Расчет динамики акустических колебаний в канале постоянного сечения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Балтийский государственный технический университет

БГТУ «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова

Кафедра А-4

Динамика конструкций

Расчет динамики акустических колебаний в канале постоянного сечения

Выполнил: Букша А.Ю.

Группа: А-473

Проверил: Синильщиков В.Б.

Санкт - Петербург

2011



Задание

Рассчитать динамику акустических колебаний в канале постоянного сечения (трубе) длиной l=0,5 м, один край которого закрыт, а на другом задан закон изменения избыточного давления , где =1000 Па, f=10 Гц.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Указание: нестационарные акустические процессы описываются волновым уравнением , с=323 м/с - скорость звука. Граничное условие на непроницаемой стенке для давления имеет вид . Для аппроксимации дифференциального уравнения использовать явную схему с центральными трехточечными аппроксимациями вторых производных. Расчет прекратить при t=10/f.



1. Алгоритм решения

Решение задачи производится численным методом с использованием разностной явной схемы. Основное уравнение описано во вторых производных по времени и координате :

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для численного решения необходимо ввести сетку координатных промежутков и временных слоев. Координатный отрезок разбивается произвольно на равные отрезки, в данном решении отрезок разбивается на 100 отрезков, т.е. вводим Выбор шага по времени тесно связан с устойчивостью выбранного метода и не может быть выбран произвольно. Расчет шага по времени будет приведен ниже.

Шаблон разностной явной схемы выглядит следующим образом:

В соответствии с крестообразной схемой для вычисления значения параметра на следующем временном слое используют значение параметра на текущем временном слое, значения параметра в двух соседних узлах на том же временном слое, а также значение параметра в этом узле на предыдущем временном слое. Основное уравнение аппроксимируется, в соответствии с выбранным методом, следующим выражением:

Очевидно, что необходимо аппроксимировать граничные условия, как по координате, так и по времени. Значение параметра в нулевом узле на всем временном промежутке задается условиями задачи:

Для аппроксимации граничного условия на непроницаемой стенке необходимо ввести фиктивный узел в координатную сетку . Тогда данное условие будет иметь следующий вид:

Что касается граничного условия по времени, то предполагая, что до начала расчета система находилась в покое, избыточное давление во всех точках сетки на временном слое предшествующему началу расчета считаем равным нулю: акустический колебание канал численный метод

Для расчета значения параметра на следующем временном слое преобразуем уравнение (1.) в следующий вид:

2. Расчет шага по времени обеспечивающего устойчивость

Для отыскания шага интегрирования по времени, обеспечивающего устойчивость метода, используем представление ошибки интегрирования по форме Фурье. На каждом временном слое ошибка будет иметь следующий вид:

где - волновое число (частота возникновения ошибки по координате);

- фаза;

- амплитуда ошибки на данном временном слое.

В силу линейности аппроксимации для определения погрешности будем использовать уравнение (2.):

Используя тригонометрическое свойство:

Преобразуем уравнение (3.):

Исходя из того, устойчивой схема является когда:

Получаем:

Заметим, что:

Окончательно:

Определяем дискриминант:

Если дискриминант уравнения отрицателен, то корни будут комплексно-сопряженными и по модулю равными единице.

Тогда, так как 2 первых сомножителя всегда будут положительными числами:

Отсюда условие устойчивости шага по времени:

Такой вывод объясняется и с той точки зрения, что шаг по времени не должен быть больше интервала времени, за которое волна сжатия преодолевает отрезок разбиения по координате.

3. Код программы

program dinamics_of_acoustic_fluctuations;

const c = 323;

p0 = 1000;

f = 10;

l = 500.0e-3;

nx = 100;

function CutReal(X: Real; Count: Integer): real;

var S,T,R: String;

N,M,K: Integer;

begin

S:=FloatToStr(X);

N:=Pos('.', S);

M:=Pos('E', S);

K:=Length(S);

if N>0 then N:=N+Count;

T:=Copy(S, 1, N);

R:=Copy(S,M,K);

Insert(R,T,N+1);

Result:=StrToFloat(T);

end;

var k,i,ntv : integer;

P,Pn,Po : array [0..nx+1] of real;

t,dx,dt,tk,dtv : real;

st : string;

str7 : string[7];

rezfile : text;

begin

tk:=10/f; t:=0; k:=0; dx:=l/nx;

dt:= dx/c;

dt:= CutReal(dt,2);

dtv:=0.0005; ntv:= round(dtv/dt);

for i:=0 to nx+1 do P[i]:=0; Pn:=P;Po:=P;

assign (rezfile,'rezult.txt'); rewrite (rezfile);

repeat

P[0]:=p0*sin(2*pi*f*t);

for i:=1 to nx do

Pn[i]:=2*P[i]-Po[i]+sqr(c*dt/dx)*(P[i-1]-2*P[i]+P[i+1]);

Pn[0]:=P[0];

Pn[nx+1]:=Pn[nx-1];

Po:=P;

P:=Pn;

if (k mod ntv)=0 then

begin

if (k mod (20*ntv))=0 then

begin

write(rezfile,'t,c',' ');

for i:=0 to nx do

begin

Str(i:3,st);

str7:='P'+TrimLeft(st)+',Па'+' ';

write(rezfile,str7);

end;

writeln(rezfile);

end;

write(rezfile,t:1:4,' ');

for i:=0 to nx do

begin

Str(P[i]:4:1,st);

str7:=TrimLeft(st)+' ';

write(rezfile,str7);

end;

writeln(rezfile);

end;

k:=k+1;

t:=dt*k;

until t>=tk;

close (rezfile);

end.



4. Пример представления результатов

5. Графики



Размещено на Allbest.ru