Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени ВЛАДИМИРА ДАЛЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению контрольной работы 1

по дисциплине

«СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»

(для студентов заочной формы обучения)

УТВЕРЖДЕНО

на заседании кафедры

«Сопротивление материалов».

Протокол № от

12.12.04

ЛУГАНСК 2005

УДК 539.3/8

Методические указания для студентов заочного отделения по дисциплине «Сопротивление материалов» (для студентов заочного отделения, обучающихся по направлению «Инженерная механика») / Сост. Коструб В.А., Веретельник Е.А., Вербская Л.М., Луганск: Изд-тво ВНУ им. В. Даля, 2005. - 49 с.

Рассмотрены следующие темы: геометрические характеристики плоских сечений, действие растягивающих и сжимающих усилий, теория напряженного состояния, обобщенный закон Гука, теории прочности, расчеты на прочность при сдвиге и кручении.

Составители: Коструб В.А., доц.

Веретельник Е.А., асс.

Вербская Л.М., асс.

Отв. за выпуск

Рецензент

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Статические моменты сечения относительно произвольных осей y и z (рис.1.1) определяются следующим образом;

(1.1)

где F - площадь поперечного сечения.

Рис. 1.1

Знаки и определяются знаком координат z и y соответственно.

Координаты центра тяжести сечения:

(1.2)

Оси (), проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными.

Сечение, состоящее из нескольких частей, называется составным или сложным. Центр тяжести такого сечения при известных координатах центров тяжести его частей определяется по формулам:

 (1.3)

Моменты инерции сечения относительно произвольных осей y и z (рис.1.1) определяются следующим образом:

осевые (см⁴, м⁴) (1.4)

полярный (см⁴, м⁴) (1.5)

центробежный (см⁴, м⁴) (1.6)

Если одна из осей z или y, или обе они являются осями симметрии сечения, то центробежный момент инерции равен нулю .

Осевые и полярный моменты инерции всегда положительны. Знак центробежного момента зависит от знака координат y и z .

Осевые и полярный моменты инерции связаны между собой равенством:

. (1.7)

Моменты инерции сложного сечения равны сумме соответствующих моментов инерции составляющих его частей.

Если известны моменты инерции сечения относительно центральных осей и , то моменты инерции относительно осей им параллельных, определяются по формулам (рис.1.2):

 (1.8)

(1.9)

Рис. 1.2

При использовании формулы (1.9) учитываются знаки координат a и b, определяющие расстояния между параллельными осями.

При повороте центральных осей и в новое положение y и z на угол (если , то он отсчитывается против хода часовой стрелки) осевые моменты инерции принимают следующий вид (рис.1.3):

(1.10)

Суммируя почленно уравнения (1.10) , получим:

J_y + J_z = J_y0 + J_z0 = J_P = const. (1.11)

Центробежный момент инерции относительно осей y и z (рис.1.3) определяется из равенства:

. (1.12)

Рис. 1.3

При непрерывном повороте оси y и z могут занять так называемое главное положение, характерное тем, что центробежный момент сечения обращается в нуль, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения.

Если угол наклона таких осей (U и V) обозначить через , то приравняв нулю правую часть (1.12), можно получить формулу для его определения:

(1.13)

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями, а осевые моменты инерции относительно этих осей называются главными центральными моментами инерции сечения. Величину главных центральных моментов инерции можно вычислить, подставив значение из (1.13) и (1.10) или по следующей формуле, свободной от тригонометрических функций:

 (1.14)

Для того чтобы установить, к какой из осей (U или V) относится индекс max (min) , можно воспользоваться следующими правилами:

1. Если , ось «максимум» проходит через первый и третий квадранты, а если - через второй и четвёртый.

2. Ось «максимум» составляет наименьший угол с осью, относительно которой момент инерции имеет наибольшее значение. Например, если , то , т.к. ось U составляет с осью угол , а ось V с той же осью угол ();

3. Ось «минимум» пересекает значительно большую часть площади сечения, чем ось «максимум» (говорят, что ось «минимум» «тяготеет» к сечению).

ПРИМЕР 1. Для представленного на рис. 2.4 поперечного сечения, состоящего из двух двутавров №12, требуется:

Определить положение центра тяжести;

Вычислить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно произвольных центральных осей сечения;

Установить положение главных центральных осей и найти величину главных центральных моментов инерции;

Определить осевые моменты сопротивления.

Из сортамента прокатных сталей выбираем необходимые для вычерчивания сечений и геометрические характеристики. Строим заданное сечение в выбранном масштабе.

Двутавр №12:

Н=12 см;

b=6,4 см;

d=0,48 см;

F=14,7 см;

J_x=350 см⁴;

J_y=27,9 см⁴;

Рис. 2.4

Решение:

Определим положение центра тяжести сечения. Выбираем вспомогательную систему координат :

С учетом этих данных координаты центра тяжести сечения:

Отложив отрезок по оси , получим точку С - центр тяжести сечения. Через нее проводим оси и . Относительно этих осей и будем вычислять моменты инерции сечения.

2. Найдем расстояния между центральными осями всего сечения и осями его элементов:

Указание: при подстановке значений и необходимо учесть, что , т.к. эти оси перпендикулярны стенке двутавра, а , поскольку оси и параллельны этой стенке.

Центробежный момент инерции сечения:

.

При этом , т.к. и - оси симметрии двутавра.

3.Так как сечение симметрично относительно оси , то главные оси совпадают с главными центральными осями сечения:

4.Определим осевые моменты сопротивления:



Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение статическому моменту, осевому, полярному и центробежному моментам инерции. Каковы их свойства?

2. Какова зависимость между осевыми и полярным моментами инерции?

3. Как вычисляются координаты центра тяжести сложного сечения?

4. По каким формулам определяются моменты инерции при параллельном переносе осей и при повороте осей?

5. Какая ось называется центральной? Чем характерен статический момент относительно любой центральной оси?

6. Дайте определение главным центральным осям инерции сечения.

7. Как приблизительно оценить правильность определения осевых моментов инерции сечения?

8. Как визуально установить правильность определения знака центробежного момента инерции сечения, несимметричного относительно его центральных осей (например, сечения уголка)?

9. Какие правила применяются для определения оси «максимум» («минимум»)?

10. По каким условиям устанавливается правильность определения главных центральных моментов инерции?

Рекомендуемая литература

1. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов - 4-е изд. - Киев: Высшая школа,1979. - Глава 2, §4-12. - стр.13-31.

2. Кинасошвили Р.С. Сопротивление материалов - Изд-во «Наука»,1975. - Глава 7, §47-55. - стр. 161-184.

3. Фрегер Г.Е., Коваленко А.Г. и др. Практикум по сопротивлению материалов. - Луганск: ВУГУ, 1997. - Глава 2. - стр. 16-27.

РАСТЯЖЕНИЕ - СЖАТИЕ

Растяжением (сжатием) стержня называется такое напряженное состояние, при котором в любом его поперечном сечении все внутренние силы, распределённые равномерно по всему сечению, приводятся к равнодействующей осевой силе N, называемой продольной силой.

Применяя метод сечений, т.е. рассматривая равновесие любой отсечённой части стержня под действием внешних нагрузок и внутренней осевой силы N, получим, что продольная сила N равна алгебраической сумме проекций всех внешних нагрузок, находящихся по одну сторону сечения, на ось стержня.

При растяжении - сжатии, в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, которые определяются по формуле:

(2.1)

Условие прочности имеет вид:

(2.2)

здесь N - продольная сила;

F - площадь поперечного сечения;

- допускаемое напряжение материала стержня;

₀ - опасные напряжения материала (равные пределу текучести для пластичного материала и пределу прочности - для хрупкого);

n₀ - основной коэффициент запаса прочности.

Из условия прочности (2.2) можно вычислить необходимую площадь поперечного сечения стержня:

или определить допускаемую нагрузку:

или проверить надёжность конструкции.

Абсолютная величина деформации участка стержня при постоянной продольной силе, действующей на этом участке и известной площади поперечного сечения, определяется по закону Гука:

(2.3)

где Е - модуль продольной упругости или модуль Юнга.

При действии на некотором участке стержня продольной равномерно распределённой нагрузки интенсивностью q, продольная сила определяется следующим образом:

(2.4)

где N₀ - продольная сила в начале участка.

В этом случае напряжения можно вычислить по формуле:

(2.5)

Деформации только от распределённой нагрузки равны:

. (2.6)

С учётом всех нагрузок деформацию участка стержня длиной L проще всего определять по формуле:

(2.7)

где - средняя величина продольной силы на участке с распределённой нагрузкой.

Если у системы (конструкции) число связей (следовательно, реакций связей) больше чем число уравнений статики, то такие системы называются статически неопределимыми. По числу «лишних» связей определяют степень статической неопределимости системы. Для составления недостающих уравнений, исходя из условий совместности деформаций, рассматривают геометрическую сторону задачи и находят связь между деформациями элементов конструкции. Выражая деформации в соответствии с законом Гука через усилия, получим недостающие уравнения.

ПРИМЕР 1.

1. Представленный на рис.2.1 ступенчатый стержень нагружен системой внешних нагрузок. Требуется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.



Рис. 2.1

Решение:

Определяем на участках стержня значения продольных сил:

кН;

кН;

кН;

при кН.

при м кН.

.

Эпюра продольных сил приведена на рис.2.2. Находим на каждом участке величины напряжений:

Па = 100 МПа;

Па = 50МПа;

Па = 33 МПа;

Па = МПа;

Эпюра нормальных напряжений показана на рис.2.2.

Рис. 2.2

Эпюра перемещений строится со стороны закреплённого конца, т.к. защемлённое сечение неподвижно, т.е. Далее определяем перемещения соответствующих точек стержня:

т.к. , получим

м

На участке 4-5 эпюра перемещений имеет экстремум в сечении , где продольная сила равна нулю. Найдём значение из условия:

м

и тогда экстремальное значение перемещения на этом участке будет:

м.

Определяем перемещение сечения «3», которое равно деформации участка 6-3,при известных деформациях участков 5-6 и 4-5:

м.

Аналогично определяем:

м.

м.

Эпюра перемещений представлена на рис.2.2.

Анализ эпюр показывает, что сосредоточенные силы вызывают скачки в эпюрах «N» и «», а в эпюре «» - излом. На участках с распределённой нагрузкой эпюры «N» и «» переменны, а эпюра «» изменяется по параболическому закону. Резкое изменение поперечного сечения вызывает скачок на эпюре «» (сечение «3»).

ПРИМЕР 2. Ступенчатый брус защемлён обеими концами и нагружен системой внешних нагрузок, как показано на рис.2.3. Материал бруса - сталь (ст. 3) с пределом текучести МПа и основным коэффициентом запаса прочности . Модуль упругости МПа. Площадь сечения принять .

Требуется:

Построить эпюру «N» в долях «Р»;

Построить эпюру «» в долях «P / F»;

Определить из условия прочности допускаемую нагрузку [ P ];

При данной нагрузке [ P ] построить эпюру перемещений «».

Рис. 3

Решение:

Из уравнений равновесия определим реакции опор (рис.2.4а).

Имеем систему сходящихся сил, для которой уравнение равновесия имеет вид:

.

Т.е. одно уравнение статики с двумя неизвестными R₁ и R₂. Система один раз статически неопределима.

Рис. 2.4

Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Поскольку опорные сечения неподвижны, их взаимное перемещение равно нулю, т.е.

Освободим один конец стержня (верхний) как показано на рис.2.4б. В соответствии с принципом независимости действия сил, взаимное перемещение определяется как сумма деформаций от действующих на стержень нагрузок:

Запишем последнее выражение, заменив каждую составляющую с помощью закона Гука:

Умножив обе части этого уравнения на и подставив значения усилий Р₁ = Р и Р₂ = 3Р, получим:

откуда

Знак минус указывает на то, что направлена в противоположную сторону. На рис.2.4 старое направление зачёркнуто, а действительно направленная вниз реакция

Построим эпюру N в долях Р (рис.2.4в), для чего запишем выражения продольной силы на каждом участке стержня:

Учитывая площади поперечных сечений каждого участка, находим напряжения и строим эпюру нормальных напряжений в долях P / F (рис.2.4г):

Очевидно, что наибольшее напряжение .

Запишем условие прочности:

где Мпа.

Тогда

кН.

Построим эпюру перемещений, определив смещения в характерных точках стержня.

м;

м.

м.

Как видно из результатов расчёта, перемещения в защемлённых сечениях 1 и 5 равны нулю, что подтверждает правильность решения. Эпюра перемещений показана на рис.2.4д.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие напряжения возникают при растяжении или сжатии и чему они равны?

2. Как выглядит условие прочности при растяжении (сжатии) и какие задачи оно решает?

3. Как определяются деформации при растяжении (сжатии)?

4. Что произойдёт с конструкцией при нарушении условия прочности?

5. Что такое коэффициент запаса прочности и запас прочности?

6. Что называется продольной силой?

7. Какие системы называются статически неопределимыми?

8. Что такое условие совместности деформаций и как оно определяется?

9. Как определяются продольная сила, нормальные напряжения и деформации при действии на стержень распределённой продольной нагрузки?

Рекомендуемая литература

1 Писаренко Г.С.: Сопротивление материалов - 4-е изд. - Киев: Высшая школа,1979г. - Глава 4,5 §27-35 - стр.85-129.

2. Кинасошвили Р.С.: Сопротивление материалов - изд-во «Наука»,1975г. - Глава 2, §6-14 - стр. 22 - 48.

3. Фрегер Г.Е., Коваленко А.Г. и др. Практикум по сопротивлению материалов. - Луганск: ВУГУ, 1997г. - Глава 1 - стр. 4-16.

ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Для оценки прочности материала конструкции необходимо знать напряженное состояние в точке материала, которое характеризуется совокупностью нормальных и касательных напряжений, действующих на всех площадках, проходящих через данную точку. Изучение общего случая напряженного состояния проводится в теории упругости. Из теории упругости без доказательства примем следующее положение: при любом напряженном состоянии в данной точке упругого тела можно выделить прямоугольный параллелепипед, по граням которого будут действовать только нормальные напряжения, а касательные равны нулю().

Площадки, по которым действуют только нормальные напряжения, а касательные равны нулю, называются главными. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями и обозначаются ₁,₂,₃. Наибольшее из главных напряжений ₁, наименьшее ₃, так что всегда выполняется условие ₁> ₂ > ₃ (величины алгебраические). Если два главных напряжения равны нулю, то в этом случае элемент находится в линейном напряженном состоянии (рис.3.1а). Нетрудно заметить, что в линейном напряженном состоянии находится материал при растяжении-сжатии. Если одно из главных напряжений равно нулю, то в этом случае материал находится в плоском напряженном состоянии (рис 3.1б). Если все три главных напряжения не равны нулю, то элемент находится в объёмном напряженном состоянии (рис 3.1в).

Рис. 3.1

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Рассмотрим растянутый стержень, материал которого находится в линейном напряженном состоянии (рис.3.2). Напряжение в поперечном сечении: =.

Вычислим напряжения на наклонной площадке. Считая, что полное напряжение p равномерно распределяется по сечению, можно записать:

Рис. 3.2

,

где F - площадь наклонной площадки.

; .

Составляющие полного напряжения на наклонной площадке:

=p cos =psin или

=cos² (3.1)

= sin2 (3.2)

Анализируя выражения (3.1), (3.2) можно заменить:

_мах= при =0

_мах= при =45,

т.е. наибольшие нормальные напряжения действуют в поперечном сечении, а наибольшие касательные напряжения действуют на площадках под углом 45. При =90, т.е. в продольных сечениях =0, =0.

Правило знаков для и :

1) растягивающие нормальные напряжения будем считать положительными, сжимающие - отрицательными;

касательные напряжения будем считать положительными в том случае, если их направление таково, что внешняя нормаль для совмещения с касательным напряжением должна поворачиваться на 90 по часовой стрелке.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

При исследовании напряженного состояния элементов конструкции наиболее часто приходится иметь дело с плоским напряженным состоянием. Оно встречается при сдвиге, кручении, изгибе и сложном сопротивлении.

Рассмотрим элемент, по граням которого действуют главные напряжения ₁ и ₂ (₃=0) (рис. 3.3).



Рис. 3.3

Определим напряжения на наклонной площадке - и . Напряжения и на наклонной площадке будут вызываться как действием ₁, так и действием ₂ . Применяя принцип суперпозиции, т.е. рассматривая данное плоское напряженное состояние как наложение двух ортогональных линейных напряженных состояний, можем записать:

=+

= + ,

где и - напряжения от действия ₁;

и - напряжения от действия ₂.

Чтобы вычислить и воспользуемся непосредственно формулами (3.1) и (3.2), полученными при исследовании линейного напряженного состояния:

=₁cos²

= sin2.

Для значений и получим:

=₂cos²

= sin2, где =+90.

Так как

cos²=sin², sin2= sin2,

то

=₁cos²+₂sin² (3.3)

= (3.4)

Выясним, при каком наклоне площадок действующие по ним нормальные напряжения имеют экстремальную (наибольшую или наименьшую) величину. Для этого возьмем производную от и приравняем нулю:

Сопоставляя полученное выражение с формулой (3.4) видим, что условие экстремума для совпадает с условием равенства нулю касательных напряжений по соответствующим площадкам. Следовательно, нормальные напряжения имеют экстремальные значения в сечениях, где касательные напряжения равны нулю, т.е. по главным площадкам. Так как _{1 2} (₁ > ₂), следовательно, sin2=0. Решения этого уравнения:

1) =0; 2) =90.

Но площадки, характеризуемые этими углами - главные площадки. Таким образом, приходим к заключению, что экстремальными для нормальных напряжений будут величины главных напряжений , причем

_max= ₁ (при =0),

_min= ₂ (при =90).

Из формулы (3.4) видим, что как и при линейном напряженном состоянии, касательные напряжения достигают наибольшей величины при = 45, причем _max = .

СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ НА ДВУХ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОЩАДКАХ

Рассмотрим две взаимно перпендикулярные площадки при плоском напряженном состоянии (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Воспользуемся формулами (3.3) и (3.4) для нахождения напряжений на площадке, перпендикулярной к площадке (). Условимся такую площадку обозначать (). Нормаль n к ней образует с направлением ₁ угол = +90.

=₁cos²+₂sin²

=sin2

или

=₁sin²+₂cos² (3.5)

=sin2 (3.6)

Cкладывая левые и правые части равенств (3.3) и (3.5), получим:

+ = ₁ + ₂ ,

т.е. сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках не зависит от наклона этих площадок и равна сумме главных напряжений.

Сравнивая формулы (3.4) и (3.6), находим, что = , т.е. касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны по величине, но противоположны по знаку. Это свойство называют законом парности касательных напряжений.

В теории напряженного состояния можно выделить две основные задачи.

Прямая задача. В точке известны положения главных площадок и соответствующие им главные напряжения; требуется найти нормальные и касательные напряжения по этим площадкам, наклоненным под заданным углом к главным.

Обратная задача. В точке известны нормальные и касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам; требуется найти положение главных площадок и значения главных напряжений.

Обе задачи можно решать как аналитически, так и графически.

ПРЯМАЯ ЗАДАЧА В ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ. КРУГ НАПРЯЖЕНИЙ

Аналитически прямая задача решается с использованием формул (3.3) и (3.4). Проанализируем напряженное состояние, воспользовавшись простым графическим построением.

Итак, дано: ₁, ₂, угол наклона площадки .

.

Необходимо определить , на наклонной площадке.

Выбираем систему координат - (рис.3.5), в масштабе откладываем на оси абсцисс отрезки ОА=₁, ОВ=₂. На АВ как на диаметре строим окружность с центром в точке С. Построенный круг носит название круга напряжений Мора. Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках.

Построив центральный угол 2, на круге напряжений получим точку D, координаты которой и равны значениям и , т.е. DK= ; ОК=

Докажем это:

DK=CDsin2; CD=AC=BC=;

следовательно,

DK=sin2=.

ОК=ОВ+ВС+СК=₂++cos2=

=₂+(1+cos2)=₂+2cos²=₁cos²+₂sin²=.

Напряжения на площадке, перпендикулярной к рассмотренной, найдем, проведя луч под углом 2=2(+90)=2+180 и получив в пересечении с окружностью точку D. Следует подчеркнуть, что две точки круга - D , D, характеризующие напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках () и (), всегда лежат на концах одного диаметра D D.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА В ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

При практических расчетах наиболее часто удается определить напряжения на некоторых двух взаимно перпендикулярных площадках.

Пусть известны , и , . По этим данным требуется определить величины главных напряжений и положение главных площадок.

Решим задачу графически. Для определенности примем, что >, а >0. В системе прямоугольных координат - (рис.3.6а) нанесем точки D , с координатами , и D с координатами , .

Точки D и D лежат на концах одного диаметра. Соединив их, находим центр круга (точка С), и радиусом CD=CD проводим окружность, которая на оси абсцисс отсекает отрезки ОА=₁ и ОВ=₂.

Направление главных напряжений получим, соединив точку В с точкой D^' (направление ₁) и точку В с точкой D (направление ₂). Главные площадки перпендикулярны к найденным направлениям главных напряжений.

На рисунке 3.6б внутри исходного элемента выделен элемент, ограниченный главными площадками, по которым действуют главные напряжения ₁ и ₂

Используем построенный круг напряжений для получения аналитических выражений главных напряжений ₁ и ₂, соответствующих отрезкам ОА и ОВ.

Имеем:

₁=ОА=ОС+СА ; ₂=ОВ=ОСВС .

Очевидно, ОС=,

CA=CB=CD=.

Тогда

₁₌+;

или

₁=; (3.7)

₂=;

Из чертежа следует, что

tg_o= (3.8)

Эта формула и определяет единственное значение угла _о на который нужно повернуть нормаль n, чтобы получить направление большего из главных напряжений.

ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Если все три главные напряжения не равны нулю, то элемент испытывает объемное напряженное состояние (рис. 3.7).



Рис. 3.7

Исследуя деформации при объемном напряженном состоянии, будем в соответствии с основными гипотезами предполагать, что материал следует закону Гука, а деформации малы. Изучая простое растяжение-сжатие, мы выяснили, что относительная продольная деформация

,

а относительная поперечная деформация

.

Установим зависимости между деформациями и напряжениями в общем случае объемного напряженного состояния.

Применим принцип независимости действия сил и рассмотрим деформацию в направлении главного напряжения ₁. Можно записать, что

= ₁+₁+₁,

где ₁ - относительное удлинение в направлении ₁ , вызванное действием только напряжений ₁;

₁ - удлинение в том же направлении от действия только ₂;

₁ - удлинение в том же направлении, вызванное действием ₃ .

Поскольку направление ₁ для самого напряжения ₁ является продольным, а для напряжений ₂ и ₃ - поперечным, то применяя формулы, приведенные выше, найдем:

, , .

Сложив эти величины, получим:

₁==[₁(₂+₃)].

Аналогично получим выражения и для деформаций в направлении двух других главных напряжений (главные деформации). В результате:

₁=[₁(₂+₃)]

₂=[₂(₁+₃)] (3.8)

₃=[₃(₂+₁)]

Формулы (3.8) выражают обобщенный закон Гука для изотропного тела, т.е. зависимость между деформациями и главными напряжениями при объемном напряженном состоянии.

Из формул (3.8) легко получить формулы закона Гука для плоского напряженного состояния. Например, для случая ₃=0

₁= (₁₂)

₂=(₂₁)

₃=(₁+₂) .

Установим связь между относительным изменением объема _v и главными напряжениями. Пусть рассматриваемый элемент тела в виде прямоугольного параллелепипеда имеет до деформации размеры abc, а после деформации ребра элемента изменились и стали равными a+a, b+b, c+c. До деформации элемент занимал объем V_O=abc, а после деформации:

V=(a+a)(b+b)(c+c)=abc(1+)(1+)(1+).

Величины ₁=, ₂=, ₃= представляют собой относительные удлинения в направлении главных напряжений (главные удлинения).

V=abc(1+₁)(1+₂)(1+₃)=V_O(1+₁+₂+₃+₁₂+₂₃+₁₃+₁₂₃).

Учитывая незначительную величину относительных деформаций, последними четырьмя членами можно пренебречь

V=V_O(1+₁+₂+₃).

Тогда относительное изменение объема

Подставляя в полученное выражение формулы (3.8), получим:

_V=(₁+₂+₃) (3.9)

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ

Потенциальной энергией деформации называется энергия, которая накапливается в теле при его упругой деформации.

Величину потенциальной энергии деформации можно вычислить на основе закона сохранения энергии. Поскольку при статической нагрузке кинетическая энергия системы остается неизменной, то приращение потенциальной энергии U положения внешних сил U_П.

Уменьшение потенциальной энергии внешних сил численно равно работе А_Р, совершенной ими при деформации. Следовательно, потенциальная энергия деформации равна работе внешних сил, затраченной при упругой деформации тела:

U=A_P (3.10)

В случае простого растяжения (сжатия) т.е. при линейном напряженном состоянии

U=A_P =(PL)

Количество потенциальной энергии, накапливаемое в единице объема, т.е. удельная потенциальная энергия, равна

u= ;

u=. (3.11)

Вычислим удельную потенциальную энергию деформации при объемном напряженном состоянии.

Пользуясь принципом независимости действия сил и предполагая постепенное возрастание главных напряжений от действия статических нагрузок, подсчитаем потенциальную энергию как сумму энергий, накапливаемых в единице объема материала под действием каждого из главных напряжений ₁, ₂, ₃ :

u = .

Подставим из обобщенного закона Гука значения ₁, ₂, ₃ через главные напряжения:

u=[₁(₂+₃)]+ [₂(₁+₃)]+ [₃(₂+₁)] .

После раскрытия скобок, получим :

u = [2(₁₂+₂₃+₃₁)] (3.12)

При деформации элемента изменяются как его объем, так и форма (из кубика он превращается в параллелепипед). В соответствии с этим можно считать, что полная удельная потенциальная энергия деформации

u=u_V+u_Ф,

где u_V - удельная потенциальная энергия изменения объема, т.е. энергия, накапливаемая за счет изменения объема;

u_Ф - удельная потенциальная энергия формоизменения, т.е. энергия, накапливаемая вследствие изменения формы элемента.

При объемном напряженном состоянии:

u_V= (₁+₂+₃)² ;

u_Ф=(₁² +₂² +₃² ₁₂+₂₃+₃₁) . (3.13)

ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

В случае центрального растяжения (сжатия) в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения . Условие прочности в данном случае имеет вид: _max [] .

Допускаемое напряжение [] здесь вполне определяется механическими испытаниями материала на растяжение (сжатие) и условиями работы детали.

Оценку прочности детали, находящейся в сложном напряженном состоянии, когда в данной точке на данной площадке одновременно действуют напряжения и , произвести на основе эксперимента затруднительно. Для оценки прочности деталей, находящихся в условиях сложного напряженного состояния, служат теории прочности, которые строятся на основе различных критериев прочности. Критерий прочности устанавливается на основании гипотез возникновения текучести материала или его разрушения. Каждому критерию прочности соответствует своя теория прочности.

Будем называть предельным напряженное состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала. Предельное напряженное состояние наиболее полно изучено экспериментально для простейшего случая - одноосного растяжения. Поэтому целесообразно сравнивать исследуемое сложное напряженное состояние с одноосным растяжением, устанавливая их эквивалентность. Эквивалентное напряжение _экв - напряжение, которое следует создать в одноосно растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным с исследуемым.

Существует много теорий прочности. Рассмотрим некоторые из них.

Теория наибольших касательных напряжений

(Теория Кулона)

Согласно этой теории, сложное напряженное состояние эквивалентно простому растяжению, если максимальное значение касательных напряжений в случае сложного напряженного состояния равно максимальному значению касательных напряжений простого напряженного состояния. В случае сложного напряженного состояния

_max= (3.14)

При простом напряженном состоянии (одноосное растяжение образца)

_max= (3.15)

Условие равнопрочности элемента и образца из одного и того же материала получим, приравнивая выражения (3.14) и (3.15).

_ЭКВ=₁-₃

Условие прочности принимает вид:

_ЭКВ[]; ₁₃[] (3.16)

Рассматриваемая теория (называемая часто третьей) устанавливает условия начала текучести, а не разрушения. Следовательно, данная теория должна применяться для пластичных материалов. Она дает хорошие результаты при одинаковых пределах текучести материала при растяжении и сжатии.

Если материал неодинаково работает на растяжение и сжатие, более удобно применять теорию Мора, согласно которой

_ЭКВ=₁k₃ , (3.17)

где

k=.

Возможны частные случаи: если [_Р] =[_C] , то получим теорию Кулона, если [_Р] <<[_C] , то можно приближенно принять k0, тогда _ЭКВ=₁[] . Такой подход применяется для хрупких материалов.

Четвертая теория прочности

В качестве критерия прочности в этом случае принимают количество удельной потенциальной энергии формоизменения, накопленной деформированным элементом. Согласно этой теории, опасное состояние (текучесть) в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает своего предельного значения.

Расчетная формула по этой теории имеет вид:

_ЭКВ= [].

Эта теория дает также хорошие результаты для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Она хороша еще тем, что учитывает ₁ , ₂ , ₃.

Вопросы для самоконтроля

Какие площадки называют главными? Что такое главное напряжение?

Какое напряженное состояние называется линейным, плоским и объемным?

Каково правило знаков для нормальных и касательных напряжений?

Сформулируйте закон парности касательных напряжений.

Чему равна сумма нормальных напряжений на любых двух взаимно перпендикулярных площадках?

Чему равны касательные напряжения на главных площадках?

Чему равны экстремальные значения касательных напряжений при плоском напряженном состоянии?

Для чего служит круг напряжений (круг Мора)?

Как определяются напряжения и на любых площадках при помощи круга Мора?

Как определяются главные напряжения и положения главных площадок при помощи круга Мора?

Как вычислить относительное изменение объема?

Что такое полная удельная потенциальная энергия деформации и из каких частей она состоит?

Какой вид имеет условие прочности по теории наибольших касательных напряжений?

Какой вид имеет условие прочности по IV теории прочности?

Рекомендуемая литература

1. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов - 4-е изд. - Киев: Высшая школа,1979. - Глава 6, § 39-46. - стр.159-179, глава 7, § 39-46. - стр. 182-194.

2. Кинасошвили Р.С. Сопротивление материалов -Изд-во Наука,1975. - Глава 4, § 22-29 - стр. 81-109.

3. Фрегер Г.Е., Коваленко А.Г. и др. Практикум по сопротивлению материалов. - Луганск: ВУГУ, 1997.- Глава 1. - стр. 27-49.

РАСЧЁТ ЗАКЛЁПОЧНЫХ И СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ

Сдвигом называется деформация, происходящая под действием двух равных близко расположенных и противоположно направленных сил, перпендикулярных к оси бруса (стержня), рис.4.1.

Рис. 4.1

При сдвиге возникают касательные напряжения, лежащие в плоскости поперечного сечения и являющиеся следствием действия в сечении поперечной силы.

Напомним, что поперечной силой Q в поперечном сечении называется равнодействующая касательных напряжений в рассматриваемом сечении.

Между внешними сдвигающими силами Р и внутренними поперечными силами Q существует зависимость вида:

(4.1)

где ф - касательные напряжения, размерность Па, МПа,

F - площадь поперечного сечения.

Закон Гука при сдвиге имеет следующий вид:

(4.2)

здесь - относительный угол сдвига (безразмерная величина);

G - модуль упругости второго рода или модуль сдвига.

Предполагая равномерное распределение касательных напряжений по сечению стержня (рис. 4.2), получаем следующую формулу для определения касательных напряжений:

Рис. 4.2

1. Расчёт на прочность при сдвиге. С учетом приведенных зависимостей условие прочности имеет вид:

, (4.3)

где - допускаемое напряжение, МПа.

2. Расчёт заклёпочных соединений

Заклёпочные соединения рассчитываются на срез и смятие. Условие прочности заклепок на срез имеет вид:

(4.4)

Условие смятия:

 (4.5)

где - срезающая (сдвигающая) сила, приходящаяся на одну заклепку;

F - площадь одиночного среза заклепки;

- допускаемое напряжение на срез;

- сминающая сила, приходящаяся на часть заклепки, равной толщине листа;

d - диаметр заклепки;

- толщина листа;

- допускаемое напряжение на смятие.

3. Расчет сварных соединений. Торцевые сварные соединения работают на растяжение или сжатие (рис.4.3).

Рис. 4.3

Условие прочности записывается следующим образом:

(4.6)

где Р - сжимающая или растягивающая сила;

- площадь наплава электрода;

- допускаемое напряжение материала электрода на сжатие или растяжение;

Лобовое сварное соединение (рис. 4.4) рассчитывается на срез сварного шва. Условие прочности имеет вид:

; (4.7)

здесь L - расчетная длина шва, принимаемая равной L = b - 10 мм;

-- толщина листа;

b - ширина листа;

- допускаемое напряжение материала электрода на срез.

Рис. 4.4

Формула (4.7) учитывает работу двух швов.

Фланговое сварное соединение (рис.4.5) рассчитывается следующим образом:

Рис. 4.5

; (4.8)

где - площадь опасного сечения двух швов, равная:

L - расчетная длина шва.

Действительную длину шва L_Ф, учитывая непровар, принимают на 10 мм больше, т.е. .

Фланговое соединение для прикрепления уголка (рис. 4.6) рассчитывается с учетом обеспечения одинаковых условий работы каждого из швов.

Рис. 4.6

Условие прочности:

(4.9)

где - длина шва у полки уголка;

- длина шва у обушка уголка;

- толщина полки уголка.

Для обеспечения одинаковых условий работы швов, их длины должны быть выбраны из условия:

. (4.10)

Пусть

Тогда

Вопросы для самоконтроля

Чем характеризуется деформация сдвига?

Как записывается выражение для закона Гука при сдвиге?

Какие напряжения возникают в поперечных сечениях при сдвига?

Запишите условие прочности при сдвиге.

Как рассчитываются заклепочные соединения?

Объясните, каким образом определяются площади среза?

Запишите условие прочности на смятие.

В чем различие в расчете разных типов сварных соединений (торцевого, лобового и флангового)?

Рекомендуемая литература

1. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов - 4-е изд. - Киев: Высшая школа,1979. - Глава 8, §51,52. - стр.196-197.

2. Кинасошвили Р.С. Сопротивление материалов. - Изд-во Наука,1975. - Глава 5, §30-37. - стр.111-128.

3. Фрегер Г.Е., Коваленко А.Г. и др. Практикум по сопротивлению материалов. - Луганск: ВУГУ, 1997.- Глава 4. - стр. 49-64.

сечение деформация сжатие кручение

КРУЧЕНИЕ ВАЛОВ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Основные расчётные зависимости

Деформация кручения вызывается парами сил, действующими в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси бруса. Момент внешних нагрузок называется скручивающим моментом. Величина скручивающего момента М (Нм), число оборотов вала n (об/мин) и передаваемая мощность N (Вт) связаны между собой следующей зависимостью:

(5.1)

где - угловая скорость вращения вала.

При кручении в поперечных сечениях вала возникает один внутренний силовой фактор - крутящий момент, величина которого определяется сумой моментов всех сил относительно оси вала, находящихся по одну сторону от рассматриваемого сечения

(5.2)

Здесь - сосредоточенные скручивающие моменты, а m - интенсивности распределённых по длине вала пар сил.

В расчётах на кручение используются следующие геометрические характеристики поперечного сечения вала: полярный момент инерции и полярный момент сопротивления .

Для сплошного круглого сечения эти характеристики определяются следующим образом:

 (5.3)

Для кольцевого сечения с наружным диаметром В и внутренним диаметром и имеем:

(5.4.)

Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, находящейся на некотором расстоянии от центра вращения, определяется из выражения:

(5.5)

Наибольшие касательные напряжения действуют в точках, наиболее удаленных от центра сечения:

(5.6)

С учётом (5.6) условие прочности при кручении имеет вид:

(5.7)

Относительный И и полный ц углы закручивания (в радианах) на участке вала длиной L при действии крутящего момента определяются формулами: