Коливання подовжених криволінійних закручених стержнів при складному обертанні

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТРАНСПОРТНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

КОЛИВАННЯ ПОДОВЖЕНИХ КРИВОЛІНІЙНИХ ЗАКРУЧЕНИХ СТЕРЖНІВ ПРИ СКЛАДНОМУ ОБЕРТАННІ

05.23.17 - Будівельна механіка

Худолій Сергій Миколайович

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Національному транспортному університеті Міністерства освіти і науки України, м. Київ.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Гуляєв Валерій Іванович, Національний транспортний університет, завідувач кафедри вищої математики (м. Київ).

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Чибіряков Валерій Кузьмич, Київський національний університет будівництва і архітектури, завідувач кафедри вищої математики (м. Київ);

кандидат технічних наук, Майборода Олена Євгеніївна, Державний науково-технічний центр з ядерної та радіаційної безпеки, завідувач відділу міцності та надійності конструкцій ядерних установок (м. Київ).

Провідна установа: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, відділ будівельної механіки тонкостінних конструкцій (м. Київ).

Захист відбудеться „ 20 ” квітня 2006 року о 10.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.059.02 при Національному транспортному університеті за адресою: 01010, Україна, м. Київ, вул. Суворова, 1, зал засідань (ауд.333).

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Національного транспортного університету (01103, Україна, м. Київ, вул. Кіквідзе, 42).

Автореферат розіслано „ 10 ” березня 2006 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

кандидат технічних наук І.А. Рутковська

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

коливання криволінійний стержень пружність

Актуальність теми дисертації. В даний час залишаються мало вивченими особливості динамічної поведінки гнучких криволінійних стержнів, що моделюють подовжені лопасті при складному обертанні. Конструкції таких лопастей зустрічаються у вітроенергетичних установках, а також у вертольотобудуванні і літакобудуванні. Питанням розрахунку динаміки і міцності лопастей приділяється велика увага, а методам їх теоретичного моделювання присвячена численна наукова література. Однак, як правило, головна увага в цих випадках приділяється режимам обертання лопастей відносно нерухомої осі і залишаються поза увагою фахівців режими складного обертання, коли в результаті маневрів переорієнтації лопасть починає обертатися відносно двох осей. У таких випадках поведінка лопасті стає дуже складною, оскільки лопасть статично попередньо напружена силами інерції простого обертання і на неї діють додаткові гіроскопічні сили інерції складного обертання, що періодично змінюються в часі. Відомо, що для прямолінійних незакручених лопастей частота збуджуваних у такий спосіб сил інерції завжди виявляється менше частоти власних коливань стержня, тому резонансні режими вібрацій у таких системах не реалізуються. Однак, якщо стержень вигнутий і закручений, то попереднє напруження його силами інерції простого обертання може призводити до істотного перерозподілу полів внутрішніх сил і зменшення нижніх частот його вільних коливань. Тоді для таких систем частота основного обертання лопасті може збігатися з частотою її вільних коливань і при складному обертанні в такій системі можуть виникати резонансні режими коливань. У силу високої складності зазначених явищ вони є мало вивченими. З огляду на те, що знання особливостей динаміки гнучких криволінійних стержнів при складному обертанні може дозволити уникнути появи резонансних режимів вібрацій лопастей і покращити їх динамічні характеристики, можна відзначити, що задача теоретичного моделювання динаміки складного обертання криволінійних закручених стержнів з урахуванням можливості збудження в них пружних резонансних коливань є актуальною проблемою будівельної механіки.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана відповідно до плану науково-дослідних робіт кафедри вищої математики Національного транспортного університету за темою "Дослідження процесів деформування просторових конструкцій на основі розвитку теорії і методів чисельного аналізу".

Мета і задачі дослідження. Мета даної дисертаційної роботи полягає в постановці і розв'язанні нових задач з дослідження коливань, визначення й оцінки напружено - деформованого стану пружних криволінійних закручених стержнів при складному обертанні, створенні програмного забезпечення, у розробці і реалізації на персональному комп'ютері методики чисельного дослідження динаміки криволінійних стержнів і в її застосуванні до розв'язання прикладних задач.

Основними напрямками дослідження динаміки стержневих конструкцій у полі інерційних сил є: дослідження напружено-деформованого стану, а також згинних у двох площинах і крутильних коливань пружної подовженої лопасті, які обумовлені плоским поворотом осі обертання, при різних значеннях кута її закрутки, кривини нейтральної лінії, способах приєднання до центральної втулки (жорстке, пружне і шарнірне приєднання) з урахуванням розподілених сил інерції крутильних коливань і пружної піддатливості валу, що обертається. Розглянуто випадки одиночних лопастей, а також роторів із двома, трьома і більшою кількістю лопастей.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є подовжені пружні криволінійні закручені стержні, що представляють собою моделі лопастей, різними способами приєднаних до центральної втулки, яка закріплена на жорсткому чи пружному валу, що обертається.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є дорезонансні, резонансні та зарезонансні пружні коливання криволінійних закручених стержнів, що збуджені їх складним обертанням.

Методи дослідження. Розроблена методика чисельного дослідження пружних коливань криволінійних закручених стержнів що базується на співвідношеннях будівельної механіки, теорії гнучких криволінійних стержнів (модель Кірхгофа-Клебша), методах динаміки конструкцій, що дозволяють визначати позиційні і гіроскопічні сили інерції, які викликані складним обертанням, а також методах початкових параметрів, дискретної ортогоналізації і Рунге-Кута четвертого порядку, що використані для побудови стійкого обчислювального процесу визначення форм коливань і резонансних швидкостей обертання гнучких стержнів, що моделюють подовжені лопасті.

Достовірність результатів досліджень забезпечується застосуванням обґрунтованих методів чисельного аналізу, побудовою адекватних математичних моделей, розв'язанням тестових задач при граничних значеннях характерних параметрів, зіставленням отриманих розв'язків з даними аналітичних і чисельних розрахунків, виконаних іншими авторами. Збіжність чисельних розв'язків досягалася послідовним зменшенням кроків чисельного інтегрування і збільшенням числа відрізків ортогоналізації при побудові частинних розв'язків диференціальних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. Наукова новизна і значимість роботи полягають у постановці і розв'язанні нової задачі про дослідження пружних коливань, визначенні й оцінці напружено - деформованого стану гнучких криволінійних закручених стержнів, жорстко, пружно і шарнірно приєднаних до валу, що здійснює складне обертання. Вивчено вплив способу приєднання до центральної втулки, значень геометричних параметрів, величин кутових швидкостей обертання і пружності лопастей на характер розподілу в них внутрішніх зусиль і моментів, а також на форми їх пружних коливань. Розглянуто передрезонансні, резонансні і зарезонансні режими їх коливань.

Практичне значення одержаних результатів полягає у формулюванні розв'язуючих співвідношень, розробці чисельних алгоритмів і їх реалізації у вигляді програм для персональних комп'ютерів, що можуть бути використані при теоретичному моделюванні складного обертання пружних криволінійних закручених лопастей вітроенергетичних установок, вертольотів і літаків. У результаті розрахунків знайдено форми коливань лопастей при складному обертанні, визначено поля внутрішніх сил і моментів і зроблено прогнози про можливість настання резонансних режимів. Досліджено коливання в зарезонансних зонах.

Особистий внесок здобувача полягає в наступному:

поставлено задачу про прецесійні коливання пружних криволінійних закручених стержнів, жорстко, пружно і шарнірно приєднаних до валу, що здійснює складне обертання;

побудовано диференціальні рівняння з частинними похідними, що описують прецесійні коливання стержневих конструкцій під дією позиційних і гіроскопічних сил інерції;

запропоновано методику, розроблено чисельні алгоритми і програмний комплекс для комп'ютерного моделювання динаміки складного обертання криволінійних стержнів, що моделюють подовжені лопасті. Проведено дослідження коливань, виконано аналіз отриманих результатів.

У статтях, написаних у співавторстві з науковим керівником В.І. Гуляєвим [1, 2, 5, 6], співавтору належить ідея дослідження, ним виконана загальна постановка задачі і запропонована методика розв'язання. В.В. Гайдайчуком [4, 8] надано допомогу в постановці задачі. І.Л. Соловйовим здійснено допомогу у виборі чисельних методів [1, 5, 6].

Дисертанту належить розробка методики розв'язку задач, алгоритмів їх реалізації на ПК та проведення чисельних досліджень. Основні результати було отримано ним самостійно. В обговоренні та аналізі отриманих результатів приймали участь всі співавтори.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на Міжнародній науково-технічній конференції “Проблеми динаміки і міцності в газотурбобудуванні” (ГТД-2004) ( 2004 р., Київ, Україна), на 54-61 (1999 - 2005 р.) наукових конференціях професорсько-викладацького складу і студентів Національного транспортного університету.

Публікації. Основний зміст роботи опубліковано в 9 публікаціях, з них 6 робіт у вітчизняних фахових наукових виданнях, одна публікація в збірнику праць міжнародної наукової конференції, дві в тезах доповідей наукових конференцій.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновку і списку літератури з 215 пунктів (21 сторінка), викладена на 218 сторінках і містить 133 сторінок машинописного тексту, 64 сторінки малюнків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність задач про дослідження напружено-деформованого стану і коливань стержневих елементів і конструкцій, що здійснюють складне обертання. Сформульовано мету дисертаційної роботи, викладено основні напрямки виконаних досліджень, відзначено новизну отриманих результатів і їх практичну цінність.

У першому розділі викладено відомості про розвиток досліджень з динаміки гнучких пружних криволінійних стержнів у полі сил інерції. Теорія гнучких криволінійних закручених стержнів знаходить застосування для теоретичного моделювання механіки багатьох елементів машинобудівних конструкцій. Задачі дослідження динаміки закручених криволінійних стержнів у полі інерційних сил виникають при розробці методів розрахунку, проектуванні і створенні конструкцій турбін, вентиляторів, авіаційних двигунів, гвинтів транспортних апаратів, роторів вітроенергетичних установок і т.д. Основним навантаженням, що діє на стержневі елементи цих агрегатів, є відцентрові сили інерції, які у випадку обертання з постійною швидкістю навколо нерухомої осі викликають у стержні напруження розтягу. В огляді літератури зазначено, що напружено - деформований стан і плоскі коливання таких стержневих конструкцій у випадках їх простого обертання з постійною кутовою швидкістю досить повно вивчені в роботах Г.А. Александрова, П. Балклі, А.Н. Базилевського, І.А. Біргера, А. Брамвелла, Ю.С. Воробйова, Х. Глауерта, У. Джонсона, Н.Є. Жуковського, А. Ізаксона, В. Іверсмана, Зброжека, Зіссінга, Кази, Кватерника, В.І. Когаєва, К.Н.Х. Локка, П. Лембермонта, М.Л. Міля, Р.А. Міхєєва, А.В. Некрасова, Д. Новінскі, Ормістона, І.Г. Павлова, Е. Сікела, Сімона, Собі, Хуболта, Хенсфорда, Д.Х. Ходжеса, В.І. Усюкіна, В.І. Чепрасова, Б.Ф. Шорра, С. Едвані, Б.Н. Юр'єва, А.К. Янко й ін. Однак, часто в реальних умовах вісь обертання ротора, до якого прикріплений стержень, здійснює поворот, внаслідок чого в стержні виникають додаткові знакозмінні напруження згину і кручення, що можуть бути порівняні, а в деяких випадках і перевищувати напруження розтягу. Дослідження коливань подовженої пружної лопасті при складному обертанні без врахування динамічного ефекту дії розподілених сил інерції крутильних коливань проведено В.І. Гуляєвим, Р.В. Домарецьким, П.П. Лізуновим, П.З. Луговим, А.В. Мірчевським і Ся Шуйченем. У даній роботі виконано дослідження напружено-деформованого стану, а також згинних у двох площинах і крутильних коливань пружної подовженої лопасті, що обумовлені плоским поворотом осі обертання, при різних значеннях кута її закрутки, кривини нейтральної лінії, способах приєднання до центральної втулки (жорстке, пружне і шарнірне приєднання) і з урахуванням пружної піддатливості валу. Прийнято до уваги розподілені сили інерції крутильних коливань.

Другий розділ присвячено дослідженню динаміки жорстких лопастей шарнірно і пружно пов'язаних з втулкою, що обертається, чи закріплених на пружному валу. Розглянуто випадки простого і складного обертань тіла, що має ротор із двома, трьома і більшим числом лопастей.

При простому обертанні системи, коли вектор спрямований уздовж нерухомої осі , лопасть може здійснювати вільні коливання в площинах змаху і хитання. При складному обертанні, коли вісь здійснює додатковий примусовий поворот, лопасть переходить до режиму вимушених махових коливань і коливань хитання. Для дослідження цього режиму руху прийнято, що вісь обертання гвинта здійснює плоский поворот з постійною кутовою швидкістю відносно прямої, що проходить через центр гвинта перпендикулярно осі обертання. Кріплення лопасті до втулки в загальному випадку дозволяє їй відхилятися з площини обертання гвинта на кут (коливання змаху), а в площині обертання лопасть може відхилятися від радіального напрямку на кут (коливання хитання) (рис. 1). Лопасть гвинта вважається абсолютно жорстким стержнем.

Для побудови рівнянь руху лопасті при складному обертанні гвинта застосовано принцип Даламбера. Для цього визначено сили інерції, які діють на її елементи, і виведено вирази моментів усіх сил інерції, що діють на лопасть.

Рівняння коливань лопасті при складному русі будуються в системі координат Oxyz, яка обертається, з використанням інших систем для проміжних обчислень.

Відповідно до теореми Кориоліса вектор абсолютного прискорення елемента лопасті обчислюється за формулою

, (1)

де , і - вектори переносного, відносного і кориолісового прискорень елемента лопасті, відповідно.

Вектор переносного прискорення визначається рівністю

, (2)

де - прискорення точки (у нашому випадку воно дорівнює нулю); і - вектори абсолютної кутової швидкості і кутового прискорення рухомої системи координат ; - радіус-вектор елемента лопасті в системі координат . У системі координат вектор визначається рівністю

З її допомогою обчислюється вектор кутового прискорення

. (3)

Радіус-вектор елемента лопасті задається в системі координат

, (4)

де , - радіус втулки гвинта і відстань від місця кріплення до елемента лопасті, відповідно.

Вектор відносного прискорення обчислюється за формулою

 , (5)

де - вектор відносної швидкості елемента лопасті.

Вектор прискорення Кориоліса знаходиться із співвідношення

.

Положення рухомої системи координат відносно нерухомої при власному обертанні задається фазовою змінною . За допомогою наведених співвідношень методом Даламбера побудовано нелінійні рівняння руху пружно закріпленої жорсткої лопасті.

(6)

Ця система описує взаємозалежні коливання жорсткої лопасті в площині змаху і площині хитання, що обумовлені поворотом осі обертання гвинта з кутовою швидкістю .

Відзначено, що у випадку величиною можна знехтувати в порівнянні з і вважати, що амплітуда коливань є малою. Тоді можна прийняти, що , , , . Остаточно система (6) зводиться до одного лінійного рівняння махових коливань

. (7)

Частинний розв'язок рівняння (7), що описує режим сталих коливань, має форму:

. (8)

Можна відмітити, що амплітуда цих коливань лінійно залежить від і нелінійно від . Графіки амплітуд махових коливань z = L при різних значеннях для жорсткої лопасті з параметрами 0,2 м, 0,8 м, 0,0005 м², 7700 кг/м³ побудовано на рис. 2. Як випливає з рівностей (8), спочатку зі збільшенням величина переміщення швидко зростає, потім вона досягає максимуму й асимптотично наближається до кривої, що при є графіком амплітуди коливань шарнірно приєднаної лопасті. Цей факт свідчить про те, що при великих амплітуда махових коливань не залежить від коефіцієнта . Резонансні режими в даній системі не виникають. Відзначимо також, що наведені значення переміщень знайдено за лінійною теорією і вони досягають нереальних величин. Це значить, що при малих дана система має малу структурну жорсткість.

У цьому розділі розглянуто також коливання жорсткої дволопасної системи, що закріплена на пружному валу (рис. 3) і здійснює складне обертання.

Рівняння коливань системи мають вигляд

(9)

Тут - переміщення центра мас ротора ; - кути поворотів кінця валу;

; ; ; ; .

Аналіз розв'язків системи (9) дозволяє відзначити, що при усталеному русі дволопасного ротора, вісь обертання якого здійснює додатковий примусовий поворот навколо осі , центр мас ротора в системі координат, що жорстко пов'язана з платформою, зміщується уздовж цієї осі на відстань , а вісь обертання повертається на кут . Відносно цього положення ротор здійснює додатковий регулярний прецесійний рух. У випадку центр мас ротора рухається по колу з радіусом з подвоєною кутовою швидкістю в напрямку обертання (пряма кругова циліндрична прецесія). При вісь ротора здійснює пряму конічну регулярну прецесію також з подвоєною кутовою швидкістю .

Графіки зміни амплітуд пружних переміщень центра мас системи в залежності від , відповідно, при значеннях , , , , м, м², м, м⁴, 7700 кг/м³.

Звернемо увагу на те, що в даній системі реалізуються резонансні коливання. Як показали розрахунки, якщо число лопастей у системі перевищує 2, то резонансні коливання в ній не настають.

У третьому розділі викладено обчислювальні аспекти задач про прецесійні коливання і резонанси прямолінійних незакручених пружних стержнів і наведено результати комп'ютерного моделювання їх махових коливань. Розроблено підхід, оснований на поділі складного обертання стержня на два стани. У першому стані він здійснює просте обертання навколо осі з постійною за модулем кутовою швидкістю і напружений стаціонарними відцентровими силами інерції. В другому стані, що спричинений плоским поворотом осі обертання, на елементи стержня діють сили інерції, що збуджують їх малі прецесійні коливання відносно вихідного напруженого стану.

На основі рівнянь пружної динамічної рівноваги прямолінійних стержнів і співвідношень (1)-(5), що визначають прискорення і сили інерції при складному русі побудовано рівняння просторових коливань прямолінійної лопасті при складному обертанні.

,

, (10)

де - компоненти вектора переміщення елемента стержня, , і Е- густина і модуль пружності матеріалу стержня, F - площа поперечного перерізу, - моменти інерції перерізу стержня відносно відповідних осей, R - радіус втулки.

З огляду на те, що аналізуються малі коливання, а також, що додатковий поворот відбувається з малою кутовою швидкістю , третє рівняння системи (10), яке описує махові коливання лопасті можна спростити і привести до вигляду

. (11)

Оскільки розглядаються періодичні коливання лопасті з періодом 2 у новому масштабі часу у рівнянні (11), розв'язок задавався у формі .

У результаті змінна була виключена і рівняння з частинними похідними (11) було зведене до звичайного диференціального рівняння

. (12)

Його інтегрування здійснювалося методом початкових параметрів. При цьому частинні розв'язки рівняння (12) будувалися методом Рунге-Кута з застосуванням процедури ортогоналізації по Годунову.

На основі рівняння (11) виконано теоретичне моделювання махових коливань прямолінійної пружної лопасті при складному обертанні. Радіус втулки (R), довжина лопасті (L) і розміри поперечного перерізу (b, h) обрані наступними: R = 0,075 м, L = 0,8 м, b = 0,1 м, h = 0,005 м, при цьому вісь найбільшого моменту інерції паралельна осі Oz. Параметри пружності E = 0.710¹¹ Па, G = 0.2610¹¹ Па, густина = 2.6910³ кг/м³. Чисельне дослідження виконано в діапазоні 0 2500 с^-1, кутова швидкість повороту осі обертання склала ₀ = 1 с^-1.

На рис. 6 крива 1 представляє амплітуду W(L+R) коливань вільного кінця лопасті як функцію від кутової швидкості . Можна бачити, що зі збільшенням лопасть спочатку відповідає на періодичне інерційне навантаження q_z збільшенням амплітуди до максимуму _m =79 с^-1, а потім її зменшенням до нуля при . Цей ефект пояснюється різною швидкістю збільшення активної сили q_z = - 2₀ sin t у (10) і додаткової жорсткості балки за рахунок повздовжньої сили T(x) . Перша сила пропорційна , тоді як друга збільшується за квадратичним законом.

Іншою важливою особливістю залежності 1 на рис. 6 є відсутність резонансних режимів у всьому діапазоні 0 зміни частоти періодичної сили q_z. Цей феномен пояснюється тим фактом, що найнижча власна частота балки при обертанні, яка обчислена за формулою Саусвелла , є завжди більшою, ніж , таким чином резонансні режими розглянутої балки при складному обертанні не можуть бути досягнуті.

Крива 2 на рис. 6 демонструє залежність амплітуди вібрацій W(L+R) кінця жорсткої шарнірно приєднаної лопасті з такими ж параметрами від . Вона визначається рівністю (8) (коли k_y=0) і являє собою гіперболу, що прямує до кривої 1 при . Можна бачити, що при великих криві 1 і 2 практично збігаються. Це свідчить про те, що за рахунок попереднього напруження повздовжнім інерційним навантаженням, балка при обертанні починає працювати як абсолютно жорстке тіло, яке вільно повертається в місці його приєднання до втулки.

Вивчено також коливання системи двох колінеарних прямолінійних консольних стержнів, приєднаних одним зі своїх кінців до валу, що перпендикулярний стержням. Розглянуто випадки стаціонарного і нестаціонарного складного обертання вала.

Четвертий розділ присвячений викладенню постановки задачі про складне обертання криволінійних закручених стержнів (рис. 7) з урахуванням розподілених моментів сил інерції кручення, методики розв'язання задачі й аналізу результатів чисельного моделювання. Досліджується вплив складного обертання на характер коливань природно закручених стержнів, взаємодії згинних коливань у площині та коливань з площини обертання, а також можливості збудження резонансних режимів їх коливань. Оскільки ці питання в науковій літературі практично не розглянуті, обговорюваний ефект виділяється в чистому вигляді і моделюється без врахування впливу аеродинамічних сил, асиметрії поперечного перерізу стержня (лопасті) впливу повздовжніх деформацій на крутильні і навпаки. Відзначені допущення дозволили прийняти для розв'язання поставленої задачі класичну теорію гнучких криволінійних закручених стержнів, сформульовану в рамках гіпотез Кірхгофа-Клебша.

Прийнято, що стержень жорстко чи пружно приєднаний одним кінцем до диску, що обертається, інший його кінець вільний. Динамічна рівновага стержня розглядається в системі координат Oxyz, вісь Oz якої збігається з віссю кругової симетрії диска, вісь Ox проходить через точку приєднання осьової лінії стержня до диска, вісь Oy доповнює цю систему до правої трійки. З осьовою лінією стержня пов'язана координатна лінія s, на якій введено рухому трійку векторів , де - орт дотичної, - орт головної нормалі.

Рівняння динамічної рівноваги елемента стержня мають вигляд

, , (13)

де , - головний вектор і головний момент внутрішніх сил; , - вектори інтенсивності зовнішніх розподілених сил і моментів відповідно; - вектор Дарбу; знак означає диференціювання в місцевій системі координат.

Проектуючи ліві і праві частини співвідношень (13) на осі u, v, w місцевої системи, одержуємо шість скалярних рівнянь рівноваги

(14)

.

Отримані диференціальні рівняння є рівняннями рівноваги пружної лінії гнучкого стержня в скалярній формі (вони називаються рівняннями Кірхгофа).

Рівняння (14) містять у загальному випадку дев'ять невідомих функцій: F_u, F_v, F_w, M_u, M_v, М_w, p, q, r. Зусилля F_u, F_v, F_w у рамках прийнятої гіпотези про нерозтяжність осьової лінії стержня є чисто статичними факторами і визначаються з умов рівноваги (14). Проекції М_u, M_v, M_w головного моменту внутрішніх сил представимо у вигляді

М_u = А(р - р₀), М_v = B(q - q₀), M_w = C(r - r₀). (15)

Тут р, q, r -- функції кривини і кручення стержня в деформованому стані; р₀, q₀, r₀ -- ці ж функції у вихідному недеформованому стані; А, B, C -- жорсткості при згині і крученні, що обчислюються за формулами , , , де E -- модуль пружності матеріалу стержня; G -- модуль зсуву; -- моменти інерції площі поперечного перерізу стержня відносно осей ; -- полярний момент інерції.

Співвідношення (15) дозволяють виключити з рівнянь (14) моменти М_u, M_v, M_w і привести рівняння рівноваги моментів до вигляду

,

, (16)

.

Замикання системи розв'язуючих рівнянь здійснюється за допомогою додаткових кінематичних змінних, що обумовлені направляючими косинусами ортів . Для їх визначення за допомогою формул Френе отримано

, , . (17)

Рівняння (14), (16), (17) доповнюються геометричними рівностями

, , , (18)

які разом з першими геометричними інтегралами роблять систему (14), (16), (17), (18) повною.

На базі розробленої методики створено розрахункові алгоритми і програми, за допомогою яких виконано дослідження впливу викривленості і закручення лопастей на характер взаємодії махових коливань і коливань хитання лопастей при складному обертанні системи. Вважається, що лопасті мають постійний поперечний переріз, закрутку і кривизну. В усіх випадках довжини () розглянутих лопастей обрані однаковими, рівними м. Дослідження здійснювалися в діапазоні зміни кутової швидкості власного обертання ротора с^-1. Кутова швидкість повороту осі обертання системи складала с^-1. Досліджувався вплив радіусів кривини лопасті, її закрутки, кута установки, розмірів її поперечного перерізу ( і ), а також її матеріалу на характер коливань при складному обертанні.

Параметри вихідних кривизн і кручення при цьому склали . Можна бачити, що у всіх випадках на амплітудно-частотних кривих є розриви неперервності, які відповідають резонансним коливанням. Оскільки відповідно до теореми Саусвелла, для прямолінійної незакрученої лопасті резонансні коливання при складному обертанні не реалізуються, можна зробити висновок, що наявні на цих кривих резонансні стани обумовлені кривиною лопасті.

Установлено, що розглянуті криві групуються в околі деякої кістякової кривої, що, як показали обчислення, є амплітудно-частотною кривою для прямолінійної незакрученої лопасті. Причому резонанси в околі кутової швидкості рад/с реалізуються як для слабко викривлених (R = 15 м), так і сильно викривлених лопастей.

З форми цих кривих випливає, що при малих значеннях ( рад/с) момент у місці кріплення приблизно дорівнює моменту в місці кріплення прямолінійної балки при складному обертанні. Однак при вплив кривини лопасті на характер її коливань стає більш помітним.

Досліджено вплив пружної піддатливості приєднання лопасті до втулки на її динаміку при складному обертанні, виконано серію чисельних досліджень моделей пружно закріплених лопастей з геометричними параметрами, що прийняті раніше, при різних значеннях радіусів кривини і кутів закрутки.

Як видно, за винятком резонансних зон усі криві лежать між двома граничними випадками, для прямолінійних незакручених балок. Одному з них відповідає жорстко приєднана лопасть, а іншому шарнірно приєднана. Показано значення згинних моментів у місці кріплення пружно приєднаних лопастей у залежності від кутової швидкості власного обертання. З малюнків випливає, що при збільшенні криві наближаються до граничної кривої, що обчислена для випадку жорсткого закріплення кореневого перерізу лопасті. При зменшенні момент у місці приєднання прямує до нуля, що відповідає шарнірному кріпленню лопасті. Можна помітити також, що в даному випадку значення коефіцієнта пружної піддатливості практично не впливає на положення резонансів.

У висновку приведено основні результати і висновки по дослідженнях, що виконані у дисертаційній роботі.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі приведено рішення нових актуальних наукових задач, що полягають у встановленні характерних рис статичних і коливальних станів жорстких і гнучких, прямолінійних і криволінійних закручених стержнів, шарнірно, пружно і жорстко зв'язаних з диском, що здійснює просте і складне обертання.

Основні наукові і практичні результати полягають у наступному:

Розглянуто основні конструктивні схеми пристроїв типу турбогвинтових і гвинтовентиляторних двигунів, вертольотів і вітроенергетичних установок, що містять протяжні викривлені і закручені стержневі конструкції, які перебувають в процесі експлуатації в режимах простого і складного обертань. У результаті аналізу наукової літератури встановлено, що махові коливання таких конструкцій, що викликані складним обертанням, залишаються практично невивченими (за винятком жорстких стержнів).

З метою встановлення впливу параметрів жорсткості подовжених лопастей на їх динамічну поведінку при складному обертанні побудовано математичні моделі коливань жорстких стержнів приєднаних одним кінцем до жорсткого диска, що зв'язаний з пружним валом. Розглянуто випадки жорсткого шарнірного і пружного приєднання стержня до диску що обертається. Виконано комп'ютерне моделювання динаміки розглянутих систем при різних значеннях характерних параметрів. Установлено, що якщо розглянута система встановлена на жорсткому валу, то виникнення в ній резонансних режимів коливань при складному обертанні неможливо. Якщо система встановлена на пружному валу що обертається, то резонансні режими її коливань можливі тільки у випадках дволопасних роторів. Якщо число лопастей у роторі перевищує дві, то резонансні режими коливань системи при складному обертанні також не можливі.

Поставлено задачу про вимушені коливання пружного прямолінійного стержня жорстко зв'язаного з жорстким чи пружним валом, що здійснює складне стаціонарне і нестаціонарне обертання. У результаті виконаних чисельних досліджень установлено, що збуджувані складним обертанням коливання гнучкої прямолінійної лопасті жорстко приєднаної до жорсткого вала не можуть супроводжуватися резонансними режимами. При цьому амплітуда махових коливань лопасті досягає максимального значення при деякому значенні кутової швидкості обертання , після чого зі збільшенням вона асимптотично наближається до нульового значення. У той же час значення згинаючого моменту в точці приєднання лопасті до диску, що обертається, монотонно зростає зі збільшенням . Якщо розглянута двостержнева система зв'язана з пружним валом, то її коливання при складному обертанні ускладнюються і у ній можливе встановлення резонансних режимів.

З метою дослідження коливань подовжених криволінійних закручених стержнів при складному обертанні побудовані геометрично нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними складного руху гнучких криволінійних закручених стержнів загального виду. На основі прийнятих припущень про характер деформування і коливань криволінійних стержнів при їх простому і складному обертаннях виконана лінеаризація побудованих рівнянь в околі стану їх простого обертання, знижена розмірність розв'язуючих рівнянь з частинними похідними і сформульовані відповідні крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь.

Запропоновано алгоритми чисельної побудови розв'язку цих рівнянь при простому і складному обертаннях і виділення резонансних режимів коливань системи при складному обертанні.

Чисельно досліджені коливальні стани криволінійних незакручених і закручених пружних лопастей жорстко і пружно зв'язаних із жорстким диском що обертається. У граничних випадках малих значень їх кривини і закручення зроблено порівняння побудованих рішень з рішеннями, що базуються на теорії пружних балок. Показано, що побудовані рішення практично співпали. Знайдено резонансні значення кутових швидкостей складного обертання системи.

Установлено, що однією з вирішальних причин настання резонансних коливань є низьке значення частот крутильних коливань лопасті при її збігу з кутовою швидкістю обертання системи. Показано, що в залежності від пружних властивостей лопастей і значень параметрів їх кривини і закрутки, резонансні режими можуть виникати і не виникати в розглянутих діапазонах кутових швидкостей . При цьому резонансні режими можуть бути як вузькими, так і широкими. При деяких значеннях характерних параметрів системи в розглянутих діапазонах кутової швидкості можуть бути реалізовані два резонансних режими коливань.

Достовірність отриманих результатів і висновків підтверджується механічною і математичною строгістю і коректністю поставлених задач; теоретичним обґрунтуванням чисельних алгоритмів; перевіркою практичної збіжності числових рішень конкретних досліджуваних задач; апробацією запропонованих підходів на модельних задачах, що мають точні аналітичні рішення; несуперечністю встановлених закономірностей якісного характеру загальним явищам фізичної природи.

Публікації за темою дисертаційної роботи

Гуляев В.И., Соловьев И.Л., Худолий С.Н. Прецессионные колебания двухлопастного ротора с упругим невесомым валом при сложном вращении. // Проблемы прочности. - 2002. - №2. - С. 73-81.

Гуляев В.И., Худолий С.Н. Колебания криволинейных закрученных лопастей при сложном вращении. // Прикладная механика. - 2005. - 41, №4. - С. 126-132.

Худолій С.М. Коливання гнучкого двулопасного ротора на пружному валу при нестаціонарному складному обертанні. // Вісник НТУ, ТАУ.-2001.-№ 5. - С. 342-346.

Гайдайчук В.В., Худолий С.Н. Резонансные колебания упругих лопастей при сложном вращении. // Вібрації в техніці та технологіях - 2004. - №6 (38)

Гуляєв В.І., Гайдайчук В.В., Соловйов І.Л., Худолій С.М. Прецесійні коливання ротора в пружних опорах при складному обертанні. // Опір матеріалів і теорія споруд. - Київ, 2000. -№ 68. - С. 94-103.

Гуляєв В.І., Соловйов І.Л., Худолій С.М. Коливання двулопасного ротора в пружній опорі при складному обертанні. // Вісник УТУ, ТАУ.-1999.-№ 3.

Худолій С.М. Динаміка пружних лопастей при складному обертанні. // Вісник НТУ, ТАУ.-2003.-№ 8. - С. 451-455.

Гайдайчук В.В., Худолий С.Н. Резонансные колебания упругих лопастей при сложном вращении. // Тези доповідей другої міжнародної науково-технічної конференції “Проблеми динаміки і міцності в газотурбобудуванні” (ГТД - 2004). - Київ, Інститут проблем міцності НАН України - 2004. - С. 39-40.

Худолій С.М. Коливання подовжених лопастей при складному обертанні. // Тези доповідей 61 наукової конференції професорсько-викладацького складу і студентів університету. - Київ, Національний транспортний університет - 2005. - С. 223.

АНОТАЦІЇ

Худолій С.М. Коливання подовжених криволінійних закручених стержнів при складному обертанні. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за фахом 05.23.17 - Будівельна механіка. - Національний транспортний університет, Київ, 2005.

З метою встановлення впливу параметрів жорсткості подовжених лопастей на їх динамічну поведінку при складному обертанні поставлено задачі про коливання жорстких і пружних прямолінійних і криволінійних закручених стержнів, приєднаних одним кінцем до жорсткого диска, що зв'язаний з жорстким чи пружним валом. Розглянуто випадки жорсткого, шарнірного і пружного приєднання стержнів до диску що обертається. Показано, що якщо система з жорсткими лопастями встановлена на пружному валу що обертається, то резонансні режими її коливань можливі тільки у випадках дволопасних роторів. Установлено, що в залежності від пружних властивостей криволінійних стержнів і значень параметрів їх кривини і закрутки, резонансні режими можуть виникати і не виникати в розглянутих діапазонах кутових швидкостей . При цьому резонансні зони можуть бути як вузькими, так і широкими.

Ключові слова: скривлений закручений стержень, складне обертання, прецесійні коливання, резонансні режими руху.

Hudoliy S.N. Vibrations of elongated curvilinear twisted rods in compound rotation. Manuscript.

The dissertation on competition of a scientific degree of the candidate of technical sciences in speciality 05/23/17 - Mechanics of Structures. - National Transport University, Kiev, 2005

With the aim to establish the influence of stiffness parameters of elongated blades on their dynamic behaviour in compound rotation, the problems about vibrations of rigid and elastic, rectilinear and curvilinear twisted rods, attached by one end to a rigid disc connected with a rigid or elastic shaft, are set up. The cases of rigid, hinged and elastic attachment of the rods to the rotating disc are considered. It is shown that the resonant regimes of vibrations of the system with rigid blades established on the elastic rotating shaft are possible only in the cases of two blade rotors. It is established that depending on the elastic properties of the curvilinear rods and parameters of their curvature the resonant regimes can appear and not appear in the considered diapasons of angular velocity . As this takes place, the resonant zones can be both narrow and wide.

Key words: curvilinear twisted rods, compound rotation, precession vibrations, resonant regimes of motion.

Худолий С.Н. Колебания удлиненных криволинейных закрученных стержней при сложном вращении. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.23.17 - Строительная механика. - Национальный транспортный университет, Киев, 2005.

С целью установления влияния жесткостных параметров удлиненных лопастей на их динамическое поведение при сложном вращении поставлены задачи о колебаниях жестких и упругих прямолинейных стержней, присоединенных одним концом к жесткому диску, связанному с жестким или упругим валом. Рассмотрены случаи жесткого, шарнирного и упругого присоединения стержней к вращающемуся диску. Показано, что если система с жесткими лопастями установлена на упругом вращающемся валу, то резонансные режимы ее колебаний возможны только в случаях двухлопастных роторов. Если число лопастей в роторе превышает два, то резонансные режимы ее колебаний при сложном вращении невозможны.

Установлено, что возбуждаемые сложным вращением колебания гибкой прямолинейной лопасти, жестко присоединенной к жесткому валу, не могут сопровождаться резонансными режимами. Если рассматриваемая двухстержневая система связанна с упругим валом, то ее колебания при сложном вращении усложняются и в ней возможно установление резонансов.

Поставлена задача о прецессионных колебаниях упругих криволинейных закрученных стержней, жестко, упруго и шарнирно присоединенных к несущему телу, совершающему сложное вращение. В основу разработанной методики численного исследования упругих колебаний криволинейных закрученных стержней положены основные соотношения строительной механики, теории гибких криволинейных стержней (модель Кирхгофа - Клебша), а также методы динамики конструкций, позволяющие определять позиционные и гироскопические силы инерции, вызываемые сложным вращением. С их помощью построены геометрически нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными сложного движения гибких криволинейных закрученных стержней общего вида.

При моделировании прецессионных колебаний считалось, что угловая скорость собственного вращения системы намного превышает угловую скорость поворота ее оси . Такое допущение позволило в общем движении стержневой конструкции выделить два состояния. В первом состоянии она совершает простое вращение с угловой скоростью , она напряжена стационарными центробежными силами инерции и колебаний не совершает. Во втором состоянии, возникающем при плоском принудительном повороте оси собственного вращения, генерируются дополнительные периодически изменяющиеся во времени силы инерции, возбуждающие малые колебания с частотой относительно исходного нагруженного состояния. Условие позволило рассматривать эти состояния по очереди, используя решения уравнений первого состояния для вычисления коэффициентов уравнений колебаний стержней во втором состоянии.

С учетом предположений о характере колебаний данных систем при сложном вращении выполнена линеаризация построенных уравнений в окрестности состояния простого вращения, понижена размерность разрешающих уравнений с частными производными и сформулированы соответствующие краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Предложены алгоритмы численного построения решений сформулированных уравнений, базирующиеся на использовании метода начальных параметров и метода Рунге-Кутта. Установлено, что поскольку сформулированные линеаризированные дифференциальные уравнения имеют в качестве коэффициентов большие множители , они являются жесткими и среди их частных решений имеются быстро возрастающие функции. В связи с этим для регуляризации таких особых решений применяется процедура ортогонализации по Годунову.

Создан вычислительный комплекс, реализующий на персональном компьютере алгоритмы решения задач о прецессионных колебаниях закрученных искривленных стержней при сложном вращении. Решена серия тестовых задач, подтверждающая эффективность предложенного подхода и его программной реализации. Решения задач свидетельствуют о достаточной достоверности результатов исследований.

Проведено компьютерное моделирование прецессионных колебаний закрученных искривленных стержней жестко, шарнирно и упруго присоединенных к ступице совершающей сложное вращение. Построены амплитудно-частотные характеристики колебаний конца лопасти и значений изгибающих моментов в заделке лопасти, а также формы прецессионных колебаний. Найдены резонансные значения угловых скоростей их сложного вращения.

Выполнены исследования влияния геометрических характеристик и способа присоединения лопасти на упругие прецессионные колебания системы. Установлено, что одной из решающих причин наступления резонансных колебаний является низкое значение частот крутильных колебаний лопасти при ее совпадении с угловой скоростью вращения системы. Показано, что в зависимости от упругих свойств лопастей и значений параметров их кривизны и закрутки, резонансные режимы могут возникать и не возникать в рассматриваемых диапазонах угловых скоростей . При этом резонансные режимы могут быть как узкими, так и широкими. При некоторых значениях характерных параметров системы в рассмотренных диапазонах угловой скорости могут быть реализованы два резонансных режима колебаний.

Предложенная в диссертационной работе методика и проведенные численные исследования могут быть использованы для исследования сложного вращения облопаченых роторов самолетных и вертолетных двигателей и конструкций ветроэнергетических установок и предсказания возникновения резонансных режимов их колебаний.

Ключевые слова: искривленный закрученный стержень, сложное вращение, прецессионные колебания, резонансные режимы движения.

Размещено на Allbest.ru