6. Элемент табл. 2.2, соответствующий разрешающему элементу табл. 2.1, равен обратной величине разрешающего элемента.

7. Элементы строки табл. 2.2, соответствующие элементам разрешающей строки табл. 2.1, получаются путем деления соответствующих элементов табл. 2.1 на разрешающий элемент.

8. Элементы столбца табл. 2.2, соответствующие элементам разрешающего столбца табл. 2.1, получаются путем деления соответствующих элементов табл. 2.1 на разрешающий элемент и берутся с противоположным знаком.

9. Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника: мысленно вычерчиваем прямоугольник в табл. 2.1, одна вершина которого совпадает с разрешающим элементом, а другая -- с элементом, образ которого мы ищем; остальные две вершины определяются однозначно. Тогда искомый элемент из табл. 2.2 будет равен соответствующему элементу табл. 2.1 минус дробь, в знаменателе которой стоит разрешающий элемент, а в числителе -- произведение элементов из двух неиспользованных вершин прямоугольника.

10. Как только получится таблица, в которой в последней строке все элементы отрицательны, считается, что минимум найден. Минимальное значение функции равно свободному члену в строке целевой функции, а оптимальное решение определяется свободными членами при базисных переменных. Все свободные переменные в этом случае равны нулю.

11. Если в разрешающем столбце все элементы отрицательны, то задача не имеет решений (минимум не достигается).

Пример Решение задачи симплекс-методом:

-x1+x2+x3=1

x1-x2+x4=1

x1+x2+x5=2

Zmax=2x1-x2+3x3-2x4+x5

Приведем задачу к виду, допускающему применение симплекс-алгоритма:

x3=1-(-x1+x2);

x4=1-(x1-x2);

x5=2-( x1+x2).

станок резание балка ограничение

Подставим в выражение Zmax величины х3, х4, х5:

Zmax=6x1-7x2+3.

По алгоритму целевая функция должна стремиться к минимуму:

Zmin=-Zmax=-6x1+7x2-3=-3-(6x1-7x2).

Составим симплекс-таблицу:

Разыскиваем в последней строке наименьший положительный элемент, в нашем примере он равен +6, первый столбец коэффициентов будет разрешающим. Определим отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца. Минимальное симплекс-отношение равно 1. Разрешающий элемент находится на пересечении строки переменной x4 и столбца - х1.

Переходим к следующей таблице, используя правило прямоугольника:

В последней строке нет положительных элементов, следовательно, оптимальное решение найдено: Zmin= -9; Х=(0; 0; 2; 1; 1); Zmax=-Zmin=9.

Пример 2.

В результате перевода технических ограничений в линейный вид были получены следующие неравенства:

z = -1,811+ Х2 + Х1>max

z = 1,811-(Х2 + Х1)

1)

2)

3)

4)

В последней строке таблицы 4 все элементы отрицательны, следовательно оптимальные значения найдены Х1 = 1,35 и Х2 = 0,99.

В данной практической работе необходимо оптимизировать скорость резания и подачу с помощью симплекс-таблиц. Варианты задания те же, что и для практической работы №1. Пример расчета

Практическая работа №3

Моделирование динамических процессов в технологических системах.

Расчет собственных частот и собственных форм колебаний.

Собственные частоты. Решение уравнения

,

где ; ; с - коэффициент жесткости системы; k - коэффициент демпфирования системы; m - масса системы; соответствующее гармоническим колебаниям с частотой и начальной фазой , имеет вид

q(t)=vsin(t+), (3.1)

Здесь v - постоянный вектор (матрица-столбец), характеризующий соотношение между различными обобщенными координатами в решении данного вида. Частота и вектор v удовлетворяют матричному уравнению

(С-2A)v=0, (3.2)

эквивалентному системе n линейных однородных алгебраических уравнений относительно компонентов вектора v. Условие существования ненулевого решения однородной системы (3.2) приводит к характеристическому уравнению

det(С-2A)=0, (3.3)

или в развернутой форме

(3.4)

Число положительных корней этого уравнения равно числу степеней свободы n. Согласно уравнению (3.1) эти корни представляют собой угловые частоты свободных колебаний линейной системы, называемые собственными частотами системы. Упорядоченную совокупность собственных частот

12…n, (3.5)

называют спектром собственных частот (данной системы).

Характеристическое уравнение (3.3) или (3.4) называют уравнением собственных частот. Его можно представить в одной из следующих эквивалентных форм:

det(E-2C-1A)=0, det(A-1C-2E)=0, (3.6)

Собственные формы колебаний. Как уже указывалось, вектор v характеризует соотношение между обобщенными координатами при колебаниях с частотой . Каждой собственной частоте j соответствует вектор vj, характеризующий форму колебаний системы с этой собственной частотой. Векторы v1, v2,...,vn называются собственными формами колебаний или просто собственными формами.

Собственные формы определяются из однородной системы (3.2) после подстановки в нее соответствующих собственных частот. Если собственная частота l -простой корень уравнения (3.3), то ранг системы (3.2) равен n-1. Пусть отбрасывание последнего уравнения системы дает систему n-1 линейно независимых уравнений. Тогда для определения компонентов вектора

vl=, (3.7)

получаем систему n-1 уравнений

(j=1, 2,…,n-1), (3.8)

Форма колебаний определяется при этом с точностью до произвольного постоянного множителя.

Если собственная частота l имеет кратность r, то ранг системы (3.2) равен n-r. Пусть переменные занумерованы так, что независимыми оказываются первые n-r уравнений

(j=1, 2,…,n-r), (3.9)

Решение этой системы содержит r произвольных постоянных, которые могут быть выбраны так, чтобы получить r независимых собственных форм, соответствующих r-кратной собственной частоте l. Итак, каждой собственной частоте соответствует собственная форма колебаний. Дополняя спектр собственных частот (6.5) совокупностью собственных форм

v1, v2,...,vn, (3.10)

образуем спектр собственных колебаний системы.

Свойства собственных частот и собственных ферм колебаний. Как следует из уравнения (3.2), квадраты собственных частот 2 равны собственным значениям матрицы A-1C, а собственные формы v равны собственным векторам этой матрицы. Поскольку матрица A-1C - симметризуемая и положительно определенная, то из известных теорем линейной алгебры следует:

1) все собственные частоты действительны;

2) собственные формы, соответствующие различным собственным частотам, попарно ортогональны с весом матрицы А, т.е.

; , (3.11)

В развернутой форме это соотношение имеет вид

; , (3.12)

3) собственные формы, соответствующие различным собственным частотам, попарно ортогональны с весом матрицы С:

; , (3.13)

Запишем это условие ортогональности в развернутом виде:

; , (3.14)

4) собственные формы v1, v2,...,vn являются линейно независимыми и образуют базис в n-мерном векторном пространстве Wn.

В случае кратных собственных частот всегда можно провести соответствующую ортогонализацию линейно независимых векторов; поэтому перечисленные свойства в полной мере распространяются на кратные частоты.

Обобщенные соотношения ортогональности (3.11) и (3.13) имеют энергетический смысл. Входящие в эти условия билинейные формы аналогичны квадратичным формам кинетической и потенциальной энергии соответственно. Условие (3.11) называют условием ортогональности по кинетической энергии, условие (3.13) - ортогональности по потенциальной энергии.

Пример 1. Пример крутильных колебаний вала. Пусть N=3, причем J1=J2=J3=J, c1,2=c2,3=с. Матрицы А и С принимают вид

А, С.

Характеристическое уравнение (3.4) имеет корни

1=0, 2=(с/J)1/2, 3=(3с/J)1/2,

так что среди собственных частот ротора содержится одна нулевая. Собственные формы найдем из системы уравнений (6.2)

Последовательно подставляя в эти уравнения вместо l собственные частоты 1, 2, 3, найдем после нормирования, что

v1, v2, v3.

Легко убедиться в том, что все перечисленные выше свойства собственных частот и собственных форм выполняются.

Нормальные (главные) координаты. Сформируем по столбцам из собственных форм квадратную матрицу V

V=(v1, v2,...,vn)=, (3.15)

Преобразование подобия при помощи матрицы V приводит матрицу A-1C к диагональному виду, т.е.

V-1A-1CV=diag, (3.16)

а подстановка

q=Vq?, (3.17)

связывающая первоначальные обобщенные координаты с новыми обобщенными координатами , приводит уравнение к виду

+diagq'=0, (3.18)

Матричное уравнение (3.18) описывает независимые колебания с собственными частотами 1, 2,…,n,, относительно вновь введенных обобщенных координат :

, (3.19)

Обобщенные координаты системы, которые описывают несвязанные свободные колебания, называют нормальными (главными) координатами. Нормальными координатами широко пользуются как при качественном описании колебательных процессов, так и в прикладных вибрационных расчетах. Формула (6.17), связывающая произвольно выбранные и нормальные обобщенные координаты, в развернутом виде записывается так:

, (3.20)

Матрица преобразования (3.15) является ортогональной. Формула обратного преобразования имеет вид

, (3.21)

В нормальных координатах квадратичные формы кинетической и потенциальной энергий приводятся к сумме квадратов:

; , (3.22)

Свободные колебания, удовлетворяющие начальным условиям. Пусть при t=0 заданы значения всех обобщенных координат и обобщенных скоростей:

q(0)=q0; =, (3.23)

Здесь q0 и - числовые векторы. Общее решение уравнения свободных колебаний равно сумме n частных решений, каждое из которых описывает колебания с собственной частотой и собственной формой v. Представим это решение в виде

, (3.24)

Постоянные в правой части находят из условий (3.23) с учетом соотношений ортогональности (3.11) или (3.13). Например,

, , (3.25)

Эти формулы (как и некоторые последующие, в которых используются разложения по собственным формам) можно упростить, если ввести нормированные собственные формы, т.е. если выбрать произвольный множитель, с точностью до которого определяются собственные формы, из условий нормировки

, (3.26)

Пример 2.

К цилиндрической пружине подвешен груз массой m=2 кг=2. Груз может перемещаться только в вертикальном направлении. Определить частоту собственных колебаний груза без учёта и с учётом массы пружины. Средний диаметр пружины D=6 см; диаметр проволоки пружины d=0,6 см; число витков n=15; плотность материала =7,85 т/м3; модуль сдвига G=8107 кПа.

Решение.

Жесткость пружины:

Частота собственных колебаний без учёта массы пружины:

Приведенная масса пружины:

Частота собственных колебаний с учётом массы пружины:

Свободные колебания стержневых систем.

Пример 3.

Определить частоты собственных колебаний невесомой консольной балки с двумя равными сосредоточенными массами (рис. 3.1, а). Построить собственные формы колебаний, проверить их ортогональность.

Решение.

Прикладываем поочередно силу в точках расположения масс m1 и m2 и строим эпюры изгибающих моментов и (рис. 3.1, б, в).

Путем перемножения соответствующих эпюр способом Верещагина вычисляем единичные перемещения:

;

;

Рис. 3.1

Частотный определитель:

или

где

Частотное уравнение: 2-4,67+1,67=0

1=4,28; 2=0,39.

Собственные частоты колебаний:

;

Система алгебраических уравнений относительно амплитуд колебаний А1 и А2:

Полагая A1=l, находим А2 из первого уравнения системы сначала при =1, а затем при =2:

Формы колебаний представлены на рис. 3.1, г, д.

Проверяем выполнение условия ортогональности:

m11A11A12+m2A21A22=0,5(11-0,283,61)=0.

Крутильные колебания валов.

Пример 4.

Определить собственные частоты и формы колебаний системы, состоящей из трех дисков с моментами инерции масс I1=0,2Нмс2; I2=0,3Нмс2; I3=0,1Нмс2; укрепленных на стальном валу с жесткостями С1=0,1кНм и С2=0,2кНм (рис. 3.2, б).

Решение.

Уравнения движения системы, составленные прямым методом, таковы: