Измерения ожидаемых величин температуры и давления

Размещено на http://www.allbest.ru/

21

Контрольная работа

Дисциплина: Основы метрологии

Измерения ожидаемых величин температуры и давления

ЗАДАЧА № 1

При измерении температуры установлено, что массив результатов измерений можно считать случайными величинами с нормальным законом распределения, имеющим следующие параметры:

§ Математическое ожидание - mt =27,1

§ Среднее квадратичное отклонение - у1 = 0,9 °C

§ n=1, k=5 согласно номера зачетной книжки 615

Вычислить вероятность выполнения неравенства t01 ? t ? t02

где t_ol=26,00+0,05k=26,00+0,05·5=26,26 °C,

t_o2=27,50+0,05n=27,50+0,05·1=27,55 °C.

РЕШЕНИЕ

Для решения задачи воспользуемся интегралом вероятностей (функцией Лапласа).

Для этого сформулируем независимую переменную следующего вида

Для отрицательного значения воспользуемся свойством интеграла вероятностей

Ф(-z) = 1- Ф(z), т.е.

Р (t1 ? t ? t2) = Ф(z2) - Ф(-z1) = Ф(z2) - (1-Ф(z1))=Ф(z1) + Ф(z2)-1

Теперь, по таблицам интеграла вероятностей Ф(z), предоставленным в приложении [1], пользуясь числовыми значениями z1 и z2, находим соответствующие значения Ф(z1) и Ф(z2).

Ф(0,933) ? 0,8238

Ф(0,5) = 0,6915

Тогда искомая вероятность равна:

Р (t1 ? t ? t2) = Ф(z1) + Ф(z2)-1 = 0,8238+0,6915-1=0,5153

ЗАДАЧА № 2

Результаты измерений температуры t°C являются случайными величинами с распределением по нормальному закону с параметрами:

§ Математическое ожидание - mt = 20,1

§ Средним арифметическим отклонением - у1 = 0,8 °C

§ n=1, k=5 согласно номера зачетной книжки 615

Определить интервал ?t, для которого с вероятностью Р удовлетворяется неравенство ¦t - mt¦? ?t

р = 0,7+0,01k+0,01n = 0,7+0,01·5+0,01·1=0,76

РЕШЕНИЕ

Используя интеграл вероятностей, находим

Р = Ф (у) - Ф (-у) = 2 Ф (у) - 1

отсюда выразим

При р =0,76 получим

Обращаясь к таблицам интеграла вероятностей в приложении к [1], находим числовое значение аргумента в круглых скобках, т.е.

откуда

Со средним арифметическим отклонением равным у1 = 0,8 °C получим

Тогда неравенство ¦t - mt¦? ?t примет вид ¦t - 20,1¦? 0,944

ЗАДАЧА №3

Измерения случайной величины у подчинены нормальному закону распределения согласно данных

§ Математическое ожидание - mу

§ Дисперсией - у2

§ n=1, k=5 согласно номера зачетной книжки 615

Вычислить вероятность выполнения неравенства

¦у - mу¦? 0,1уу k+ 0,1у_yn при n=1, k=5 получим

¦у - mу¦? 0,1уу 5+ 0,1у_y1

¦у - mу¦? 0,6уу

РЕШЕНИЕ

Сформулируем случайную величину для функции интеграла вероятностей

По таблицам для интеграла вероятностей по значению z = 0,6 находим соответствующее значение интеграла вероятностей

Ф (z = 0,6) = 0,7257

Искомая вероятность выполнения неравенства¦у - mу¦? 0,6уу равна

Р = 2Ф(0,6) - 1 = 2·0,7257-1=0,4514

ЗАДАЧА № 4

Результаты измерений давления р (МПа) являются случайными величинами, подчиненными закону равномерного распределения и находятся в пределах р₀1 ? р ? р02, где

§ n=1, k=5 согласно номера зачетной книжки 615

§ р_о1=(1,25+0,05k) =(1,25+0,05·5) = 1,5 МПа,

§ р_о2=(2,25+0,05n) =(2,25+0,05·1) =2,3 МПа

Найти математическое ожидание mр и дисперсию уІр для измеренных величин давления.

РЕШЕНИЕ

Параметры закона нормального распределения определяются по формулам

,

где х - случайная величина.

m - характеризует среднее значение случайной величины:

D= (х₂ - х₁) ² /12

где у - среднее квадратичное отклонение случайной величины, оно равно:

.

D - определяет средний квадрат разброса случайной величины относительно математического ожидания m_x:

D = (х₂ - х₁) ² /12.

При х₁ = р₀₁, х₂ = р₀₂ формулы для математического ожидания и дисперсии примут вид:

,

у =

Подставим значения и получим

Значение математического ожидания

Средний квадрат разброса случайной величины относительно математического ожидания

Среднее квадратичное отклонение случайной величины

ЗАДАЧА № 5

Результаты измерений давления р(МПа) являются случайными величинами и подчинены закону равномерного распределения с известными параметрами: m_р=1,61 МПа, t=0,55 МПа.

Вычислить вероятность выполнения неравенства р₀1 ? р ? р02 , где

§ n=1, k=5 согласно номера зачетной книжки 615

§ р ₁=(1,5+0,005k) =(1,55+0,005·5) = 1,575МПа,

§ р ₂=(1,65+0,005n) =(1.65+0,005·1) = 1,655 МПа

РЕШЕНИЕ

Искомая вероятность определится как отношение площади на графике плотности вероятностей, ограниченной прямыми и р1 = 1,575МПа, р2= 1,655 МПа к площади, ограниченной предельными значениями р01 МПа и р02 МПа (рис), которые находятся по и соотношению

,

Откуда

Геометрически эта вероятность представляет собой площадь заштрихованного прямоугольника.

Рисунок - График плотности вероятностей

Искомая вероятность определится по формуле

Р=

Для дальнейших расчетов определим из отношения

при t=0,55 МПа и m_р=1,61 МПа получим

, следовательно

Искомая вероятность определится по формуле

ЗАДАЧА № 6

Термометр, измеряющий температуру t(°C) в рабочем диапазоне от tmin=0 °С до tmax =(200+50k+50n)°C где n=1, k=5 согласно номера зачетной книжки 615

тогда tmax =200+50·5+50·1=500°C и класс точности С =0,6.

Определить ?t - значение граничной абсолютной погрешности термометра

РЕШЕНИЕ

Значение приведенной погрешности в соответствие с определением класса точности определяется зависимостью

дприв t = C/100

дприв t = 0,6/10=0,006

Искомое значение граничной абсолютной погрешности определяется по формуле

?t = дприв t (tmax - tmin ) °С

?t = 0,006•(500-0)=3°С

ЗАДАЧА № 7

Манометр, измеряющий давление в рабочем диапазоне от Рmin=0,05МПа до p_max=(2,0+0,1k) МПа, где n=1, k=5 согласно номера зачетной книжки 615

p_max=2,0+0,1·5=2,5 МПа, имеет граничную абсолютную погрешность

?р =(0,02+0,005n) =(0,02+0,005·1) =0,025 МПа. Определить класс точности манометра.

РЕШЕНИЕ

Приведенная погрешность манометра выражается следующим образом

ближайшим подходящим из стандартного ряда для величины

д =0,0102•100=1,02 является число 2, что дает основание считать данный манометр прибором класса точности 2.

ЗАДАЧА № 8

Найти минимальную разность давлений p_12min, которую можно измерить с некоторой погрешностью по формуле p₁₂ = p₁ -p₂ с помощью двух манометров класса точности С = 0,5. Манометры имеют диапазоны показаний, равные

ДР = 1,0 + 0.1k + 0,1n (МПа), где n=1, k=5 согласно номера зачетной книжки 615, тогда ДР = 1,0 + 0.1·5+ 0,1·1=1,6 (МПа)

РЕШЕНИЕ

Измерение разности давления при помощи двух манометров осуществляется по формуле ?р12 = р1 - р2, дает погрешность

д?р12 = др1 + др2 ,

где др1 и др2 абсолютные погрешности измерения давления манометрами соответственно первым и вторым.

Согласно определению класса манометров

МПа

МПа

Заданная относительная погрешность (0,5 по условию) измерения при таком способе измерения разности давления

Откуда искомая минимальная измеримая с заданной точностью разность давления

МПа

МПа

ЗАДАЧА № 9

Вычислить граничную относительную погрешность измерения давления со значением р = (0,5+0,01к) МПа, осуществлённого с помощью манометра класса С = 0,6 имеющего диапазон показаний ДР = (2 + 0,1n) МПа, где n=1, k=5 согласно номера зачетной книжки 615. Тогда

р = 0,5+0,01к= 0,5+0,01·5 =0,55 МПа

ДР = (2 + 0,1n)= 2 + 0,1·1 = 2,1 МПа

РЕШЕНИЕ

В соответствие с определением класса манометра абсолютная погрешность

МПа

МПа

Тогда искомая относительная погрешность

ЗАДАЧА № 10

По результатам 5+k измерений были получены статистические характеристики температуры: оценки математического ожидания mt и среднего квадратичного отклонения (с.к.о.) St = 0,5 С°

Вычислить:

1) при условии нормального распределения результатов измерений температуры доверительную вероятность выполнения неравенства

¦mt - m⁰t¦? (0,7 +0.01n)°С

2) для заданной доверительной вероятности Я = 0,8 определить доверительный интервал для дисперсии.

Номер зачетной книжки 615, n=1, k=5 тогда число измерений 5+k=5+5=10, а (0,7 +0.01n)°=0.7+0.01·1=0.71 следовательно неравенство будет иметь вид

¦mt - m⁰t¦? 0,71°С

РЕШЕНИЕ

Первую часть задачи решаем, используя распределение Стьюдента

Для случая симметрии относительно оценки m^o имеем:

I_mв = (m^o - е_mв, m^о + е_mв); P {m^o - е_mв ? m ? m^о + е_mв} = в.

Перепишем выражение для доверительной вероятности:

Р m^o _- m ? е_mв = в,

для заданного неравенства это выражение будет иметь вид:

Р m_{t -} m_t^o ? е_mв = в,

где е_mв = 0,71^оС.

Определение доверительной вероятности может быть сведено к использованию таблицы распределения Стьюдента, приведенной в Приложении Б и формулы:

е _mв = t_в (D^o/N),

где D^o - оценка дисперсии;

t_в = F_m (N-1, в) - функция от доверительной вероятности и числа степеней свободы, квантиль или коэффициент Стьюдента;

N - количество измерений.

Оценку дисперсии можно определить по известной оценке с. к. о. :

D^o = (у_t⁰) ² = 0,5² = 0,25 (^оС) ².

Тогда квантиль t_в выводим из формулы:

t_в = е_mв / (^o /),

Зная коэффициент Стьюдента t_в =4,49 и количество степеней свободы

(t_в = 4,49; N-1=10-1=9), по таблице распределения Стьюдента, определим доверительную вероятность в, примем в = 0,99 так как для N-1=9 максимальное значение в = 0,99 наступает при t_в =3,250.

Решим вторую часть задачи

Доверительный интервал для дисперсии I_Dв и соответствующая доверительная вероятность в имеют следующий вид:

I_Dв = (D_1в, D_2в), P { D_1в ? D ? D_2в} = в,

где D_1в и D_{2 в} определяются по формулам

D_1в = D^o (N-1) / V_2в,

D_{2 в} = D^o (N-1) / V_1в.

где V - специальная случайная величина, которую можно представить соотношением, с использованием оценок m^o и D^o:

V = D^o (N-1) / D

Величина V распределена по закону Пирсона с N-1 степенями свободы. Таблица распределения Пирсона приведена в Приложении В, на основе которой по задаваемым некоторым дискретным значениям р и 1 ? N-1? 30 определяется величина:

V_р = F_D (N-1, р)

где V_р - это функция закона распределения Пирсона.

Введем V_1в, V_2в - граничные точки интервала для случайной величины V; пусть их значения таковы, что для заданной доверительной вероятности р соответствующие вероятности (р₁ и р₂) вычисляются следующим образом :

Р= р₂ = ;

V₂ = F_D

Тогда

,

и для них определим граничные точки интервала для случайной величины V это - V_1в, V_2в формулы.

При этом используем таблицы распределения Пирсона, приведенные в Приложении В.

При N-1 = 10-1=9 и р₁ = 0,1, р₂ = 0,9 граничные точки интервала будут равны: V_1в = 4,168 и V_2в = 14,684.

Определим искомый доверительный интервал:

I_Dв = (D_1в, D_2в) или I_Dв = ().

Подставляем численные значения и получаем:

где D_1в = 0,54 и D_2в = 0,153 доверительная вероятность при этом будет иметь вид:

Р{0,153 ? D ? 0,54} = в = 0,8.

ЗАДАЧА № 11

Тепловой поток Q (Вт), отводимый от теплообменного аппарата, может быть определён на основе косвенного измерения по формуле:

Q=G·с· (t_o-t₁),

где G - расход рабочего тела (кг/с),

t_o, t₁-температура рабочего тела на входе и выходе теплообменного аппарата,

c-удельная теплоёмкость рабочего тела (Дж/кг) - является табличной характеристикой.

Величины G, t_o, t₁ - определяются с помощью прямых измерений расхода и температур при с. к. о. погрешностей измерения =0,5 кг/с, =0,5°С.

Вычислить - с. к. о. погрешности измерения Q при с = 4, 19·10³ Дж/кг°С, G=45+1.0k кг/с, t_o=25°С, t₁=5+1.0n°С.

Номер зачетной книжки 615, n=1, k=5 тогда

G=45+1.0k =45+1·5=50 кг/с, t_o=25°С, t₁=5+1.0·1=6°С.

РЕШЕНИЕ

Чтобы оценить погрешности косвенного измерения необходимо определить характеристики (параметры) измерений:

у_s - с. к. о.;

(у_s) ² - дисперсию;

(у_s^о) ² - оценку дисперсии.

Они определяются по формулам как сумма частных производных G по х_{s -} это оценка дисперсии результирующей погрешности:

() ² = .

Если вернуться к нашему примеру с исходной зависимостью

Q = G· с· (t_{0 -} t₁),

то частные производные Q по G, t₀, t₁ будут иметь вид:

= сЧ (t₀ - t₁), = GЧc, = - GЧc.

Подставим численные значения:

= 4, 19·10³ · (25-6) = 79,61·10³;

= 50·4, 19·10³ = 209,5·10³;

= - 209,5·10³.

Тогда суммарная оценка погрешности косвенного измерения выделенного тепла (или оценка дисперсии результирующей погрешности) будет:

() ² = + +

(у_Q) ² = (79,61·10³) ²·0,5² + (209,5·10³) ²· 0,5² + ( - 209,5·10³) ²·0,5²= 23529,56·10⁶;

кДж

ЗАДАЧА № 12

Температура t°С может быть оценена с помощью косвенного измерения на основе формулы, выражающей зависимость величины термосопротивления (ТС) меди от температуры в виде

Rt = R0 (1+бt),

где б - температурный коэффициент сопротивления меди

Rt, R0 - величина ТС при 0°С и при t°С соответственно.

Сопротивление Rt определяется по формуле

где Rл - сопротивление подводящих проводников,

U - падение напряжения

I - сила тока

Величины U и I, измеряемые вольтметром и амперметром, являются результатом прямых измерений с погрешностями ?U =0,01В, ?I = 0,01А.

Вычислить погрешность измерения температуры ?t при

Номер зачетной книжки 615, n=1, k=5

U_изм =5+1.0k =5+5=10 В,

I = 0,60+0,01n =0.6+0,01·1 = 0.61 А,

б = 4,26 ·10Їі (°С)^-1,

значения погрешностей

Rл = 0.5 Ом

R0 = 10 Ом

РЕШЕНИЕ

Используя формулу и то, что сопротивление Rt определяется по формуле , приравняем формулы и получим

и выразим t и преобразуем формулу

Используем аналог полного дифференциала от функции:

Значение погрешностей ?U =0,01В, ?I = 0,01А, а значения погрешностей ДRt, ДR0 будем считать ничтожно малыми тогда выражение примет вид

Находим численные значения частных производных от t по U, I, Rл и R0



и подставляем их в формулу

и получим

°С

Список используемой литературы

1. Гетманов В.Г., Жужжалов В.Е. Метрология, стандартизация и сертификация. М.: МГТА - 2003.-77с.

2. Бурдун, Г.Д. Основы метрологии [Текст]: Учебное пособие для вузов / Г.Д. Бурдун, Б.Н. Марков. - М.: Изд-во стандартов, 1985. - 256 с.

3. Тартаковский Д.Ф., Ястребов А.С. Метрология, стандартизация и технические средства измерений. М.: «Высшая школа». - 2002.-205с.

параметр температура математическое отклонение давление

Приложение А

Таблица 1 - Интеграл вероятности

у	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	009
0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8079	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9206	0,9418	0,9429	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545

Приложение Б

,

Таблица 2 - Распределение Стьюдента

Я N-1	0,10	0, 20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	0,95	0,98	0,99
1	0,158	0,325	0,510	0,727	1,000	1,376	1,963	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657
2	0,142	0,289	0,445	0,617	0,816	1,061	1,386	1,886	2,920	4,303	6,964	9,925
3	0,137	0,277	0,424	0,584	0,765	0,978	1,250	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841
4	0,134	0,271	0,414	0,569	0,741	0,941	1, 190	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604
5	0,132	0,267	0,408	0,559	0,727	0,920	1,156	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032
6	0,131	0,265	0,404	0,553	0,718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707
7	0,130	0,263	0,402	0,549	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499
8	0,130	0,262	0,399	0,546	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355
9	0,129	0,261	0,398	0,543	0,703	0,883	1,100	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250
10	0,129	0,260	0,397	0,542	0,700	0,879	1,093	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169
11	0,129	0,260	0,396	0,540	0,697	0,876	1,088	1,363	1,796	2, 201	2,718	3,106
12	0,128	0,259	0,395	0,539	0,695	0,873	1,083	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055
13	0,128	0,259	0,394	0,538	0,694	0,870	1,079	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012
14	0,128	0,258	0,393	0,537	0,692	0,868	1,076	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977
15	0,128	0,258	0,393	0,536	0,691	0,866	1,074	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947
16	0,128	0,258	0,392	0,535	0,690	0,865	1,071	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921

Приложение В

,

Таблица 3 - Распределение Пирсона

Р N-1	0,01	0,02	0,05	0,10	0, 20	0,30	0,50	0,70	0,80	0,90	0,95	0,98	0,99
1	0,00016	0,000628	0,00393	0,0158	0,0642	0,148	0,455	1,074	1,642	2,706	3,841	5,412	6,635
2	0,0201	0,0404	0,103	0,211	0,446	0,713	1,386	2,408	3,219	4,605	5,991	7,824	9,210
3	0,115	0,185	0,352	0,584	1,005	1,424	2,366	3,665	4,642	6,251	7,815	9,837	11,345
4	0,297	0,429	0,711	1,064	1,649	2, 195	3,357	4,878	5,989	7,779	9,488	11,668	13,277
5	0,554	0,752	1,145	1,610	2,343	3,000	4,351	6,064	7,289	9,236	11,070	13,388	15,086
6	0,872	1,134	1,635	2, 204	3,070	3,828	5,348	7,231	8,558	10,645	12,592	15,033	16,812
7	1,239	1,564	2,167	2,833	3,822	4,671	6,346	8,383	9,803	12,017	14,067	16,622	17,475
8	1,646	2,032	2,733	3,490	4,594	5,527	7,344	9,524	11,030	13,362	15,507	18,168	20,090
9	2,088	2,532	3,325	4,168	5,380	6,393	8,343	10,656	12,242	14,684	16,919	19,679	21,666
10	2,558	3,059	3,940	4,865	6,179	7,267	9,342	11,781	13,442	15,987	18,307	21,161	23, 209
11	3,053	3,609	4,575	5,578	6,989	8,148	10,341	12,899	14,631	17,275	19,675	22,618	24,725
12	3,571	4,178	5,226	6,304	7,807	9,034	11,340	14,011	15,812	18,549	21,026	24,054	26,217
13	4,107	4,765	5,892	7,042	8,634	9,926	12,340	15,119	16,985	19,812	22,362	25,472	27,688
14	4,660	5,368	6,571	7,790	9,467	10,821	13,339	16,222	18,151	21,064	23,685	26,873	29,141
15	5,229	5,985	7,261	8,547	10,307	11,721	14,339	17,322	19,311	22,307	24,996	28,259	30,578
16	5,812	6,614	7,962	9,312	11,152	12,624	15,338	18,418	20,465	23,542	26,296	29,633	32,000

Размещено на Allbest.ru