Главная Коллекция "Otherreferats" Производство и технологии Основные уравнения пластического состояния

Основные уравнения пластического состояния

Условие возможности перехода материала в точке тела из упругого состояния в пластическое (условие пластичности). Теория пластического течения. Обобщения в случае идеальной пластичности. Уравнения теории пластического течения и деформационной теории.

Рубрика Производство и технологии
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 09.01.2013
Размер файла 1,1 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА

Кафедра "ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ"

Реферат

по курсу "Основы теории упругости"

Тема: "Основные уравнения пластичного состояния".

Работу выполнил студент группы МО-10-10 Баранов А.С.

Работу проверил проф. Евдокимов А.П.

Москва 2012

Содержание

  • Условия пластичности
  • Об экспериментальном изучении пластических деформаций при сложном напряженном состоянии
  • Теория пластического течения
  • Обобщения в случае идеальной пластичности
  • Об уравнениях термопластичности
  • Литература

Условия пластичности

Условием пластичности называется условие возможности перехода материала в рассматриваемой точке тела из упругого состояния в пластическое.

Для линейного напряженного состояния и пластические деформации появляются при

, (1.1)

где ? предел текучести материала - величина, устанавливаемая опытным путем.

Соответствующее условие для чистого сдвига имеет вид

, (1.2)

где

? предел текучести материала при сдвиге.

В случае плоского и объемного напряженного состояния условия пластичности устанавливаются на основе гипотез. Наиболее часто используются два условия пластичности, достаточно правильно определяющие переход материала из упругого состояния в пластическое.

Первое условие (условие пластичности Сен-Венана) основано на предположении, что пластические деформации возникают тогда, когда максимальные касательные напряжения достигают предела текучести при чистом сдвиге:

, (1.3)

Из сопротивления материалов известно, что

.

При линейном напряженном состоянии имеем и , т.е.

.

Сравнивая полученное выражение с (1.3), получаем

.

Тогда условие пластичности получаем в таком виде

. (1.4)

Это соотношение в сопротивлении материалов соответствует третьей теории прочности - теории наибольших касательных напряжений.

Второе условие (условие пластичности Губера-Мизеса-Генки) основано на предположении, что пластические деформации возникают тогда, когда интенсивность касательных напряжений достигает некоторой постоянной для данного материала величины:

. (1.5)

уравнение пластическое течение условие

Постоянную найдем на основании испытаний при простом растяжении. Начало пластического деформирования в этом случае имеем при

; .

Подставляя эти величины в

, (1.6)

получаем:

.

Сравнивая это выражение с (1.5), находим постоянную

.

Подставляя (1.6) и постоянную в (1.5), получим условие пластичности в таком виде:

(1.7)

или в соответствии с

. (1.8)

Это условие соответствует четвертой теории прочности сопротивления материалов.

Условия пластичности Сен-Венана и Губера-Мизеса-Генки дают близкие результаты. Эксперименты несколько лучше подтверждают второе условие. Кроме того, это условие удобнее с математической точки зрения, т.к. выражается через составляющие напряжений проще, чем . В связи с этим в теории пластичности чаще используется условие Губера-Мизеса-Генки.

Об экспериментальном изучении пластических деформаций при сложном напряженном состоянии

Большинство исследователей ставят опыты над тонкостенными трубами как изображено на рисунке,

путем комбинирования растяжения, скручивания и внутреннего давления можно вызвать в стенке трубы произвольное плоское (вернее, "почти плоское") напряженное состояние.

где а - средний радиус трубы, h - ее толщина.

При действии осевого усилия Р и внутреннего давления р

Напряжение уr, имеющее порядок р, пренебрежимо мало по сравнению с напряжениями уц, уz, так как a/h >>1.

Измеряя деформации трубы (по изменениям диаметра, длины трубы, угла ее закручивания) и сопоставляя их с известным напряженным состоянием, можно судить о законах пластической деформации.

В последние годы предпринимались попытки нагружать трубку, помимо внутреннего давления р, также и некоторым внешним давлением q. При этом удается проследить поведение материала при трехосном напряженном состоянии. Добавление внешнего давления существенно усложняет опыты.

Исследованы также растяжение и кручение сплошного цилиндра, испытывающего давление по боковой поверхности. Подобные опыты нетрудны, но менее показательны, так как распределение напряжений в сплошном цилиндре неравномерное и непосредственно не вычисляется по замеренным нагрузкам.

Теория пластического течения

1. Общие соотношения. Процесс пластической деформации является необратимым, большая часть работы деформации переходит в тепло. Напряжения в конечном состоянии зависят от пути деформирования. В связи с этим уравнения, описывающие пластическую деформацию, в принципе не могут быть конечными соотношениями, связывающими компоненты напряжения и деформации (аналогично соотношениям закона Гука), а должны быть дифференциальными (и притом неинтегрируемыми) зависимостями.

Уравнения теории пластического течения устанавливают связь между бесконечно малыми приращениями деформаций и напряжений, самими напряжениями и некоторыми параметрами пластического состояния.

Рассмотрим исходные положения этой теории:

1) Тело изотропно.

2) Относительное изменение объема мало и является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению:

(2.1)

Полные приращения составляющих деформации dеij складываются из приращений составляющих упругой деформации dеije, - и пластической деформации dеijp

(2.2)

Приращения составляющих упругой деформации связаны с приращениями составляющих напряжения законом Гука

(2.3)

4) Девиатор напряжения Dу, и девиатор приращений пластической деформации Ddеp пропорциональны, т.е.

(2.4)

где dл - некоторый бесконечно малый скалярный множитель. Напряженное состояние определяет мгновенные приращения компонент пластической деформации.

Из (2.4) вытекают соотношения (так как dеp=0)

(2.5)

Вычисляя теперь приращение работы пластической деформации, находим:

(2.6)

Таким образом, множитель dл связан с величиной приращения работы пластической деформации; так как dAp? 0, то и dл?0. Согласно (2.2) получаем полные приращения компонент деформации:

(2.7)

где приращения компонент упругой деформации следует взять согласно закону Гука (2.3).

Нетрудно, далее, найти, что приращение работы деформации равно

dA = dAe + dAp, (2.8)

где dAp дано формулой (2.6), а приращение работы упругой деформации равно dAe = dП, где упругий потенциал

(2.9)

При dл = 0 уравнения (2.7) переходят в закон Гука, написанный в дифференциальной форме. В общем случае уравнения (2.7) не являются полными, так как содержат неизвестный множитель, для определения которого нужно располагать дополнительным соотношением.

2. Теория пластичности Сен-Венана - Мизеса. Если в уравнениях Прандтля - Рейса пренебречь компонентами упругой деформации (что допустимо при развитой пластической деформации), то получим уравнения теории пластичности Сен-Венана - Мизеса.

(2.11)

пропорционален мощности пластической деформации, т.е. характеризует диссипацию. Исключая в последнем соотношении компоненты напряжения с помощью (2.11), легко находим:

Следовательно, уравнения (2.11) можно еще представить так:

(2.12)

Уравнения Сен-Венана-Мизеса широко применяются в математической теории пластичности и различных ее приложениях.

Обобщения в случае идеальной пластичности

Рассмотрим некоторые обобщения теории течения для случая идеальной пластичности. Как и прежде, приращения полной деформации складываются из приращений упругой и пластической деформации:

(3.1)

Приращения компонент упругой деформации dеije связаны с приращениями компонент напряжения законом Гука (2.3). Далее, пластические изменения объема отсутствуют, т.е.

dеijp = 0. (3.2)

Функция текучести и пластический потенциал. Для идеально пластической среды в пространстве напряжений уij, имеется поверхность текучести

(3.3)

ограничивающая область упругих деформаций, для которых f< К. Пластическому течению отвечают напряженные состояния, принадлежащие точкам поверхности текучести.

Так, при условии текучести Мизеса

(3.4)

Материал находится в упругом состоянии, если T<фs; в пластическом состоянии T=фs. В пространстве главных напряжений у1,у2,у3 это уравнение определяет поверхность кругового цилиндра с осью у1=у2=у3

Кроме функции текучести, иногда вводится пластический потенциал Ф (уij) так, чтобы уравнения пластического течения можно было представить в виде

(3.5)

где dл?0 - некоторый неопределенный бесконечно малый скалярный множитель. По условию несжимаемости (3.2) должно быть

(3.6)

Соотношения (3.5) можно сделать наглядными, если перейти к представлению тензоров dеijp, уij векторами в девятимерном пространстве напряжений уij. Такое представление не является, разумеется, полным и возможно лишь в некотором смысле. При анализе уравнений пластического состояния обычно используются лишь простейшие операции над тензорами, и можно установить соответствие между этими операциями и операциями с представляющими их векторами. Векторное изложение более наглядно, облегчает интерпретацию опытных данных и широко применяется для анализа уравнений пластического состояния.

Об уравнениях термопластичности

Элементы многих машин и установок находятся под нагрузкой в условиях высокой и часто нестационарной температуры. При этом нередко возникают пластические деформации. При наличии температурного поля анализ пластического поведения металлов значительно усложняется, поскольку предел текучести зависит от температуры. В дальнейшем предполагается, что температура не слишком высока, так что можно пренебрегать деформациями ползучести.

1. Уравнения теории пластического течения. При изменениях температуры относительное изменение объема определяется известным соотношением

(4.1)

где k - коэффициент объемного сжатия, б - коэффициент линейного теплового расширения, и - температура.

Компоненты девиатора деформации еij не содержат, очевидно, тепловых расширений, следовательно, приращения этих компонент складываются из приращений упругих и пластических составляющих деформации:

(4.2)

Компоненты девиаторов напряжения и упругой деформации связаны законом Гука, т.е.

(4.3)

где G-модуль сдвига.

Рассмотрим теперь пластические составляющие deijp. Как и в изотермическом случае, в основе теории лежит представление о поверхности нагружения У в пространстве напряжений, ограничивающей область упругих деформаций. В неизотермическом случае поверхность нагружения зависит еще и от температуры, т.е. определяется соотношением вида

(4.4)

Ограничимся обсуждением простого случая изотропного упрочнения, соответствующего условию (3.2). Тогда уравнение поверхности нагружения можно записать в форме

(4.5)

При развивающейся пластической деформации изображающая точка находится на поверхности нагружения (4.5), поэтому

(4.6)

Рассмотрим критерий нагружения и разгрузки. Обозначим первые два слагаемых в (4.6) через d'f.

Разгрузка. В этом случае изображающая точка устремляется внутрь поверхности нагружения, т.е. df< 0; пластические деформации при этом остаются неизменными, следовательно, dq= 0 и

Нейтральные изменения. Если изображающая точка перемещается по поверхности нагружения У, то df = 0. При этом пластические деформации не происходят, т.е. dq = 0. Тогда имеют место нейтральные изменения. В этом случае

Нагружение. Если происходит пластическая деформация, изобр

ажающая точка все время лежит на смещающейся поверхности У, т.е. df= 0.

Пластическому нагружению отвечает условие

Перейдем теперь к формулировке зависимостей для приращений компонент пластической деформации. Как и в изотермическом случае, эти приращения должны быть пропорциональны величине d'f, характеризующей переход от нагружения к разгрузке. Далее, и в неизотермическом случае предполагается справедливым ассоциированный закон течения. Следовательно, вектор приращений deijp должен быть направлен по нормали к поверхности нагружения У в пространстве напряжений, т.е. величины deijp должны быть пропорциональны направляющим косинусам нормали к У, т.е. производным ?f/?sij. Итак,

(4.7)

где g>0 - функция упрочнения, характеризующая уровень достигнутого упрочнения и зависящая от истории деформирования и нагревания. Функция g связана с уравнением поверхности нагружения.

2. Случай идеальной пластичности. Если упрочнение отсутствует, поверхность текучести определяется уравнением вида

В частности, при условии текучести Мизеса

(4.8)

где предел текучести k является функцией температуры и. Согласно ассоциированному закону течения и условию (4.8) находим:

(4.9)

где множитель dл пропорционален приращению работы пластической деформации.

3. Уравнения деформационной теории. Здесь, как и в теории течения, относительное изменение объема определяется соотношением (4.1), а компоненты девиатора деформации складываются из компонент упругой и пластической деформации

(4.10)

Компоненты девиатора упругой деформации следуют закону Гука (4.3). Для компонент девиатора пластической деформации имеем соотношения:

(4.11)

где в случае упрочнения ц = ц (T,и). Недостатки деформационной теории в неизотермическом случае еще более заметны. Конечные изменения температуры приводят здесь к однозначным пластическим деформациям. Тем не менее деформационная теория широко применяется для расчета тепловых напряжений за пределом упругости. При этом, однако, должны соблюдаться значительные ограничения: нагружение должно быть близким к простому, температура должна изменяться монотонно.

Выше был рассмотрен случай упрочнения. Если имеет место идеальная пластичность, функция ц остается неопределенной, но добавляется условие текучести (например, условие текучести Мизеса (4.8)).

4. Заключительные замечания. В тепловых задачах обычно нельзя пренебрегать упругими деформациями. Тем не менее в некоторых случаях при развитом пластическом течении может быть использована жестко-пластическая схема.

Так же, как и в изотермическом случае, можно рассматривать сингулярные поверхности нагружения (текучести). Можно, например, взять шестигранную призму Треска - Сен-Венана.

Литература

1. Качанов Л.М. "Основы теории пластичности"

2. Шутенко Л.Н., Засядько Н.А., Чупрынин А.А. "Основы теории упругости и пластичности"

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2025, ООО «Олбест» Все наилучшее для вас