Обработка результатов измерения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство по образованию и науке Российской Федерации

Ливенский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс»

Кафедра технологии машиностроения

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация»

на тему «Обработка результатов измерения»

выполнил студент

Л.С. Белых

Руководитель Ю.А. Бакурова

Ливны 2011г.



Содержание

1. Однократное измерение

2. Многократное измерение

3. Обработка результатов нескольких серий измерений

4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения)

5. Обработка экспериментальных данных при изучении зависимостей

Литература



1. Однократное измерение

При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения X=10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений: закон распределения вероятности результата измерения равномерный со значением оценки среднеквадратического отклонения ; при этом имеет место аддитивная поправка .

Так как в качестве априорной используется информация о законе распределения вероятности, то пределы, в которых находится значение измеряемой величины без учета поправки, определяются через доверительный интервал:

причем значение E (аналог доверительного интервала) для равномерного закона распределения вероятности результата измерения можно определить из выражения

где a=v3.

Значит, Тогда значение измеряемой величины будет находиться в пределах

здесь Q=X=10.

После внесения поправки получим значение измеряемой величины

Здесь доверительный интервал

.

2. Многократное измерение

При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений По окончании измерений были внесены поправки в результаты измерений, которые представлены ниже:

483, 485, 482, 484, 483, 485, 482, 482, 481, 482, 492, 484, 483, 485, 484, 483, 483, 485, 484, 484, 485, 483, 493, 484.

Определить результат измерения с доверительной вероятностью 0,95.

Так как n=24, то порядок расчетов и их содержание определяются условием .

1. Определяем точечные оценки результата измерения:

- Среднее арифметическое

где m_i - частота повторения результатов измерения.

Так как результат 481 встречается один раз, то m₁=1;

482 повторяется 4 раза, то m₂=4;

483- 6 раз, m₃=6;

484 - 6 раз, m₄=6;

485 - 5 раз, m₅=5;

492 и 493 - 1 раз, m₆= m₇=1.

Таким образом,

- Среднее квадратическое отклонение

метрический результат измерение экспериментальный

Таким образом,

2. Обнаруживаем и исключаем ошибки:

- Вычисляем наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение

Берем для , тогда получим

- Задаемся доверительной вероятностью P=0,95, тогда

q=1-P=1-0,95=0,05.

Из таблицы В.1[1] находим теоретическое значение

, условие не выполнено, следовательно, результат измерения является ошибочным, отбрасываем его и повторяем пункты 1 и 2 для сокращенной серии результатов измерений. Проводим вычисления до тех пор, пока не выполнится условие .

2.1 Определяем точечные оценки результата измерения: n=23

- Среднее арифметическое

- Среднее квадратическое отклонение

2.2 Берем для , тогда получим

Задаемся доверительной вероятностью P=0,95, тогда

q=1-P=1-0,95=0,05.

Из таблицы В.1[1] находим теоретическое значение

, условие не выполнено, следовательно, результат измерения является ошибочным, отбрасываем его.

2.3 Определяем точечные оценки результата измерения: n=22

- Среднее арифметическое

- Среднее квадратическое отклонение

2.4 Берем для , тогда получим

Задаемся доверительной вероятностью P=0,95, тогда

q=1-P=1-0,95=0,05.

Из таблицы В.1[1] находим теоретическое значение

условие выполнено.

3. Проверяем гипотезу о нормальности распределения оставшихся результатов измерений. Проверку выполняем по составному критерию, применив сначала критерий 1, затем критерий 2.

Применив критерий 1, делаем следующее:

- Вычисляем отношение

- Задаемся доверительной вероятностью Р₁=0,98, тогда уровень значимости q₁=1-P₁=0,02. По таблице Г.1[1] определяем квантили распределения . Так как значит, гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.

Применив критерий 2, делаем следующее:

- Задаемся доверительной вероятностью Р₂=0,98 и для уровня значимости q₂=1-P₂=0,02 с учетом n=22 по таблице Г.2 [1] находим m=2, P*=0,97.

- Для вероятности P*=0,97 из таблицы Б.1 [1] для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t)определяем значение t=2,17, рассчитываем

Ни одна из разностей не превосходит , следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными, закон можно признать нормальным с вероятностью

4. Определяем стандартное отклонение среднего арифметического. Так как закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то стандартное отклонение определяем как

5. Определяем доверительный интервал при P=0,95.

где t определяем из таблицы Д.1 [1], получаем t =2,086. Тогда

Таким образом, результат измерения

3. Обработка результатов нескольких серий измерений

При многократных измерениях одной и той же величины получены 2 серии по 12 (n_j) результатов измерений в каждой:

1 серия - 483, 485, 482, 484, 483, 485, 482, 482, 481, 482, 492, 484.

2 серия - 483, 485, 484, 483, 483, 485, 484, 484, 485, 483, 493, 484.

Вычислить результат многократных измерений с достоверностью 0,95.

1. Обрабатываем экспериментальные данные в каждой серии отдельно по алгоритму, изложенному в задании 2, при этом:

1 серия (n=12)

- Определяем оценки результата измерения и среднего квадратического отклонения .

- Обнаруживаем и исключаем ошибки.

Задаемся доверительной вероятностью P=0,95, тогда

q=1-P=1-0,95=0,05.

Из таблицы В.1[1] находим теоретическое значение

, условие не выполнено, следовательно, результат измерения является ошибочным, отбрасываем его.

1.1 Определяем точечные оценки результата измерения: n=11.

Исключаем ошибки.

Задаемся доверительной вероятностью P=0,95, тогда

q=1-P=1-0,95=0,05.

Из таблицы В.1[1] находим теоретическое значение

условие выполнено.

- Проверяем гипотезу о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.

Применив критерий 1, делаем следующее:

1) Вычисляем отношение

2) Задаемся доверительной вероятностью Р₁=0,98, тогда уровень значимости q₁=1-P₁=0,02. По таблице Г.1[1] определяем квантили распределения . Так как значит, гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.

Применив критерий 2, делаем следующее:

3) Задаемся доверительной вероятностью Р₂=0,98 и для уровня значимости q₂=1-P₂=0,02 с учетом n=11 по таблице Г.2 [1] находим m=1, P*=0,98.

4) Для вероятности P*=0,98 из таблицы Б.1 [1] для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t)определяем значение t=2,33, рассчитываем

2 серия (n=12).

- Определяем оценки результата измерения и среднего квадратического отклонения .

- Обнаруживаем и исключаем ошибки.

Задаемся доверительной вероятностью P=0,95, тогда

q=1-P=1-0,95=0,05.

Из таблицы В.1[1] находим теоретическое значение

, условие не выполнено, следовательно, результат измерения является ошибочным, отбрасываем его.

1.2 Определяем точечные оценки результата измерения: n=11.

Исключаем ошибки.

Задаемся доверительной вероятностью P=0,95, тогда

q=1-P=1-0,95=0,05.

Из таблицы В.1[1] находим теоретическое значение

условие выполнено.

- Проверяем гипотезу о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.

Применив критерий 1, делаем следующее:

1) Вычисляем отношение

2) Задаемся доверительной вероятностью Р₁=0,98, тогда уровень значимости q₁=1-P₁=0,02. По таблице Г.1[1] определяем квантили распределения . Так как

значит, гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.

Применив критерий 2, делаем следующее:

3) Задаемся доверительной вероятностью Р₂=0,98 и для уровня значимости q₂=1-P₂=0,02 с учетом n=11 по таблице Г.2 [1] находим m=1, P*=0,98.

4) Для вероятности P*=0,98 из таблицы Б.1 [1] для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t)определяем значение t=2,33, рассчитываем

Ни одна из разностей в обеих сериях не превосходит соответственно , следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными, закон можно признать нормальным с вероятностью

2. Проверяем значимость различия средних арифметических серий. Для этого:

- Вычисляем моменты закона распределения разности.

- Задаемся доверительной вероятностью Р=0,95, определяем из таблицы интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) значение t=1,96.

- Сравниваем : следовательно, различие между средними арифметическими в сериях с доверительной Р=0,95 можно признать незначимыми.

3. Проверяем равнорассеяность результатов измерений в сериях.

- Определяем значение

- Задаемся доверительной вероятностью Р=0,95, определяем из таблицы Е.1 [1] значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера: . следовательно, серии с доверительной вероятностью Р=0,95 считаем рассеянными.

4. Так как серии равно рассеяны с незначимым различием средних арифметических, объединяем все результаты измерений в единый массив и выполняем обработку:

- Определяем оценку результата измерения и среднего квадратического отклонения S.

- Задаемся доверительной вероятностью Р=0,95, определяем из таблиц распределения Стьюдента Д.1 [1] значение t =2,086 для числа степеней свободы

- Определяем доверительный интервал:

Таким образом, результат измерения

4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения)

При многократных измерениях независимых величин X и Y получено по 12 (n) результатов измерений. Вот эти результаты после внесения поправок:

X: 483, 485, 482, 484, 483, 485, 482, 482, 481, 482, 492, 484.

Y: 483, 485, 484, 483, 483, 485, 484, 484, 485, 483, 493, 484.

Определить результат вычисления Z=XY ²/2, где X -индуктивность в мкГн; Y - сила тока в мА; Z - энергия магнитного поля.

Так как n=12, то порядок расчетов и их содержание определяются условием .

1. Производим обработку результатов измерений величин X и Y отдельно, при этом:

- Определяем оценки результатов измерений X и Y и средних квадратических отклонений S_x, S_y.

- Обнаруживаем и исключаем ошибки.

X (n=12).

Задаемся доверительной вероятностью P=0,95, тогда

q=1-P=1-0,95=0,05.

Из таблицы В.1[1] находим теоретическое значение

, условие не выполнено, следовательно, результат измерения является ошибочным, отбрасываем его.

Y серия (n=12).

Задаемся доверительной вероятностью P=0,95, тогда

q=1-P=1-0,95=0,05.

Из таблицы В.1[1] находим теоретическое значение

, условие не выполнено, следовательно, результат измерения является ошибочным, отбрасываем его.

- Определяем точечные оценки результата измерения: n=11.

Исключаем ошибки.

X

Y

Задаемся доверительной вероятностью P=0,95, тогда

q=1-P=1-0,95=0,05.

Из таблицы В.1[1] находим теоретическое значение

условие выполнено.

- Проверяем гипотезу о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.

Применив критерий 1, делаем следующее:

1) Вычисляем отношение

2) Задаемся доверительной вероятностью Р₁=0,98, тогда уровень значимости q₁=1-P₁=0,02. По таблице Г.1[1] определяем квантили распределения . Так как значит, гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.

3) Применив критерий 2, делаем следующее:

Задаемся доверительной вероятностью Р₂=0,98 и для уровня значимости q₂=1-P₂=0,02 с учетом n=11 по таблице Г.2 [1] находим m=1, P*=0,98.

4) Для вероятности P*=0,98 из таблицы Б.1 [1] для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t)определяем значение t=2,33, рассчитываем

Ни одна из разностей и не превосходит соответственно , следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными, закон можно признать нормальным с вероятностью

1. Определяем оценку среднего значения функции:

2. Определяем поправку.

Учитывая, что

3. Определяем оценку стандартного отклонения функции.

Учитывая, что

получим

4. Определяем доверительный интервал для функции

Так как законы распределения вероятности результатов измерения X и Y признаны нормальными, то t для принятой доверительной вероятности Р=0,95определяем из таблиц для распределения Стьюдента (табл. Д.1 [1]) . При этом число степеней свободы m находим по формуле:



Таким образом, m=18, t=2,101, и результат измерения

5. Обработка экспериментальных данных при изучении зависимостей

При многократных совместных измерениях величин X и Y получено по 20 (n)пар результатов измерений. Вот эти результаты после внесения поправок.

X: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 6, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96.

Y: 110, 120, 131, 143, 149, 158, 170, 180, 188, 195, 58, 158, 258, 364, 456, 550, 648, 742, 840, 935.

Определить уравнение регрессии Y по X: Y=f(X).

1. В осях координат X и Y строим 20 экспериментальных точек с координатами .



В качестве уравнения регрессии используем полином степени m:

В первом приближении для решения данной задачи принимаем m=1, т.е.

2. Определяем параметры уравнения регрессии по методу наименьших квадратов, для чего:

- Составляем система уравнений по числу рассчитываемых параметров:

- Решаем систему уравнений и определяем неизвестные параметры.

Тогда уравнение регрессии будет следующим: .

3. Проверим правильность выбора вида уравнения регрессии. Для этого применим непараметрические критерии серий и инверсий:

- Рассчитываем отклонения экспериментальных значений от соответствующих значений , рассчитанных для того же аргумента по полученному уравнению регрессии.

- Строим в осях координат полученные значения для соответствующих значений .



- Записываем последовательность значений по мере возрастания , .

: 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96.

: -4,376; -1,051; -0,785; 0,480; 2,745; -0,990; -1,725; -1,725; 0,541; 0,806; -0,929; -3,664; 0,927; 9,579; 4,231; 0,883; 1,535; -1,813; -1,161;-3,509.

- Рассчитываем число серий: N=7.

- Зададимся доверительной вероятностью Р=0,95, тогда для n=20 по таблице Ж.1 определяем допустимые границы В данном случае неравенство

- Рассчитываем число инверсий А в полученной последовательности : А=105.

- Зададимся доверительной вероятностью Р=0,95, тогда для n=20 по таблице И.1 определяем допустимые границы В данном случае неравенство

Таким образом, рассчитанное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально исследуемую зависимость между величинами X и Y с доверительной вероятностью Р=0,95.



Литература

1. К.В. Подмастерьев, Е.В. Пахолкин, В.В. Мишин. Методические указания по выполнению расчетно-графических и курсовых работ по метрологическим дисциплинам - ОГТУ, 2006 г.

2. Шишкин, И. Ф. Метрология, стандартизация и управление качеством.- М.: Изд-во стандартов,1990.

3. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике.- М.: АСТ: Астрель, 2006.- 991 с.: ил.

4. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов/ И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев.- М.: Наука, 1986.- 544 с.

5. Атамалян, Э.Г. Приборы и методы измерения электрических величин. - М.: высшая школа, 1989. - 384 с.

Размещено на Allbest.ru