Дослідження механічних моделей процесів початкового розвитку крихкого і пластичного руйнування

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМЕНІ С.П.ТИМОШЕНКА

01.02.04 - Механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дослідження механічних моделей процесів початкового розвитку крихкого і пластичного руйнування

Дякон Валерій Миколайович

Київ 1998

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Уманському державному педагогічному інституті ім. П.Г. Тичини та Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України.

Наукові керівники:

Доктор фізико-математичних наук, професор Камінський Анатолій Олексійович, Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, завідувач відділу.

Доктор фізико-математичних наук, професор Кіпніс Леонід Абрамович, Уманський державний педагогічний інститут ім. П.Г. Тичини, професор кафедри.

Офіційні опоненти:

Доктор фізико-математичних наук, професор Подільчук Юрій Миколайович, Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, завідувач відділу.

Кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Богданов В'ячеслав Леонідович, Президія НАН України, вчений секретар сектору.

Провідна установа: Одеський державний університет ім. І.І.Мечникова, кафедра методів математичної фізики. Міносвіти, м.Одеса.

Захист відбудеться “29” грудня 1998 р. 0 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 252057, м.Київ-57, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України.

Автореферат розісланий “_26_”листопада 1998 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01

доктор технічних наук Чернишенко І.С

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Створення сучасної високоефективної техніки, що є важливою ланкою науково-технічного прогресу, постійно ставить перед наукою про міцність матеріалів нові задачі, пов'язані з необхідністю підвищення надійності і довговічності машин і конструкцій. Неминуча наявність в будь-якому матеріалі тріщин, тріщиновидних дефектів, інших недосконалостей структури, які з'являються ще на стадії його виготовлення, в ході наступної обробки, під дією навантажень і можуть стати причиною непередбаченого катастрофічного руйнування конструкції, пояснює неперервно зростаючий інтерес дослідників до механіки руйнування - галузі науки про міцність матеріалів, яка стала в даний час одним з найбільш актуальних напрямків сучасної механіки.

Основи механіки руйнування були закладені Гріфітсом, Ірвіном, Орованом. Великий вклад в розвиток цього розділу механіки деформівного твердого тіла внесли В.М.Александров, Г.І.Баренблатт, Н.М.Бородачов, П.М.Витвицький, О.М.Гузь, А.О.Камінський, Г.С.Кіт, М.Я.Леонов, Е.М.Морозов, В.М.Назаренко, В.В.Панасюк, Ю.М.Подільчук, Г.Я.Попов, Ю.М.Работнов, М.П.Саврук, Л.І.Слєпян, Л.П.Хорошун, Г.П.Черепанов, І.С.Чернишенко, D.S.Dugdalе, H.Liebowitz, J.R.Rice, G.C.Sih, T.Yokоbori, та інші.

Процеси зародження і початкового розвитку тріщин відносяться до числа тих етапів руйнування матеріалів, які з позицій механіки деформівного твердого тіла в плані розв'язання крайових задач, що моделюють процеси, до теперішнього часу недостатньо вивчені. Відомо ряд можливих механізмів зародження тріщин, які потім приводять до руйнування, що вивчаються фізикою твердого тіла - механізми Стро, Коттрелла, Владимирова, Халла. Серед механізмів зародження тріщин в металах одним із основних є механізм Коттрелла, згідно якому тріщина утворюється при перетині площин ковзання. Відповідно з механізмом Коттрелла зародження тріщини відбувається в результаті утворення скупчення дислокацій, яке викликає високу концентрацію напружень в точці перетину ліній ковзання. Внаслідок концентрації напружень в точці перетину ліній ковзання можливі розрив суцільності біля неї і утворення вихідної з неї тріщини, довжина якої значно менша довжин ліній ковзання і всіх інших розмірів тіла (модель Коттрелла). Не дивлячись на те, що модель Коттрелла зародження тріщин широко відома, крайові задачі механіки деформівного твердого тіла, що моделюють процеси початкового розвитку руйнування, які відповідають моделі Коттрелла, не досліджувались. Тому постановка і побудова розв'язків крайових задач про тріщини, які утворилися при перетині ліній ковзання, являє собою актуальну проблему механіки деформівного твердого тіла.

В даній роботі для однорідного ізотропного тіла проведено дослідження у вказаному напрямі в умовах плоскої деформації в рамках статичної задачі про лінії ковзання, що перетинаються, симетричної відносно бісектриси кута між ними. При цьому розглянуті два варіанти руйнування: випадок, коли матеріал біля точки перетину ліній ковзання поза даними лініями є крихким і руйнування відбувається шляхом зародження і розвитку тріщини, а також випадок, коли матеріал біля точки перетину ліній ковзання є більш пластичним і руйнування відбувається шляхом розвитку пластичної зони, яка моделюється на початковому його етапі двома вузькими прямолінійними пластичними смугами, що виходять з вказаної точки і являють собою пластичні лінії розриву переміщення - вторинні лінії ковзання.

Підставою для згаданого моделювання є таке. В початковій стадії свого розвитку пластичні деформації, як відомо, локалізовані в тонких шарах матеріалу - смугах пластичності. Класичними в цьому плані є експериментальні дослідження М.Я. Леонова, П.М. Витвицького, С.Я. Яреми, які виявили на самому початковому етапі процесу пластичного деформування дві пластичні смужки, які нахилені до лінії на її продовженні. В подальшому в літературі з механіки руйнування була опублікована велика кількість теоретичних робіт, присвячених задачам про розрахунок пластичних зон біля різноманітних концентраторів напружень в рамках моделей з пластичними смугами, які являють собою лінії розриву переміщення.

Такі задачі вивчали В.М.Александров, Л.Т. Бережницький, В.К. Востров, А.М. Данилович, А.О. Камінський, Л.А.Кіпніс, М. М. Кундрат, В. М. Мірсалімов, В. В. Панасюк, М. П. Саврук, Г. П. Черепанов, K. K. Lo, J.R. Rice, H. Riedel, V.Vitek та інші.

Вказана гіпотеза локалізації початкових пластичних деформацій в тонких шарах матеріалу, яка широко практикується в даний час, використовується і в цій роботі.

Метою роботи є дослідження фізичних моделей процесів початкового розвитку крихкого і пластичного руйнування, які відповідають моделі Коттрелла зародження тріщин, методами механіки руйнування та теорії пружності на основі строгих математичних підходів. Для досягнення поставленої мети необхідно здійснити:

постановку в умовах плоскої деформації статичних симетричних задач механіки деформівного твердого тіла, що моделюють процеси початкового розвитку крихкого і пластичного руйнування, які відповідають моделі Коттрелла зародження тріщин;

2) розробку строгого математичного підходу до дослідження поставлених задач, який базується на точному розв'язанні відповідних крайових задач теорії пружності; крихке пластичне руйнування

3) дослідження з застосуванням розробленого підходу напруженого стану біля точки перетину ліній ковзання та біля кінця тріщини Коттрелла;

4) розрахунок пластичної зони біля точки перетину ліній ковзання в рамках моделі з двома пластичними смугами.

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше в механіці деформівного твердого тіла в умовах плоскої деформації досліджені статичні симетричні задачі, які моделюють процеси початкового розвитку крихкого і пластичного руйнування, які відповідають моделі Коттрелла зародження тріщин. Поставлені задачі зведені до крайових задач теорії пружності для клиновидних тіл, що відрізняються від задач цього класу, які розглядалися раніше, формулюванням умови на нескінченності, що дозволяє врахувати вплив зовнішнього поля на напружено-деформований стан тіла. Побудовані точні розв'язки нових задач теорії пружності для площини, з точки якої виходять дві лінії ковзання скінченної довжини; для площини, з точки якої виходять дві напівнескінченні лінії ковзання; для площини, з точки якої виходять дві напівнескінченні лінії ковзання та тріщина скінченної довжини; для площини, з чотирма лініями ковзання, що виходять з її точки, дві з яких напівнескінченні, а дві - скінченної довжини. На основі даних розв'язків вперше проведено дослідження напруженого стану біля точки перетину ліній ковзання та біля тріщини малої довжини, що утворилася при перетині ліній ковзання, здійснено розрахунок пластичної зони біля точки перетину ліній ковзання в рамках моделі з двома пластичними смугами.

Достовірність і обгрунтованість результатів забезпечується тим, що механічні моделі, які досліджувалися, адекватні реальним фізичним процесам; як вихідні при проведенні дослідження використовуються лише класичні положення, а також загальноприйняті гіпотези механіки деформівного твердого тіла; крайові задачі поставлені коректно і розв'язані точно строгими математичними методами; отримані результати і сформульовані висновки узгоджуються з результатами досліджень з фізики руйнування твердих тіл.

Практичне значення одержаних результатів. Результати проведеного дослідження подані у вигляді зручних для практичного користування аналітичних виразів, числових таблиць і графіків, які відповідають різним значенням розхилу кута, що утворюється лініями ковзання, які перетинаються. Зокрема, отримані значення коефіцієнтів інтенсивності напружень, степеней сингулярності напружень, кутів, які визначають напрям початкового розвитку вторинних ліній ковзання. Ці дані можуть являти інтерес для матеріалознавства і використовуватися при розрахунках та прогнозуванні умов зародження дефектів в металічних монокристалах, які застосовуються в сучасних авіа-космічних технологіях для виготовлення найбільш напружених елементів конструкцій.

Робота виконана у відповідності з планом наукокових досліджень Інституту механіки НАН України по темі НДР №1.3.1.293 “Дослідження квазістатичних процесів руйнування і концентрації напружень в анізотропних і неоднорідних матеріалах” (№д.р. 0197v008131).

Одержані у дисертаційній роботі наукові результати можуть бути використані в Інституті механіки НАН України Інституті проблем міцності НАН України, Фізико-механічному інституті НАН України, Національному державному университеті ім. Т.Г.Шевченка. Є доцільним продовжити подальші дослідження у Інституті механіки та інших наукових та науково-дослідних інститутах за напрямком досліджень.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались і обговорювались на наукових семінарах відділу механіки руйнування матеріалів Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (1996-1998 р.р.), на науковому семінарі секції “Механіка руйнування та втоми матеріалів” Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (1998 р.), на II Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків (м.Львів, 1995 р.), Міжнародній науковій конференції “Математическое моделирование в естественных науках” (м. Алмати, 1997 р.), II Міжнародній конференції “Конструкційні та функціональні матеріали” (м.Львів, 1997 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 8 роботах.

Особистий внесок здобувача. В роботах [1, 2, 4, 6, 7, 8] здобувачу належить формулювання граничних умов крайових задач, що моделюють процеси початкового розвитку руйнування, які відповідають моделі Коттрелла зародження тріщин; виведення рівняння Вінера-Хопфа даних задач та побудова розв'язків цих рівнянь; дослідження напруженого стану біля точки перетину ліній ковзання та біля кінця тріщини Коттрелла; розрахунок пластичної зони біля точки перетину ліній ковзання; визначення коефіцієнтів інтенсивності напружень в кінці тріщини Коттрелла і в кінцях ліній ковзання; визначення головних членів розкладу напружень в асимптотичні ряди біля точки перетину ліній ковзання. Співавторам в цих роботах належить постановка загальної проблеми дослідження; пропозиція формулювати умову на нескінченності з урахуванням зовнішнього поля; дослідження поведінки напружень біля точки, з якої виходять лінії ковзання і тріщина, а також біля точки, з якої виходять чотири лінії ковзання.

Структура і об'єм роботи. Робота складається із вступу, чотирьох розділів, заключення і списку використаних джерел (142 найменування). Об'єм роботи - 120 сторінок. Вона містить 14 рисунків і 6 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Оскільки поставлені в роботі задачі з використанням запропонованого в ній підходу зводяться до задач теорії пружності для площини, з точки якої виходять напівнескінченні лінії ковзання і прямолінійні тріщини скінченної довжини, тобто до крайових задач для клиновидних тіл, у вступі наведений короткий огляд результатів досліджень плоских статичних задач теорії пружності для клиновидних тіл, отриманих до даного часу. З огляду видно, що вказаного типу задачі про лінії ковзання, що перетинаються, раніше не розглядалися. Отже, подібні задачі складають новий клас плоских статичних задач теорії пружності для клиновидних тіл. Крім того, у вступі обгрунтовується актуальність проблеми, дослідженню якої присвячена робота, та формулюється її мета; вказується, в чому полягає наукова новизна роботи та її практичне значення, чим забезпечуються достовірність і обгрунтованість отриманих в ній результатів; коротко викладається зміст роботи.

В першому розділі коротко приводяться необхідні для подальшого дані про плоскі статичні сингулярні задачі теорії пружності (зокрема, деякі загальні положення про поведінку напружень біля кутових точок пружних тіл). Докладніше викладення даних питань міститься в книгах В.З. Партона, П.І.Перліна “Методы математической теории упругости” і Г.П. Черепанова “Механика хрупкого разрушения”

В другому розділі проводиться дослідження напруженого стану біля точки перетину ліній ковзання. З цією метою серед нескінченної множини можливих ситуацій розглядається крайова задача теорії пружності для площини, яка містить лінії ковзання, що перетинаються (рис. 1). На лінії ковзання допускається розрив лише дотичного переміщення, а дотичне напруження дорівнює границі s текучості на зсув. При x,y, y, xy0, x0.

Для побудови точного розв'язку задачі застосовується метод Вінера-Хопфа в поєднанні з апаратом інтегрального перетворення Мелліна. За допомогою інтегрального перетворення Мелліна задача зводиться до функціонального рівняння Вінера-Хопфа в смузі комплексної площини, яка містить уявну вісь. На шляху розв'язання рівняння виникає задача факторизації на уявній осі його коефіцієнта.Вона розв'язується шляхом розщеплення останнього на функцію, яка елементарно факторизується і подається через гамма-функції, і функцію, яка

Таблиця.1

факторизується по формулі Гахова. За допомогою цих факторизацій, принципу аналітичного продовження, теореми Ліувілля, асимптотичних оцінок для мелліновських трансформант, деяких інших положень теорії функцій комплексної змінної будується точний розв'язок рівняння, який виражається через інтеграли типу Коші та гамма-функції. На основі даного розв'язку виводяться формули, що визначають напруження у вигляді інтегралів від функцій комплексної змінної, і знаходиться коефіцієнт інтенсивності напружень в кінці лінії ковзання. При r0 суми головних членів розкладу напружень в асимптотичні ряди виражаються формулами (0)

(1)

(1)=Сrf1(, r(1)=Сrf2(, r(1)=Сrf3( (2)

(3)

де - єдиний на інтервалі ]-1;0[ корінь рівняння

(4)

f1, f2, f3, Q -функції, що приводяться в роботі. Залежність від кута якісно зображена на рис.2. В табл. 1 приведені значення . Суми решти членів розкладу напружень в асимптотичні ряди прямують до нуля.

Аналіз отриманих результатів дозволяє зробити такі висновки. Точка О перетину ліній ковзання є особливою точкою крайової задачі теорії пружності, що досліджується. Вона являє собою концентратор напружень. При наближенні точки площини до точки О напруження прямують до нескінченності. Особливість напружень в точці О степенева. Степінь сингулярності напружень залежить від кута між лініями ковзання і становить єдиний на інтервалі ]-1;0[ корінь трансцендентного рівняння (4). Чим більше тупий кут , тим сильніший концентратор напружень О. При цьому, якщо тупий кут менше кута *, приблизно рівного 126, то концентратор О слабший, ніж кінець тріщини. Якщо >*, то концентратор О сильніший, ніж кінець тріщини. Де * - єдиний на інтервалі ][ корінь рівняння -1/2.

Задача, що досліджена, є одним із можливих випадків загальної плоскої статичної задачі для ізотропного пружного тіла довільної форми, яке містить лінії ковзання, що перетинаються, з довільними граничними умовами, симетричної відносно бісектриси кута між лініями ковзання, які розглядаються - випадком, коли вдається побудувати точний розв'язок. Але й у вказаному загальному випадку одержані результати і зроблені висновки зберігають силу з тією лише різницею, що сталі С і С0 усякий раз будуть мати інші значення, які відповідають кожній конкретній задачі. Цей висновок зроблено з використанням наведених в першому розділі загальних положень про поведінку напружень біля кутових точок пружних тіл на основі побудованого в роботі у відповідності з даними положеннями розв'язку задачі, яка аналогічна тій, що досліджена, з напівнескінченними лініями ковзання. Таким чином, у вказаній вище загальній задачі про лінії ковзання, що перетинаються в точці О, симетричній відносно бісектриси кута між ними, при r0 суми головних членів розкладу напружень в асимптотичні ряди виражаються формулами (1), (2). Суми решти членів розкладу напружень в асимптотичні ряди прямують до нуля. Невідомі сталі С і С0 визначаються з розв'язку кожної конкретної задачі.

В третьому розділі розглядається задача, яка безпосередньо відповідає моделі Коттрелла. Внаслідок концентрації напружень в точці О перетину ліній ковзання можливі розрив суцільності біля неї і утворення вихідних з неї тріщин, довжини яких значно менші довжини ліній ковзання та всіх інших розмірів тіла. Можливо припустити існування декількох тріщин, що виходять з точки О, які утворилися одночасно. Але в роботі показано єдиність утвореної тріщини, що узгоджується з моделлю Коттрелла. Крім того, встановлюється напрям розвитку даної тріщини. Це здійснюється з використанням відомого в механіці руйнування критерію максимальних розтягуючих напружень шляхом аналізу (1) в (2).

Нехай при перетині ліній ковзання утворилася тріщина Коттрелла. Ставиться задача дослідження напруженого стану біля кінця тріщини.

Оскільки довжина тріщини значно менша довжини ліній ковзання та всіх інших розмірів тіла, а напружений стан досліджується лише біля тріщини, в якості розв'язку відповідної крайової задачі про тріщину довжиною l нормального розриву, яка виходить з точки перетину ліній ковзання довжиною L, (задача А) використовується розв'язок плоскої статичної симетричної задачі теорії пружності для площини, з точки якої виходять дві напівнескінченні лінії ковзання і тріщина довжиною l (рис.3).

Так як тіло в задачі, що розглядається, нескінченне, виникає питання про формулювання умови на нескінченності. Ця умова формулюється з урахуванням впливу зовнішнього поля на напружено-деформований стан нескінченного тіла. Задачу А будемо розглядати як задачу в цілому. Прикладом такої задачі може служити задача, яка зображена на рис. 4. Враховуючи малість тріщини, при r, співрозмірних з L, і l<<r<<L в якості розв'язку задачі в цілому будемо використовувати розв'язок аналогічної задачі без тріщини. Вона являє собою зовнішню задачу по відношенню до задачі в цілому. Ця задача була розглянута в другому розділі. При r, співрозмірних з l, і l<<r<<L в якості розв'язку задачі в цілому будемо використовувати розв'язок задачі, що досліджується в даному розділі, яка зображена на рис.3. Вона являє собою внутрішню задачу по відношенню до задачі в цілому. Щоб задовольнити умову зшивання розв'язків внутрішньої і зовнішньої задач при l<<r<<L, умову на нескінченності у внутрішній задачі сформулюємо так: при r головні члени розкладу напружень в асимптотичні ряди співпадають з головними членами розкладу напружень в асимптотичні ряди в зовнішній задачі при r0. Таким чином, в задачі, що досліджується в даному розділі, зображеній на рис.3, формулюється така умова на нескінченності: при r головні члени розкладу напружень в асимптотичні ряди виражаються формулами (2). Сталі С0 і С визначаються з розв'язку кожної конкретної зовнішньої задачі. Задача, що досліджується в даному розділі, може виступати в якості внутрішньої для нескінченної множини задач в цілому. Лише значення сталих С0 і С при цьому всякий раз будуть іншими. Тому при формулюванні умови на нескінченності не будемо розглядати яку-небудь конкретну задачу в цілому, припускаючи лише її існування, а сталі С0 і С будемо вважати заданими по умові задачі. Ці сталі характеризують інтенсивність зовнішнього поля. Стала С0 має розмірність напруження, а стала С має розмірність сили, що ділиться на довжину в степені , тобто її розмірність залежить від кута між лініями ковзання.

Методом Вінера-Хопфа в поєднанні з апаратом інтегрального перетворення Мелліна будується точний розв'язок задачі. На його основі виводиться наступна формула для коефіцієнта інтенсивності напружень в кінці тріщини Коттрелла:

(5)

(q1, q2 -функції, наведені в роботі). Значення q1, q2 подані в табл.2.

Таблиця 2

Якщо задачею в цілому є задача, зображена на рис.4, то сталі С і С0 в (5) визначаються формулами (3).

Аналіз отриманих в даному розділі результатів дозволив зробити такі висновки. При перетині ліній ковзання в умовах симетричної відносно бісектриси кута між ними задачі може утворитися тріщина, яка виходить з точки їх перетину. Ця тріщина - тріщина Коттрелла єдина, інших тріщин, які виходять з точки перетину ліній ковзання, що утворилися з вказаною тріщиною одночасно, не існує. Тріщина Коттрелла розміщена усередині більшого кута між лініями ковзання. Якщо у відповідній зовнішній задачі стала С, яка входить в головні члени розкладу напружень в асимптотичні ряди при r0, додатня, то тріщина, що виходить з точки

перетину ліній ковзання, утворитися не може. Утворення тріщини можливе при С<0. Якщо кут менше або дорівнює куту , приблизно рівному 126, то чим меншою виявиться довжина утвореної тріщини Коттрелла, тим меншим буде коефіцієнт інтенсивності напружень в її кінці. Якщо кут >, то чим меншою виявиться довжина утвореної тріщини Коттрелла, тим більшим буде коефіцієнт інтенсивності напружень в її кінці. Де являє собою єдиний корінь рівняння ()=-1/2 на інтервалі . Таким чином, якщо кут більше 126, то біля кінця утвореної тріщини Коттрелла на її продовженні нормальні розтягуючі напруження будуть тим більші, чим меншою виявиться ця тріщина. При рівновага тріщини Коттрелла нестійка, а при - стійка.

В четвертому розділі проводиться розрахунок початкової пластичної зони біля точки перетину ліній ковзання довжиною L. Ця пластична зона моделюється двома вузькими прямолінійними пластичними смугами, які виходять з даної точки і являють собою вторинні лінії ковзання. Довжина вторинних ліній ковзання значно менша L та усіх інших розмірів тіла.

Ставиться задача визначення довжини вторинних ліній ковзання і напряму їх розвитку.

Через те, що довжина вторинних ліній ковзання значно менша L і всіх інших розмірів тіла, а напружений стан досліджується лише біля вторинних ліній ковзання, в якості розв'язку відповідної крайової задачі використовується розв'язок задачі теорії пружності для площини з чотирма лініями ковзання, що виходять з її точки, дві з яких напівнескінченні (рис. 6). Умова на нескінченності формулюється так само, як і в попередньому розділі.

Побудовано точний розв'язок задачі і на його основі виведена формула, яка служить для визначення довжини вторинних ліній ковзання. Напрям їх розвитку встановлюється з використанням відомого критерію максимальних дотичних напружень.

Показано, що вторинні лінії ковзання, які розвиваються з концентратора напружень О, розміщені усередині більшого кута між первинними лініями ковзання. З ростом цього кута від значень, близьких до 180, до значень, близьких до 360, кут між первинною і вторинною лініями ковзання збільшується від значень, близьких до 45, до значень, близьких до 90. При цьому виявляєтья, що коли тупий кут менше кута, приблизно рівного 117, то вторинні лінії ковзання розвиваються майже по бісектрисі кута . В табл. 3 приведені значення кута .

Таблиця 3.

Таким чином, в роботі запропонований підхід до дослідження механічних моделей процесів початкового розвитку крихкого і пластичного руйнування, які відповідають моделі Коттрелла зародження тріщин, і в рамках даного підходу це дослідження проведено. В перспективі з використанням запропонованого підходу може бути досліджений широкий клас задач про тріщини, які виходять з точки перетину ліній ковзання.

У заключенні приведені основні результати роботи та висновки.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

В даній роботі вперше в механіці деформівного твердого тіла на основі строгих математичних підходів проведено дослідження, що відноситься до одного з основних механізмів зародження тріщин - механізму Коттрелла, згідно якому тріщина утворюється при перетині площин ковзання.

Основні результати роботи такі.

Дана постановка плоских (плоска деформація) статичних симетричних задач механіки деформівного твердого тіла, що моделюють процеси початкового розвитку крихкого і пластичного руйнування, які відповідають моделі Коттрелла зародження тріщин.

Запропоновано підхід до дослідження поставлених задач, суть якого полягає у зведенні задачі, що розглядається, до крайової задачі теорії пружності для клиновидного тіла з некласичною умовою на нескінченності, яка дозволяє врахувати вплив зовнішнього поля на його напружено-деформований стан; побудові методом Вінера-Хопфа в поєднанні з апаратом інтегрального перетворення Мелліна точного розв'язку цієї крайової задачі і формулюванні на основі результатів аналізу отриманого розв'язку висновків, що відносяться до питання, яке досліджується.

Слідуючи запропонованому підходу, розглянуті такі симетричні задачі теорії пружності: задача для площини, з точки якої виходять дві лінії ковзання скінченної довжини; задача для площини, з точки якої виходять дві напівнескінченні лінії ковзання; задача для площини, з точки якої виходять дві напівнескінченні лінії ковзання і тріщина скінченної довжини; задача для площини, з чотирма лініями ковзання, що виходять з її точки, дві з яких напівнескінченні, а дві - скінченної довжини.

Виведені функціональні рівняння Вінера-Хопфа задач, які розглядаються, і побудовані точні розв'язки цих рівнянь, що виражаються через інтеграли типу Коші і гамма-функції.

На основі побудованих розв'язків рівнянь Вінера-Хопфа отримано зручні для практичного використання формули для коефіцієнтів інтенсивності напружень в кінцях ліній ковзання і для коефіцієнта інтенсивності напружень в кінці тріщини Коттрелла.

В задачі про дві лінії ковзання скінченної довжини, які перетинаються, виведені формули, що визначають напруження у вигляді інтегралів від функцій комплексної змінної, і знайдені вирази для головних членів розкладу напружень в асимптотичні ряди біля точки перетину ліній ковзання.

На основі отриманого розв'язку задачі про чотири лінії ковзання, які виходять з точки площини, проведений розрахунок початкової пластичної зони біля точки перетину ліній ковзання в рамках моделі з двома пластичними смугами: виведена формула, яка служить для визначення довжини вторинних ліній ковзання, і встановлено напрям їх початкового розвитку.

Досліджено поведінку напружень біля точки крайової задачі, з якої виходять лінії ковзання і тріщина Коттрелла, а також біля точки, з якої виходять чотири лінії ковзання.

Аналіз одержаних в роботі результатів дозволив зробити такі основні висновки.

Точка О перетину ліній ковзання являє собою концентратор напружень зі степеневою особливістю. Степінь сингулярності напружень залежить від кута 2 між лініями ковзання і визначена в роботі. Чим більше тупий кут >90, тим сильніший концентратор О. При <126 він слабший, а при >126 - сильніший, ніж кінець тріщини.

Тріщина, утворення якої при перетині ліній ковзання слід очікувати в силу моделі Коттрелла, буде єдиною, інших тріщин, які б виходили з точки О і утворились з даною тріщиною одночасно, не існує. Вказана тріщина буде розташована усередині більшого кута між лініями ковзання. Ці висновки узгоджуються з моделлю Коттрелла.

Якщо <126, то чим меншою виявиться тріщина Коттрелла, то тим меншим буде коефіцієнт KI інтенсивності напружень в її кінці. Якщо >126, то чим меншою виявиться тріщина, тим більшим буде коефіцієнт KI. Якщо >126, то біля кінця тріщини на її продовженні нормальні розтягуючі напруження будуть тим більші, чим меншою виявиться тріщина. При >126 рівновага тріщини Коттрелла стійка, а при >126 - нестійка.

Вторинні лінії ковзання будуть розвиватися із концентратора напружень О усередині більшого кута між первинними лініями ковзання. З ростом цього кута від значень, близьких до 180, до значень, близьких до 360, кут між первинною і вторинною лініями ковзання збільшується від значень, близьких до 45, до значень, близьких до 90. При <117 вторинні лінії ковзання будуть розвиватися майже по бісектрисі кута .

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА МАТЕРІАЛАМИ РОБОТИ

Каминский А.А., Кипнис Л.А., Дякон В.Н. Об интенсивности напряжений вблизи конца трещины, образовавшейся при пересечении линий скольжения// Прикладная механика.-1996.-Т.32, №12.-С.90-95.

Дякон В.Н., Каминский А.А., Кипнис Л.А. Начальные полосы пластичности в точке столкновения линий скольжения// Изв. РАН. Механика твердого тела.-1997.-№3.-С.100-105.

Дякон В.Н. Анализ плоского напряженного состояния вблизи точки пересечения линий скольжения //Прикладная механика.-1998.-Т.34, №2.-С.74-77.

Упругая плоскость с линиями скольжения, исходящими из ее точки/ Дякон В.Н., Кипнис Л.А.; Уман. гос. пед. ин-т. - Умань, 1996.- 7 с.- Рус.- Деп. в ГНТБ Украины 4.04.96, №909-Ук96.

Дякон В.Н. Задачи о трещинах и пластических полосах образовавшихся при пересечении линий скольжения// Ред. ж. Прикладная механика. - Киев, 1997.- 20 с. Деп. в ГНТБ Украины 8.12.97, №597-Ук97.

Кіпніс Л.А., Дякон В.М., Колмакова В.О. Початковий розвиток ліній ковзання з кутових точок // Тези II Міжнародного симпозіуму українських механіків, Львів. - 1995.- С.14-15.

Кипнис Л.А., Дякон В.Н., Колмакова В.А., Хазин Г.А. Метод расчета пластических зон вблизи концентраторов напряжений в рамках моделей с пластическими полосами // Тезисы Международной конференции “Математическое моделирование в естественных науках”, Алматы. - 1997. - с.143.

Кіпніс Л.А., Дякон В.М., Колмакова В.О., Хазін Г.А. Аналіз напруженого стану біля тріщин у металах, що утворилися за механізмом Коттрелла в рамках механіки деформівного твердого тіла // Матеріали 2-ої Міжнародної конференції “Конструкційні та функціональні матеріали”, Львів.-1997.-С.265-266.

АНОТАЦІЇ

Дякон В.М. Дослідження механічних моделей процесів початкового розвитку крихкого і пластичного руйнування. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04. - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 1998.

В умовах плоскої деформації дана постановка статичних симетричних задач механіки деформівного твердого тіла, що моделюють процеси початкового розвитку крихкого і пластичного руйнування, які відповідають моделі Коттрелла зародження тріщин. Згідно цій моделі тріщина утворюється при перетині ліній ковзання. Запропоновано підхід до дослідження поставлених задач, який базується на їх зведенні до задач теорії пружності для клиновидних тіл з некласичною умовою на нескінченності, що дозволяє врахувати вплив зовнішнього поля. Слідуючи запропонованому підходу, з використанням методу Вінера-Хопфа побудовані точні розв'язки ряду нових задач теорії пружності для клиновидних тіл і на їх основі досліджено напружений стан біля точки перетину ліній ковзання і біля тріщини, яка утворилася при перетині ліній ковзання, здійснено розрахунок пластичної зони біля точки перетину ліній ковзання в рамках моделі з двома пластичними смугами.

Ключові слова: тріщина, лінія ковзання, модель Коттрелла, задача теорії пружності, клиновидне тіло, метод Вінера-Хопфа, напружений стан, пластична смуга.

Дякон В.Н. Исследование механических моделей процессов начального развития хрупкого и пластического разрушения. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины, Киев, 1998.

В условиях плоской деформации дана постановка статических симметричных задач механики деформируемого твердого тела, моделирующих процессы начального развития хрупкого и пластического разрушения, соответствующие модели Коттрелла зарождения трещин. Согласно этой модели трещина образуется при пересечении линий скольжения. Предложен подход к исследованию поставленных задач, основанный на их сведении к задачам теории упругости для клиновидных тел с неклассическим условием на бесконечности, позволяющим учесть влияние внешнего поля. Следуя предложенному подходу, с использованием метода Винера-Хопфа построены точные решения ряда новых задач теории упругости для клиновидных тел и на их основе исследовано напряженное состояние вблизи точки пересечения линий скольжения и вблизи трещины, образовавшейся при пересечении линий скольжения, осуществлен расчет пластической зоны вблизи точки пересечения линий скольжения в рамках модели с двумя пластическими полосами.

Ключевые слова: трещина, линия скольжения, модель Коттрелла, задача теории упругости, клиновидное тело, метод Винера-Хопфа, напряженное состояние, пластическая полоса.

Dyakon V.М. Investigation of models of processes of emergence of brittle and plastic fracture. - The manuscript.

Dissertation for the Candidate of Physical and Mathematical Sciences Degree in Speciality 01.02.04 - mechanics of a deformable solid. - The S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1998.

Under plane strain condition the static symmetrical problems of mechanics of a deformable solid modulating the Cottrell mechanism of crack formaton are formulated. According to this mechahism a crack is formed at the intersection of slip lines. The suggested approach to the investigation of the problems is based on their reduction to the problems of the theory of elasticity for wedge-shaped bodies with nonclassical condition at infinity, which allows to take into account the influence of external field. According to the suggested approach with the application of the Wiener-Hopf method the exact solutions of a number of new problems of the theory of elasticity for wedge-shaped bodies are constructed; and on their basis the stress state near the crack, formed accoding to the Cottrell mechanism is investigated. The plastic zone near the intersection point of slip lines in the limits of the models with two plastic strips is calculated.

Key words: crack, slip line, Cottrell mechanism, problem of the theory of elasticity, wedge-shaped body, the Wiener-Hopf method, stress state, plastic strip.

Размещено на Allbest.ru