Математическое моделирование процессов резания в машиностроении

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

Разработать математическую модель процесса резания и определить оптимальные режимы (n, S) для точения заготовки типа «вал» диаметром D и длиной L с учётом вида и материала заготовки, требуемой точности, шероховатости поверхности Rz и глубины резания t, приведённых в табл. 1.

Таблица 1 - Исходные данные к заданию 1

Вариант	Материал заготовки	Вид заготовки	Глубина резания t, мм	D, м	L, мм	Rz, мкм	Квалитет
8	Сталь 20	Прокат	2,5	120	560	40	12

Решение. Общие число ограничений по определению оптимальных режимов резания, согласно [1, с. 250] составляет не менее одиннадцати. Согласно [3, с. 10], следует рассмотреть не более 6. Оптимизация технологических процессов и режимов резания, в частности, основывается на построении математических моделей. Для установления математической модели выделяют технические ограничения, которые в наибольшей степени определяют описываемый процесс и оценочную функцию (критерий оптимальности).

Выбор тех или иных технических ограничений зависит от вида обработки и определяется конкретными условиями технологического, конструкционного и организационного характера. Однако можно выделить ряд наиболее важных технических ограничений, которые следует учесть при разработке математических моделей процесса резания при точении, фрезеровании, сверлении и других методах обработки. Такими ограничениями являются: режущие возможности инструмента, определяемые его стойкостью; мощность электродвигателя привода главного движения; наименьшая и наибольшая скорости резания (частота вращения шпинделя) и подача, допускаемые кинематикой станка; прочность и жёсткость режущего инструмента; точность обработки; шероховатость обработанной поверхности.

Регулируемыми параметрами процесса обработки являются: S - подача, n - частота вращения шпинделя.

В качестве оценочной функции при оптимизации по двум параметрам (n, S) обычно используют минимальную себестоимость:

Fmin = C/(nS), (1)

где C - коэффициент, независящий от режимов резания n и S. Из этого выражения видно, что функция Fmin будет наименьшей, когда произведение nS будет максимальным.

Для нашего случая подача выбирается по качественной характеристике поверхности, т.е. шероховатости Rz = 40 мкм. По [4, с. 268, т.14], при радиусе при вершине резца равном r = 1,2 мм подача составит S = 0,63 мм/об.

Технические ограничения строятся на основе известных зависимостей. Так, техническое ограничение по стойкости инструмента для точения будет получено из выражений для скорости резания:

- непосредственно табличной скорости резания:

, (2)

где С_х - коэффициент скорости резания, по [4, с. 269, т.17], С? = 350;

m, x, y - показатели степени, m = 0,20, x = 0,15, y = 0,35;

T - период стойкости резца при одноинструментальной обработке, T = 50 мин;

К_х - поправочный коэффициент, учитывающий фактические условия резания;

- действительной скорости резания:

u_Д = n?D/1000 (3)

Преобразовав формулы [2] и [3], можно получить техническое ограничение в виде:

. (4)

Ограничения по кинематическим возможностям станка записываются в виде (min - минимальное значение, max - максимальное значение):

nmin ? n ? nmax; (5)

Smin ? S ? Smax; (6)

Ограничение по требуемой шероховатости обработанной поверхности:

S ? Sдоп. (7)

Ограничение по мощности станка (Nр - мощность резания, Nс - мощность станка, ? - кпд станка):

Nр ? Nс?. (8)

Для упрощения вычислений и отыскания линейных зависимостей степенную зависимость логарифмируют. Тогда формула [4] будет иметь вид:

. (9)

Введем переменные: х1 = lnn, х2 = ln(100S); b1 = .

Тогда уравнение [8] примет вид:

х1 + yх2 ? b1. (10)

Введем, также, следующие переменные:

b2 = lnnmin, b3 = lnnmax, b4 = ln(100Smin), b5 = ln(100Smax), b6 = ln(100Sдоп), (11)

тогда ограничение по частоте вращения [5], [6], [7] будет выглядеть следующим образом:

х1 ? b2, (12)

х1 ? b3, (13)

х2 ? b4, (15)

х2 ? b5, (16)

х2 ? b6. (17)

Ограничение по мощности, ровным счетом как по производительности, расчетной и максимальной скорости резания (рассмотрено в расчете частоты вращения шпинделя согласно формуле [3]) в данной работе не рассматриваются.

Общее условие:

х1 + yх2 ? b1.

х1 ? b2

х1 ? b3,

х2 ? b4. (18)

х2 ? b5

х2 ? b6.

Поправочный коэффициент, учитывающий фактические условия резания:

К_u = К_мuК_иuК_пuК_?u К_??u, (19)

где К_мu - коэффициент, учитывающий обрабатываемый материал, по [4, с. 261, т. 1] К_мu = =1,8.

К_иu - коэффициент, учитывающий инструментальный материал, для сплава Т15К6 по [4, с. 263, т. 6] К_иu = 1,0;

К_пu - коэффициент, учитывающий состояние поверхности, по [4, с. 263, т. 5] К_пu = 0,9;

К_?u - коэффициент, учитывающий влияние главного угла в плане ? на скорость резания, при ? = 450 по [4, с. 271, т. 18] К_?u = 1,0;

К_??u - коэффициент, учитывающий влияние вспомогательного угла в плане ?? на скорость резания, при ?? = 450 по [4, с. 271, т. 18] К_??u = 0,87.

К_u = 1,8 · 1,0 · 0,9 · 1,0 · 0,87 = 1,4.

Тогда табличная скорость резания:

= 247,87 м/мин.

Частота вращения шпинделя, соответствующая найденной скорости главного движения резания:

, (20)

где D - диаметр заготовки, D = 120 мм.

657,8 мин-1.

Округляя до меньшей частоты вращения из ряда со знаменателем ? = 1,26, получаем действительную частоту вращения шпинделя (по паспорту) nД = 630 мин-1.

Действительная скорость резания:

u_Д = 630 · 3,14· 120/1000 = 237,4 м/мин.

Примем величины, согласно паспорту станка 16К20:

nmin = 12,5 мин-1, b2 = ln12,5 = 2,526;

nmax = 1600 мин-1, b3 = ln1600= 7,378;

Smin = 0,05 мм/об, b4 = ln(100·0,05) = 1,609;

Smax = 2,8 мм/об, b5 = ln(100·2,8) = 5,635;

Sдоп = 0,87 мм/об (по [4, с. 268, т. 14]), b6 = ln(100·0,87) = 4,466.

b1 = = 7,861.

Оценочная функция:

F0 = (X1 + X2) > max. (21)

В данном случае максимум оценочной функции находится в точке пересечения графика 1 и графика 2.

График регулируемых параметров для данного случая представлен на рис. 1.



Рисунок 1 - График оптимизации режимов резания

Задание 2

Определить число годных деталей, исправимого и неисправимого брака при обработке на токарном полуавтомате партии валов 450 шт., диаметром D мм, если среднее квадратичное отклонение S и смещение ?СМ среднего размера партии деталей d относительно середины поля допуска dcp (?CM = d - dcp), вычисленные по результатам измерений пробных валиков, имеют значения, приведённые в [3, с. 14, т. 2].

Исходные данные для шифра 02-0248:

- число изделий в партии: n = 450 шт.;

- диаметр вала: D = 25-0,13 мм;

- среднее квадратичное отклонение S = 0,035 мм;

- величина смещения ?CM = - 0,02 мм;

- нижнее отклонение вала еi = - 0,13 мм;

- допуск вала ITD = 0,13 мм.

Решение. Интервал рассеяния размеров обрабатываемых валов относительно выборочного среднего (в предположении, что их распределение подчиняется закону Гаусса):

?d = ± 3S = ± 3 · 0,035 = 6· 0,035 = ± 0,105 мм (0,21 мм). (22)

Диаметр вала:

- максимальный

Dmax = D = 25 мм. (23)

- минимальный

Dmin = D - ei = 25 - 0,13 = 24,87 мм. (24)

Средний размер вала:

DСР = D - ITD/2 = 24,935 мм. (25)

Фактический средний диаметр:

DФСР = DСР - ?CM = 24,935 - 0,02 = 24,915 мм. (26)

Площадь под кривой распределения (по закону Гаусса) равна 1, а ее половина: 0,5. Тогда для определения количества деталей, выходящих за пределы поля допуска, воспользуемся формулами:

F3 = 0,5 - F0 (z2); (27)

F5 = 0,5 - F0 (z1), (28)

Причем, величина z:

z1 = (DНБ - DФСР)/S = (25 - 24,915)/0,035 =2,428. (29)

z2 = (DФСР - DНM)/S = (24,915 - 24,87)/0,035 =1,286. (30)

Нормированная функция Лапласа:

0,492; (31)

0,400. (32)

F5 = 0,5 - 0,492 = 0,008.

F3 = 0,5 - 0,4 = 0,1.

Итак, 0,8 % деталей партии будет иметь исправимый брак (450·0,8/100 = 3,6 шт. ? 4 шт.), 10 % деталей будет иметь не исправимый брак (450·0,1/100 = 45 шт.). В итоге число годных деталей: nг = 450 - 49 = 401 шт.

Следует признать, что данное оборудование не соответствует критериям обработки и требуется его замена на более точное.

Обычно брак принимают не более 4% к годовой программе выпуска. Однако если брак не соизмерим по стоимости с закупкой нового оборудования, то и 10% можно пренебречь.



Рисунок 2 - Кривая распределения Гаусса

Задание 3

Разработать математическую модель по влиянию элементов режима резания (V, S, t) на силу резания РZ при точении методом многофакторного эксперимента. Исходные данные приведены в [3, с. 16, т. 3] и в табл. 2. Выбор произведен по последней цифре шифра (02-0248).

математический модель резание режим

Таблица 2 - Исходные данные к задаче 3

№ опыта	Матрица планирования режимов резания	Экспериментальные значения PZэксп, H
	t, мм	S, мм/об	V, м/мин	ХВГ, ВОК 63 (? = 5о, ? = 5о, ?Ф = - 3о)
	X1	X2	X3
1	1,2	0,21	68	93
2	3	0,21	68	340
3	1,2	0,3	68	220
4	3	0,3	68	445
5	1,2	0,21	122	426
6	3	0,21	122	492
7	1,2	0,3	122	470
8	3	0,3	122	830
9	2,1	0,255	95	370
10	2,1	0,255	95	375

Любую неизвестную функцию можно представить в виде полинома путем разложения ее в ряд Тейлора:

y = b0x0 + b1x1 + b2x2 + …+ bnxn +…, (33)

где bi - коэффициенты регрессии (i = 1, 2, 3…n);

x0 - условная (фиктивная) переменная, вводимая для определения постоянного члена ряда, x0 = 1.

Задача сводится к нахождению коэффициентов bi. В данной работе присутствует три элемента режима обработки (подача, глубина и скорость резания), т. е. присутствует число факторов k = 3.

Для представления модели (модель известна, линейна) производим кодирование факторов. Математически можно записать:

Xi = (Xi0 - Xn)/J, (34)

где Xi - текущее кодовое значение;

Xi0 - натуральное значение нулевого уровня;

Xn - натуральное значение текущего фактора;

J - натуральное значение интервала варьирования.

Зависимость силы резания от элементов режима точения в прямоугольных координатах имеет вид:

PZ = CPZtXpzSYpzVnpz. (35)

В логарифмических координатах:

lnPZ = lnCPZ +Xpzlnt + YpzlnS + npzlnV. (36)

Введем обозначения переменных:

Х1 = ; (37)

Х2 = ; (38)

Х3 = , (39)

где , , - интервалы варьирования соответствующих переменных;

t, S, V - текущие значения переменных;

tmin, Smin, Vmin - минимальные значения переменных, tmin = 1,2 мм, Smin = 0,21 мм/об., Vmin = 68 м/мин;

tmax, Smax, Vmax - максимальные значения переменных, tmax = 3 мм, Smax = 0,3 мм/об., Vmax = 122 м/мин.

x1 = = 2,18lnt - 1,40;

x2 = = 5,61lnS + 7,75;

x2 = = 3,53lnV - 15,89.

Тогда функция в новых переменных y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3. Координаты нулевой точки получаются из условия x1 = x2 = x3 = 0.

Обозначим матрицей Х наборы значений переменных во всех N опытах, а через матрицу-столбец Y набор выходных значений в N опытах. Коэффициенты регрессии представляем матрицей-столбцом В.

По методу наименьших квадратов, нахождение коэффициента В производится по уравнению:

B = (XTX)-1XTY, (40)

где Х - кодовая матрица, табл. 3;

XT - транспонированная матрица, т. е. она получена путем замены строк столбцами с соответствии их номеров;

Y - одностолбцовая матрица логарифмических значение зависимой величины, табл. 3.

Тогда (XTX)-1 - обратная матрица, (XTX)-1XT - определяющая матрица.

Собственно, по методу наименьших квадратов:

bi = . (41)

Тогда, c учетом преобразований:

Откуда:

b0 = (4,53 + 5,83 + 5,39 + 6,10 + 6,05 + 6,20 + 6,15 + 6,72 + 5,91 + 5,93) = = 5,881;

b1 = (- 4,53 + 5,83 - 5,39 + 6,10 - 6,05 + 6,20 - 6,15 + 6,72) = ;

b2 = (- 4,53 - 5,83 + 5,39 + 6,10 - 6,05 - 6,20 + 6,15 + 6,72) = = 0,219;

b3 = (- 4,53 - 5,83 - 5,39 - 6,10 + 6,05 + 6,20 + 6,15 + 6,72) = = 0,409.

Тогда уравнение силы резания [3] примет вид:

y = 5,88 + 0,341x1 + 0,219x2 + 0,409x3. (42)

Подставив вместо x1, x2, x3 их кодовые значения:

y =lnPZ = 5,88 + 0,341lnt + 0,219lnS + 0,409V. (43)

После потенцирования получаем формулу для расчета силы резания:

PZ = е5,88 t0,341S0,219V0,409, (44)

или

PZ = 357,8t0,341S0,219V0,409. (45)

Подставляем в формулу [45] режимы резания, в таблице 3 рассчитываются опытные режимы резания и процент отклонения.

Таблица 3 - Исходные и расчетные данные

№ опыта	t, мм	S, мм/об	V, м/мин	X0	X1	X2	X3	PZэксп	lnPZэксп	lnPZрасч	PZрасч, Н	% откл
1	1,2	0,21	68	1	-1	-1	-1	93	4,53
2	3	0,21	68	1	1	-1	-1	340	5,83
3	1,2	0,3	68	1	-1	1	-1	220	5,39
4	3	0,3	68	1	1	1	-1	445	6,10
5	1,2	0,21	122	1	-1	-1	1	426	6,05
6	3	0,21	122	1	1	-1	1	492	6,20
7	1,2	0,3	122	1	-1	1	1	470	6,15
8	3	0,3	122	1	1	1	1	830	6,72
9	2,1	0,255	95	1	0	0	0	370	5,91
10	2,1	0,255	95	1	0	0	0	375	5,93

Задание 4

Приведите по 2 примера из технологии машиностроения, иллюстрирующие следующие понятия дискретной математики (далее по пунктам):

Множество. Под множеством понимают совокупность или набор каких-либо предметов А = {а1; а2; а3;…; аn}. Пример:

а) на предприятии имеются станки, числом n = 160 шт. Каждый станок можно обозначить номером аi, тогда все станки А = {1; 2; 3;…; 160}. Все станки предприятия - множество.

б) в компьютере главного инженера в электронном виде находится множество вариантов техпроцесса изготовления корпусной детали. Варианты техпроцесса - множество.

Подмножество. Если каждый элемент множества В является в тоже время элементом множества А, то множество В называют подмножеством. А?В. Пример:

а) на предприятии имеются станки, числом n = 160 шт. Из них 6 станков класса точности П. Множество этих станков В = {3; 7; 56; 78; 123; 155} - подмножество, тогда как А = {1; 2; 3;…; 160} - множество, т. е множество точных станков В является подмножеством А.

б) из множества вариантов техпроцесса изготовления корпусной детали, на предприятии можно запустить только два.

Кортеж. Кортеж - конечная последовательность (допускающая повторения) элементов какого либо множества ‹а1; а2; а3;…; аn›. Пример:

а) в цехе последовательно деталь обрабатывается на нескольких станках из множества станков предприятия А = {а1; а2; а3;…; а160}, причем в обработке заняты станки ‹а5; а9; а140; а9› - кортеж.

б) многоцелевой станок МА655СМ имеет инструментальный магазин на 30 инструментов с кодами от 01…30. При обработке детали используется последовательно инструменты с кодами ‹04; 23; 04; 30› - кортеж.

Ориентированный граф. Ориентированный граф - конечная последовательность (допускающая повторения) элементов какого либо множества ‹а1; а2; а3;…; аn›. Пример:

а) в цехе

б) многоцелевой

Приведите примеры отношений, существующих в технологии машиностроения (далее по пунктам):

Отношение совместности. X-Y. Под отношением совместности понимают совокупность или набор каких-либо предметов А = {а1; а2; а3;…; аn}. Пример:

Литература

1. Гжиров Р. И., Серебреницкий П. П. Программирование обработки на станках с ЧПУ: Справочник. - Л.: Маш. Лен. отд-ние, 1990. - 588 с.

2. Дерябин И. П., Козлов А. В. Математическое моделирование процессов в машиностроении: Уч. пособие по вып. лаб. раб. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003. - 27 с.

3. Математическое моделирование процессов в машиностроении: Раб. программа, зад. на контр. работы. - СПб.: СЗТУ, 2004. - 26 с.

4. Справочник технолога-машиностроителя. В 2-х т. Т. 2 / Под ред. А. Г. Косиловой и Р. К. Мещерякова. - 4-е изд., пер. и доп. - М.: Маш., 1985. 486 с.

Размещено на Allbest.ru