Методы синтеза и анализа систем автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

I. Выбор модели объекта управления

На основе литературного источника [1, с. 680] осуществим выбор модели объекта управления. На основе реального объекта управления - агломерационной машины - был построен модельный объект управления, в качестве входной величины канала управления рассматривается расход топлива, в качестве выходной - температура в горне зажигания, которая измеряется термопарой в металлическом чехле. Поскольку целью работы является освоение методов анализа и синтеза систем управления, то будем рассматривать именно модель объекта управления, а не сам реальный объект.

Математическая модель объекта при аппроксимации в виде оператора представляет собой инерционное звено первого порядка с запаздыванием:

(1.1)

где ko - коэффициент передачи объекта (ko=13 °/% хода),

Т - постоянная времени (Т=15 с),

фо - время запаздывания в объекте (фо =1,5 с),

s - комплексная переменная или оператор дифференцирования.

После подстановки значений ko, Т, фо в формулу (1.1) получим

(1.2)

В качестве внешнего (координатного) воздействия примем единичное ступенчатое воздействие. Математическая модель внешних воздействий при аппроксимации в виде оператора имеет вид:



(1.3)

Модель канала управления также зададим в виде единичного ступенчатого воздействия:

(1.4)

Кроме координатных возмущений в реальных системах также действуют параметрические возмущения. В данной работе примем допустимый предел вариации параметров ±20% от номинальных значений.



II. Синтез и анализ типовой САР

2.1 Постановка задачи структурного и параметрического синтеза

Дано:

1. Модель объекта управления, представленная в следующем виде:

(1.2)

2. Модель внешних воздействий в виде передаточной функции:

(1.3)

3. Модель управляющих воздействий, аппроксимированная в виде оператора:

(1.4)

4. Ошибка регулирования задается формулой:

(2.1)

Требуется:

1. Синтезировать структуру и параметры закона регулирования



2.2 Синтез структуры и параметров типового закона регулирования

Для синтеза САР с типовым законом регулирования воспользуемся методом В. Я. Ротача [2, с 154-165] для систем с высокой (предельной) динамической точностью. Этим методом синтезируются сразу и структура, и настроечные коэффициенты закона регулирования.

Дано:

1. Система регулирования со следующей структурой, в которой внешнее возмущение приведено к выходу объекта:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1 - Структура системы регулирования

Данная система описывается следующим выражением:

(2.2)

2. По среднеквадратичному критерию на основе теории оптимальных статистических решений получена формула:

(2.3)

где fopt - оптимальный закон регулирования,

- оператор оптимальной системы без учета запаздывания,

- оператор объекта без учета запаздывания,

- оператор чистого запаздывания.

3. Внешнее возмущение распределено по нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией.

4. Модель объекта может быть декомпозирована на рациональную и иррациональную часть.

5. При регулировании промышленных объектов требуется, чтобы величина ошибки регулирования была существенно меньше отклонения регулируемой величины, чем, если бы регулятор отсутствовал. Такие системы называют системами высокой динамической точности, а в этом случае частотная характеристика замкнутой системы становится близкой к единице.

(2.4)

6. Высокой динамической точности можно достичь в том случае, если величина запаздывания ф небольшая, и тогда оператор запаздывания можно представить в виде ряда Тейлора, ограничившись первыми двумя членами:

(2.5)

Подставим формулы (2.4) и (2.5) в формулу (2.2) и получим:

(2.6)



Выражение (2.6) представляет собой оптимальный алгоритм функционирования регулятора, когда может быть достигнута высокая динамическая точность, не зависит от статистической характеристики W, а целиком определяется только динамическими характеристиками самого объекта.

Чтобы конкретизировать выражение (2.6), подставим модель объекта (1.1) в данное выражение, с учетом того, что , получим выражение вида:

(2.7)

где - коэффициент усиления регулятора,

- постоянная интегрирования.

С учетом коэффициентов перепишем выражение (2.7) в виде:

(2.8)

Выражение (2.7) представляет собой оператор оптимального регулятора и позволяет сделать вывод, что в системе будет использован ПИ-регулятор, уравнение которого записано ниже:

(2.9)

Перепишем данное уравнение в рекуррентно-разностной форме:



(2.10)

где uпр - пропорциональная составляющая закона регулирования,

uинт - интегральная составляющая закона регулирования,

- величина шага дискретизации, .

С учетом известных параметров перепишем выражение (2.10) в виде:

(2.11)

2.3 Исследование устойчивости САР

Устойчивость представляет собой свойство САР возвращаться к исходному состоянию после кратковременного внешнего воздействия. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной САР является отрицательность вещественной части всех корней ее характеристического уравнения. Однако нет необходимости находить значения корней, поскольку для суждения об устойчивости системы нужно знать только то, что все они расположены левее мнимой оси на плоскости комплексного переменного s. Воспользуемся условиями, которые позволяют судить о расположении корней в левой полуплоскости без нахождения их значения, - критериями устойчивости.

Чтобы исследовать устойчивость данной системы (рисунок 1) воспользуемся критерием Найквиста:

1. Для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до +? не охватывает точку .

2. Система управления устойчива, если АФХ разомкнутого контура охватывает раз точку с координатами , где l - число правых корней характеристического уравнения разомкнутого контура. Количество охватов можно определять по правилу Цыпкина - как разность между числом положительных и отрицательных переходов характеристикой отрезка .

3. Годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до +? проходит через точку . В этом случае для некоторой частоты мы имеем , . Это говорит о том, что после прохождения контура величина сигнала меняет знак, сохраняя абсолютную величину, т.е. устанавливаются незатухающие колебания (система находится на границе устойчивости).

Уравнение разомкнутой САР будет иметь вид:

(2.12)

Система, устойчивая в разомкнутом состоянии, сохранит устойчивость и после замыкания ее отрицательной обратной связью, если годограф ее АФХ в разомкнутом состоянии не охватывает в комплексной плоскости точки с координатами . При этом считается, что годограф характеристики «не охватывает» точку , если общий угол поворота вектора, проведенного из указанной точки к годографу при изменении частоты от до , окажется равным нулю.



;

;

;

В результате тождественных преобразований, с учетом получим следующие выражения:

(2.13)

Подставим известные коэффициенты

(2.14)

И построим АФЧХ разомкнутой системы, используя программу MS Office Excel



Рисунок 2 - Годограф разомкнутой системы

По годографу разомкнутой системы мы можем судить об устойчивости замкнутой системы. Т.к. годограф не охватывает точку, то замкнутая система является устойчивой.

Запас устойчивости по амплитуде определяется следующей формулой:

(2.15)

Где - частота, на которой годограф развернут на 180°.



Запас устойчивости по фазе определяется по формуле (2.16):

(2.16)

Где - частота среза, при которой АФХ разомкнутой системы входит внутрь круга единичного радиуса и в дальнейшем из него не выходит.

2.4 Построение переходных процессов

Для построения переходных процессов требуется перейти от передаточных функций к временным, а затем записать их рекуррентно-разностной форме.

Во временной области данной системе (рисунок 1) соответствует следующая система уравнений:

(2.17)

В рекуррентно-разностной форме данная система будет иметь вид:



(2.18)

С учетом известных коэффициентов перепишем выражение 2.18 в виде:

(2.19)

Для построения переходного процесса по заданию воспользуемся выражением (2.19) и будем считать, что внешнее возмущение w не оказывает влияние на САР, приведенную на рисунке 1. Переходный процесс построим в среде MS Office Excel. Его график представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 - Переходный процесс типовой САР по заданию



Для построения переходного процесса по заданию величина w была застабилизирована (w=0), а величину задающего воздействия y* изменяли ступенчато (т.е. подавали на вход единичное ступенчатое воздействие).

Система уравнений 2.18 для данного случая может быть переписана в виде:

управление синтез автоматический регулирование

Определим показатели качества данного переходного процесса:

1. Максимальное динамическое отклонение

2. Перерегулирование

3. Динамический коэффициент управления характеризует управляющие способности регулятора в совокупности с данным объектом управления.

4. Время регулирования - интервал времени от момента приложения входного воздействия до вхождения регулируемой величины в заданный интервал. Величину заданного интервала представим в виде 15с

5. Колебательность характеризует склонность системы к колебаниям.

Где y2 вторая противоположно направленная максимальная амплитуда.

Для построения переходного процесса по возмущению воспользуемся выражением (2.19). Переходный процесс построим в среде MS Office Excel. Его график представлен на рисунке 4.

Рисунок 4 - Переходный процесс типовой САР по возмущению

Для построения переходного процесса по возмущению задающее воздействие задали постоянным y*=const (y*=10) и внешнее возмущение изменяли ступенчато.

Определим показатели качества данного переходного процесса:

1. Максимальное динамическое отклонение

2. Перерегулирование



3. Динамический коэффициент управления характеризует управляющие способности регулятора в совокупности с данным объектом управления.

4. Время регулирования - интервал времени от момента приложения входного воздействия до вхождения регулируемой величины в заданный интервал.

Величину заданного интервала представим в виде 23с

5. Колебательность характеризует склонность системы к колебаниям.

Где y2 вторая противоположно направленная максимальная амплитуда.

2.5 Анализ влияния вариаций параметров объекта на показатели качества регулирования

Задан допустимый предел вариации параметров ±20% от номинальных значений. Анализировать будем следующий показатель качества регулирования: tp - время регулирования. В ходе проведения анализа будем варьировать следующие параметры объекта управления: ko - коэффициент передачи объекта, T - постоянная времени объекта. При варьировании одного из параметров другие будем считать неизменными и равными заданным.

Результаты анализа для типовой САР представлены на рисунках 5-8.

Рисунок 5 - Влияние вариации коэффициента передачи объекта на время регулирования в САР по заданию

Рисунок 6 - Влияние вариации коэффициента передачи объекта на время регулирования в САР по возмущению

В САР по заданию и в САР по возмущению увеличение коэффициента передачи объекта приводит к увеличению времени переходного процесса, а, следовательно, качество регулирования понижается.



Рисунок 7 - Влияние вариации коэффициента инерционности объекта на время регулирования в САР по заданию

Рисунок 8 - Влияние вариации коэффициента инерционности объекта на время регулирования в САР по возмущению

При увеличении постоянной времени объекта в САР по заданию и в САР по возмущению качество регулирования понижается в результате увеличения времени регулирования.



III. Выбор и анализ прогнозирующей САР

3.1 Постановка задачи выбора и анализа прогнозирующей САР

Дано:

1. Модель объекта управления с передаточной функцией (1.2)

2. Набор прогнозирующих САР (САР Смита, САР Ресвика и их модификации)

3. Показатели качества регулирования

Требуется:

1. Выбрать прогнозирующую САР

2. Выбрать параметры прогнозирующего закона регулирования

3. Провести сравнительный анализ типовой и прогнозирующей САР

3.2 Выбор прогнозирующей САР

В качестве прогнозирующей САР будем использовать САР Смита. В регуляторе Ресвика используется обратная модель объекта, содержащая дифференцирующее звено в данном случае. Наличие дифференцирующего звена увеличивает шум сигнала и может привести к неустойчивости системы. В регуляторе Смита в контуре неявного обращения модели используется прямая модель объекта. На основании выше сказанного была выбрана САР Смита.

Используя эквивалентные структурные преобразования, получим модифицированную САР Смита.

Размещено на Allbest.ru