Особенность метрологии как науки
Роль метрологии в современном эксперименте и управлении качеством продукции. Государственный инспектор по обеспечению единства измерений. Основные виды шкал и разновидностей познавательных процедур. Функциональные преобразования результатов вычислений.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 28.10.2014 |
| Размер файла | 417,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Такого рода поправки (поправочные множители) называют мультипликативными поправками. Результат измерения получается умножением показания средства измерения на мультипликативную поправку:
Результат измерения также является случайной величиной.
Рассмотренные примеры иллюстрируют возможность учета с помощью поправок влияния несовершенство метода измерения. Аналогичные действия могут быть выполнены и для учета влияния условий измерений и средств измерений.
Погрешность средств измерений, возникшая в результате влияния целого ряда факторов, всегда является случайной величиной. При этом, однако, часто погрешность имеет некоторую закономерную составляющую, приводящую к смещению среднего значения показания относительно значения измеряемой величины. То есть, средство измерения дает постоянно завышенное или заниженное значение. Закономерная составляющая погрешности средства измерения, которую ранее называли систематической погрешностью, может при повторных измерениях одной и той же величины оставаться неизменной или изменяться по определенному известному закону. В зависимости от характера изменения закономерной погрешности при изменении измеряемой величины, она может называться постоянной, прогрессивной, периодической (примеры: смещение начала отсчета - постоянная; погрешность при измерении времени (часы спешат или отстают) - прогрессивная; погрешность от эксцентриситета шкалы - периодическая).
Указанные особенности средств измерений выявляются при их аттестации - всестороннем метрологическом обследовании. По итогам аттестации устанавливают поправку ИСИ, которую необходимо вносить в показания средства измерения. Эта поправка может быть аддитивной или мультипликативной; числом или функцией; может задаваться графиком, функцией или таблицей. С учетом сказанного, результат измерения может быть представлен как:
Необходимо помнить, что аддитивные поправки имеют размерность измеряемой величины, а мультипликативные поправки - безразмерны.
Для иллюстрации приемов экспериментального определения поправок рассмотрим 2 способа.
1. Исследуемым прибором выполняют многократное измерение соответствующей образцовой меры, действительной значение которой известно с требуемой точностью. Поправку к показаниям средства измерения определяют как разность между значениями меры и средним арифметическим показанием прибора.
2. Одну и ту же величину измеряют образцовым и исследуемым прибором одновременно. При этом в каждом измерении добиваются одного и того же показания исследуемого прибора. Поправку определяют, как разность между средним арифметическим показаний образцового прибора и показанием поверяемого прибора.
1.8.4 Оценки результата измерения
После того, как влияние постоянно действующих и закономерных влияющих факторов исключено или учтено введение поправок, результат измерения остается случайным. Рассеяние отдельных значений результата измерения объясняется тем, что сравнение неизвестного размера с известным (получение отсчета) происходит в условиях воздействия множества случайных факторов (помех), точный учет совместного влияния которых невозможен. Поэтому для оценки закона распределения результата измерения необходимо провести многократное измерение, то есть несколько раз измерить одну и ту же величину.
Применяют два вида оценок результата измерения - точечные и интервальные. 1.Точечные оценки - это оценки, которые выражаются одним числом. Предположим, что путем внесения поправок все закономерно изменяющиеся факторы учтены (выполнено исправление результата измерения). Тогда результат каждого отдельного сравнения при многократном измерении можно представить как:
где дi - случайная погрешность результата измерения; Qi - результат i-того сравнения значения величины с мерой (измеренное значение величины); Q - значение измеряемой величины.
В большинстве случаев д распределена по одному из симметричных законов (как правило, по нормальному закону) распределения вероятности. Определим среднее арифметическое значение результата измерения:
Для симметричных законов при достаточно большом n Удi > 0, то есть среднее арифметическое стремиться к значению измеряемой величины:
.
Вывод: При симметричных законах распределения вероятности результата измерения среднее арифметическое, будучи оценкой математического ожидания, является оценкой значения измеряемой величины.
Мерой рассеяния отдельных результатов сравнения относительно среднего арифметического является среднее квадратическое отклонение, оценка которого определяется как:
Отметим, что среднее арифметическое определяется по конечному ряду значений, каждое из которых является случайной величиной. Поэтому среднее арифметическое, а следовательно и среднее квадратическое отклонение, являясь оценками результата измерения, также будут случайными величинами.
Мерой рассеяния среднего арифметического значения относительно значения измеряемой величины является среднее квадратическое отклонение среднего арифметического или так называемое стандартное отклонение, оценка которого определяется как:
Видно, что с увеличением числа опытов точность многократного измерения возрастает («семь раз отмерь - один раз отрежь»).
2. Интервальные оценки.
Точечные оценки и S характеризуют результат измерения, при этом, однако, оценка по данным точечным характеристикам результата измерения не является наглядной и не дает непосредственной информации о том, чему же равно значение измеряемой величины.
Смысл оценки результата измерения с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенной вероятностью (доверительной вероятностью) находится значение измеряемой величины.
Пусть б означает вероятность того, что значение результата измерения не отличается от значения величины больше, чем не E, что можно записать в виде:
Тогда б - доверительная вероятность, а интервал значений от до - доверительный интервал.
Очевидно, что доверительный интервал и доверительная вероятность связаны между собой чем больше б, тем больше должен быть Е. Таким образом, для оценки результата необходимо иметь два значения: доверительный интервал - оценка точности и доверительная вероятность - оценка надежности результата измерения.
На практике обычно задаются определенной степенью надежности (доверительной вероятностью) и рассчитывают доверительный интервал. В машино- и приборостроении обычно задают б=90..95%. Для ответственных изделий может иметь место б=0,99% или даже б=0,999%.
Значение Е определяется на основании точечных оценок. Если закон распределения результата измерения нормальный, то Е можно определить по табулированной функции:
где x=E/S.
Так, например, доверительный интервал ±S соответствует доверительной вероятности б=0,683. Вероятности б=0,954-Е=±2S, а вероятности б=0,997-Е=3S.
Приведенные рассуждения правомочны, если имеется достаточно большое число экспериментальных данных (n>40..50). При технических измерительных обычно производят значительно меньшее число измерений. В случае, когда вероятность результата измерения распределяется по нормальному закону, а количество экспериментальных данных меньше 30…40, то среднее арифметическое подчиняется закону распределения вероятности Стьюдента (псевдоним В.С. Гассета) с тем же средним значением .
Не останавливаясь на математических выражениях для распределения Стьюдента, отметим, что значения функции также табулированы. На основании табличных данных, задаваясь доверительной вероятностью и числом экспериментальных данных - n, можно определить величину коэффициента Стьюдента - tб. Параметр tб играет в метрологии важную роль. Он показывает на сколько у (СКО) с заданной вероятностью может отличаться случайное число, подчиненное нормальному закону распределения вероятности, от своего среднего значения. В данном случае tб показывает, насколько S (среднее арифметическое значение) может отличаться от значения измеряемой величины. Таким образом, доверительный интервал определяется как:
В отличие от нормального закона распределения, распределение Стьюдента дает значение tб зависимое от n. Так, например доверительный интервал ±2S имеет место для доверительной вероятности 0.86 (n=4); 0.90(n=6); 0.924(n=10); 0.940(n=20). При n>30 закон Стьюдента преобразуется в нормальный закон распределения вероятности.
1.8.5 Исключение ошибок
Надежность эргономической системы, куда входят объект измерения, человек, окружающая среда и средство измерения, не безгранична. В этой системе могут различного рода отказы. Причины таких отказов могут быть различными: отказ средства измерения, скачки напряжения в сети, сейсмические сотрясения, электромагнитные импульсы (локатор), отвлечение внимания оператора и т.п. В результате может возникнуть ошибка измерения, которую называют еще грубой погрешностью или промахом (если виноват оператор).
При однократном измерении ошибка может быть обнаружена путем логического анализа и сопоставления результата измерения с заранее ожидаемым результатом (пример: напряжение в сети и получение 50В).
При многократном измерении одной и той же величины ошибка проявляется в том, что результаты отдельных измерений значительно отличаются друг от друга. В этом случае необходимо решить вопрос о том, является ли данный результат ошибочным или он принадлежит закону распределения результата, который как известно, является случайным. Решение данного вопроса является обязательным, поскольку в случае ошибки результат многократного измерения может иметь большую погрешность. Для решения задачи исключения ошибок, очевидно, необходимо применить статистический подход.
1. отличие сомнительного результата от других настолько существенно, что ошибка очевидна. Необходимо установить причину ошибки, а ошибочный результат исключить.
2. Согласно центральной предельной теореме теории вероятности, результат измерения в случае, когда он определяется совместным влиянием большого числа факторов, вклад каждого из которых незначителен по сравнению с суммарным действием всех остальных, подчиняется нормальному закону распределения. Принимая закон распределения нормальным, что в большинстве случаев соответствует действительности, можно утверждать следующее: Если при многократном измерении одной и той же величины постоянного размера сомнительный результат отдельного измерения отличается от среднего арифметического больше чем на 3SQ, то с вероятностью 0,997 он является ошибочным, и его необходимо отбросить. Это правило называют правилом трех сигм.
3. В случае, когда количество экспериментальных данных меньше 25, используется метод проверки статистической гипотезы. Выдвигается гипотеза о том, что сомнительный результат Qi не является ошибочным, то есть является одним из значений случайного результата измерения. Зная закон распределения, проверяют эту гипотезу. В первую очередь, сомнительным может быть наибольший или наименьший из результатов. Поэтому для проверки гипотезы рассматривают закон распределения величин:
или
Функции распределения определяются методами теории вероятности. Они совпадают между собой и для нормального закона распределения вероятности результата измерения протабулированы. По данным соответствующих таблиц или заданной доверительной вероятности б и уровне значимости q=1-б, можно для чисел измерений 3…25 найти те наибольшие значения, хА, которые случайная величина х может принять по чисто случайным причинам.
Если вычисленное по экспериментальным данным значение х окажется меньше хА, то гипотеза о том, что сомнительный результат - не ошибочный, принимается. В противном случае сомнительный результат можно отбросить, то есть рассматривать его как ошибку.
После исключения ошибок необходимо заново найти точечные оценки закона распределения вероятности результата измерения.
Отметим, что приведенные рассуждения справедливы лишь для нормального закона распределения вероятности. Поэтому, если такой уверенности нет, то указанное обстоятельство необходимо проверить. Методы проверки на нормальность распределения результата измерения будут рассматриваться ниже.
1.8.6 Измерительная информация
Измерение заключается в получении количественной информации об измеряемой величине.
Необходимо отметить, что до выполнения измерения уже нужно иметь определенную информацию об измеряемой величине. Прежде всего, необходимо знать размерность величины, иначе неясно, с чем сравнивать при измерении с метром, секундой или рублем? Необходимо иметь хотя бы ориентировочное представление о диапазоне, в котором лежит значение величины (температуру в печи нельзя измерять уличным или медицинским термометром). Необходимо проанализировать объект измерения (внутренний диаметр шара нельзя измерить линейкой). При постановке любой измерительной задачи важно установить (исключить, скомпенсировать или учесть) влияющие факторы и т.п. Информация, которой располагают до выполнения измерения называется априорной.
Второй постулат метрологии: Для проведения измерения необходимо иметь априорную информацию.
Практически всегда можно указать ориентировочное значение величины. Если нельзя сказать какие из значений величины наиболее вероятны в установленных пределах, то остается принять что с одинаковой вероятностью измеряемая величина может иметь любые значения в интервале от Q1 до Q2, то есть воспользоваться математической моделью этой ситуации:
Дефицит информации об измеряемой величине состоит в неопределенности ее значения в интервале (Q1;Q2). Мерой неопределенности является энтропия:
При равномерном законе распределения дефицит информации определяется как:
Рассмотрим теперь ситуацию после измерения. Выше было показано, что после измерения его результат может быть представлен также интервалом, в пределах которого с принятой вероятностью лежит значение измеряемой величины.
Если принять, что закон распределения результата измерения известен, то вновь можно задаться равномерным законом в интервале (Q3;Q4), то есть опять представить ситуацию моделью:
При этом значение измеряемой величины остается неизвестным. Остаточная неопределенность составляет:
Таким образом, смысл измерения заключается в том, что найденный в результате измерения интервал меньше априорно известного, то есть измерение заключается в уточнении значения измеряемой величины.
Определим, насколько уменьшился дефицит информации на основании измерений.
Величина I интерпретируется как количество информации получаемой в результате измерения, а протяженность интервалов (Q3;Q4) и (Q1;Q2) характеризует точность, с которой известно значение измеряемой величины до и после измерения.
Если результат распределен по равномерному закону на интервале (а; b), то I определяется как:
Если закон распределения вероятности результата измерения нормальный, то:
2. Однократное измерение
Во многих областях производственной деятельности, в обиходе, в торговле подавляющее большинство измерений являются однократными. В обычных условиях их точность вполне приемлема, а простота и обусловленные ей высокая производительность и низкая стоимость ставят их вне конкуренции.
Особенности метрологического анализа однократного измерения заключаются в следующем:
1. из множества возможных значений отсчета получается только одно (и используется);
2. представление о законе распределения вероятности отсчета и его СКО формируется исключительно на основе априорной информации.
Рисунок 2.1 - Порядок действий при однократном измерении
Порядок действий при однократном измерении (рисунок 1.9)
1. Предварительно проводят тщательный анализ априорной информации. Уясняется физическая сущность объекта измерений, уточняется его модель, устанавливаются влияющие факторы и принанимается решение о мерах по уменьшению влияния этих факторов (термостатирование, экранирование, компенсация полей). Определяются значения поправок, выбирается метод и средства измерения, разрабатывается методика измерений. Анализируется опыт подобных измерений в прошлом. Одним из итогов анализа априорной информации является вывод о достаточной точности однократного измерения для решения измерительной задачи.
2. Получение одного значения отсчета - основная измерительная процедура. Отсчет является случайным значением измеряемой величины и не может полностью характеризовать ее.
3. Получение одного значения показания Х средства измерения. Имеет ту же размерность, что и измеряемая величина. Далее порядок действий таков:
4. Определение пределов, в которых находится значение измеряемой величины. Зная класс точности средства измерения, определяют предельную допустимую абсолютную погрешность и пределы в которых лежит значение измеряемой величины:
;
5. Внесение суммарной поправки. Осуществляется на основе анализа особенностей метода измерений и условий, в которых оно выполнялось. Поправка смещает Q1 и Q2, устанавливает пределы измеряемой величины. В качестве априорной информации может использоваться и опыт подобных измерений в прошлом. В конечном счете, необходимо знать закон распределения вероятности результата измерения и СКО. Показания могут подчиняться, например равномерному закону (из-за наличия люфтов) или нормальному закону. Во всех этих случаях значение измеряемой величины без учета поправки не отличается от случайного показания средства измерения Х больше, чем на половину доверительного интервала (нормальный закон) или на полуразмах (равномерный закон).
Поправка при однократном измерении всегда вносится на последнем этапе.
Пример 1: Микроамперметр класса точности 1.0 с диапазоном измерения от 0 до 100 мкА, внутренним сопротивлением 1кОм измеряет силу тока в цепи с суммарным сопротивлением 25кОм. Определить значение тока в цепи до включения в нее микроамперметра.
Решение:
1. Априорной информацией является то, что имеются сведения о классе точности средства измерения и то, что при его включении в цепь сила тока уменьшится, следовательно, в показания прибора надо внести поправку.
2. Произведем измерение и получим значение отсчета. Пусть указатель остановится против отметки шкалы 40.
3. Определим показание прибора: .
4. Зная класс точности прибора и предельное значение шкалы, определим предельно допускаемое значение абсолютной погрешности: . Определим пределы, в которых находится сила тока через прибор: I1 = 39мкА; I2 = 41мкА.
5. Анализирую метод измерения силы тока в цепи, устанавливаем, что в показания прибора целесообразно внести мультипликативную поправку . Внесем поправку и определим пределы, в которых находится измеряемая величина: .
Пример 2: Вольтметр измеряет напряжение. Известно, что показания прибора распределены по нормальному закону со значением SU=0.5В. При этом, вследствие смещения настройки прибор дает постоянно завышенные показания на 0.8В. Определить напряжение на сопротивлении, значение которого пренебрежимо мало по сравнению с сопротивлением вольтметра.
Решение:
1. Указатель прибора установился против деления 10 - отсчет.
2. Показания прибора X=10В.
3. Задавшись доверительной вероятностью 0,95 для нормального закона распределения вероятности показания, определим доверительный интервал .
Внесем аддитивную поправку в показания прибора и определим пределы в которых находится значение измеряемой величины: .
2.1 Многократное измерение
Многократное измерение проводится в основном в профессиональной метрологической деятельности а также при проведении точных измерений научных экспериментов. Они очень трудоемки и требуют затрат времени и средств, поэтому необходимость многократного измерения должна быть технико-экономически обоснована.
Рассмотрим последовательность действий при проведении многократного измерения.
1. Анализ априорной информации. Назначение анализа такое же, как при однократном измерении. При этом роль анализа в данном случае уменьшается за счет большого количества апостериорной информации, получаемой в процессе измерений (распределение вероятности результата измерений определяется экспериментально).
2. Получение n независимых значений отсчета. Эта основная измерительная процедура, которая может быть организованная по-разному:
· Если измерением измеряемой величины во времени можно пренебречь, то значения отсчета получают путем многократного повторения процедуры сравнения;
· Если известно, что измеряемая величина может существенно измениться, то ее измеряют одновременно несколькими средствами измерений, каждое из которых дает одно из значений отсчета.
3. Перевод значений отсчета в показания и внесение в них поправок. В результате этого действия получают n независимых результатов измерений. Если многократное измерение выполнялось одним средством измерения, то поправки могут изменяться за счет изменения во времени влияющих факторов. Если использовалось несколько средств измерений, то поправки отличаются из-за индивидуальных свойств средств измерений. Весь массив данных (где i=1..n) характеризует результат многократного измерения.
4. Исключение ошибок. Определяют точечные оценки результата измерения и проверяют по правилу «трех сигм» (или иначе) сомнительные результаты. Если ошибки есть, то их исключают и повторно определяют точечные оценки (способ ранее рассмотрен)
5. Проверки нормальности закона распределения вероятности результата измерения. Дальнейшая обработка результатов измерений производится в зависимости от того, является ли закон распределения вероятности нормальным или нет.
|
n |
40..100 |
100..500 |
500..1000 |
1000..10000 |
|
|
k |
7..9 |
8..12 |
10..16 |
12..22 |
5.1. Строят гистограмму. По виду гистограммы уже можно определить, что закон распределения отличается от нормального закона. Если по гистограмме можно предположить что закон может быть нормальным эту гипотезу нужно математически доказать. При построении гистограммы учитывают следующие рекомендации:
· интервалы по оси абсцисс следует выбирать, по возможности одинаковыми;
· число интервалов зависит от n:
5.2. масштаб гистограммы целесообразно выбирать так, чтобы ее высота относилась к основанию как Ѕ.Проверка нормальности закона распределения по критерию Пирсона. Выдвигают гипотезу о том, что экспериментальные данные соответствуют нормальному закону. За меру расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом принимают сумму квадратов отклонений отношения m/n от теоретической вероятности pi попадания отдельного значения в i-тый интервал (m - число результатов измерения в i-том интервале; n - число всех результатов измерения), причем каждое слагаемое умножают на коэффициент n/pi:
,
5.3. где k - число интервалов; n - число результатов, попавших в i-тый интервал; pi - вероятность попадания отдельного результата в i-тый интервал. Если расхождение случайно, то ч2 (коэффициент «ХИ-квадрат» или «коэффициент Пирсона») подчиняется распределению Пирсона. По этому распределению есть необходимые таблицы. По таблицам в зависимости от доверительной вероятности и числа интервалов можно определить табличный коэффициент ч02. Если ч2< ч02 ,то с установленной вероятностью можно признать случайным расхождение экспериментальных данных и теоретического закона распределения, что подтверждает гипотезу о выбранном теоретическом законе. Последовательность действий при проверке следующая:
· разбивают диапазон изменения Q на интервалы (5-30) так, чтобы в каждом интервале было не менее 5 значений;
· определяют значения ti для каждого i-ого интервала по формуле:
,
где Qi - наибольшее значение для i-ого интервала;
· определяют значение интеграла вероятности Лапласа L(ti) для каждого i;
· определяют ;
· определяют ;
· определяют ч2, сравнивают его с табличным значением ч02;
· делают заключение о законе распределения результата измерения.
Критерий согласия Пирсона широко применяется при n=40..50 и более.
5.4. Проверка нормальности закона распределения по составному критерию. Применяют при 10..15<n<40..50. Рассчитывают критерий по формуле:
.
Проверяют выполнение условия: , где dmin и dmax - коэффициенты, зависящие от вероятности P1*, с которой принимают решение. Они определяются по соответствующим таблицам. Если условие выполняется, то дополнительно проверяют «хвосты» теоретического и эмпирического распределения. При 10<n<20 считается допустимым отклонение одного из результатов Qi от среднего арифметического больше, чем на 2,5SQ; при 20<n<50 - двух, что соответствует доверительной вероятности P1**=0.98. Несоблюдение хотя бы одного из этих условий достаточно для того, чтобы гипотеза о нормальности распределения была отвергнута. В противном случае гипотеза принимается с вероятностью
.
5.5. Решение принимается на основе априорной информации. При n<10 гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения не проверяется.
6. Определение доверительного интервала.
6.1. При нормальном законе распределения вероятности результата измерения доверительный интервал определяется, как изложено в п.1.9.4: при n>40..50 определяется через функцию вероятности; при n<30..40 - по распределению Стьюдента.
6.2. При отклонении гипотезы о нормальности закона распределения по виду гистограммы можно выдвинуть гипотезу хотя бы о симметричности закона. Гипотезы о симметричности закона распределения проверяются по тем же критериям. При этом в качестве теоретического закона выбирают одну из стандартных аппроксимирующих функций, вид которой можно определить по гистограмме или по априорной информации.
Пример: при измерении частоты на электронно-счетном частотомере заранее известно, что результат измерения распределен по треугольному закону, поэтому при малом влиянии других факторов можно принять именно эту функцию. По критерию согласия проверяется, согласуется ли характер экспериментальных данных с гипотезой о том, что результат измерения подчиняется выбранному закону распределения.
Особенность стандартных аппроксимирующих функций заключается в том, что они усеченные. Поэтому смысл доверительного интервала для них теряется. Вместо него по «МИ 1317-86 ГСИ. Результаты измерений и характеристики погрешностей измерений. Формы представлений …» используется аналог доверительного интервала, определяемый как ±a·S, где a - аналог коэффициента t, он берется из соответствующих таблиц (см. рисунок).
В случае, когда по гистограмме явно видно, что закон распределения несимметричный, то поступают следующим образом: устанавливают пределы, за которыми не может оказаться значение измеряемой величины при любом законе распределения (точность при этом, конечно, ниже). Для несимметричных законов среднее арифметическое и СКО уже не являются оценками результата измерения как ранее.
Неравенство Чебышева устанавливает, что вероятность того, что значение случайного числа при любом законе распределения не будет отличаться от среднего значения больше, чем на половину доверительного интервала:
В данном случае S определяется как:
По таблице определяют для доверительной вероятности значение t, по которому вычисляют доверительный интервал.
Если закон не нормальный, но симметричный, то значение можно оставить прежним (как при нормальном законе). Неравенство Чебышева в данном случае будет иметь вид:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 2.2
При этом точность измерения более высокая.
2.2 Обработка результатов нескольких серий измерений
Часто возникают ситуации, когда многократное измерение одной и той же величины производится в несколько этапов, разными людьми, в разных местах, в разное время и на разных приборах. Результат такого измерения необходимо определять путем обработки нескольких серий результатов, которые могут отличаться по статистическим характеристикам.
Серии называют однородными, если результаты в них подчиняются одному и тому же закону распределения вероятности. В противном случае серии считаются неоднородными.
Обработка результатов нескольких серий зависит от того, однородны они или нет. Поэтому при задании способа обработки результатов обязательно производят проверку однородности серий.
Обычно сравнивают средние арифметические и оценки дисперсий в каждой серии. Проверка производится в 2 этапа:
1) проверка значимости различия между средними арифметическими;
2) проверка равно рассеянности результатов измерений в сериях.
1. При проверке значимости различия между средними арифметическими вначале проводят обработку данных в каждой серии отдельно. При этом определяют значения средних арифметических ( и ), СКО ( и ) для каждой серии; производят проверку нормальности закона распределения. Затем определяют моменты закона распределения разности G . Среднее
, СКО ,
где n1 и n2 - число результатов в первой и второй сериях.
Если n1+n2>20..30, то, задавшись доверительной вероятностью p, по таблицам для нормального распределения определяют t и вычисляют доверительный интервал, как . Разность G не может оказаться за пределами этого интервала, если она является случайной и распределена по нормальному закону. Если выполняется условие: , то различия между средними арифметическими в сериях незначимы.
2. При проверке равно рассеянности результатов измерения в двух сериях после вычисления среднего арифметического и СКО для каждой серии и проверки нормальности результатов измерений в сериях определяют отношение дисперсий: , которое подчиняется распределению Фишера.
Задаются вероятностью P с которой принимается решение. По соответствующим таблицам определяют для выбранной вероятности P, значений n1 и n2 значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера ш0. Если выполняется условие , то серии считаются равно рассеянными, если не выполняется - то серии считают неравно рассеянными.
Равно рассеянные серии с незначимым различием между средними арифметическими считаются однородными. Если полученные экспериментальные данные определены в одних и тех же условиях, то говорят о сходимости измерений, если в разных - то о воспроизводимости измерений.
Экспериментальные данные однородных серий обрабатывают как единый массив. Для сокращения вычислений применяют формулы:
При обработке неравно рассеянных серий с незначимо различающимися средними арифметическими особенно ценные измерения учитываются с большей точностью. Последовательность обработки данных следующая:
· определяют среднее арифметическое в каждой серии (j - число серий);
· определяют СКО среднего в каждой серии Sj;
· определяют стандартное отклонение среднего взвешенного:
,
где n - число серий (n=1..j).
· определяют среднее взвешенное:
;
· задаются доверительной вероятностью P;
· определяют n0 по таблицам t и рассчитывают доверительный интервал, как ;
· записывают результат измерения .
При обработке неравнорассеянных серий со значимым различием средних арифметических результаты измерений в каждой серии обрабатывают отдельно. При этом обработку проводят по правилам обработки результата многократного измерения.
2.3 Математические действия над результатами измерений
2.3.1 Функциональные преобразования результатов измерений
При использовании измерительной информации нередко производят различные математические действия над результатами измерений. При этом обязательно нужно учитывать, что результат измерения является случайным значением измеряемой величины. Обращение с результатами измерения, как с неслучайными значениями приводит к ошибкам.
Рисунок 2.3 - Графики функций P(A) и P(Q).
Любые функциональные преобразования результатов измерений связаны с изменением из законов распределения вероятности. Так, если Q=f(A), где А - результат измерения, а f - монотонная функция, то плотность распределения вероятности Q выражается через плотность распределения вероятности результата А измерения, как:
;
где f -1- функция обратная функции f.
Пример: Q=A2, плотность распределения А:
.
Определить закон распределения вероятности результата измерения P(Q).
Решение:
;
.
При сложных функциях и в случае, когда функция является функцией нескольких переменных, произвести указанные преобразования невозможно. В этом случае обычно ограничиваются определением приближенных оценок числовых законов.
Пусть осуществляются косвенные измерения величины Q путем вычисления ее значения по результатам измерений А и В по известной зависимости Q=f(A; B). Предположим, что в результат измерения А и В внесены все необходимые поправки. Тогда А и В можно представить как:
; ; ;
Идея приближенного вычисления заключается в том, что сложную функцию представляют рядом, в котором ограничиваются первыми членами разложения.
Очевидно, что по сравнению с и значения дА и дВ достаточно малы, поэтому разложим функцию f в ряд Тейлора:
Из анализа выражения (1.59) видно, что первые слагаемые правой и левой частей не зависят от случайных отклонений, и следовательно:
Для определения поправки И вычитаем из (1.59) уравнение (1.60) и усредним левую и правую части полученного выражения:
Видно, что при функциональных преобразованиях результатов измерений, даже при равенстве нулю значений поправок А и В возникает необходимость во внесении поправки И.
Анализируя (1.61) можно сказать что:
Переходя к точечным оценкам, получим:
;
;
где - коэффициент корреляции ()
Рассмотрев общий подход к функциональным преобразования результатов измерений, рассмотрим несколько частных случаев.
Пример 1: Алгебраическое сложение результатов измерений.
Измеряют сопротивления двух резисторов. Получен результат R1=100 Ом, SR1=5.8 (распределение равномерное) и R2=100 Ом, SR2=5.8 (распределение равномерное). Определить сопротивление последовательно соединенных указанных резисторов.
Решение:
1. Определим Ом; И=0.
Ом.
2. Определим сопротивление R с учетом того, что R1=R2, как R=2·R1. Тогда
Ом;
Ом.
Пример указывает на то, что для результатов измерений операция сложения не эквивалентна операции умножения, то есть , где Qi=Q. Выше указывалось, что распределение вероятности алгебраической суммы нескольких случайных величин называют композицией их распределений. Полезно знать, что композицией двух равномерных законов распределения является треугольный закон распределения (закон Симпсона). Композицией двух равномерных законов с неодинаковым размахом является трапециидальный закон. С увеличением числа независимых слагаемых композиция их законов распределения быстро стремиться к нормальному закону (4..5 слагаемых). Нормальный закон является наиболее устойчивым.
Вернемся к рассмотренному примеру. Определим интервал, в котором лежит значение суммарного сопротивления. Поскольку как установлено закон распределения треугольный, то воспользовавшись
Литература
1. Шишкин И.Ф. Основы метрологии, стандартизации и управления качеством. 1989г.
2. Шишкин И.Ф. Теоретическая метрология. Учебник для ВУЗов. 1990г.
3. Лифиц И.М. Основы стандартизации метрологии и сертификации. Учебник. 2001г.
4. Иванцов А.И. Основы теории точности измерительных устройств. 1972г.
5. Основы метрологии и электрические измерения. Под ред. Душина Е.М. 1987г.
6. Крылова Г.Д. Основы стандартизации, сертификации, метрологии. Учебник для ВУЗов. 2001г.
7. Закон РФ «О стандартизации»
8. Закон РФ «Об обеспечении единства измерений»
9. Закон РФ «О сертификации продукции и услуг»
10. Закон РФ «О защите прав потребителей»
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Правовые основы метрологического обеспечения единства измерений. Система эталонов единиц физической величины. Государственные службы по метрологии и стандартизации в РФ. Деятельность федерального агентства по техническому регулированию и метрологии.
курсовая работа [163,5 K], добавлен 06.04.2015Регламентация и контроль со стороны государства ряда положений метрологии. Государственная система обеспечения единства измерений. Субъекты метрологии. Управление тремя государственными справочными службами. Добровольная и обязательная сертификация.
контрольная работа [24,3 K], добавлен 21.01.2009Понятие, сущность, цели, задачи и законодательная регламентация государственной системы обеспечения единства измерений в России, особенности ее развития. Общая характеристика основных принципов законодательной метрологии и государственной стандартизации.
контрольная работа [15,8 K], добавлен 20.04.2010Теоретические основы и главные понятия метрологии. Методы нормирования метрологических характеристик средств измерений, оценки погрешностей средств и результатов измерений. Основы обеспечения единства измерений. Структура и функции метрологических служб.
учебное пособие [1,4 M], добавлен 30.11.2010Метрологическое обеспечение строительства. Система разработки, постановки на производство и выпуска в обращение средств измерений, обеспечивающих определение с требуемой точностью характеристик продукции. Современное состояние метрологии в строительстве.
реферат [16,6 K], добавлен 16.09.2013Основы, цели, задачи и функции стандартизации. Категории и виды стандартов, порядок их разработки. Органы и службы по стандартизации. Метрологические понятия. Классификация измерений. Роль метрологии. Вопросы сертификации в законах Российской Федерации.
реферат [109,1 K], добавлен 09.01.2009История развития метрологии. Правовые основы метрологической деятельности в Российской Федерации. Юридическая ответственность за нарушение нормативных требований. Объекты, методы измерений, виды контроля. Международная система единиц физических величин.
шпаргалка [394,4 K], добавлен 13.11.2008Проблемы метрологии как науки об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства. Основополагающие стандарты по терминам и определениям и в целом по метрологическому обеспечению. Истинное, действительное и измеренное значения физической величины.
презентация [56,9 K], добавлен 22.10.2013Вопросы теории измерений, средства обеспечения их единства и способов достижения необходимой точности как предмет изучения метрологии. Исследование изменений событий и их частоты. Цифровые измерительные приборы. Методы, средства и объекты измерений.
курсовая работа [607,8 K], добавлен 30.06.2015Предмет и основные задачи теоретический, прикладной и законодательной метрологии. Исторически важные этапы в развитии науки об измерениях. Характеристика международной системы единиц физических величин. Деятельность Международного комитета мер и весов.
реферат [23,8 K], добавлен 06.10.2013
