Определение параметров одномассового инерционного динамического гасителя колебаний

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна»

Факультет Информационных технологий и машиноведения

Кафедра Машиноведения

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу Динамика узлов и механизмов машин

на тему Определение параметров одномассового инерционного динамического гасителя колебаний

Исполнитель - студент

уч. группы 4-МД-4

Кушерекин Д. А.

Руководитель Беспалова И. М.

Санкт-Петербург 2013 г.



Содержание

Введение

1. Разработка математической модели системы без гасителя

2. Алгоритмическое и программное обеспечение для исследования динамического объекта без гасителя

3. Анализ результатов исследования объекта без гасителя

4. Разработка математической модели системы с гасителе

5. Определение жесткости упругого элемента гасителя

6. Алгоритмическое и программное обеспечение для исследования динамики объекта с гасителем

7. Анализ результатов исследования объекта с гасителем

8. Статический расчет системы виброизоляции

Заключение

Приложения



Введение

В данном курсовом проектировании стояла цель, рассмотреть и описать принцип динамического гашения колебаний, а так же работу инерционного динамического гасителя.

Задачами курсового проекта являлись:

1) Разработка математической модели системы с гасителем и без;

2) Определение жесткости упругого элемента гасителя;

3) Определение собственных частот системы с гасителем и без;

4) Построение амплитудно-частотные характеристик с гасителем и без;

5) Выполнение статического расчета системы и расчета величины вставок для выравнивания объекта.



1. Разработка математической модели системы без гасителя

Для построения зависимости линейного и углового перемещения от времени, а так же амплитудно-частотные характеристики, надо построить составить математическую модель.

Для получения математической модели необходимо воспользоваться уравнением Лагранжа II-го рода:

,(1)

где t - время, t - кинетическая энергия, v - потенциальная энергия, - обобщенная сила, - обобщенная координата, i - число степеней свободы,

Формула кинетической энергии равна:

(2)

Формула потенциальной энергии равна:

(3)

где m - масса объекта, с - жесткость системы, Д - деформация

Деформация для определенных участков равна:

(4)

(5)

(6)

I - момент инерции, который рассчитывается по формуле:



(7)

Система с гасителем имеет две степени свободы:

i = 2

1) - линейные перемещения объекта,

2) - угловые перемещения объекта,

Воспользовавшись уравнением Лагранжна и подставив t, v и q мы получаем систему из двух уравнений:

(8)

После преобразований получим систему в виде:

(9)

(10)

(11)

(13)

(14)

Выполним подстановку:

, (15)

,(16)

;(17)



Произведем математические преобразования, и получим матричную систему:

(18)

Из уравнений (18) получим определители которые позволят определить амплитуды колебаний

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

2. Алгоритмическое и программное обеспечение для исследования динамического объекта без гасителя

Получив уравнения (18), составляем программу, для исследования динамических колебаний без гасителя (Приложение А). В программе производится ввод исходных данных, затем мы задаем значения , , , , и с помощью цикла по частоте вычисляем значения амплитуды и при значениях частоты от 0 до 20 , так же, мы вычисляем зависимость перемещения от времени с помощью цикла по времени.

После вычисления значений, мы строим графики:

1) зависимость амплитуды линейных колебаний от частоты,

2) зависимость амплитуды угловых колебаний от частоты,

3) зависимость линейного перемещения от времени,

4) зависимость углового перемещения от времени

3. Анализ результатов исследования

На графике АЧХ, наблюдаем две резонансные зоны.

щ₁=11,2 c^-1 , щ₂=16,9 c^-1

Выбрав частоту, на которой происходит резонанса, щ=11,2 c^-1 строим зависимость перемещения от времени

Получив математическую модель и написав программу, мы построили 4 графика

Рисунок 1 - Зависимость амплитуды линейных колебаний от частоты

На графике (рис. 1) изображена зависимость амплитуды линейных колебаний от частоты.

1. Угловые колебания объекта (рис. 2).



Рисунок 2 - Зависимость амплитуды угловых колебаний от частоты

На графике изображена зависимость амплитуды угловых колебаний объекта от собственной частоты. И два резонансных значения.

Для гашения колебаний выберем резонансную частоту щ=11.15 с^-1, и на нее будем настраивать гаситель.

Рисунок 3 - Зависимость линейного перемещения от времени



На графике изображена зависимость линейных перемещений объекта от времени.

Рисунок 4 -Зависимость углового перемещения от времени

На графике изображена зависимость углового перемещения от времени.

Амплитуда углового перемещения достигает 35рад

4. Разработка математической модели системы с гасителем

Для получения математической модели необходимо воспользоваться уравнением Лагранжа II-го рода:

,(23)

где t - время,

T - кинетическая энергия, v - потенциальная энергия, - обобщенная сила, - обобщенная координата, i - число степеней свободы,



(24)

(25)

Система с гасителем имеет три степени свободы:

i = 3

1) - линейные перемещения объекта,

2) - угловые перемещения объекта,

3) - линейные перемещения гасителя.

Следовательно, мы получаем систему из трех уравнений:

(26)

Математическая модель системы с гасителем будет состоять из 3-х дифференциальных уравнений, которые получим после подстановки t, v и q в уравнение (22)

Выводим обозначение a_ij каждое уравнение, мы получим следующую систему:

,(27)

(28)

(29)

(30)

=(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

Решение уравнений (27) будем искать в виде линейных колебаний:

(37)

Вторая производная:

(38)

Угловые колебания:

(39)

Вторая производная:

(40)

Линейные колебания гасителя:

(41)

Вторая производная:



(42)

Выполнив подстановки, мы получим следующую систему уравнений:

(43)

5. Определение жесткости упругого элемента гасителя

жесткость гаситель линейный колебание

Для определения жесткости упругого элемента динамического гасителя останавливающего угловые колебания необходимо приравнять к нулю амплитуду линейных колебаний A, на частоте гашения w=11,15 c^-1

Из системы (44-47) находим определители матрицы ().

(44)

(45)

(46)

(47)

Т.к. нам надо погасить линейные колебания, то:



Следовательно, что бы найти жесткость упругого элемента гасителя, то нам достаточно найти определить , и выразить из него .

Подставив значения , , и , мы находим и определяем .

Cg = - ((((c3*l3-c1*l1-c2*l2)/I)*w^2*I*mg)/(lg*w^2*mg-((c3*l3-c1*l1-c2*l2)/I)*I)); (40)

6. Алгоритмическое и программное обеспечение для исследования динамики объекта с гасителем

Получив матрицы (44-47) и выразив их определители, составляем программу (Приложение Б).

В программе производится ввод исходных данных, затем мы задаем значения a11, a12. a21. a22, a13, a23, a33, и с помощью цикла по частоте вычисляем значения амплитуды A, B и C при значениях частоты от 0 до 20(1/c), так же, мы вычисляем зависимость перемещения от времени с помощью цикла по времени.

После вычисления значений, мы строим графики:

1) зависимость амплитуды линейных колебаний от частоты,

2) зависимость амплитуды угловых колебаний от частоты,

3) зависимость линейного перемещения от времени,

4) зависимость углового перемещения от времени

С помощью программы мы находим амплитудно-частотные характеристики, через отношения определителей матрицы.

Строим три зависимости линейной амплитуды объекта от частоты, угловой амплитуды объекта и линейной амплитуды гасителя.

Так же, учитывая резонансную частоту, строим три графика зависимостей перемещений от времени: линейные перемещения объекта, угловые перемещения объекта и угловые перемещения гасителя.

7. Анализ результатов исследования

С помощью математической модели, написав программу, мы получили 6 графиков.

Рисунок 5 - Зависимость амплитуды линейных колебаний от частоты

На графике изображена зависимость амплитуды линейных колебаний от собственной частоты.

Перед нами стояла задача погасить колебания в резонансной зоне на чистоте 11,15 с^-1

На рисунке 6 мы отчетливо видим, что на частоте 11,15 с^-1 амплитуда колебаний равна нулю.



Рисунок 6 - Зависимость амплитуды линейных колебаний от частоты

На графике изображена зависимость амплитуды угловых колебаний объекта от частоты.

Рисунок 7 -зависимость амплитуды линейных колебаний от частоты гасителя



Рисунок 8 -Зависимость линейного перемещения объекта от времени

На графике изображена зависимость линейных перемещений объекта от времени.

Угловое перемещение объекта (рис. 9).

На графике изображена зависимость углового перемещения от времени.



Видно значительное снижение угловых колебаний (амплитуда практически равна нулю, если не учитывать компьютерную точность). Т.е. происходит гашение колебаний.

Рисунок 10 -Зависимость линейного перемещения объекта с гасителем от времени

На графике изображено зависимость линейных перемещений гасителя от времени.

Так же можно наблюдать низкую активность гасителя - 0,0001м.

8. Статистический расчет системы виброизоляции

Запишем уравнение статического равновесия, представляющее собой сумму проекций действующих сил на ось у, а также сумму моментов сил относительно точки 0.



R₁=C₁ - (41)

R₂= C₂ - (42)

R₃= C₃ - (43)

- деформация виброизоляторов.

=y-l1ц=C1(y-l1 ц) - (44)

=y-l2 ц=C2(y-l2 ц) - (45)

=y+l3 ц=C3(y+l3 ц) - (46)

Уравнение статического равновесия



(47)

(48)

После определения у и ц можно найти статические деформации и нарисовать схему расположения объектов.

(49)

(50)

Из системы уравнений находим y и ц.

y= -0.0184 рад

ц= -0.5795рад

Используя значения линейных и угловых значений перемещения объекта, находим значения деформации из формулы (5):

0.2714

0.1555

-0.4240

Затем рассчитываем величину вставок:

0.6954

0.5795

Далее ставим вставки для выравнивания объекта:



Заключение

Была разработана математическая модель системы с гасителем, без гасителя. Определена жесткость упругого элемента гасителя. Определены собственные частоты системы с гасителем и без. Построены амплитудно-частотные характеристики системы с гасителем и без гасителя и выполнен статический расчет системы. Надо было погасить резонанс на частоте w=14.6 что нам и удалось сделать.



Приложения

Приложение А

Разработка математической модели без гасителя

clear

m=600;

c1=3*10^4; c2=4*10^4; c3=2*10^4;

l1=0.5; l2=0.3; l3=0.7;

h=0.4;

mg=0.05*m;

P0=5;

I=0.0833*m*(h^2+(l1+l3)^2);

P1=P0/m;

%Математическая модель системы без гасителя

a11=(c1+c2+c3)/m;

a12=(-c1*l1-c2*l2+c3*l3)/m;

a21=(c1*l1^2+c2*l2^2+c3*l3^2)/I;

a22=(-c1*l1-c2*l2+c3*l3)/I;

%АЧХ системы без гасителя

i=1;

for w=0:0.05:20

A1(i)=abs(P1*(a21-w^2)/((a11-w^2)*(a21-w^2)-a12*a22));

A2(i)=abs(-P1*a22/((a11-w^2)*(a21-w^2)-a12*a22));

i=i+1;

end

w=0:0.05:20

plot(w,A1), grid on; xlabel('w, 1/c'); ylabel('A1, м');

figure; plot(w, A2), grid on; xlabel('w, 1/c'); ylabel('A2, м');

%Зависимость перемещения от времени

i=1;

w=11.15;

for t=0:0.1:10

y(i)=abs(P1*(a21-w^2)/((a11-w^2)*(a21-w^2)-a12*a22))*sin(w*t);

fi(i)=abs(-P1*a22/((a11-w^2)*(a21-w^2)-a12*a22))*sin(w*t);

i=i+1;

end

t=0:0.1:10;

figure; plot(t,y); grid on; xlabel ('t, c'); ylabel ('y, м');

figure; plot(t,fi); grid on; xlabel ('t, c'); ylabel ('fi, м');



Приложение В

Разработка математической модели с гасителем

clear

m=600;

c1=3*10^4; c2=4*10^4; c3=2*10^4; l1=0.5; l2=0.3; l3=0.7;

h=0.4; lg=0.5;

mg=0.05*m;

P0=5; P1=P0/m;

I=0.0833*m*(h^2+(l1+l3)^2);

w=11.15;

cg= -((((c3*l3-c1*l1-c2*l2)/I)*w^2*I*mg)/(lg*w^2*mg-((c3*l3-c1*l1-c2*l2)/I)*I));

%Математическая модель системы c гасителем

a11=(c1+c2+c3+cg)/m;

a12=(-c1*l1-c2*l2+c3*l3+cg*lg)/m;

a13=-cg/mg;

a21=(c1*l1^2+c2*l2^2+c3*l3^2+cg*lg^2)/I;

a22=(-c1*l1-c2*l2+c3*l3+cg*lg)/I;

a23=-cg*lg/I;

a31=cg/mg;

a32=-cg/mg;

a33=-cg*lg/mg;

%АЧХ системы с гасителем

i=1;

for w=0:0.05:20;

del=[(a11-w^2) a12 a13; a22 (a21-w^2) a23; a32 a33 (a31-w^2)];

delA=[P1 a12 a13; 0 (a21-w^2) a23; 0 a33 (a31-w^2)];

delB=[(a11-w^2) P1 a13; a22 0 a23; a32 0 (a31-w^2)];

delD=[(a11-w^2) a12 P1; a22 (a21-w^2) 0; a32 a33 0];

A1(i)=abs(det(delA)/det(del));

A2(i)=abs(det(delB)/det(del));

A3(i)=abs(det(delD)/det(del));

i=i+1;

end

w=0:0.05:20;

plot(w,A1), grid on; xlabel('w, 1/c'); ylabel('A1, м');

figure; plot(w, A2), grid on; xlabel('w, 1/c'); ylabel('A2, м');

figure;plot(w, A3), grid on; xlabel('w, 1/c'); ylabel('A3,м');

%Зависимость перемещения от времени

i=1;

w=11.15;

for t=0:0.1:10

y(i)=abs(det(delA)/det(del))*sin(w*t);

fi(i)=abs(det(delB)/det(del))*sin(w*t);

yg(i)=abs(det(delD)/det(del))*sin(w*t);

i=i+1;

end

t=0:0.1:10;

figure; plot(t,y); grid on; xlabel ('t, c'); ylabel ('y, м');

figure; plot(t,fi); grid on; xlabel ('t, c'); ylabel ('fi, м');

figure; plot(t,yg); grid on; xlabel ('t, c'); ylabel ('yg, м');

Размещено на Allbest.ru