Графоаналітичний метод спектрального аналізу періодичних сигналів

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ ТЕХНІЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ ТА ЯКОСТІ

Методичні вказівки та завдання до курсової роботи студентів денної та заочної форми навчання

для підготовки спеціалістів, магістрів з спеціальності

МЕТОДИ ТА ЗАСОБИ ОБРОБКИ СИГНАЛІВ

7.05100101 - Метрологія та вимірювальна техніка

Одеса - 2011

Завдання на курсову роботу з дисципліни «Методи та засоби обробки сигналів»

1. На підставі індивідуального завдання (табл. 1) розкласти періодичне коливання (току або напруги) у тригонометричний ряд з n гармонік використовуючи графоаналітичний метод спектрального аналізу періодичних сигналів. Побудувати амплітудний спектр і провести аналіз отриманих результатів.

2. На підставі отриманих у п.1 дискретних значень сигналу (орт) створити комп'ютерну модель приладу, що розраховує та відображає на екрані монітора значення n гармонік тригонометричного ряду, графік заданого періодичного коливання, графік зміни струму (напруги) в електричному колі (мінімум два періоди), графік амплітудного спектра сигналу. Провести аналіз отриманих результатів.

3. Провести порівняння результатів по п.1 і п.2. Зробити висновки.

Основи теорії

Відповідно до теорії ортогональних функцій будь-який періодичний сигнал, що задовольняє умовам Діріхле, може бути представлений рядом Фур'є в тієї або іншій формі запису: тригонометричним рядом, вираженим через коефіцієнти, тригонометричним рядом, вираженим через амплітуди й початкові фази гармонік, або комплексним рядом.

Нехай u(t)=u(t+nT) - періодичне коливання напруги, значення якого повторюються строго через певний проміжок часу - період Т. Це коливання може бути виражене

а) тригонометричнимрядом Фур'є через коефіцієнт

де

частота першої (основної)гармоніки, що збігається із частотою коливань функції u(t);

- постійна складова ряду (середнє значення функціїu(t));

n-ні коефіцієнти розглянутого ряду

б) тригонометричним рядом Фур'є через амплітуди й початкові фази гармонік(косинусоїд):

амплітуда n-ної гармоніки

початкова фаза n-ної гармоніки

Ці формули забезпечують перехід від ряду а) до ряду б)

в) комплексним рядом Фур'є

коефіцієнти ряду (комплексні амплітуди гармонік)

Вибір форми ряду Фур'є залежить від поставленого завдання аналізу і форми завдання сигналу.

Ряд а) дозволяє оцінити внесок ортогональних складових гармонік у загальний сигнал. Запис цього ряду можна значно спростити, якщо певним чином вибрати систему координат. Так якщо сигнал симетрично ділиться віссю часу t, то постійна складова U₀=0. Якщо вертикальна вісь (ордината)ділить сигнал таким чином, що u(t)=u(-t), то він є парною функцією і коефіцієнти . Якщо u(t) є непарною функцією, то в цьому випадку коефіцієнти .

Ряд б) зручний для гармонійного відображення спектрального складу коливання u(t). При цьому:

- розподіл амплітуд гармонік на частотній вісі називають амплітудним спектром (АС) ;

- розподіл початкових фаз гармонік на частотній вісі називають фазовим спектром (ФС) .

Очевидно, що приa_n=0 или b_n=0, перехідвід ряду а) до ряду б) не потрібний.

Ряд в) фізичного змісту не має, але виявляється зручним при аналітичному аналізі сигналів та їх перетворень.

Методи спектрального представлення сигналів можна поділити на три групи: аналітичні, графоаналітичні та експериментальні.

Аналітичні методи пов'язані з безпосереднім розрахунками всіх складових ряду Фур'є з використанням аналітичногопредставлення сигналу. Основнедостоїнство - точність, недолік - складність інтегральних обчислень.

Графоаналітичні методи засновані на заміні інтегральних виражень кінцевими сумами. Основою служить графічнепредставлення сигналу. Достоїнство - простота, недоліки - громіздкість обчислень і низька їхня точність. Експериментальні методи засновані на використанні спеціальної апаратури - спектральних аналізаторів (фізичних або віртуальних).

Графоаналітичний метод спектрального аналізу періодичних сигналів

Сутність графоаналітичного методу полягає у визначенні спектральних складових (гармонік) сигналу на основі його окремих дискретних значень (вибірок), узятих через обрані проміжки часу.

Порядок розрахунків

1) Період сигналу, заданого графіком, розбити на М однакових проміжків, попередньо вибравши початок системи координат.

2) Виписати значення сигналу (орти) U₁, U_2,…U_mі розрахувати збільшення фази на дискретний проміжок часуДш=Дщt=2р/M=6,28/M[рад]=360/M[град]

3) Записати в загальному виді ряд Фур'є з урахуванням обраної системи координат.

4) Розрахувати коефіцієнти ряду, використовуючи наступні формули, отримані шляхом заміни інтегральних виражень наближеними сумами:

Варіанти завдань для курсової роботи

Таблиця 1

Приклад виконання завдання

амплітудний коливання тригонометричний напруга

Струм в електричному колі змінюється за законом, відображеному на рис.1

Рис.1. Графічне відображення закону зміни струму в електричному колі

Завдання:=24ма; Т=10мс; n=3

Розв'язок: розбиваємо період для обраної системи координат на М=18 однакових відрізків виписуємо дискретні значення струму ( із графіка)

Визначаємо збільшення фази на один інтервал.

Будемо мати на увазі, що для k-й вибірки «набіг» фази рівний

З урахуванням обраної системи координат

(функція i(t) парна)

Отже, шуканий ряд Фур'є здобуває вид ( для n=3)

Розраховуємо коефіцієнти

Отже, шуканий ряд Фур'є для заданого періодичного струму має вигляд.

При Т=10мс=10•10^-3 с

частота першої (основної) гармоніки

частота другої гармоніки

частота третьої гармоніки

Амплітудний спектр заданого сигналу має вигляд показаний на Рис.2.

Рис.2. Графічне відображення амплітудного спектру заданого сигналу

Проведений аналіз результатів, отриманих графоаналітичним методом спектрального аналізу сигналів, показує, що з підвищенням номеру гармоніки, її амплітуда різко зменшується.Основна енергія заданого коливання зосереджена в частотному діапазоні від 0 до 250Гц і її несуть постійна складова I₀ і перші дві гармоніки.

Комп'ютерна модель приладу, у відповідності до другого пункту завдання, була створена у програмному середовищі LabVIEW. Загальний вигляд лицевої панелі приладу показаний на Рис. 3а, блок-діаграма на Рис. 3б.

Приведені на Рис.3а графіки і розрахункові дані показують практично однакові результати, як числових, так і графічних даних аналітичних розрахунків і моделювання. Існуючу різницю можливо пояснити лише точністю результатів проміжних обчислювань. Так при аналітичних розрахунках точність представлення 10^-1 10^-2, комп'ютерне моделювання здійснювалось з точністю 10^-324.

а

б

Рис.3. Лицева панель та блок діаграма приладу

Висновки

Спектральний аналіз заданого сигналу, проведений графоаналітичним методом, та за допомогою комп'ютерного моделювання, показав, що з підвищенням номеру гармоніки, її амплітуда різко зменшується. Основна енергія заданого коливання зосереджена в частотному діапазоні від 0 до 250Гц і її несуть постійна складова I₀ і перші дві гармоніки. Результати числові данні , та графіки отримані обома методами збігаються, що доводить їх правильність.

Размещено на Allbest.ru