Нестационарная одномерная теплопроводность

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э.Баумана

Реферат

По курсу «CALS-технологии в расчетах

термогазодинамических процессов»

Тема: «Нестационарная одномерная теплопроводность. Обобщенный дискретный аналог. Явная, Кранка-Николсона и полностью неявная схемы.

Турбулентное движение и осреднение его параметров. Основные понятия. Правила осреднения.»

Выполнила: Щербинина Л.А.

Группа Э3-101

Проверил: Бурцев С.А.

Москва 2014



Ч.1 Нестационарная одномерная теплопроводность. Обобщенный дискретный аналог. Явная, Кранка-Николсона и полностью неявная схемы.

Нестационарные процессы теплопроводности. Общие понятия.

Теория теплопередачи, или теплообмена, представляет собой учение о процессах распространения теплоты в пространстве с неоднородным полем температур.

Существуют три основных вида теплообмена: теплопроводность, конвекция и тепловое излучение.

Теплопроводность -- это молекулярный перенос теплоты между непосредственно соприкасающимися телами или частицами одного тела с различной температурой, при котором происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, свободных электронов).

Конвекция осуществляется путем перемещения в пространстве неравномерно нагретых объемов среды. При этом перенос теплоты неразрывно связан с переносом самой среды.

Тепловое излучение характеризуется переносом энергии от одного тела к другому электромагнитными волнами.

Часто все способы переноса теплоты осуществляются совместно. Например, конвекция всегда сопровождается теплопроводностью, так как при этом неизбежно соприкосновение частиц, имеющих различные температуры. теплопроводность турбулентный температура молекулярный

Совместный процесс переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью называется конвективным теплообменом. Частным случаем конвективного теплообмена является теплоотдача -- конвективный теплообмен между твердой стенкой и движущейся средой. Теплоотдача может сопровождаться тепловым излучением. В этом случае перенос теплоты осуществляется одновременно теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением.

Многие процессы переноса теплоты сопровождаются переносом вещества -- массообменном, который проявляется в установлении равновесной концентрации вещества.

Совместное протекание процессов теплообмена и массообменна называется тепломассообменном.

Теплопроводность определяется тепловым движением микрочастиц тела. В чистом виде явление теплопроводности наблюдается в твердых телах, неподвижных газах и жидкостях при условии невозможности возникновения в них конвективных токов.

Передача теплоты теплопроводностью связана с наличием разности температур тела. Совокупность значений температур всех точек тела в данный момент времени называется температурным полем. В общем случае уравнение температурного поля имеет вид:

где t -- температура тела; х, у, z -- координаты точки; ф -- время. Такое температурное поле называется нестационарным и отвечает неустановившемуся (нестационарному) режиму теплопроводности.

Если температурное поле зависит только от одной координаты, то оно называется одномерным и отвечает одномерному режиму теплопроводности.

В ходе этих тепловых процессов всегда . В ходе этих тепловых процессов всегда происходят локальные изменения внутренней энергии или энтальпии вещества. Нестационарные процессы связаны с прогревом или охлаждением материала и элементов оборудования при пуске, остановке или изменении технологического режима процесса, например при производстве целлюлозы, стекла, обжиге кирпича, плавлении металла и т.д.

Однако многие задачи гидродинамики, теплообмена и массообмена, с которыми в настоящее время приходится сталкиваться исследователям и инженерам, не поддаются аналитическому решению, и единственная возможность их теоретического анализа -- получение численного решения. Прогресс в разработке численных методов позволил существенно расширить круг задач, доступных анализу; полученные на их основе результаты используются практически во всех областях техники. Особенно велика их роль в таких областях, как ракетная техника, авиация, энергетика, в частности ядерная, где численные решения прочно вошли в практику.

Одним из популярных методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных - является метод конечных объемов. Суть метода заключается в том, что выбирается некоторая замкнутая область течения жидкости или газа, для которой производится поиск полей макроскопических величин (например, скорости, давления), описывающих состояние среды во времени и удовлетворяющих определенным законам, сформулированным математически. Наиболее используемыми являются законы сохранения в Эйлеровых переменных.

Для любой величины , в каждой точке пространства, окруженной некоторым замкнутым конечным объемом, в момент времени существует следующая зависимость: общее количество величины в объеме может изменяться за счет следующих факторов:

транспорт количества этой величины через поверхность, ограничивающую контрольный объем -- поток;

генерация (уничтожение) некоторого количества величины внутри контрольного объема -- источники (стоки).

Другими словами, при формулировке МКО используется физическая интерпретация исследуемой величины. Например, при решении задач переноса тепла используется закон сохранения тепла в каждом контрольном объеме.

Обобщенное дифференциальное уравнение

Краткое рассмотрение некоторых дифференциальных уравнений, описывающих теплообмен и гидродинамику, показывает, что интересующие нас зависимые переменные подчиняются обобщенному закону сохранения.. Если обозначить зависимую переменную Ф, то обобщенное дифференциальное уравнение примет вид:

где Г -- коэффициент диффузии; S -- источниковый член. Конкретный вид Г и S зависит от смысла переменной Ф (в действительности следовало бы использовать обозначения Г_ф и S_ф, но это привело бы к слишком большому количеству нижних индексов в дальнейших выкладках).

В обобщенное дифференциальное уравнение входят четыре члена: нестационарный, конвективный, диффузионный и источниковый. Зависимая переменная Ф обозначает различные величины, такие, как массовая концентрация химической компоненты, энтальпия или температура, составляющая скорости, кинетическая энергия турбулентности или масштаб турбулентности. При этом коэффициенту диффузии Г и источниковому члену S следует придать соответствующий каждой из этих переменных смысл. Не все диффузионные потоки определяются градиентом соответствующей переменной. Однако запись диффузионного члена уравнения в виде div (ГgradФ) не ограничивает применение обобщенного уравнения для Ф случаями, когда диффузионные процессы обусловлены соответствующими градиентами. Ту часть диффузионного члена уравнения, которую нельзя выразить в указанном виде, всегда можно записать как часть источникового члена; фактически коэффициент диффузии Г можно даже считать равным нулю. Явная запись диффузионного члена в обобщенном уравнении для Ф через ее градиент использовалась потому, что для большинства зависимых переменных диффузионный член имеет именно такой вид.

Входящая в (1) плотность может быть связана с такими переменными, как массовая концентрация и температура, через уравнение состояния. Эти переменные и составляющие скорости также подчиняются обобщенному дифференциальному уравнению. Кроме того, поле скорости должно удовлетворять дополнительному ограничению, а именно закону сохранения массы или уравнение неразрывности, имеющему вид:

Уравнения (1) и (2) записаны в векторном виде. Эти уравнения можно представить также в тензорной форме в декартовой системе координат:

где нижний индекс j в соответствии с тремя пространственными координатами принимает значения 1, 2, 3.

Одно из достоинств тензорной записи в декартовой системе координат заключается в том, что одномерный вид уравнения можно получить, если просто опустить индекс j. Процедура записи дифференциального уравнения в обобщенном виде (1) заключается в его преобразовании до тех пор, пока нестационарный, диффузионный и источниковый члены уравнения для данной зависимой переменной не примут стандартный вид. Тогда в качестве выражения для Г берут коэффициент перед gradФ в диффузионном члене, а все оставшиеся члены в правой части обозначают S (источниковый член). Стоит заметить, что иногда удобнее иметь дело с безразмерными величинами. При этом также можно считать, что каждое из дифференциальных уравнений, записанное через безразмерные переменные, можно представить в обобщенном виде (1), где Ф -- безразмерная зависимая переменная, а Г и S -- безразмерные коэффициент диффузии и источниковый член. Во многих случаях безразмерный коэффициент Г= 1, a S принимает значения 0 либо 1. Тот факт, что все интересующие нас дифференциальные уравнения, описывающие тепло- и массообмен, гидродинамику и турбулентность, можно рассматривать как частные случаи обобщенного уравнения для Ф, позволяет ограничиться численным решением (1). Следовательно, при создании программы расчета достаточно записать общую последовательность операций для решения уравнения (1), которую можно применять для нахождения различных Ф пр использовании соответствующих выражений для Г и S и, конечно, соответствующих начальных и граничных условий. Таким образом, концепция обобщенного уравнения позволяет сформулировать обобщенный численный метод и подготовить многоцелевые программы расчета.

Нестационарная теплопроводность. Обобщенный дискретный аналог.

Рассматривая значения в узловых точках, мы заменяем непрерывную информацию, содержащуюся в точном решении дифференциального уравнения, дискретными значениями. Таким образом, происходит дискретизация распределения Ф, и этот класс численных методов называется методами дискретизации..

Дискретный аналог исходного уравнения - алгебраические уравнения включающие неизвестные значения Ф в выбранных узловых точках - получаемые из дифференциального уравнения, описывающего изменение величины Ф.

Обратимся к нестационарному члену и временно опустим источниковый член.

Таким образом, ищем решение нестационарного одномерного уравнения теплопроводности:



(5)

В дальнейшем для удобства будем полагать постоянным. Поскольку время является однонаправленной координатой, решение получаем, передвигаясь во времени от заданного начального распределения температуры. Таким образом, на типичном временном шаге по заданным значениям Т в узловых точках для времени t надо определить значения Т для времени t+Дt. Старые (заданные) значения Т в узловых точках обозначим T_P⁰, T_E⁰, T_W⁰, а новые (неизвестные) значения для времени t+Дt -- T_P¹, T_E¹, T_W¹.

Дискретный аналог получим путем интегрирования уравнения (4.4) по контрольному объему и по временному интервалу от t до t+Дt. Таким образом,

(6),

где пределы интегрирования выбраны в соответствии с физическим смыслом членов. Для представления члена дT/дt предположим, что значение T в узловой точке распространено на весь КО, тогда

(7)

Следуя способу аппроксимации члена лдT/дt в стационарном случае, получаем:



. (8)

На данном этапе необходимо ввести предположение относительно, изменения во времени от t до t+Дt температур Т_Р, Т_Е и T_W. Возможны различные предположения, и одно из них имеет следующий вид:

,

где f -- весовой коэффициент, изменяющийся от 0 до 1. Используя аналогичные соотношения для интегралов от Т_Е до T_W из уравнения (8), находим

Преобразуя это выражение, опустим индекс 1 и запомним, что Т_Р, Т_Е и T_W с этого момента будут означать новые значения T для времени t+Дt. В результате имеем (9)

где , , ,



Явная, Кранка-Николсона и полностью неявная схемы

Для определенных конкретных значений весового коэффициента f дискретный аналог приводится к хорошо известным схемам для параболических дифференциальных уравнений. В частности, для f = 0 получаем явную схему, для f = 0,5 -- схему Кранка -- Николсона и для f = 1 -- полностью неявную схему. Кратко рассмотрим эти схемы и покажем, что неявная схема наиболее предпочтительна. Различные значения f можно интерпретировать как характеристику изменения Т_Р от t, показанного на рис. 1

Явная схема. f = 0. По существу предполагает, что старое значение T_P⁰ существует в пределах всего временного шага, за исключением точки t+Дt.

Рис. 1 Изменение температуры по времени для явной схемы (1), схемы Кранка-Николсона (2) и полностью неявной схемы (3).

Для явной схемы уравнение (9) принимает следующий вид:

.

Это означает, что Т_Р не зависит от других неизвестных, таких, как Т_E или Т_W, а является явно определенной по известным температурам T_P⁰, T_E⁰, T_W⁰. Поэтому схема и называется явной. Любая схема с f?1 должна быть неявной, так как Т_Р зависит от неизвестных Т_E и Т_W,, в этом случае необходимо решать одновременно несколько уравнений. Удобство явной схемы в этом отношении компенсируется, однако, рядом ограничений. Анализируя (9) для явной схемы и вспоминая основное правило о положительных коэффициентах (правило 2), замечаем, что коэффициент при T_P⁰ может принимать отрицательные значения (значение T_P⁰ рассматривается как соседнее с Т_Р по временной координате).

Действительно, для того чтобы этот коэффициент был положительным, шаг по времени должен быть достаточно малым, т.е. a_P>a_E+a_W. Для постоянного коэффициента теплопроводности и Дx=(дx)e=(дx)w это условие запишется в виде

(10)

Если это условие нарушается, то могут возникнуть физически неправдоподобные результаты, так как из отрицательности коэффициента следует, что увеличение T_P⁰ приводит к уменьшению Т_Р. Уравнение (10) является хорошо известным критерием устойчивости явной схемы.

Схема Кранка-Николсона. f = 0.5. Схема предполагает линейное изменение Т_Р. С первого взгляда линейное изменение должно быть более разумным, чем две другие альтернативы. Обычно схема Кранка-Николсона считается безусловно устойчивой. Иногда это объясняют исходя из того, что физически реальное решение будет получаться независимо от значения шага по времени. Однако в этом случае могут иметь место колеблющиеся решения. Устойчивость в математическом смысле просто гарантирует, что эти колебания будут, в конечном счете, затухать, но это не обеспечивает физически правдоподобного решения.

В рамках нашей модели такое поведение легко объясняется. Для f = 0.5 коэффициент при T_P⁰ в уравнении (9) становится равным a_P⁰-(a_E+a_W)/2. Для постоянного коэффициента теплопроводности и равномерной сетки этот коэффициент, как видно, равен . Когда шаг по времени недостаточно мал, этот коэффициент может становиться отрицательным, что делает возможным физически неправдоподобный результат.

Неявная схема. f = 1. Предполагает, что в момент t Т_Р резко изменяется от T_P⁰ до T_P¹, а затем остается равной T_P¹ на всем временном, шаге и температура в пределах временного шага характеризуется новым значением Т_Р.

Если потребовать, чтобы коэффициент при T_P⁰ в уравнении (9) не был отрицательным, то только постоянная величина f = 1 обеспечит это условие (конечно, это не имеет смысла для f >1). Таким образом, полностью неявная схема (f = 1) удовлетворяет требованиям простоты и физически обоснованного поведения.

Запишем уравнение (9) в полностью неявном виде. Для этого введем линеаризованный источниковый член, который примем уменьшающимся во времени. В результате получим

, (11)

Где , , , , .

Видно, что при это уравнение приводится к стационарному дискретному аналогу. Основным принципом полностью неявной схемы является то, что в пределах всего шага по времени температура принимается равной новому значению Т_Р. Таким образом, если коэффициент теплопроводности л_Р зависит от температуры, он должен пересчитываться через Т_Р в итерационном процессе точно так же как. и при решении стационарной задачи.

Ч.2 Турбулентное движение и осреднение его параметров. Основные понятия. Правила осреднения.

В настоящее время существует множество определений турбулентности.

Наиболее популярными являются определения Ландау-Лившица:

Турбулемнтность, (от лат. turbulentus -- бурный, беспорядочный), турбулемнтное течемние -- явление, заключающееся в том, что при увеличении скорости течения жидкости или газа в среде самопроизвольно образуются многочисленные нелинейные фрактальные волны и обычные, линейные различных размеров, без наличия внешних, случайных, возмущающих среду сил и/или при их присутствии

В 1937 г. Тейлор и фон Карман предложили следующее определение турбулентности:

«Турбулентность есть иррегулярное движение, которое обычно происходит в жидкостях или газах, когда они обтекают твердые поверхности или даже когда соседние струи однородного потока проходят одна над другой».

Существует большая дифференциация видов турбулентности в зависимости от параметров из-за широчайшего диапазона временных и пространственных масштабов, характеризующих явление, существенная трехмерность и нестационарность, вихревой характер движения, например:

· Двумерная турбулентность наблюдается в тонких пленках или слоях жидкости или газа. Поскольку толщина земной атмосферы намного меньше земного радиуса, атмосфера Земли является двумерной системой и большинство погодных явлений (циклоны, ураганы и т.п.) могут рассматриваться как двумерные турбулентные вихри. Основное отличие двумерной турбулентности от трехмерной заключается в направлении переноса энергии в спектре. В трехмерной среде крупные турбулентные вихри распадаются на более мелкие, те, в свою очередь, на еще более мелкие, которые затем теряют свою энергию (замедляются) за счет действия не консервативных сил. В двумерной среде наоборот, малые завихрения усиливают друг друга, складываясь и создавая все более крупные завихрения. Экспериментально двумерная турбулентность может наблюдаться в искусственно создаваемой мыльной плёнке воды толщиной от 4 до 5 микрон^[5].

· Оптическая турбулентность. Очень мощный луч лазера проходит через стекло и начинает рассеиваться хаотически, сам на себе. Свет -- это волны, поэтому это турбулентность световых волн. Хаотичное мерцание звёзд на ночном небе связано с случайным изменением плотности воздуха. Это так же проявление турбулентности.

· Речная турбулентность. Течение воды в реке турбулентно. Когда число Рейнольдса и расход меняется, река меняет шероховатость своего дна. Река -- одна из самых совершенных самоуправляющихся систем в неорганическом мире.

· В жидких кристаллах (нематиках), когда скорость среды равна нулю, наблюдается так называемая «медленная» турбулентность.

· Химическая турбулентность. В частном случае, она может быть описана уравнением В. Н. Николаевского.^[6].

· Кварк-глюонная плазма, которая существовала на ранней стадии Вселенной, описывается моделью идеальной жидкости (то есть уравнением Навье-Стокса с величиной вязкости, равной нулю). Это пример турбулентного состояния плазмы.

Однородная и изотропная

· Изотропная -- когда её статистические параметры не зависят от направления. Создаётся искусственно на некотором расстоянии после металлической сетки или решётки.

· Однородная -- когда её параметры меняются вдоль выбранной оси, но в данном сечении (например, трубым) они одинаковы.

· На поверхности вибрирующейся многофазной жидкости. Например, в слое стеклянных сфер в кукурузном крахмальном сиропе при частоте 120 Гц и виброускорении в 25 g. и другие

Основные понятия

Турбулентное движение является всегда неустановившимся, и хотя пульсация скорости по сравнению с осредненной скоростью потока мала, она оказывает заметное влияние на важнейшие характеристики потока.

Количественно турбулентные потоки оценивают в основное двумя величинами: степенью турбулентности Tu и коэффициентом корреляции R. Мгновенное значение скорости будет выражаться суммой величин . Если взять в потоке рабочего тела точку А и проследить, как с течением времени в ней меняются параметры потока, то, зная законы изменения параметров в этой точке во времени, можно найти осредненные значения этих параметров. Среднюю скорость за период времени ?t=t₂_t₁ можно определить в виде

.

По определению, средняя величина пульсационной скорости .

Так как пульсационная скорость v' является переменной величиной по абсолютному значению и знаку, то ее удобно выражать в виде среднеквадратичного значения .

Степень турбулентности - , - отношение среднеквадратичной пульсационной скорости к осредненному значению скорости турбулентного движения. Обычно величину Tu выражают в процентах.

Если рассматривается изменение параметров не только в одной точке, то оценка характера движущегося потока по степени его турбулентности будет недостаточной. Возьмем на некоторое расстоянии dx от точки А по линии, перпендикулярной к средней скорости потока, точку В (рис. 7.1).

Рис. 7.1 Пульсационные скорости в соседних точках потока

Если средняя скорость потока равна Ы, а пульсационные составляющие скорости в точках А и В соответственно v'_A и v'_B, то отношение среднего произведения пульсационных скоростей к произведению средних квадратичных пульсационных скоростей в этих точках называют коэффициентом корреляции

.

Второй возможный вариант коэффициента корреляции - коэффициент корреляции, построенный на пульсационных скоростях одной точки, отложенных по разным осям.

Величину называют масштабом турбулентности - это средний размер вихревых образований, в которых сохраняются кинематические характеристики турбулентности.

Турбулентность потока оказывает большое влияние на характеристики исследуемых потоков. Изменяя ее, можно изменять условия обтекания тел, например условия отрыва пограничного слоя и т.п.

Турбулентность - это явление, масштабы которого существенно больше молекулярных масштабов. Для визуализации турбулентных течений часто используют понятие «турбулентных вихрей», которые могут быть определены как локальное вихревое движение, характерные размеры которого имеют порядок локального масштаба турбулентности. Турбулентные вихри могут перекрываться в пространстве и большие вихри могут переносить меньшие.

Поскольку существует широкий диапазон различных масштабов турбулентности (размеров турбулентных вихрей), существует и перенос энергии в котором большие вихри передают свою энергию меньшим, а те, в свою очередь, еще меньшим, и в итоге происходит диссипация энергии в тепло при помощи механизма молекулярной вязкости. Следовательно, турбулентные течения всегда диссипативны.

Также, турбулентные потоки характеризуются повышенными характеристиками переноса, такими как теплопроводность или коэффициент диффузии.

Цитируя работы основоположников современной газовой динамики (Прандтль, Тейлор, фон Карман), идеальная модель турбулентности должна отражать суть соответствующего физического процесса, оставаясь максимально возможно простой.

Современная теория турбулентности не располагает возможностями теоретическим путем получить уравнения для определения напряжений Рейнольдса. Поэтому единственным способом, позволяющим замкнуть систему, является привлечение полуэмпирических соотношений, связывающих эти напряжения с осредненными по времени компонентами скорости.

Правила осреднения

Турбулентное течение можно представить себе как бы состоящим из двух потоков: пульсационного и основного (осредненного). Частицы потока в пульсационном движении перемещаются хаотически по различным направлениям и одновременно переносятся по течению основным, осредненным потоком. Особенно такое движение интенсивно в местах, расположенных непосредственно за обтекаемыми телами.

Для осреднения уравнения воспользуемся статистическим методом и его свойствами осреднения. Пусть значение некоторой функции f в интервале Дt равно , где - среднее значение функции, а пульсационная составляющая. Тогда, используя свойства осреднения, получим

; ; ; ;

; ; ; .

Первая строка получается из определения осредненной величины и возможности переставлять операции дифференцирования и интегрирования. Двумя черточками вверху обозначено повторное осреднение.

Основные модели турбулентности и их краткое описание:

Модель турбулентности (МТ) - это набор уравнений (алгебраических или дифференциальных), которые определяют члены турбулентного переноса в уравнениях осредненного движения и таким образом замыкают систему уравнений.

В настоящий момент создано большое количество разнообразных моделей для расчёта турбулентных течений. Они отличаются друг от друга сложностью решения и точностью описания течения.

Ниже перечислены модели по возрастанию сложности. Основная идея моделей сводится к предположению о существовании средней скорости потока и среднего отклонения от него : . После упрощения уравнений Навье -- Стокса, в них помимо неизвестных средних скоростей появляются произведения средних отклонений . Различные модели по-разному их моделируют. Перечисленные ниже модели применяются в различных инженерных расчётах в зависимости от необходимой точности. Практически все они реализованы в современных программах расчёта гидродинамических течений, таких как Autodesk Simulation CFD, Fluent, CFX или OpenFOAM.

1. Модель Буссинеска (Boussinesq). Уравнения Навье Стокса преобразуется к виду, в котором добавлено влияние турбулентной вязкости.

2. Модель Спаларта-Альмараса. В данной модели решается одно дополнительное уравнение переноса коэффициента турбулентной вязкости

3. модель. Уравнения движения преобразуется к виду, в котором добавлено влияние флуктуации средней скорости (в виде турбулентной кинетической энергии) и процесса уменьшения этой флуктуации за счёт вязкости (диссипации). В данной модели решается 2 дополнительных уравнения для транспорта кинетической энергии турбулентности и транспорта диссипации турбулентности. Наиболее часто используемая модель при решении реальных инженерных задач. См. также каскадные модели.

4. модель. Похожа на предыдущую, вместо уравнения диссипации решается уравнение для скорости диссипации турбулентной энергии.

5. Модель напряжений Рейнольдса. В рамках усреднённых по Рейнольдсу уравнений (RANS) решается 7 дополнительных уравнений для транспорта напряжений Рейнольдса.

6. Метод крупных вихрей (LES, large eddy simulation). Занимает промежуточное положение между моделями, использующими осреднённые уравнения Рейнольдса и DNS. Решается для больших образований в жидкости. Влияние вихрей меньше, чем размеры ячейки расчётной сетки, заменяется эмпирическими моделями.

7. Прямое численное моделирование (DNS, direct numerical simulation). Дополнительных уравнений нет. Решаются нестационарные уравнения Навье -- Стокса с очень мелким шагом по времени, на мелкой пространственной сетке. По сути не является моделью. Из-за громадного объёма информации, полученной при численном моделировании, ценность представляют средние значения потока, полученные при решении задачи с которыми могут сравниваться другие модели.

Все модели имеют преимущества и недостатки. Области применения, для которых получены модельные постоянные на основе сравнения результатов расчёта с экспериментами, ограничены. Например, модель плохо подходит для областей с вихрем.



Список литературы

1. Ландау Л.Д, Лифшиц Е. М. Гидродинамика, --М.: Наука, 1986.-- 736 с

2. П. Г. Фрик. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. ПГТУ, Пермь, 1998. -- 108 с. Часть II. -- 136 с.

3. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена / С. Патанкар, Б.С. Петухов. - М.: Энергоатомиз-дат,1984. - 124 с.

4. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. -- М., Энергоатомиздат, 1984.

5. Бурцев С.А. Курс лекций по дисциплине «CALS-технологии в расчетах термогазодинамических процессов»

Размещено на Allbest.ru