Розв’язання задачі пружно-пластичного згину пластин довільної форми у плані на базі теорії r-функцій

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Національна академія наук України

Iнститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного

01.02.04 - Механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертацiя на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Розв'язання задачі пружно-пластичного

згину пластин довільної форми у плані

на базі теорії r-функцій

Архіпов Олександр Володимирович

Харків - 1999

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконaна у вiддiлi прикладної математики та обчислювальних методiв Iнституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України.

Науковий керiвник: доктор технічних наук,

професор, Курпа Лідія Василівна,

Харківський державний політехнічний університет,

завідуючий кафедри “Прикладна математика”

Офiцiйнi опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор, Проценко Володимир Сидорович,

Державний аерокосмічний університет

ім. М.Є. Жуковського “ХАІ”,

професор кафедри “Вища математика”

доктор технічних наук, старший науковий

співробітник, Янютін Євгеній Григорович,

Iнститут проблем машинобудування

ім. А.М. Підгорного НАН України,

головний науковий співробітник

Провiдна установа: Харківський державний політехнічний університет,

кафедра “Динаміка та міцність машин”,

Міністерство освти України, м. Харків

Захист вiдбудеться 24 червня 1999 р. о 16 годинi в аудиторiї XI поверху на засiданнi спецiaлiзованої вченої ради Д 64.180.01 в Iнститутi проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 310046, м. Харкiв, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацiїю можна ознайомитися у бiблiотецi Iнституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 310046, м. Харкiв, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розiсланий 22 тарвня 1999 р.

Вчений секретар

спецiалiзoванoї вченої ради Зайцев Б.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність. Повсякденна практична діяльність людини постійно висуває нові задачі в галузі розрахунку тонкостінних конструкцій сучасного машинобудування та будівельних споруд. У багатьох випадках ці задачі зводяться до знаходження напружень і деформацій, які виникають під дією зовнішніх сил у пластинах, часто складної форми, використання яких у якості конструкційних елементів дає змогу оптимально поєднувати достатні міцністні властивості з високою технологічністю та економічною ефективністю конструкцій і споруд.

З другого боку, велика кількість конструкційних матеріалів, до яких можна віднести чимало легованих сталей, кольорових металів, пластмас, мають більш чи меньш значну нелінійність між величинами напружень та деформацій. Апроксимація цієї залежності лінійним законом Гука, що використовується в класичних методах розрахунку конструкцій, правомірна лише на початку кривої деформування. Задачі ж створення нових конструкційних форм, застосування нових конструкційних матеріалів, питання економії матеріалів і безпеки споруд потребують розробки нових ефективних методів розрахунку напружено-деформованого стану конструкцій та їх елементів за межею пружності.

Як показує огляд літератури з питання розв'язку нелінійних задач теорії пластин, більшість її присвячено геометрично нелінійним задачам, і зовсім недостатньо одержано практичних результатів у разі фізично нелінійних задач. Це пояснюється їх особливою складністю. Дослідження пружно-пластичного згину пластин довільної форми, а також пластин зі складними крайовими умовами, викликає труднощі при використанні будь якого методу розрахунку. Вище сказане дозволяє зробити висновок, що розвиток ефективних методів та створення відповідного програмного забезпечення, за допомогою якого було б можливо автоматизувати процес дослідження пружно-пластичних систем при складних крайових умовах та геометрії області, є актуальними проблемами механіки деформівного твердого тіла та мають теоретичний та практичний інтерес.

У пропонуємій дисертаційній роботі вперше зроблено поширення методу R-функцій (міжнародна абревіатура RFM) на розв'язання нелінійних задач пружно-пластичного згину пластин довільної форми в плані зі складними крайовими умовами, матеріал яких характеризується зміцненням за лінійним та нелінійним законами.

Найбільш цінним у запропонованому методі є можливість враховувати геометричну інформацію та будувати наближений розв'язок в аналітичному вигляді. Ці факти сприяли створенню програмного забезпечення високого рівня, яке дозволяє виконувати дослідження та розрахунок конструктивних елементів за допомогою ефективного обчислювального експерименту.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у вiддiлi прикладної математики та обчислювальних методiв Iнституту проблем машинобудування НАН України з 1989 р. по 1999 р. у вiдповiдностi з координаційним планом науково-дослідних робіт АН СРСР з проблеми 1.10.2. “Механіка деформівного твердого тіла” на 1986-1990 рр.; держбюджетною темою “Створення на основі теорії R-функцій перспективного програмного забезпечення та систем, орієнтованих на розв'язання задач математичної фізики, що моделюють взаємодіючі фізико-механічні поля” ( № ДР 01870016839 ); держбюджетною темою “Створення на основі теорії R-функцій інтелектуальних систем, орієнтованих на задачі розрахунку фізико-механічних полів в наукових дослідженнях, инженерній практиці і учбовому процесі” ( № ДР 01900033544 ); держбюджетною темою “Розвиток теорії R-функцій та створення на її основі мобільного програмного забазпечення сучасних ЕОМ (у тому числі персональних) для дослідження термопружних, пружнопластичних, деформаційних, електромагнітних і магнітогідродинамічних полів” ( № ДР 01900009451 ); темою ДКНТ “Інтелектуальний інструментарій компьютерної технології моделювання в математичній фізиці” ( № ДР 06.04.05/032-94 ); держбюджетною темою НАН України № 185 “Високоiнтелектуальнi системи програмування, орiїнтованi на використання алгебраїзованих структурних формул розв'язання крайових задач”.

Метою роботи є розробка на основі теорії R-функцій універсального методу розрахунку напружено-деформованого стану пластин довільної форми в плані за межею пружності, а також створення математичного та програмного забезпечення для вирішення задач пружно-пластичного згину пластин неканонічної форми при складних крайових умовах, що виконані із матеріалів, які характеризуються різноманітними діаграмами зв'язку напружень та деформацій.

Наукова новизна. У роботі отримано нові результати, які виносяться на захист: згин пластина пружність

розроблено ефективний метод для вирішення задач згину пластин довільної форми за межею пружності, який базується на застосуванні методу R-функцій сумісно з варіаційним методом Рітца;

запропонована та апробована нова схема лінеаризації розв'язувальних співвідношень, що моделюють пружно-пластичний згин пластин;

отримано аналітичні вирази параметрів жорсткості, що містяться в нелінійному диференціальному рівнянні рівноваги, для різноманітних виглядів чисельної апроксимації діаграми навантаження;

створено пакет прикладних проблемно-орієнтованих програм та розв'зано нові задачі розрахунку напружено-деформованого стану пластин складної форми в плані з матеріалів із лінійним та степеневим зміцненням при пружно-пластичному згині; перевірено вплив загальноприйнятого припущення про нестислюємість матеріалу пластин на точність пружно-пластичного розрахунку; досліджено вплив врізів і отворів у пластинах при різноманітних крайових умовах на напружено-деформований стан пластин та на характер розповсюдження зон пластичності.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується строгістю математичної постановки задачі, врахуванням на аналітичному рівні фізико-механічних та геометричних характеристик пластин. Здійснено використання і зроблено порівняння різноманітних схем лінеаризації. Розв'язання більшості задач виконано як без врахування, так і з врахуванням стислюємості материалу в пружних зонах деформування. Досліджена практична збіжність отриманих розв'язків в залежності від кількості координатних функцій і точності обчислення елементів матриці Рітца. Виконано порівняння отриманих результатів з наведеними в літературі розв'язками, одержаними за допомогою інших чисельних методів.

Теоретична та практична цінність. Теоретичне значення роботи полягає в розробці універсального методу для дослідження фізично-нелінійних задач теорії пластин. Практична цінність міститься в створенні математичного та програмного забезпечення, яке в межах програмуючої системи “Поле” дозволяє автоматизувати процес розрахунку напружено-деформованого стану пластин з різноманітними физико-механічними та геометричними характеристиками і проводити масовий чисельний експеримент при проектуванні конструкцій типу пластин. Результати дисертаційної роботи використовуються при читанні лекцій та проведенні лабораторних робіт з курсу “Рівняння математичної фізики” в Харківському державному політехнічному університеті. Створене програмне забезпечення експлуатується у відділі прикладної математики та обчислювальних методів ІПМаш ім. А.М. Підгорного НАН України.

Апробація роботи. Матеріали дисертаційної роботи доповідались на Республіканскій науково-технічній конференції “Ефективні чисельні методи розв'язання крайових задач механіки твердого деформівного тіла” (м. Харків, 1989); II Школі-семінарі “Методи математичного моделювання у наукових дослідженнях” (м. Донецьк, 1990); XI Всесоюзній конференції з теорії пластин і оболонок (м. Казань, 1990); Всесоюзній конференції “Сучасні проблеми алгоритмізації” (м. Ташкент, 1991); III Всесоюзній школі молодих вчених “Чисельні методи механіки суцільного середовища” (с. Абрау-Дюрсо, 1991); Всесоюзній науково-практичній конференції “Вчені та фахівці - у вирішуванні соціально-економічних проблем країни” (м. Ташкент, 1991); Міжнародній конференції, присвяченій пам'яті академіка М.П. Кравчука (м. Київ, м. Луцьк, 1992); Науковій нараді “Термов'язкопружнопластичні процеси деформування в елементах конструкцій” (м. Канів, 1992); Всеукраїнській науковій конференції “Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь” (м. Дрогобич, 1994), міжнародній конференції “Advances in Systems, Signals, Control and Computers” (м. Дурбан, Південна Африка, 1998).

Дисертаційна робота обговорювалась на семінарах “Прикладні методи математики та кібернетики” під керівництвом академіка НАН України В.Л. Рвачова (м. Харків, 1998-1999) та на семінарі кафедри прикладної математики Харківського державного політехнічного університету (м. Харків, 1999).

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 15 друкованих праць, серед яких 9 тез доповідей на міжнародних і всеукраїнських конференціях та 6 статей.

Особистий внесок дисертанта у роботах [3-6], [12-15], які виконані у співавторстві, полягає у розробці, обгрунтуванні та розвиненні нового методу розрахунку пластин за межею пружності, розробці відповідних алгоритмів та програмного забезпечення, проведенні чисельного експерименту та аналізі його результатів. У роботах [7-11] дисертантом вперше запропоновано та вдосконалено вказаний метод та відлагоджено нові чисельні алгоритми, розв'язано тестові та прикладні задачі механіки деформівного твердого тіла.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновку та списку літератури (100 найменувань). Загальний обсяг роботи 125 сторінок, у тому числі 10 таблиць та 22 рисунки.

Основний Змiст роботи

У вступі сформульовано мету дисертаційної роботи, обгрунтовано її актуальність, наукову новизну та практичне значення, коротко викладено зміст роботи.

У першій главі виконано аналіз стану проблеми за темою роботи та наведено загальний огляд досліджень вітчизняних та зарубіжних вчених, які присвячені розвитку методів роз'язання задач згину пластин за межею пружності. В межах теорії малих пружно-пластичних деформацій розглянуто математичну модель процесу згину тонкої пластини довільної форми в плані товщиною з ізотропного однорідного пружно-пластичного, нестисливого у зоні пластичних деформацій, матеріалу під дією поперечного навантаження .

Залежність між напруженнями та деформаціями прийнято у вигляді

, (1)

де - функція пластичності Іллюшина; і - інтенсивності напружень і деформацій; - модуль пружності першого роду.

Диференціальне рівняння рівноваги елемента пластини в межах теорії малих пружно-пластичних деформацій може бути записано так:

, (2)

де

(3)

- функція прогину пластини, яка на межі області задовільняє умовам, вигляд яких залежить від типу закріплення краю пластини; - параметр жорсткості, який пов'язаний з нелінійно залежними інтенсивностями напружень та деформацій інтегральною залежністю:

(4)

де - інтенсивність деформацій на поверхні пластини, - ціліндрична жорсткість матеріалу, а є квадратична форма кривини:

.

Пластичний коефіцієнт , що міститься в (4), є функцією напружено-деформованого стану пластини і визначається конкретним виглядом функціональної залежності між інтенсивностями напружень та деформацій. При цьому пластина розділяється на дві зони: зону суто пружних деформацій, для якої , і зону пружно-пластичних деформацій, для якої .

Аналітична апроксимація функціональних залежностей між інтенсивностями напружень і деформацій дозволяє знайти відповідні аналітичні співвідношення для пластичного коефіцієнта.

Так, для точок пластини із матеріалу з лінійним зміцненням, що знаходяться в зоні пластичних деформацій, для яких

, (5)

пластичний коефіцієнт визначається рівнянням:

, (6)

де - відношення модуля зміцнення матеріалу до модуля пружності , - інтенсивність деформацій виникнення текучості.

Можна показати, що коли матеріал пластини характеризується наявою пружних деформацій і подальшим зміцненням за степеневим законом:

, (7)

де та - постійні величини (), коефіцієнт для точок пластини, що увійшли до пластичної зони, з урахуванням рівняння , визначиться так:

. (8)

Розглядається у роботі і параболічний закон зміцнення матеріалу за границею пружності:

, (9)

де та - постійні величини, які обираються з умови співпадання дійсної діаграми деформування з кривою, яка її апроксимує. Коефіцієнт , який отримано для пружно-пластичних зон, де виконується умова (5), у цьому випадку має вигляд:

. (10)

У другій главі пропонується метод розв'язання задач згину пластин довільної форми за межею пружності, який базується на сумісному застосуванні методів R-функцій, вариаційного методу Рітца; методів додаткових навантажень, змінних параметрів жорсткості (пружності) та послідовних навантажень. Пропонуються схеми лінеаризації рівняння рівноваги для елемента пластини, які далі використовуються автором роботи. Надаються основні поняття теорії R-функций та структури розв'язку для деяких типів крайових умов. Детально розглянуто етапи застосовування пропонуємого методу. Наведені варіаційні постановки задачі згину пластини за межею пружності, які відповідають різним схемам лінеаризації рівняння рівноваги.

Розв'язок рівняння рівноваги (2) знаходиться в процесі послідовних наближень. Існують і широко використовуються два основних підходи до лінеаризації рівнянь пружно-пластичної рівноваги пластин: метод додаткових навантажень та метод змінних параметрів жорсткості (пружності).

Ітераційний процес за методом додаткових навантажень на -му кроці наближення має вигляд:

(11)

На першому кроці наближення величини і тут і далі по тексту використовуються як значення прогину та жорсткості, які отримані внаслідок розв'язання пружної задачі згину при навантаженні, яке відповідає виникненню пластичного стікання.

При реалізації методу змінних параметрів жорсткості (пружності) ітераційний процес розв'язання рівняння (2) будується за схемою:

. (12)

Крім двох основних підходів при лінеаризації рівняннь рівноваги можуть використовуватися і проміжні схеми, частина з яких наведена у роботах В.Г. Трошина. Але при числовій реалізації запропонованого методу більш-меньш прийнятну збіжність ітераційного процесу дала лише схема (11), та гарні результати були отримані через використання автором нової схеми, згідно з якою диференціальне рівняння рівноваги (2) записується на -му кроці наближення так:

. (13)

У процесі обчислювального експерименту було встановлено, що збіжність наведеного ітераційного процесу суттєво поліпшується, якщо задана сила згину разбивається на декілька інтервалів і навантаження виконується послідовно, крок за кроком. При цьому початкове наближення на кожному кроці будується за допомогою формули лінійної екстраполяції, яка враховує напружено-деформований стан пластини на двох попередніх кроках навантаження.

Згідно запропонованого методу, розв'язання лінеаризованих диференціальних рівняння рівноваги (11), (12), (13) виконується за допомогою RFM.

Задача розв'язання рівняння (11) на кожному кроці ітераційного процесу буде еквівалентна проблемі мінімізації функціоналу:

. (14)

У разі використання запропонованої автором схеми (13), функціонал для -го кроку навантаження на -му кроці наближення має вигляд:

(15)

Введення у співвідношення (15) коефіцієнта поперечної деформації дає змогу врахувати стислюємість матеріалу у пружній зоні деформування (у пластичній зоні потрібно приймати ).

Дискретизація функціоналів (14), (15) здійснювалась на множині координатних функцій, побудованих за допомогою RFM. Використання конструктивного аппарату RFM дає змогу легко враховувати на аналітичному рівні форму пластин та типи крайових умов, а також швидко перебудовувати обчислювальний експеримент при виникненні необхідності врахування зміни геометрії, вигляду закріплення пластини та діаграми деформування матеріалу.

Застосування RFM до розв'язання задач пружно-пластичного згину пластин може буди поділено на декілька послідовних етапів.

Геометрична інформація крайової задачі за допомогою RFM перетворюється в аналітичну, тобто будуються рівняння межі області та рівняння окремих її ланок .

Записуються крайові умови у вигляді аналітичних співвідношень, які пов'язують функцію прогину та її похідні по нормалі, дотичній та дузі.

Будується структура розв'язку краєвої задачі , яка відповідає усім або тільки головним крайовим умовам при довільному виборі невизначеної компоненти . При цьому, для продовження крайових умов всередину області можуть застосовуватися диференціальні оператори спеціального вигляду.

Обирається невизначена компонента з тим, щоб найкращим чином задовільнити диференціальне рівняння. Це може бути досягнуто представленням її у вигляді:

,

де - елементи деякого функціонального простору, які утворюють у ньому повну послідовність. У якості можуть бути обрані степеневі поліноми, поліноми Чебишева, Лежандра, тригонометрічні поліноми, сплайни. Тоді наближений розв'язок задачі приймає вигляд:

, (16)

де , - оператор обраної структури розв'язку.

5. Обчислення невизначених коефіцієнтів шляхом знаходження на кожному -му кроці ітераціного процесу точок стаціонарності деякого функціоналу, для якого рівняннями Ейлера є розрахункові рівняння (15), (17) при відповідних крайових умовах. Наведені функціонали (14), (15) можуть бути отримані за допомогою варіаційних принципів теорії пружності Лагранжа та Кастільяно. За допомогою методів Рітца, Бубнова-Гальоркіна, Канторовича та інших варіаційна задача може бути зведена до розв'язання системи алгебраїчних рівнянь.

Для знаходження невизначених коефіцієнтів за методом Рітца, при застосуванні схеми лінеаризації (13), підставимо (16) у функціонал (15). Умова стаціонарності зазначеного функціоналу

,

зводить задачу на кожному кроці ітераційного процесу до системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

,

Де ,

.

Для спрощення запису індекси, що визначають номери ітерацій та крок навантаження у формулах для та , опущені та прийнято для всіх точок пластини.

Таким чином, елементи системи Рітца визначаються як подвійні інтеграли по області від функцій, вигляд яких цілком визначається структурою розв'язку та формою повної системи функцій, яка обрана для апроксимації невизначеної компоненти структури. Питання побудови структурних формул, що задовільнюють крайові умови різних типів при практично довільній геометрії області розгдядаються в роботах В.Л.Рвачова та Л.В.Курпи.

Так, наприклад, якщо контур пластини частково жорстко закріплений і частково вільно опертий, послідовність таких координатних функцій може бути отримана за допомогою структурних формул:

які враховують тільки кінематичні умови закріплення, та структур розв'язку



які задовільняють не тільки кінематичним, але й статичним умовам закріплення.

Третя глава присвячена розгляду створеного алгоритмічного та програмного забезпечення для розв'язання задач пружно-пластичного згину пластин з різноманітними фізико-механічними та геометричними характеристиками. Наводяться результати обчислювальних експериментів, які підтверджують коректність математичної та комп'ютерної моделей поведінки пластин за межею пружності, чисельну вирогідність методу розрахунку, що пропонується. Зокрема, результати розрахунку квадратної жорстко закріпленої і вільно опертої пластин із нестислюємого матеріалу практично повністю співпадають з наведеними в работах А.І. Стрельбицької та В.В. Неверова. Розглянуто вплив врахування стислюємості матеріалу пластини на результати розрахунку. Досліджено напружено-деформований стан пластин різноманітної неканонічної форми у плані, з матеріалів із лінійним та нелінійним зміцненням, при різноманітних умовах їх опору.

Наприклад, досліджено напружено-деформований стан пластини, яка представлена на рис. 1. Вважається, що пластина вільно оперта по краю круглого отвору, жорстко закріплена по інших краях та знаходиться під дією рівномірного навантаження. Матеріал пластини характеризується стисливістю у пружній зоні , нестисливістю у пластичній зоні та лінійним зміцненням .

Для отримання послідовностей координатних функцій невизначена компонента структури розв'язку приймалася у вигляді разкладення в ряд по степеневим поліномам. Коефіцієнти разкладання визначались із умови стационарності функціоналу (15) з використанням методу Рітца.

Усі розрахунки виконувались у безрозмірному вигляді. При цьому безрозмірні координати, навантаження та прогин подавались відповідно у вигляді:

де - характерний розмір пластини, а - параметр, який знаходиться по такій формулі:

У межах кожного кроку навантаження контроль збіжності ітераційного процесу (15) на кожному -му кроці наближення здійснювався у розробленій програмі за допомогою нерівності

,

де - вектор коефіцієнтів матриці Рітца, - мале додатне число, яке визначає точність ітераційного процесу.

На рис. 2 наведені результати розрахунку прогину пластини, геометрична форма якої відповідає таким значенням безрозмірних координат точок: O ( 0; 0 ), A ( -0,5a; -0,5a ), B ( -0,5a; 0,3a ), C ( -0,2a; 0,5a ), D ( 0,2a; 0,5a ), E ( 0,2a; 0,2a ), F ( 0,5a; 0,2a ), G ( 0,5a; -0,5a ). При цьому радіус отвору R = 0,2a.

На рис. 3 наведена безроз-мірна товщина пружного ядра у точках пластини, яка знаходиться під впливом поперечного наванта-ження. Тут - для пружної зони, та - для пластичної зони деформування. З рисунка видно, що пластичність спочатку виникає на серединах жорстко закріплених сторін, а потім поясом охоплює вільно опертий отвір, розташований у центрі пластини.

Унікальні можливості RFM та створеного програмного забезпечення дозволяють дуже просто виконувати перехід від однієї геометрії пластини до іншої. Так, наприклад, для розв'язання вище поставленої проблеми у випадку зображеної на рис. 4 пластини досить у початковій інформації змінити значення безрозмірних координат точки О, як центра кола, а також точок В і С, а саме покласти: О ( -0,5; 0 ), B ( -0,5a; ), C ( 0; 0,5a ). А якщо координати цих точок вибрати так: О ( 0; -0,5a ), В ( -0,5a; -0,5a ), C ( 0; 0,5a ) (тобто точки А і В співпадатимуть), то ми одержимо пластину, яка представлена на рис. 5.

Результати розрахунків для цих пластин наведені у вигляді ліній рівня для прогину. Необхідно помітити, що завдяки проведеному обчислювальному експерименту в разі пластин складної форми (рис.1-5) з метою дослідження практичної збіжності результатів було встановлено, що досить апроксимувати невизначену компоненту степеневими поліномами восьмої степені, тобто обмежитися 45 координатними функціями. При обчисленні елементів матриці Рітца (подвійних інтегралів), було використано алгоритм адаптивного подріблення області інтегрування.

Автор висловлює щиру подяку за постiйну увагу до його дисертацiйної роботи та допомогу науковому керiвнику завідуючій кафедри прикладної математики ХДПУ доктору технічних наук професору Л.В. Курпі, а також завiдуючому вiддiлом прикладної математики та обчислювальних методiв IПМаш НАН України академiку НАН України В.Л. Рвачову.

ВИСНОВКИ

Сукупність наведених у роботі результатів уявляє собою нову методологію математичного та комп'ютерного моделювання поведінки пластин за межею пружності. Запропонований автором метод дозволяє розв'язувати дуже великий клас задач згину пластин у різноманітній постановці. Запропоновані алгоритми, що реалізують новий метод, дозволили створити пакет прикладних проблемно-орієнтованих програм, який може мати широке використання як у наукових дослідженнях, так і в інженерній практиці при проектуванні різноманітних систем, конструкційними елементами яких є пластини.

В дисертаційній роботі одержані такі основні наукові та практичні результати:

Розроблено новий метод розв'язання пружно-пластичних задач згину пластин, який базується на сумісному застосуванні методу R-функцій і варіаційних методів та дає змогу значно підвищити ефективність наукових досліджень в галузі розрахунку напружено-деформованого стану пластин довільної форми при складних крайових умовах.

Запропонована та апробована нова схема лінеаризації розв'язувальних співвідношень, що моделюють згин пластин за межею пружності, яка уявляє собою ефективну комбінацію методів додаткових навантажень, змінних параметрів жорсткості (пружності) і послідовних навантажень, та у межах пропонуємого методу є найбільш ефективною з точки зору збіжності процесу знаходження розв'язку.

Досягнута можливість урахування на аналітичному рівні пластичних властивостей матеріалу пластин на напружено-деформований стан останніх завдяки отриманим аналітичним виразам параметрів жорсткості для різноманітних виглядів чисельної апроксимації діаграми навантаження.

Розроблено та максимально вдосконалено алгоритм та програмне забезпечення, які дали змогу використовуючи програмуючу систему “Поле” автоматизувати процес розрахунку пружно-пластичних задач згину пластин та швидко перебудовувати чисельний експеримент при виникненні необхідності врахування зміни геометрії, матеріалу та способу закріплення контура пластини.

Методами математичного моделювання та обчислювального експерименту перевірено вплив на напружено-деформований стан при пружно-пластичному згині фізичних властивостей матеріалу, геометрії поверхні та способу закріплення контура пластин.

ПУБЛIКАЦIЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЙНОЇ РОБОТИ

Основнi результати дослiджень вiдображено у 15 друкованих працях здобувача за темою дисертацiї, перелiк яких наводиться:

Архипов А.В. Применение теории R-функций к расчету пологих оболочек сложной формы в плане // Программные средства машиностроения: Сб. науч. тр. / АН Украины. - Киев: Институт кибернетики им. В.М. Глушкова АН Украины, 1990. - С. 14 - 19.

Архипов А.В. Применение теории R-функций к расчету пластин неканонической формы при упруго-пластическом изгибе // Методология решения прикладных оптимизационных задач: Сб. науч. тр. / АН Украины. - Киев: Институт кибернетики им. В.М. Глушкова АН Украины, 1992. - С. 36 - 40.

Курпа Л.В., Архипов А.В. Структурный метод в задачах изгиба пластин за пределом упругости // Разработка и использование информационных технологий в системах управления: Сб. науч. тр. / АН Украины. - Киев: Институт кибернетики им. В.М. Глушкова АН Украины, 1993. - С. 101 -105.

Rvachev V.L., Kurpa L.V., Arkhipov A.V. The variational-struktural method for an elasto-plastic bending of an elasto-plastic bending of arbitrary-shape plates // Доповiдi НАН України. - 1995. - № 10. - С. 60 - 62.

Рвачов В., Курпа Л., Архипов О. Метод R-функцій у фізично нелінійних задачах згину пластин // “Машинознавство”: Всеукраїнський щомісячний науково-технічний і виробничий журнал. - Львів, 1998. - № 4/5.- С. 49 - 55.

Курпа Л.В., Архипов А.В. Метод R-функций в задачах упруго-пластического изгиба пластин произвольной формы // Прикладная механика. - 1999. - 35, № 1. - С. 80 - 84.

Рвачев В.Л., Архипов А.В., Склепус С.Н. Применение метода R-функций в расчетах пологих оболочек сложной формы // Эффективные численные методы решения краевых задач механики твердого деформируемого тела: Тез. докл. Республиканской научно-технической конференции, Харьков, 27 - 29 сентября 1989 г. - Харьков, 1989. - С. 91 - 92.

Курпа Л.В., Архипов А.В., Хоменко М.М. Математическое моделирование элементов тонкостенных конструкций в условиях эксплуатации системы “Поле” // Методы математического моделирования в научных исследованиях: Тез. докл. II Школы-семинара, Донецк, 9 - 11 сентября 1990 г. - Донецк: Институт прикладной математики и механики АН Украины, 1990. - С. 55.

Болотина А.Ю., Хоменко М.М., Архипов А.В. Применение метода R-функций к решению задач изгиба ортотропных оболочек и пластин в геометрически нелинейной постановке // Численные методы механики сплошной среды: Тез. докл. III Всесоюзной Школы молодых ученых, Абрау-Дюрсо, 27 мая - 1 июня 1991 г. - Красноярск, 1991. - С. 113 - 114.

Курпа Л.В., Насреддинов Х.Ф., Архипов А.В., Склепус С.Н. Расчет элементов тонкостенных конструкций на базе теории R-функций // Тез. докл. Всесоюзной научно-практической конференции “Ученые и специалисты - в решении социально-экономических проблем страны”. - Ташкент: Научно-исследовательский институт АСАТ, 1991. - С. 151 - 152.

Рвачев В.Л., Курпа Л.В., Болотина А.Ю., Архипов А.В. К вопросу автоматизации расчета оболочки сложной формы при нелинейном деформировании // Современные проблемы алгоритмизации: Тез. докл. - Ташкент, 1991. - С. 23 - 24.

Курпа Л.В., Архипов А.В. Применение метода R-функций для решения нелинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка // Тези Міжнародної конференції, присвяченої пам'яті академіка М.П. Кравчука, Київ - Луцьк, 22 - 28 вересня 1992 р. - Київ: Інститут математики АН України, 1992. - С.105.

Рвачев В.Л., Курпа Л.В., Архипов А.В. Упруго-пластический расчет пластин произвольной формы с помощью вариационно-структурного метода // Научное совещание “Термовязкоупругопластические процессы деформирования в элементах конструкций”: Тез. докл., Канев, 27 - 29 мая 1992 г. - Киев: Институт механики АН Украины, 1992. - С. 72.

Рвачов В.Л., Курпа Л.В., Архипов О.В. Варіаційно-структурний метод в розв'язанні нелінійних диференціальних рівнянь пружно-пластичного згину пластин довільної форми // Всеукраїнська наукова конференція “Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь”: Тези доповідей, Дрогобич, 25 - 27 січня 1994 р. - Дрогбич: Дрогобицький педагогічний інститут ім. І. Франка, 1994. - С. 138.

Kurpa L.V., Arhipov A.V. R-functions in physically non linear problems of a bending of plates // Proceedings of the International Congress “Advances in Systems, Signals, Control and Computers”. - Durban (South Africa): IAAMSAD and SA branch of the Academy of Nonlinear Sciences. - 1998. - Vol.2, ISBN 0-620-23135-1. - P. 7-10.

АНОТАЦІЯ

Архіпов О.В. Розв'язання задачі пружно-пластичного згину пластин довільної форми у плані на базі теорії R-функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04. - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 1999.

Розроблено новий метод Розроблено метод розв'язання диференціальних рівнянь четвертого порядку, що моделюють пружно-пластичний згин пластин довільної форми у плані зі складними крайовими умовами, що виготовлені із матеріалів зі зміцненням за лінійним та нелінійним законами. Лінеаризація фізичних співвідношень виконується за розробленою автором схемою. Розв'язання лінійного диференціального рівняння на кожному кроці ітераційного процесу здійснюється з використанням варіаційних методів. Дискретизація отриманих функціоналів виконується на множині координатних функцій, які побудовані за допомогою методу R-функцій (RFM). На аналітичному рівні враховано вигляд закону зміцнення матеріалу пластин. Створено та апробовано на тестових та прикладних задачах математичне забезпечення, яке дає змогу автоматизувати процес розрахунку пластин неканонічної форми з нелінійною пружністю.

Ключові слова: вариаційні методи, деформаційна теорія пружності, згин пластин, нелинінійна пружність, теорія R-функцій.

АННОТАЦИЯ

Архипов А.В. Решение задачи упруго-пластического изгиба пластин произвольной формы в плане на базе теории R-функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт проблем машиностроения им. А.М. Подгорного НАН Украины, Харьков, 1999.

Предложен и разработан новый метод решения дифференциальных уравнений четвертого порядка, моделирующих упруго-пластический изгиб пластин произвольной формы в плане со сложными граничными условиями. Предполагается, что зависимость между напряжениями и деформациями материала пластины нелинейная, а перемещения и деформации малы и выражаются так же, как и в линейной классической теории. При этом материал принимается сжимаемым в упругой области деформирования и несжимаемым в пластической.

Линеаризация физических соотношений выполнена по разработанной автором схеме, являющейся эффективной комбинацией методов дополнительных нагрузок и переменных параметров жесткости. Решение линейного дифференциального уравнения на каждом шаге итерационного процесса осуществляется с использование вариационных методов. Дискретизация полученных функционалов выполняется на множестве координатных функций, построенных с помощью метода R-функций. Благодаря использованию R-функций в качестве конструктивного математического аппарата, разработанный метод и позволяет рассчитывать пластины практически произвольной формы в плане с различными способами закрепления по контуру (и их комбинациями).

Предложенные аналитические аппроксимации нелинейных диаграмм деформирования материалов позволили, в рамках разработанного алгоритма, учесть на аналитическом уровне влияние вида закона упрочнения материала пластин на напряженно-деформированное состояние последних.

Создано и апробировано на тестовых и прикладных задачах математическое обеспечение, позволяющее автоматизировать процесс расчета пластин неканонической формы из нелинейно упругого материала. Исследовано влияние подкрепленных и неподкрепленных врезов и отверстий на жесткость пластин. Выполнен анализ на точность расчета допущения о несжимаемости материала в упругой стадии деформирования.

Ключевые слова: вариационные методы, деформационная теория пластичности, изгиб пластин, нелинейная упругость, теория R-функций.

SUMMARY

Arkhipov A.V. Solution of the problem of elastic-plastic bending of arbitrary shaped plane plates by using the R-function method (RFM). - Manuscript.

A thesis for candidate degree (technology) in specialty 01.02.04 - Mechanics of a deformable solid. - Institute for Problems in Machinery by A.N. Podgorny of the NAS of Ukraine, Kharkov, 1999.

A new method has been developed for solving four-order differential equations modeling the elastic-plastic bending of the arbitrary plane shape with complicated boundary conditions; the plates are made with strengthening according to linear and non-linear laws. The linearization of the physical relationships is carried out by a scheme suggested by the author. The solution of the linear differential equation at each step of the iteration process is done by using variational techniques. The discretization of the needed functional is done on the set of coordinate functions is constructed by RFM. On the analytic level the concrete form of strengthening the plate material is accounted for. The needed software is developed and tested which enables one to make automatic the process of computing plates of unconventional shape made of nonlinear elastic materials.

Keywords: deformation theory of plasticity, nonlinear elasticity, plate bending, RFM, variational methods.

Размещено на Allbest.ru