Розробка моделей і методів оцінки напружено-деформованого стану композитних елементів оболонкових конструкцій при їх контактній взаємодії

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка

УДК 539.3

Шваб'юк Василь Іванович

РОЗРОБКА МОДЕЛЕЙ І МЕТОДІВ ОЦІНКИ

НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ КОМПОЗИТНИХ ЕЛЕМЕНТІВ ОБОЛОНКОВИХ КОНСТРУКЦІЙ

ПРИ ЇХ КОНТАКТНІЙ ВЗАЄМОДІЇ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертаціїна здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Львів - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Луцькому державному технічному університеті.

Науковий консультант - доктор фізико-математичних наук, професор

Сулим Георгій Теодорович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри механіки.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, член-кореспондент НАН України, професор Андрейків Олександр Євгенович, директор Державного науково-дослідного центру “Протон” Науково-технічного комплексу, Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, м. Львів;

доктор фізико-математичних наук, професор Василенко Анатолій Тихонович, головний науковий співробітник відділу обчислювальних методів, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, м. Київ;

доктор технічних наук, професор Цурпал Іван Андрійович, завідувач кафедри опору матеріалів та прикладної механіки, Національний аграрний університет, м. Київ.

Провідна установа - Інститут проблем міцності НАН України, відділ статичної міцності та пластичності конструкційних матеріалів, м. Київ.

Захист відбудеться 9.11.2000 року о 14⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.226.02 у Фізико-механічному інституті ім. Г.В. Карпенка НАН України за адресою: 79601, м. Львів, вул. Наукова 5.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України за адресою: 79601, м. Львів, вул. Наукова 5.

Автореферат розісланий “7” 10 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук, професор Никифорчин Г.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність роботи. Інженерна практика потребує значного підвищення надійності та міцності інженерних споруд і машин для їх безпечної та економічної експлуатації на виробництві й транспорті. У свою чергу це вимагає використання досконаліших фізичних і математичних моделей, здійснення щораз точніших розрахунків з реалістичним урахуванням складних фізичних та механічних властивостей матеріалів, особливостей структури проектованих елементів конструкцій. Пластини, оболонки і стрижні є найрозповсюдженішими елементами інженерних конструкцій машинобудівного, приладобудівного, будівельного і транспортного спрямування. Дуже часто вони зазнають впливу локалізованих, високоградієнтних впливів, зокрема й контактної природи. У багатьох випадках використаний для їх виготовлення матеріал є анізотропним.

Композитні гетерогенні матеріали, до яких можна віднести скло-, метало- і органопластики, багатошарові утворення і залізобетони, з погляду макромеханіки у багатьох випадках доцільно вважати гомогенними ортотропними лінійно-пружними матеріалами з певними усередненими значеннями механічних та фізичних характеристик. Застосування таких матеріалів для виготовлення стрижневих, оболонкових, пластинкових та плитових елементів конструкцій виявляє їх механічну ортотропність чи трансверсальну ізотропність поряд зі зменшеним опором поперечному зсувові та обтисненню. З огляду на ці властивості композитів, розрахунок виготовлених з них конструкцій не може опиратися на рівняння тих класичних теорій оболонок і пластин, що не враховують цих ефектів. Тому поряд з розрахунком пружних систем за допомогою тривимірних підходів просторової задачі теорії пружності, широке застосування отримали некласичні двовимірні моделі оболонок і пластин. Їх перевага у простоті, особливо щодо.опису макромеханічної поведінки щораз ширше застосовуваних композиційних матеріалів, відчутна під час дослідження контактних задач теорії пластин і оболонок (одних із найскладніших задач механіки деформівного твердого тіла). Вдалий вибір застосовуваної математичної моделі оболонки чи пластини має вирішальне значення для досягнення поставленої мети так само, як і оптимізація методів, використаних під час розв'язування модельних рівнянь.

Значне місце у висвітленні стану цих проблем відіграли монографії В.М. Александрова і С.М. Мхітаряна, С.О. Амбарцумяна, О.Є. Андрейківа, О.Є. Андрейківа і М.В. Чернеця, В.В. Божидарника і Г.Т. Сулима, Г.А. Ваніна і М.П. Семенюка, П.М. Варвака, Л.А. Галіна, В.Т. Грінченка, Е.І. Григолюка і В.М. Толкачева, Я.М. Григоренка і А.Т. Василенка, Д.В. Гриліцького і Я.М. Кізими, В.С. Гудрамовича і Є.М. Макеєва, О.М. Гузя і І.Ю. Бабича, В.І. Гуляєва, В.А. Баженова і П.П. Лізунова, Б.Я. Кантора, М.О. Кільчевського, Г.С. Кіта і М.В. Хая, О.С. Космодаміанського і В.А. Шалдирвана, С.Г. Лехніцького, А.І. Лур'є, Л.П. Мазурака і Л.Т. Бережницького, М.І. Мусхелішвілі, В.В. Новожилова, В.А. Осадчука, В.В. Панасюка, О.Є. Андрейківа і В.С. Партона, В.В. Панасюка, М.П. Саврука і О.П. Дацишин, Я.С. Підстригача, Б.Л. Пелеха, О.В. Максимука і І.М. Коровайчука, Б.Л. Пелеха і В.А. Лазька, Б.Л. Пелеха і М.А. Сухорольського, В.Г. Піскунова і В.Є. Вериженка, Г.С. Писаренка і А.О. Лебедєва, Г.Я. Попова, І.О. Прусова, О.О. Рассказова, І.І. Соколовської і М.О. Шульги, О.Ф. Рябова, Г.М. Савіна, М.П. Саврука, В.К. Чибирякова, Г.П. Черепанова, Я.С. Уфлянда, І.Ю. Хоми, І.А. Цурпала і Н.Г. Тамурова та інших.

Аналіз існуючих некласичних теорій оболонок і пластин свідчить, що більшість з них різними способами враховує лише один із основних уточнювальних факторів - деформацію поперечного зсуву. Таке уточнення є достатнім для малоградієнтних навантажень, що деформують досить тонкі пластини і оболонки. Але у випадках, коли конструкційні елементи не є дуже тонкими і (або) перебувають під дією локальних навантажень чи контактних впливів, згадані некласичні теорії все ж допускають значні похибки не лише кількісного, але і якісного характеру. За літературними даними основним чинником, який повинен враховуватися для адекватного опису контактної взаємодії, є поперечне обтиснення. Моделі, що його не враховують, спроможні лише на інтегральний опис явища контакту і не можуть претендувати на достатньо точне відтворення розподілу напружень та переміщень у зоні контакту тіл з оболонками та пластинами. Вимагають подальшого вдосконалення також методи розв'язування задач при такому навантажуванні ізотропних.та ортотропних пластин і оболонок, коли з математичного погляду крайові умови є змішаними.

Звідси розробка математичних та інженерних методів вивчення контактної взаємодії та впливу високоградієнтного навантаження на композитні оболонки і пластини, отримання нових розв'язків відповідних контактних та змішаних задач на основі нових моделей, максимально наближених до реалій пружного деформування конструкції, оцінка напружено-деформованого стану (НДС) оболонок і пластин, що перебувають під впливом локалізованих та високоградієнтних навантажень, є актуальною проблемою механіки деформівного твердого тіла.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано здобувачем як виконавцем комплексних тем досліджень в галузі механіки деформівного твердого тіла: “Визначення фізико-механічних характеристик композитних матеріалів і кристалів, та створення методів і засобів їх досліджень” (номер державної реєстрації 0197U004149) та “Дослідження контактної взаємодії в матеріалах та конструкціях” (номер державної реєстрації 0199U001047), що виконувалися та виконуються в Луцькому державному технічному університеті (колишньому Луцькому індустріальному інституті ) за планом досліджень Міністерства освіти та науки України.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є вирішення наукової проблеми, що полягає у розробці моделей і методів інженерних розрахунків (адекватних механічній природі явищ) пружного деформування композитних оболонкових і пластинкових елементів конструкцій, які перебувають під впливом локалізованих, високоградієнтних навантажень та контактних взаємодій. Для досягнення вказаної мети у дисертації вирішені такі задачі:

- розробка нових моделей ортотропних оболонок і пластин середньої товщини, які враховують поперечні деформації зсуву, обтиснення, а також поперечні нормальні напруження, та оцінка, на їх основі, напружено-деформованого стану тонкостінних елементів конструкцій;

- подальший розвиток та вдосконалення аналітичних методів розрахунку пластин - методу лінійного спряження аналітичних функцій комплексної змінної та методу неоднорідних розв'язків;

- застосування побудованих моделей до розв'язування інженерних задач контакту оболонкових, пластинкових елементів конструкцій з пружними чи жорсткими основами, жорсткими штампами або за дії на них локальних чи високоградієнтних навантажень.

Об'єкт дослідження - ізотропні, композитні (ортотропні) елементи оболонкових та пластинкових конструкцій.

Предмет дослідження - моделі і методи оцінки напружено-деформованого стану ізотропних і ортотропних оболонок, пластин та стрижнів, які перебувають під впливом локалізованих, високоградієнтних навантажень та контактних взаємодій.

Методи дослідження - теоретичні дослідження проводилися з використанням сучасних методів механіки деформівного твердого тіла, зокрема: методу лінійного спряження аналітичних функцій комплексної змінної; методу інтегральних перетворень Ганкеля; методу сингулярних інтегральних рівнянь; синтезу символічного методу однорідних розв'язків А.І. Лур'є та методу розгортання функції у ряди М.Є. Ващенка-Захарченка. Це дозволило, разом з використанням сучасних обчислювальних схем і методів, отримати високу точність і достовірність результатів досліджень.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації одержані такі нові наукові результати:

1. Побудовано нові (зручні для інженерних застосувань та теоретичного аналізу) двовимірні моделі ортотропних оболонок і пластин середньої товщини, які вирізняються зпосеред відомих некласичних моделей збалансованим урахуванням факторів поперечного обтиснення (додатково до факторів поперечного зсуву) та чинників, що характеризують непологість оболонок.

2. Запропоновано метод розрахунку композитних кілець та криволінійних стрижнів-брусів за моделлю, в якій розподіл дотичних напружень по товщині здійснюється згідно закону кубічної параболи і залежить від кривини середньої лінії стрижня. Отримано розв'язки контактних задач для кілець, обмежених жорсткими плитами та замкнутих головок шатунів у двигунах внутрішнього спалювання.

3. Розв'язано інженерні задачі для ортотропних циліндричних оболонок середньої товщини при їх контактній взаємодії з жорсткими бандажами, коли на межі області контакту задовольняються всі умови неперервності зусиль та переміщень.

4. Запропоновано нове подання формул уточненої моделі згину ортотропних пластин середньої товщини у комплексній формі, яке дає змогу продуктивно застосовувати глибоко розвинутий метод лінійного спряження аналітичних функцій комплексної змінної у розрахунках плит послаблених тріщинами.

5. Вперше запропоновано аналітичні розв'язки для опису НДС ортотропної смуги з тріщиною, що перебуває у зоні розтягуючих напружень, а також балок-смуг, навантажених жорсткими штампами.

6. Розвинуто метод неоднорідних розв'язків стосовно задач теорії пружності для шару під дією високоградієнтних навантажень, що узагальнює символічний метод А.І. Лур'є і дає змогу точно задовольнити крайові умови на зовнішніх поверхнях.

7. Запропоновано нову методику застосування методу інтегральних перетворень Ганкеля в інженерних контактних задачах для ортотропних і трансверсально-ізотропних плит середньої товщини, що повністю чи частково лежать на пружних або жорстких основах.

Достовірність отриманих результатів забезпечується тим, що розрахункові рівняння запропонованих моделей одержані на методичній основі мінімізації функціоналу Лагранжа для повної енергії пружної системи і енергетично узгоджуються зі співвідношеннями, що описують напружено-деформований стан та граничні умови, причому із розроблених моделей випливає, як частковий випадок, більшість відомих у літературі некласичних моделей оболонок, пластин і стрижнів. Коректність отриманих розв'язків рівнянь побудованих моделей ортотропних та ізотропних оболонок, пластин і криволінійних стрижнів підтверджена їх зіставленням з відомими у літературі даними, які отримані на основі експериментальних досліджень, розрахунків інших моделей, у тому числі і точних розв'язків загальної теорії пружності.

Практичне значення одержаних результатів. Запропоновані моделі придатні для здійснення інженерних розрахунків стрижневих, пластинкових та оболонкових конструкцій з ізотропних, ортотропних та композиційних матеріалів, підданих дії локалізованих, високоградієнтних навантажень і контактних впливів. У дисертації на базі рівнянь побудованої моделі квазіпологих ортотропних оболонок, пластин та стрижнів середньої товщини одержано низку конкретних розв'язків реальних контактних та змішаних задач для тонкостінних елементів конструкцій, які мають практичне застосування у машинобудуванні та будівництві.

В рамках запропонованої теорії ортотропних і трансверсально-ізотропних пластин середньої товщини розроблена методика розрахунку плит аеродромного та дорожнього покриттів, а також плит на жорсткій основі з урахуванням можливого вимиву основи.

Розроблений ітераційний алгоритм числового розв'язку контактних задач з невідомими наперед границями контакту можна використовувати у задачах згину балок і плит як з урахуванням зон відставання від основи штампа, так і за збереження повного контакту. Отримано розрахункові формули для визначення напружено-деформованого і граничного стану надтріснутих балок і плит.

Одержані результати використано в деяких науково-дослідних та проектно-конструкторських організаціях, зокрема:

- ВАТ ”Луцькпластмас” - впроваджена методика експериментального визначення модулів пружності та зсуву в матеріалах з пластмас;

- Харківське конструкторське бюро з машинобудування імені О.О. Морозова - використана методика визначення контактної взаємодії товстої циліндричної оболонки з жорстким кільцевим бандажем і методика визначення контактних напружень при розрахунках артилерійської системи.

- Державне підприємство Львівський науково-дослідний радіотехнічний інститут - впроваджено методику розрахунку напруженого стану шатуна у моделі дизельних двигунів.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися на: ХI Всесоюзній конференції по теорії оболонок і пластин (Харків, 1977); Всесоюзній конференції “Міцність, жорсткість і технологічність виробів із композиційних матеріалів” (Кам'янець-Подільський, 1982); Всесоюзному науково-технічному семінарі “Контактні задачі механіки композитів” (Львів, 1983); VІІІ Всесоюзній конференції з числових методів розв'язування задач теорії пружності і пластичності (Ужгород, 1983); IV, V Всесоюзних конференціях по статиці і динаміці просторових конструкцій (Київ, 1978, 1985); Виїзних засіданнях Наукової Ради АН СРСР з трибології “Сучасні проблеми теорії контактних взаємодій” (Луцьк, 1987, Єреван, 1988); Всесоюзних конференціях “Актуальні проблеми міцності в машинобудуванні” (Севастополь, 1988, 1989); І, ІІІ Українсько-польських наукових симпозіумах “Змішані задачі механіки неоднорідних структур” (Львів-Шацьк, 1995, Львів, 1999); ІІІ Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків (Львів, 1997); ІІІ Міжнародному симпозіумі “Некласичні проблеми теорії тонкостінних конструкцій та фізико-хімічної механіки композиційних матеріалів (Івано-Франківськ, 1998); II Міжнародній конференції “Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій” (Львів, 1999); Міжнародному семінарі “Реологічні моделі та процеси деформування пористих і композиційних матеріалів” (Луцьк, 1999); Науковій конференції “Математика і механіка у Львівському університеті (Сучасні проблеми механіки)” (Львів, 1999); конференціях та семінарах раніше Луцького індустріального інституту, згодом Луцького державного технічного університету.

У повному обсязі дисертація доповідалася на розширеному науковому семінарі кафедри технічної механіки Луцького державного технічного університету під керівництвом проф., д.т.н. Ю.Г. Бобро; І науковому симпозіумі “Сучасні проблеми інженерної механіки” (Луцьк, 2000); V міжнародній конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів-Луцьк, 2000); науковому семінарі кафедри опору матеріалів та прикладної механіки Національного аграрного університету під керівництвом проф., д.т.н. І.А. Цурпала; семінарі “Питання механіки суцільного середовища“ кафедри механіки Львівського національного університету імені Івана Франка під керівництвом проф., д.ф.-м.н. Г.Т. Сулима; семінарі “Статична міцність” Інституту проблем міцності НАН України під керівництвом академіка НАН України А.О. Лебедєва; на семінарі Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, за напрямком “Будівельна механіка оболонкових систем” під керівництвом академіка НАН України Я.М. Григоренка; на наукових семінарах Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України під керівництвом академіка НАН України В.В. Панасюка та член-кореспондента НАН України О.Є. Андрейківа.

Публікації. Матеріали дисертації загалом викладено в 50 наукових роботах, з яких в авторефераті список з 6 публікацій у фахових наукових журналах, 18 - у фахових збірниках, та 10 праць у збірниках матеріалів і тез конференцій.

Особистий внесок здобувача. Визначальна частина ідей, теоретичних та практичних розробок дисертації належать здобувачу особисто, що знайшло відображення у його одноосібних працях: десяти статтях [2, 5, 6, 12, 13, 15, 16, 23-25] та чотирьох доповідях [26, 31, 32, 34].

У спільних роботах [1, 3, 4, 7, 27] дисертантом запропонована модель згину коротких балок та вивід основних рівнянь у трансверсально-ізотропних плитах та плитах на пружній основі з урахуванням поверхневої структури контактуючих тіл, частина обчислень та спільний аналіз результатів і формулювання висновків. У роботах [9, 14] дисертантом розроблено метод визначення пружних сталих у монокристалах та аналіз НДС у нелінійному тілі з жорстким включенням.

У працях [8, 10, 28-30] автору належить розробка моделі М3-У, а також дослідження впливу анізотропії матеріалу на величину коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН) в композитних балках. У працях [11, 22] автору належить формулювання моделей та вивід розрахункових рівнянь кривих стрижнів та кілець. В роботах [17-21, 33], виконаних у співавторстві з В.М. Максимовичем, В.Г. Піскуновим та деякими іншими авторами, здобувачу належать частина, що стосується розробки методу неоднорідних розв'язків, аналізу розв'язків задач про згин пластини та балки-смуги зосередженими силами, локалізованими навантаженнями і штампами, отримання та аналіз розв'язків контактних задач для трансверсально-ізотропних плит на пружному півпросторі, що є предметом досліджень у дисертації.

Автор висловлює щиру подяку науковому консультанту виконаної дисертації, а також доктору технічних наук, професору Піскунову Вадиму Георгієвичу за консультативну допомогу та постійну увагу до роботи.

Структура та обсяг дисертації. Робота складається з вступу, восьми розділів, висновків та додатку. Загальний обсяг дисертації становить 290 сторінок, у тому числі 29 рисунків, 25 таблиць. Список використаних джерел із 337 найменувань на 32 сторінках та додаток на трьох сторінках.

композитні оболонкові пластинкові високоградієнтні

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність проблеми визначення напружено-деформованого стану композитних елементів в оболонкових конструкціях, наближення точності розв'язків контактних та змішаних задач, одержаних на основі рівнянь двовимірних моделей ортотропних оболонок і пластин, до відповідних розв'язків рівнянь тривимірної задачі теорії пружності. Сформульована мета дисертації, відзначені новизна, наукове та практичне значення, коротко викладені результати, одержані в дисертації.

У першому розділі проаналізовано основні методи розв'язування контактних і змішаних задач у постановці класичних та некласичних моделей оболонок і пластин, а також способи оцінки їх НДС. З'ясовуються певні переваги та основні недоліки застосування класичних моделей до розв'язування такого типу задач.

Методи, які застосовувалися у цих випадках В.М. Александровим, В.А. Бабешком, І.І. Воровичем, А.І. Каландією, М.І. Мусхелішвілі, І.О. Прусовим, В.Л. Рвачовим, Г.М. Савіним, М.П. Савруком, А.О. Сяським, М.П. Шереметьєвим, Я.С. Уфляндом і іншими при розв'язуванні змішаних задач для тонких пластин Кірхгофа, стали вже класичними. Як показано у відомих роботах Ю.П. Артюхіна, Л.А. Галіна, В.С. Гудрамовича, Б.Я. Кантора, Б.Л. Пелеха, П.І. Львова, В.І. Моссаковського, Г.Я. Попова, їх учнів та інших, у рамках класичної моделі Кірхгофа-Лява значення тиску під жорстким штампом, що взаємодіє з тонкою оболонкою чи пластиною, можна знайти з інтегрального рівняння Фредгольма першого роду

, (1)

де - функція Ґріна для переміщення пластини у точці А при дії нормальної до поверхні оболонки чи пластини зосередженої сили у точці В; - функція, яка описує основу поверхні штампа і його переміщення як абсолютно твердого тіла.

Виходячи із загального розв'язку цього рівняння, було показано, що контактний тиск під гладким штампом описується розподіленою силою, виключно уздовж межі контакту. Разом з тим, із розв'язків рівнянь теорії пружності відомо, що у таких випадках контактний тиск розподіляється всередині області контакту, а на її межі повинен бути нульовим.

Урахування деформацій поперечного зсуву в некласичних моделях оболонок і пластин дещо згладжує цю та деякі інші фізичні невідповідності у розв'язках інтегральних рівнянь стосовно контактного тиску. Тиск під штампом стає вже неперервно розподіленим по всій області контакту. В отриманих інтегральних рівняннях Фредгольма та Вольтерра першого роду у випадку некласичних моделей функція перестає бути функцією Ґріна певної крайової задачі і стає менш гладкою. Вперше цей факт був досліджений М.М. Філоненком-Бородичем стосовно контактної задачі для балки типу С.П. Тимошенка.

У зв'язку з цим виникла необхідність шукати розв'язок контактної задачі у класі узагальнених функцій, які би задовольняли рівняння Фредгольма другого роду

, (2)

де - певний коефіцієнт, що має природу коефіцієнта податності певного прошарку між штампом та об'єктом з властивостями основи Вінклера.

Подібне рівняння, але вже для випадку пружного шару, навантаженого жорстким штампом довільної конфігурації, було одержане Я.С. Уфляндом методом парних інтегральних рівнянь. Знайдено вирази та числові значення для контактного тиску під штампом, якщо пружний шар лежить на жорсткій основі. Для трансверсально-ізотропного шару (з урахуванням температурних ефектів) контактні задачі розглядалися Д.В. Гриліцьким, В.Г. Габрусєвим, Я.М. Кізимою, Б.Г. Шелестовським та іншими.

Способи знаходження контактного тиску в тонкостінних елементах при довільних граничних умовах містять роботи Ю.П. Артюхіна, І.А. Біргера, М.В. Блоха, Е.І. Григолюка, С.М. Карасєва, Е.В. Коваленка, Г.Б. Ковнеристого, Б.Л. Пелеха, В.Г. Піскунова, Г.Я. Попова, В.К. Присяжнюка, М.А. Сухорольського, В.М. Толкачева, Д.Г. Хлебнікова та їх учнів. Ними запропоновано, додатково до бігармонійного рівняння згину, вводити залежність між контактним тиском під штампом та поперечним переміщенням пластин, яка отримується внаслідок урахування поперечного обтиснення, у вигляді

, (3)

де близький до одиниці коефіцієнт залежить від обраної авторами моделі.

Тому моделі, що певним чином враховують поперечне обтиснення, дають змогу отримувати розв'язки контактних задач безпосереднім інтегруванням рівнянь згину пластин. У задачах для областей і навантажень з осьовою симетрією доволі ефективним стало застосування інтегрального перетворення Ганкеля.

Широкий спектр варіантів некласичних моделей оболонок і пластин розроблений С.О. Амбарцумяном, Г.А. Ваніним, В.В. Васильєвим, А.Т. Василенком, І.М. Векуа, Я.М. Григоренком, В.С. Гудрамовичем, О.М. Гузем, С.М. Каном, Б.Я. Кантором, М.О. Кільчевським, В.І. Корольовим, С.Г. Лехніцьким, А.І. Лур'є, Б.Л. Пелехом, В.В. Пікулем, В.Г. Піскуновим, А.В. Плехановим, В.К. Присяжнюком, А.П. Прусаковим, І.О. Прусовим, О.О. Рассказовим, О.Ф. Рябовим, А.В. Саченковим, О.С. Сахаровим, М.П. Семенюком, М.А. Сухорольським, І.Г. Терегуловим, І.Ю. Хомою, Л.П. Хорошуном, В.К. Чибиряковим, В.А. Шалдирваном, М.П. Шереметьєвим, М.О. Шульгою, Р. Крістенсеном, Е. Рейсснером та іншими. Проте тільки деякі з них можна покласти в основу точних інженерних розрахунків у випадку контактної взаємодії чи дії високоградієнтних навантажень.

Завдяки розробленим підходам контактні задачі для оболонок, пластин та балок без підвищення порядку рівнянь (відносно зсувних некласичних моделей), стали математично коректнішими, а їх розв'язки (якісно і кількісно) ближчими до відповідних задач теорії пружності і придатнішими для здійснення адекватних інженерних розрахунків.

У другому розділі аналізується розроблена нова модель (модель третього рівня - М3) ортотропних оболонок з урахуванням деформацій поперечного зсуву та обтиснення. В основу моделі покладено гіпотезу про можливість розгортання компонент вектора переміщень довільної точки оболонки у вигляді притятих степеневих рядів за поперечною координатою:

Прирівнюванням змішаних похідних від вектора переміщень довільної точки оболонки одержано дванадцять рівнянь нерозривності деформацій. Більшість з них задовольняються тотожно. У рамках розробленої моделі М3 вимагається точного задовольнення ще двох рівнянь нерозривності, які за формою збігаються з відповідними рівняннями, одержаними М.П. Шереметьєвим для оболонок типу Тимошенка. Різниця полягає у тому, що шукані величини для рівнянь оболонок типу Тимошенка є деформаціями серединної поверхні оболонки, а для моделі М3 вони характеризують деформації деякої поверхні еквідистантної стосовно серединної.

Для трансверсально-ізотропного матеріалу введенням у перше рівняння сумісності та у систему рівнянь рівноваги модифікованої функції зусиль В.З. Власова одержується система розрахункових рівнянь, яка споріднена із системою рівнянь оболонок типу С. Тимошенка. Але ця система має додаткові члени, що містять у собі добутки кривин та фактори, що враховують ефекти поперечного обтиснення. Якщо в одержаній системі вважати деякі параметри нульовими, то отримується система рівнянь С.О. Амбарцумяна.

У третьому розділі досліджуються напружено-деформований стан та стійкість ортотропних циліндричних оболонок, навантажених розподіленими зусиллями або контактним тиском. Для таких оболонок розрахункові рівняння отримуються із рівнянь моделі М3 (7) як частковий випадок, якщо коефіцієнтам першої квадратичної форми та головним кривинам надати таких значень:

П'ятий розділ присвячено розробці методів розрахунку елементів конструкцій на основі некласичної моделі М3-Б ортотропних балок-смуг, дослідженню на основі її рівнянь напружено-деформованого стану балки-смуги з тріщиною та вивченню контактної взаємодії жорсткого штампа з ортотропною балкою.

Методом суперпозиції розв'язків, одержаних на основі побудованої моделі ортотропних балок та розв'язку задачі теорії пружності для півплощини, будується розв'язок задачі згину опертої на краях ортотропної балки-смуги з поперечною тріщиною в зоні напружень розтягу (реально - надтріснутої залізобетонної балки чи плити). Вона зведена до задачі лінійного спряження граничних значень шуканих функцій і в області тріщини :

(17)

де ; - додатній кратний корінь характеристичного рівняння

У шостому розділі рівняння моделі М3 згину ортотропних пластин середньої товщини адаптовано для вирішення питання згину плит з тріщинами за допомогою постановки та побудови розв'язків крайових задач методом лінійного спряження аналітичних функцій комплексної змінної.

Сьомий розділ стосується побудови наближених до рівнянь теорії пружності розв'язків задач теорії пружності для шару на основі синтезу символічного методу однорідних розв'язків А.І. Лур'є та методу розгортання функцій у ряди М.Є. Ващенка-Захарченка. Реалізуючи цей метод, так звані функції А.І. Лур'є, через які записуються компоненти вектора переміщень та тензора напружень, умовно розбивали на симетричну та кососиметричну (стосовно серединної поверхні шару) складові і розгортали у такі ряди:

а) для симетричного випадку :

; (34)

б) для кососиметричного випадку :

, (35)

де , - корені трансцендентного рівняння , причому функції , - розв'язки рівнянь другого порядку , при та , ; , - відомі функції символічного методу.

Використовуючи формули розгортання мероморфних функцій у ряди за полюсами, вдалося покращити збіжність рядів (34), (35). При цьому вирази, що описували зміну компонент НДС, поділяли на повільно- і швидкозбіжні складові. Останні можна відкидати якщо навантаження є достатньо малоградієнтним. Як свідчать результати здійснених числових експериментів, отримані при цьому похибки виявилися дуже незначними.

На основі знайдених явних виразів функцій компоненти вектора переміщень та тензора напружень обчислювалися за допомогою таких формул:

, ;

, . (36)

Тут індексу “” можна надавати значення , а також здійснювати за ним підсумовування.

Зокрема, для кососиметричного навантаження функція вертикальних переміщень для шару була записана як сума двох складових - , де перша складова є розв'язком бігармонійного рівняння

, (37)

а друга дорівнює .

Дослідження бігармонійного рівняння (37) підказує, що при воно збігається з відповідним рівнянням запропонованої моделі М3-У пластин для ізотропного матеріалу, коли у ньому вважати параметри . Функція для малоградієнтних навантажень може бути апроксимована поліномом четвертого степеня від (так само, як і у вищезгаданій моделі), бо при таких навантаженнях і тому складова . Тобто, запропоновані формули згину ізотропного шару і побудована у цьому розділі синтезна модель згину пластин середньої товщини, що близька до моделі тривимірної теорії пружності, між собою асимптотично збігаються.

З використанням принципу суперпозиції отримані рівняння та формули застосовано для розв'язання задач згину ізотропного шару зосередженими силами та локалізованими навантаженнями, прикладеними до поверхні , коли . Досліджено точність знайдених розв'язків і порівняно з відповідними розв'язками інших моделей пластин. Визначено міру ефективності запропонованого синтезного підходу у вивченні впливу високоградієнтних навантажень та його узгодженість з висновками моделі
М3-У, що додатково підтверджує високу міру її ефективності .

У восьмому розділі рівняння моделі М3-У при застосуванні методу інтегральних перетворень Ганкеля використовували до розрахунків плит дорожнього та аеродромного покриттів. Залізобетонні та асфальтобетонні плити вважали трансверсально-ізотропними, що лежать на ізотропній пружній основі у вигляді півпростору і працюють під дією розподіленого та локалізованого навантажень, а також жорстких штампів.

Таким чином, на основі аналізу одержаних результатів дослідження контактних задач та впливу високоградієнтних навантажень можна зробити висновок, що побудовані моделі оболонок і пластин дають можливість, без помітного ускладнення розрахункових рівнянь, вивчати НДС і деформативність відповідних інженерних конструкцій з ізотропних і композитних матеріалів, отримувати розв'язки, які близькі до відповідних висновків математично точної, проте складної у методах отримання розв'язків теорії пружності.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертації наведене теоретичне узагальнення і нове вирішення наукової проблеми, що полягає у розробці моделей і методів інженерних розрахунків (адекватних механічній природі явищ) пружного деформування композитних оболонкових та пластинкових елементів конструкцій, які перебувають під впливом локалізованих і високоградієнтних навантажень та контактних взаємодій.

1. Для розрахунку напружено-деформованого стану пластинкових і оболонкових елементів при їх взаємодії зі штампами, пружними та жорсткими основами, статичного згину та стійкості, побудовано двовимірні моделі некласичного типу ортотропних (зокрема і ізотропних) оболонок, пластин та стрижнів, що враховують поперечний зсув, поперечне обтиснення та поперечне нормальне напруження. Порядок отримуваної системи рівнянь не перевищує чотирнадцятого і її складність не вища від складності раніше використовуваних систем рівнянь, які є, проте, менш точними.

2. Отримані рівняння реалізовано в аналітичних розв'язках контактних задач для ортотропних оболонок, пластин та стрижнів, що мають практичне застосування у визначенні стійкості та міцності циліндричних оболонок, розрахунках артилерійських стволів, бурових колон, головок шатунів двигунів внутрішнього спалювання тощо. З'ясовано, що при розв'язуванні задач такого типу врахування поперечного обтиснення для досягнення належної точності є обов'язковим.

3. Методами сингулярних інтегральних рівнянь і механічних квадратур одержано числово-аналітичний розв'язок контактної задачі для балки, навантаженої штампом. Опрацьовано ітераційний алгоритм з урахуванням і без урахування явища відставання основи штампа від контактуючої з ним грані балки. Досліджено контактний тиск під штампом та отримано залежність між прикладеною до штампа силою і розміром області контакту. Виявлено, що врахування відставання балки-смуги від основи штампа дає зменшене значення діючої на цей штамп сили для досягнення однакової (без урахування ефекту відставання) величини області контакту.

4. Запропоновано нове подання формул уточненої моделі згину ортотропних пластин середньої товщини у комплексній формі, зручній для інженерного застосування методу лінійного спряження аналітичних функцій.

Внаслідок цього :

- сформульовано крайові умови для трьох основних крайових задач. Приводяться приклади розв'язків для кожної з них та досліджується вплив ортотропії на величини напружень в ортотропних пластинах.

- опрацьована постановка та методика дослідження ортотропних пластин Кірхгофа, послаблених системою розрізів-тріщин. Записується вираз для комплексного коефіцієнта інтенсивності напружень для ортотропного матеріалу, який у випадку ізотропного матеріалу збігається з відомим виразом, отриманим раніше Дж. Сі та П. Парісом.

- отримано вирази для коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН), які дають можливість визначати граничне навантаження на надтріснуту пластину залежно від параметрів ортотропії та відносної довжини тріщини. Досліджено вплив цих чинників на НДС у пластинах.

Показано, що з одержаних рівнянь та розв'язків, як частковий випадок, можна отримати відомі результати І.О. Прусова, Г.М. Савіна й інших для випадків ізотропних пластин Кірхгофа. Виявлено математичну аналогію між задачею симетричного згину нескінченної пластини, послабленої системою прямолінійних тріщин та змішаною задачею згину півнескінченної пластини, частково защемленої і частково шарнірно-опертої.

5. Отримано вирази для КІН в ортотропній балці-смузі з поперечною тріщиною, що знаходиться в зоні напружень розтягу, з використанням рівнянь теорії пружності та уточненої моделі балок залежно від міри ортотропії, відносної довжини тріщини та ефектів поперечного зсуву і обтиснення. З'ясовано, що поширення тріщини у глибину смуги спричиняє різке зростання напружень у її крайніх волокнах, близьких до іншого вістря тріщини, при цьому градієнт зростання напружень в ізотропній смузі дещо більший від градієнту аналогічних напружень в ортотропній смузі.

6. Для товстого ізотропного шару, навантаженого зосередженими силами та локалізованим навантаженням, розробленим для цієї задачі методом неоднорідних розв'язків побудовано ефективні рівняння і формули для визначення переміщень та напружень у ньому. Дається порівняння з відповідними формулами та рівняннями побудованої моделі М3 та іншими некласичними моделями.

7. Розроблені моделі згину плит середньої товщини, внаслідок застосування методу інтегральних перетворень Ганкеля знайшли практичне застосування у розрахунку дорожніх та аеродромних плит, навантажених зосередженими силами, концентрованим навантаженням та жорсткими штампами. Досліджено залежності розподілу контактних переміщень та напружень під штампом від розміру області контакту, міри поперечної анізотропії плити та відношення модулів пружності плити й матеріалу основи у вигляді півпростору чи основи Вінклера. Виявлено, що одержані формули розподілу контактних переміщень та тисків під штампом істотно залежать від вищеназваних чинників. Основну поправку в побудованих моделях оболонок і пластин, при розв'язуванні контактних задач вносить врахування деформації поперечного обтиснення.

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ

1. Швабюк В.И., Муравецкий П.Т. Контактная задача для трансверсально-изотропных балок и плит с учётом поверхностной структуры контактирующих тел // Строительная механика и расчёт сооружений.- К.: Вища школа. 1977. Вып.9.- С. 14-15.

2. Швабюк В.И. К теории изгиба трансверсально-изотропных плит. // Статика сооружений (Сборник науч. статей).-К.: Изд. КИСИ.-1978. -С.27-31.

3. Швабюк В.И., Глек Р.И. Изгиб круглых трансверсально изотропных плит с учетом поперечного сдвига и обжатия //Расчет пространственных строительных конструкций. Куйбышев: КуИСИ. 1979. Вып.8.- С.95-101.

4. Швабюк В.И., Глек Р.И. К построению обобщенной теории коротких балок // Вестн. Львов. политехн. ин-та “Доклады и научные сообщения”.- Львов: Вища школа. 1979. № 136.- С.40-42.

5. Швабюк В.И. Учет ффекта сжимаемости нормали и контактных плит //Прикл. механика. К.:1980. Т.16. №4.- С.71-77.

6. Швабюк В.И. К теории изгиба коротких трансверсально-изотропнх балок //Расчет пространственнх строительнх конструкций. Куйбшев: КуИСИ. 1981. Вып.9.- С.86-91.

7. Швабюк В.И., Всоцкий Т.Н. Изгиб трансверсально-изотропнх плит на упругом основании // Вестн. Львов. политехн. ин-та. Резерв прогресса в архитектуре и строительстве. Львов: Вища школа. 1983. № 173.- С.120-122.

8. Швабюк В.И., Божидарник В.В. Уточнение разрешающих уравнений для трансверсально-изотропнх плит // Вестн. Львов. политехн. ин-та. Резерв прогресса в архитектуре и строительстве. Львов: Вища школа.1986. № 203.- С.83-85.

9. Божидарник В.В., Садівський В.М. Шваб'юк В.І., Антиплоска деформація нелінійного тіла з розширеним жорстким включенням // Вісн. держ. ун-ту “Львівська політехніка”. 1993. Вип. 271.- С.10-12.

10. Божидарник В.В., Шваб'юк В.І., Морозов М.І. Згин кругового композитного кільця зосередженими силами // Наукові нотатки Луцьк. індустр. ін-ту.- Луцьк. 1994. В.2. -С.41-45.

11. Шваб'юк В.І., Маткова А.В., Садівський В.М. Про уточнення рівнянь кривих брусів і кілець // Наукові нотатки Луцьк. індустр. ін-т. -Луцьк. 1994. Вип.2. - С.51-59.

12. Шваб'юк В.І. Варіант узагальненої теорії непологих ортотропних оболонок // Машинознавство. 1998. № 7.- С.2-8.

13. Шваб'юк В.І. Згин композитної балки з поперечною тріщиною // Наукові нотатки Луцьк. індустр. ін-ту.-Луцьк. . 1996. Вип. 3. - С.190-197.

14. Шваб'юк В.І. Маткова А.В. Метод визначення пружних сталих у монокристалах // Машинознавство. 1998. №6. - С.32-34

15. Шваб'юк В.І. Комплексне подання уточнених рівнянь згину ортотропних пластин з тріщинами //Машинознавство. 1999. № 4.- С.51-55.

16. Шваб'юк В.І. Метод лінійного спряження в теорії згину ортотропних плит // Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій (випуск 2): У 3-х т. /Під заг.ред. Панасюка В.В. -Львів: Каменяр, 1999. - Т.2. С. 244-248.

17. Максимович В.М., Шваб'юк В.І., Сорока Р.О. Метод неоднорідних розв'язків в задачах теорії пружності для шару // Наукові нотатки. Луцьк. держ. техн. ун-т. 1999. Вип.5.- С.149-159.

18. Гембара В.М., Максимович Я.В., Шваб'юк В.І. Пружна рівновага смуги, навантаженої штампом та зосередженими силами //Наукові записки Української академії друкарства. 1999. Вип.1.- С.129-133.

19. Шваб'юк В.І., Максимович В.М. Порівняльний аналіз точності некласичних теорій згину пластин при локалізованих навантаженнях //Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 1999. Вип. 55.- С.192-196.

20. Піскунов В.Г. Шваб'юк В.І. Контактна задача для трансверсально-ізотропної плити на пружному півпросторі // Вісник Українського транспортного університету. - Київ: РВВ УТУ. 1999. Вип. 3.- С. 218-223.

21. Максимович В.М., Шваб'юк В.І. Точний та наближений розв'язки згину пластини зосередженими силами і локалізованим навантаженням // Вісник Харків. держ. політех. ун-ту. Збірка наук. праць.- Харків: ХДПУ, 2000. Вип.89.- С.164-173.

22. Шваб'юк В.І., Маткова А.В. Стиск кільця, обмеженого жорсткими поверхнями //Фіз.-хім. механіка матеріалів. 2000. № 3.- С.118-120.

23. Шваб'юк В.І. Розрахунок замкнутої кругової головки шатуна // Машинознавство. 2000. №3. - С.47-48

24. Шваб'юк В.І. Некласичні моделі оцінки напружено-деформованого стану ортотропних оболонок і пластин // Наукові нотатки. Луцьк держ. техн. ун-т. 2000. Вип.7.- С. 285-289.

25. Шваб'юк В.І. Моделі і методи оцінки деформативності та контактної міцності композитних елементів оболонкових конструкцій // Математичні проблеми неоднорідних структур: В 2-х т.-Львів, 2000.- Т.1.-С.342-345.

26. Швабюк В.И. Осесиметрические контактные задачи для обжимаемых транстропных плит // Тезисы докладов V Всесоюзной конференции по статике и динамике пространственных конструкций.-Киев: КИСИ. 1985.-С.209.

27. Швабюк В.И., Притула В.М., Лелык Я.Р. Решение осесиметричных контактных задач для обжимаемых плит на упругих основаниях // Материалы выездного заседания НС АН СССР по трению и смазкам “Современные проблемы теории контактных взаимодействий”.- Луцк. 1987.-С.64-65.

28. Божидарник В.В., Швабюк В.І. Контактные задачи для ортотропных плит с цилиндрической анизотропией в уточненной постановке. Выездное заседание по современным проблемам теории контактных взаимодействий. Тезисы докладов.- Ереван: Изд-во АН Армянской ССР. 1988.- С.27-29.

29. Шваб'юк В.І., Божидарник В.В., Садівський В.М. Вплив анізотропії матеріалу композитної балки з поперечною тріщиною на величину КІН // Третій міжнародний симпозіум “Некласичні проблеми тонкостінних елементів конструкцій та фізико-хімічної механіки композитних матеріалів”. Матеріали доповідей. - Івано-Франківськ. 1995.- Т.2.-С.159-162.

30. Божидарник В.В., Шваб'юк В.І. Згин композитної балки з поперечною тріщиною // Перший українсько-польський науковий симпозіум “Змішані задачі механіки неоднорідних структур”. Матеріали.- Львів: Світ. 1997.- С.6-9.

31. Шваб'юк В.І. Проблеми і методи досліджень контактних взаємодій тонкостінних композитних конструкцій // Третій міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові. Тези доповідей.- Львів: Львівська політехніка.-1997.-С.89-90.

32. Шваб'юк В.І. До проблеми контактної взаємодії жорсткого бандажа з циліндричною оболонкою // Міжнародна наукова конференція “Сучасні проблеми механіки і математики”. Матеріали.- Львів: ІПММ. 1998.-С.123.

33. Шваб'юк В.І., Максимович Я.В. Дослідження напруженого стану смуги при її згині штампом // Наукова конференція “Математика і механіка у Львівському університеті”.- Львів. 1999. - С.35.

34. Шваб'юк В.І. Реалізація некласичних моделей методами оцінки контактної міцності та деформативності ортотропних оболонок і пластин // Перший науковий симпозіум “Сучасні проблеми інженерної механіки”. Тези симпозіуму. - Луцьк: ЛДТУ. 2000. - С.32-33.

АНОТАЦІЯ

Шваб'юк В.І. Розробка моделей і методів оцінки напружено-деформованого стану композитних елементів оболонкових конструкцій при їх контактній взаємодії. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 01.02.04 - Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, Львів, 2000.

Дисертація присвячена вирішенню наукової проблеми, що полягає у розробці нових моделей і методів інженерних розрахунків, оцінки НДС, оболонкових, пластинкових та стрижневих композитних елементів конструкцій при їх контактній взаємодії з жорсткими штампами та високоградієнтними і локалізованими навантаженнями. Розроблені двовимірні моделі ортотропних оболонок, пластин та стрижнів враховують поперечний зсув, поперечні нормальні напруження і деформації, використовуючи гіпотезу про можливість розвинення компонент вектора переміщень довільної точки оболонки у вигляді притятих степеневих рядів за поперечною координатою.

Побудовані моделі і методи використані: у методиці визначення контактної взаємодії товстої циліндричної оболонки з жорстким кільцевим бандажем; при визначенні контактних напружень у розрахунках артилерійських систем; замкнутих головок шатунів двигунів внутрішнього спалювання; товстих плит аеродромного та дорожнього покриттів; аналізі напружено-деформованого та граничного стану надтріснутих плит і балок тощо.

Для товстого ізотропного шару, навантаженого зосередженими силами та локалізованим навантаженням, методом неоднорідних розв'язків (розробленим для такого типу задач) побудовано ефективні рівняння і формули для визначення переміщень та напружень в ньому. Дається порівняння з відповідними формулами та рівняннями побудованої моделі та іншими некласичними моделями.

Ключові слова: композит, некласичні моделі, ортотропний матеріал, оболонка, плита, метод неоднорідних розв'язків.

Summary

Shvabyuk V.I. Development of models and methods of estimation of stress-displacement relations of composite elements of shell constructions at their contact interaction. - Manuscript.

Thesis for a degree of Doctor of Тechnical Science in specialty 01.02.04 - mechanics of deformable body, H.V. Karpenko Physico-Mechanical Institute, National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv, 2000.

The thesis is dedicated to the solution of scientific problem of elaboration of new models and methods of the stress-deformed state of composite elements of shell construction with rigid punches under localized loads.

Two-dimensional models of orthotropic shells, plates and beams with the account of transversal shear, transversal normal stresses and displacements have been developed. A hypothesis about the possibility of decomposition of components of the vector of casing arbitral point in the form of trancated power series along the lateral coordinate has been used for the construction of the models. From the Lagrange's variational principle for full potential energy of elastic system the author received a system of five differential equations in partial derivatives of 14-th order, and variational equalities for formulation of seven limit conditions on the casing borders.

As a separate case of general model, the equations of a bending of orthotropic cylindrical shells are built. A contact problem of fitting a rigid band upon cylindrical shell on the basis of specified theory of transversal-isotropic shells is investigated. A reduction diagram of specified pressure distribution and transversal force in cylindrical shells is represented.

New specified model of deformation of rectilinear and curvilinear composite rods with the account of nonlinear effects in displacements has been constructed. On the bases of models' equations a procedure of designing of connecting-rod end is worked out. The efficiency and precision of the offered methods are corroborated by comparison with the results of plane problem of elasticity theory.

Specified equations of orthotropic plates with account of lateral shear and draft deformation are represented. Differential equations of the twelfth order have been derived. Conditions on the plate boundaries are determined. By introduction of Muskhelishvili's complex potentials the solutions of main tasks of the theory of orthotropic plates come to solutions of boundary problems by linear coupling method. An example of mixed problems of the plate bending loosed with periodical system of rectilinear cracks is given.

Axisymmetrical problem of transversal-isotropic roads plates bending on the elastic half-space under localized loading is considered with the help of Hankel's method of integral transforms. The dependency of contact displacements and stresses distribution on the contact area quantity of transversal-anisotropy plates is investigated. The stresses and displacements values are compared with the corresponding results of elasticity theory.

The solutions for different kinds of load of band with cross crack in the expanding stresses zone are obtained both on the bases of equations of a plane problem of elasticity theory and by mean of a worked out models of orthotropic beams-bands. The obtained formulae for coefficients of intensity of stressed and ultimate load coincide in the case of isotropic material with the known solutions of V.V. Panasyuk and B.L. Losovyi.

A plane problem of the theory of elasticity for a beam loaded with rigid punch and by arbitrary applied forces is solved with the help of the method of singular integral equations, with usage of the method of mechanical quadratures is solved. A numerical analysis of relation between the value of contact area and the force applied to a punch from an outer beam surface is presented.

By synthesizing A.I. Lur'e's and M.Ye. Vaschenco-Zaharchenco's methods the further development of the method of the inhomogeneous solutions in the problems of the theory of elasticity for an isotropic layer is given, which extends a known symbolical method. The precision of non-classical model of isotropic plates bending that are under the action of localized loading is investigated. The solutions of the problems were obtained either with the help of specified models of plates bending taking into account the transversal shear and the reduction deformation, or in the framework of three-dimensional solutions of elasticity theory. The examples of numerical calculations are presented.

Thus, the generalized theory of shells and plates indicates that at their analysis one should take into account not only the corrections for lateral shear deformation but also the corrections for lateral normal stresses and deformations. The latter ones may in some cases (contact problems) considerably exceed the shear corrections and play the leading role.