,14	37	100,05	46	100,07
2	100,11	11	100,11	20	100,15	29	100,11	38	100,07	47	100,10
3	100,15	12	100,15	21	100,07	30	100,08	39	100,11	48	100,21
4	100,13	13	100,14	22	99,97	31	100,08	40	100,09	49	100,12
5	100,17	14	100,01	23	100,13	32	100,15	41	100,19	50	100,15
6	100,17	15	100,13	24	100,11	33	100,11	42	100,09
7	100,05	16	100,11	25	100,03	34	100,07	43	100,13
8	100,07	17	100,06	26	100,13	35	100,05	44	100,09
9	100,19	18	100,09	27	100,09	36	100,13	45	100,13

Результаты измерений запишем в порядке возрастания

1	99,97	11	100,07	21	100,10	31	100,13	41	100,15
2	100,01	12	100,07	22	100,11	32	100,13	42	100,15
3	100,03	13	100,08	23	100,11	33	100,13	43	100,15
4	100,05	14	100,08	24	100,11	34	100,13	44	100,15
5	100,05	15	100,09	25	100,11	35	100,13	45	100,17
6	100,05	16	100,09	26	100,11	36	100,13	46	100,17
7	100,06	17	100,09	27	100,11	37	100,13	47	100,17
8	100,07	18	100,09	28	100,11	38	100,14	48	100,19
9	100,07	19	100,09	29	100,12	39	100,14	49	100,19
10	100,07	20	100,09	30	100,12	40	100,15	50	100,21

Доверительная вероятность Рд = 0,93 - показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.

Уровень значимости q = 0,02 - показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.



1. Построение гистограммы

Определяем величину размаха R (поле рассеяния):

R = Xmax - Xmin=100,21-99,97=0,24

Xmax = 100,21 - наибольшее из измеренных значений

Xmin = 99,97 - наименьшее из измеренных значений

R = Xmax - Xmin = 0,24 (мм).

Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:

n ===7,07? 7.

Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.

Принимаем n = 7.

Определяем ширину интервала h:

h ===0,034

Определяем границы интервалов Xmin - Xmax

1 интервал:

Xmin1 - Xmax1

Xmin1 = Xmin=99,97 мм

Xmax1 = Xmin1 + h = 99,97+0,034=100,04 мм



2 интервал:

рассеивание погрешность распределение гистограмма

Xmin2 - Xmax2

Xmin2 = Xmax1 = 100,004 (мм)

Xmax2 = Xmin2 + h = 100,038 (мм)

3 интервал:

Xmin3 - Xmax3

Xmin3 = Xmax2 = 100,038(мм)

Xmax3 = Xmin3 + h = 100,072 (мм)

4 интервал:

Xmin4 - Xmax4

Xmin4 = Xmax3 = 100,0721 (мм)

Xmax4 = Xmin4 + h = 100,106 (мм)

5 интервал:

Xmin5 - Xmax5

Xmin5 = Xmax4 = 100,106 (мм)

Xmax5 = Xmin5 + h = 100,140 (мм)

6 интервал:

Xmin6 - Xmax6

Xmin6 = Xmax5 = 100,140 (мм)

Xmax6 = Xmin6 + h = 100,174 (мм)



7 интервал:

Xmin7 - Xmax7

Xmin7 = Xmax6 = 100,174 (мм)

Xmax7 = Xmin7 + h = 100,208100,21

Определяем середины интервалов Xoi

1 интервал:

Xo1 = Xmin1 + =100,02 (мм)

2 интервал:

Xo2 = Xmin2 + = 100,06 (мм)

3 интервал:

Xo3 = Xmin3 + = 100,09 (мм)

4 интервал:

Xo4 = Xmin4 + = 100,12 (мм)

5 интервал:

Xo5 = Xmin5 + = 100,16 (мм)



6 интервал:

Xo6 = Xmin6 + = 100,19 (мм)

7 интервал:

Xo7 = Xmin7 + = 100,23 (мм)

Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi

Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)

Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:

Номер интервала	Границы интервала	Середина интервала Xoi (ММ)	Число размеров в интервале, mi
	Xmin (мм)	Xmax (мм)
1	99,97	100,004	99,987	1	0,02
2	100,004	100,038	100,021	2	0,04
3	100,038	100,072	100,06	9	0,18
4	100,072	100,106	100,09	9	0,18
5	100,106	100,140	100,12	18	0,36
6	100,140	100,174	100,16	8	0,16
7	100,174	100,21	100,19	3	0,06

Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:



2. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения

При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:

,

где Noi - теоретическая частота попадания в интервал.

Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:

ц(z) - плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;

уx - среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.

Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (уx ? Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:

В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:



100,108 мм

После подстановки 100,108 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:

Sx=0,046 мм

Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.

Эту величину можно определить по формуле:

Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле:

Для 1 интервала:

Zo1 =-2,64

что соответствует величине ц(z) = 0,0122

Для 2 интервала:

Zo2 = -1,9

что соответствует величине ц(z) = 0,0656

Для 3 интервала:

Zo3 = -1,05

что соответствует величине ц(z) = 0,2299

Для 4 интервала:

Zo4 = -0,4,

что соответствует величине ц(z) = 0,3683

Для 5 интервала:

Zo5 = 0,25,

что соответствует величине ц(z) = 0,3867

Для 6 интервала:

Zo6 = 1,13,

что соответствует величине ц(z) = 0,2107

Для 7 интервала:

Zo7 = 1,77,

что соответствует величине ц(z) = 0,0833

Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.

Для 1 интервала:

No1 =0,450

Для 2 интервала:

No2 = 2,424

Для 3 интервала:

No3 = 8,496

Для 4 интервала:

No4 =13,611

Для 5 интервала:

No5 = 14,291

Для 6 интервала:

No6 = 7,875

Для 7 интервала:

No7 = 3,078

На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:

№ интервала	Фактическая чистота	Теоретическая чистота
1	0,02	0,009
2	0,04	0,048
3	0,18	0,17
4	0,18	0,272
5	0,36	0,286
6	0,16	0,158
7	0,06	0,062

Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра хи-квадрат:

№интервала	Фактическая чистота	Теоретическая чистота
1	0,02	0,009	0,022	0,000484	0,0537
2	0,04	0,048	-0,016	0,000256	0,00533
3	0,18	0,17	0,02	0,0004	0,00235
4	0,18	0,272	-0,184	0,033856	0,12447
5	0,36	0,286	0,148	0,021904	0,07658
6	0,16	0,158	0,004	0,00016	0,00010
7	0,06	0,062	-0,004	0,00016	0,00025



Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:

где - теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).

Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:

- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.

В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,02;

- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.

Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами - СКО и МО (математическим ожиданием).

Число степеней свободы определяется по формуле:

Таким образом, табличное значение .

3. Определение доверительного интервала рассеивания случайных погрешностей вокруг среднего значения

В доверительном интервале, который предстоит найти с вероятностью Рд, должно находится истинное значение измеряемой величины.

Доверительные границы случайной погрешности находятся по формуле:

где - оценка СКО среднего арифметического значения, которая определяется по формуле:

Если условие выполняется, то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического (нормального) распределения принимается (она не противоречит данным).

Так как по условию Рд = 0,9, то значение функции Лапласа:

F(Zp) = 0,9

Из таблицы определяем величину нормированного параметра Zp, которая соответствует данному значению функции Лапласа

Zp = 1,643

Таким образом, доверительный интервал случайной ошибки:

Перед определением суммарной погрешности определим ее постоянные неисключенные составляющие.

Постоянные неисключенные составляющие:

- погрешность снятия показаний со шкалы (принимается равной цене деления шкалы прибора):



мм,

где С = 0,010 мм - цена деления шкалы прибора;

- систематическая неисключенная погрешность округления результата:

- неисключенная погрешность прибора (условно принимается равной цене деления шкалы прибора:

Суммирование частных постоянных погрешностей измерения производится по двум формулам:

где k - поправочный коэффициент, зависящий от числа слагаемых погрешностей и доверительной вероятности. В нашем случае k = 1,025

Тогда

Для дальнейшего расчета принимаем (выбирается наибольшее значение).

В качестве общей случайной погрешности принимаем величину доверительного интервала, полученную из экспериментов по замерам параметра:



Определение суммарной погрешности измерения:

В качестве окончательного результата принимаем большее значение.

Результат в общем виде: 100,108±0,025



Размещено на Allbest.ru