Технология конструкционных материалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание. Для дифференциальной краевой задачи первого порядка

построена разностная схема:

1. Показать, что данная разностная схема имеет первый порядок аппроксимации по шагу сетки .

2. Показать, что выбранная разностная схема устойчива.

3. Численно реализовать подход на ЭВМ, используя последовательное вычисление неизвестной функции в узлах сетки. Использовать равномерную сетку с шагом Количество отрезков разбиения исходного отрезка

Исходные данные варианта:

По данным варианта имеем краевую задачу первого порядка:

и разностная схема для поиска приближенного решения по данным варианта:



На отрезке определяем узлы сетки с шагомобозначим - множество всех узлов, их количество зависит от переменной - шага по сетке- .

Введем обозначения: точное значение функции в узлах сетки - , численное (приближенное) решение - (рассчитанное по формулам (**)), определенные на одной и той же сетке .

В заданной разностной схеме производную разбивают на сумму

и аппроксимируют первое слагаемое центральной разностной схемой (имеет второй порядок аппроксимации), а второе - правой разностной схемой (первый порядок аппроксимации). Для центральной схемы используются два предыдущих рассчитанных значений, поэтому появляется дополнительное краевое условие - значение функции в 1 узле, которое зависит от шага сетки .

Введем обозначения для левой и правой частей в виде



1. Установим порядок аппроксимации разностной схемы

Величина невязки (погрешности) между точным значением сеточной функции и приближенным решением по формулам (6-8) методических указаний:

По формулам Тейлора в окрестности точки c остаточным членом в форме Лагранжа (11) для уточнения значения первой производной в узлах сетки:

где Тогда



Значение сеточной функции при условии существования ограниченных производных до 3 порядка включительно имеет вид:

Определим значение функции в первом узле:

Тогда из основного уравнения краевой задачи имеем

Теперь величина невязки: аппроксимация сеточный производный



Определим норму, исходя из предположения, что и принадлежат нормированному пространству c нормой

Т.е.

И т.к. - константа, не зависящая от шага, а норма невязки меньше произведения , следует, что разностная схема имеет первый порядок аппроксимации относительно шага по сетке

2. Исследуем схему на устойчивость

Рекуррентное соотношение для значения через предыдущих два значения:



Устойчивость предложенной схемы проведем спектральный признак оценки норм оператора перехода .

Пусть вектор при этом по рекуррентным формулам (3)

.

представим вектор в виде произведения матрицы перехода на вектор :

Т.е. матрица перехода имеет вид

Найдем собственные значения матрицы :



Определим предельные значения собственных значений матрицы при :

Т.е.

для любой константы заданная разностная схема устойчива.

3. Для численного расчета решения краевой задачи используем выведенные рекуррентные соотношения с заданными начальными условиями

Численный расчет решения проведем с помощью MS EXCEL и реализуем программу на языке Си++.

А) алгоритм поиска приближенного решения краевой задачи реализуем на языке Си++.

Листинг программы:

//---------------------------------------------------------------------------

#include <vcl.h>

#include <iostream>

#pragma hdrstop

#include "Unit1.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

TForm1 *Form1;

double *MX,*MY;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

: TForm(Owner)

{

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::FormShow(TObject *Sender)

{

Label1->Caption = "Задача:\n\n";

Label1->Caption = Label1->Caption + "Численно реализовать подход на ЭВМ, используя последо-\n";

Label1->Caption = Label1->Caption + "вательное вычисление неизвестной функции u(x) в узлах\n";

Label1->Caption = Label1->Caption + "сетки. Использовать равномерную сетку с шагом h=0.01.\n";

Label1->Caption = Label1->Caption + "Количество отрезков разбиения исходного отрезка [0;1]\n";

Label1->Caption = Label1->Caption + "N=100.";

StringGrid1->Cells[0][0] = "x";

StringGrid1->Cells[1][0] = "u(x)";

StringGrid1->ColWidths[0] = StringGrid1->Width/2-12;

StringGrid1->ColWidths[1] = StringGrid1->Width/2-12;

int LXN = 25;

int LYN = 25;

int LXM=Image2->Width-25;

int LYM=Image2->Height-25;

Image2->Canvas->Pen->Color=clBlue;

Image2->Canvas->Rectangle(LXN,LYN,LXM,LYM);

Image2->Canvas->Pen->Color=clGray;

Image2->Canvas->Pen->Style=psDash;

int A[10];

int k = (LXM-LXN)/10;

double t=0.0;

AnsiString s;

for (int i=1;i<10;i++){

A[i]=25+k*i;

Image2->Canvas->MoveTo(A[i],LYN);

Image2->Canvas->LineTo(A[i],LYM);

t += 1.0/10.0;

s = FloatToStrF(t,ffFixed,5,2);

Image2->Canvas->TextOutA(A[i]-10,LYM+5,s);

}

k = (LYM-LYN)/10;

for (int i=1;i<10;i++){

A[i]=25+k*i;

Image2->Canvas->MoveTo(LXN,A[i]+5);

Image2->Canvas->LineTo(LXM,A[i]+5);

}

StringGrid1->RowCount = 102;

if(MX == NULL)

MX = new double[100];

if(MY== NULL)

MY= new double[100];

double h=0.01;

MX[0] = 0; MY[0] = 7.5;

MX[1] = h; MY[1] = 7.5 * (1.0-2.0*h);

StringGrid1->Cells[0][1] = "0,00";

StringGrid1->Cells[1][1] = FloatToStrF(MY[0],ffFixed,5,4);

StringGrid1->Cells[0][2] = "0,01";

StringGrid1->Cells[1][2] = FloatToStrF(MY[1],ffFixed,5,4);

for(int n=2; n<=100; n++){

MY[n] = 1.0/9.0*((8.0-20.0*h)*MY[n-1]+MY[n-2]);

MX[n] = h*n;

StringGrid1->Cells[0][n+1] = FloatToStrF(MX[n],ffFixed,5,2);

StringGrid1->Cells[1][n+1] = FloatToStrF(MY[n],ffFixed,5,4);

}

double max,min;

max=min=MY[0];

for(int i =1; i<= 100; i++){

if(MY[i] > max) max = MY[i];

if(MY[i] < min) min = MY[i];

}

t=0.0;

LXN = 25;

LYN = 25;

LXM=Image2->Width-25;

LYM=Image2->Height-25;

A[10],k = (LYM-LYN)/10;

for (int i=9;i>0;i--){

t += max/10.0;

A[i]=25+k*i;

s = FloatToStrF(t,ffFixed,5,2);

Image2->Canvas->TextOutA(0,A[i]-2,s);

}

Image2->Canvas->Pen->Style=psSolid;

Image2->Canvas->Pen->Color=clRed;

double MasY = (LYM-LYN)/max;

double MasX = (LXM-LXN);

int PX,PY;

PY = LYM-MY[0]*MasY;

PX = MX[0]*MasX+25;

Image2->Canvas->MoveTo(PX,PY);

for(int i=1;i<=100;i++){

PY = LYM-MY[i]*MasY;

PX = MX[i]*MasX+25;

Image2->Canvas->LineTo(PX,PY);

}

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::FormClose(TObject *Sender, TCloseAction &Action)

{

if(MX != NULL)

delete[] MX;

if(MY != NULL)

delete[] MY;

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)

{

this->Close();

}

//---------------------------------------------------------------------------

Копии экрана работы программы:

А) MS EXCEL: формируем лист с начальными данными и рекуррентным соотношением. По расчетным значениям построим график полученного приближенного решения:



Проведем аналитическое решение исходной краевой задачи:

- теоретическое решение имеет вид:

Проведем расчет сеточной функции и невязки (добавим столбцы). Добавим на график значение сеточной функции: значения достаточно близки, уменьшим диапазон вывода по х и :



Как видно из графика приближенное решение и значение сеточной функции (аналитическое решение) различаются незначительно.

При этом отметим, что невязка

- подтверждает, что данная схема имеет первый порядок аппроксимации.

Копия экрана расчета листа (в режиме отображения формул):



Размещено на Allbest.ru