Принципы перемещения и динамика механической системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Условие каждого задания контрольной или расчетно-графической работы сопровождается десятью рисунками и одной таблицей числовых значений заданных величин.

Вариант выбирается согласно шифру студента.

ШИФР - это две последние цифры номера зачетной книжки. Варианты числовых значений заданных величин выбирают по первой цифре шифра (таблица 1), а рисунок выбирают по второй (последней) цифре шифра.

Например, если номер зачетной книжки 09359, тогда шифр студента 59. Числовые значения заданных величин из таблицы 1 берутся по варианту 5, а рисунок к заданию - по варианту 9.

ЗАДАНИЕ Д7. Применение принципа возможных перемещений для определения реакций связей

Составная конструкция АВС (или АВСD), расположенная в вертикальной плоскости, находится в равновесии под действием приложенных внешних нагрузок (рис. Д7.1).

Пренебрегая весом балок АС и ВС, соединенных шарниром С, определить любые две реакции связей. Связи считать идеальными.

Значения нагрузок, линейных размеров и углов приведены в таблице Д7-1.

Указания: 1. Схему на рис. Д7.1 выбирать согласно последней цифре шифра.

2. Значения параметров из табл. Д7-1 выбирать в соответствии с предпоследней цифрой шифра.

Таблица Д7-1

Предпоследняя цифра шифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P1, кН	6	5	4	3	7	8	9	10	11	12
P2, кН	8	7	6	5	4	3	2	9	10	11
М, кН·м	7	9	11	10	9	12	13	14	15	16
а, м	0,9	0,8	0,6	0,3	0,5	0,6	0,9	1,2	1,5	1,8
в, м	0,3	0,25	0,2	0,1	0,15	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
б, град	20	30	40	50	60	70	60	50	40	30

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Рис. Д7.1

Пример 1 выполнения задания Д7.

Условие задачи: Определить реакции идеальных связей составной конструкции, изображенной на рис. Д7.2, если заданы следующие параметры: P1 = 12 кН; P2 = 18 кН; М = 10 кН·м; а = 1,0 м; в = 0,25 м; б = 45?.

Рис. Д7.2

Решение

Конструкция состоит из двух балок АС и ВС, соединенных между собой шарниром С. Связями для данной конструкции являются жесткая заделка в т. А и подвижный шарнир в т. В. Указанные связи, в соответствии с условием задачи, являются идеальными. Конструкция под действием внешних нагрузок находится в равновесии, а это означает, что данная механическая система (конструкция) имеет ноль степеней свободы.

1. Определение реакции RB

Для определения реакции связи В мысленно отбрасываем эту связь, заменяя ее действие на конструкцию реакцией этой связи. Таким образом, переводим реакцию в разряд внешних сил. Отбросив связь В и заменив ее реакцией , конструкция условно становится подвижной с одной степенью свободы потому, что балка АС осталась неподвижной, а балка ВС имеет возможность вращаться вокруг шарнира С (рис. Д7.3). Поэтому стало возможным дать возможное перемещение дц

Рис. Д7.3

при вращении балки ВС вокруг шарнира С и составить одно уравнение равновесия на основе принципа возможных перемещений. Из этого уравнения и найдем искомую реакцию RB.

Переведя реакцию связи В в разряд внешних получаем, что на конструкцию действуют силы , , и момент М. Связь А является идеальной, поэтому ее реакции не будут входить в уравнение принципа возможных перемещений.

Дадим конструкции возможное перемещение дц и составим уравнение равновесия на основе принципа возможных перемещений:

(1)

В уравнении (1) элементарные работы равны:

а) силы RB:

б) момента М:

здесь взят знак «минус» потому, что направление момента и элементарного угла поворота дц противоположны;

в) силы P1:

Элементарная работа силы равна нулю потому, что приложена к неподвижной точке (возможное перемещение дц относится только к балке ВС; балка АС при этом остается неподвижной);

г) силы P2:

где дSD - возможное перемещение точки D (точки приложения силы ).

Найдем соотношения между возможными перемещениями дц, дSВ и дSD:

(2)

Подставим в уравнение (1) значения элементарных работ с учетом выражений (2):

(3)

Так как дц ? 0, то определим из уравнения (3) искомую реакцию RB:

кН.

2. Определение реакций связи А

Связь А - жесткое защемление. В общем случае реакции жесткого защемления складываются из реактивного момента МА и силы реакции, направление которой нам заранее неизвестно. Поэтому, при решении задач целесообразно силу реакции жесткого защемления разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие, например, на вертикальную составляющую и горизонтальную составляющую.

Таким образом, реакции жесткого защемления А состоят из:

а) реактивного момента МА;

б) горизонтальной составляющей ХА;

в) вертикальной составляющей УА.

2.1 Нахождение реактивного момента МА

Для нахождения реактивного момента МА мысленно отбрасываем связь, которая препятствует вращению балки АС вокруг точки А, заменяя жесткое защемление новой связью - неподвижным шарниром и прикладывая к ней реактивный момент МА (рис. Д7.4). Таким образом, неизвестную реакцию МА переводим в разряд внешних нагрузок.

Вследствие замены связи конструкция становится подвижной с одной степенью свободы потому, что балка АС может вращаться вокруг неподвижного шарнира А, в то же время заставляя балку ВС двигаться поступательно. Поэтому дадим системе возможное перемещение дц при вращении балки АС вокруг шарнира А и составим уравнение равновесия на основе принципа возможных перемещений, из которого и определим искомый реактивный момент МА.

На конструкцию действуют сосредоточенные силы

и

и моменты М и МА. Связи А (неподвижный шарнир) и В (шарнир подвижный) являются идеальными, поэтому их реакции не входят в уравнение принципа возможных перемещений:

(4)

Определим значение элементарных работ, входящих в уравнение (4):

а) элементарная работа реактивного момента:

б) элементарная работа силы :

Здесь дSE - элементарное перемещение точки Е балки АС, к которой приложена сила ;

в) элементарная работа силы :

где дSС - элементарное перемещение т.С;

г) элементарная работа момента М:

т.к. балка ВС совершает движение без вращения.

Подставляем полученные значения элементарных работ в уравнение (4):

(5)

Сокращая обе части уравнения (5) на дц ? 0, найдем искомый реактивный момент:

кН·м.

2.2 Нахождение горизонтальной составляющей ХА

Для определения горизонтальной составляющей реакции жесткого защемления отбросим связь, которая препятствует горизонтальному перемещению точки А. С этой целью заменим жесткое защемление ползуном в горизонтальных направляющих, который жестко соединен с балкой АС и приложим к ползуну неизвестную реакцию (рис. Д7.5). Вследствие замены связи конструкция становится подвижной с одной степенью свободы и вся конструкция может перемещаться поступательно. Дадим системе возможное перемещение дх, направленное вдоль реакции и составим уравнение равновесия на основе принципа возможных перемещений (учитываем, что внешние нагрузки в данном случае: , , и М):

(6)

Вычислим значения элементарных работ, входящих в уравнение (6):

а) элементарная работа силы :

б) элементарная работа силы :

в) элементарная работа силы :

г) элементарная работа момента М:

Работа момента М равна нулю, т.к. балка ВС не совершает вращательного движения.

Следовательно, уравнение (6) примет вид:

Находим искомую реакцию:

кН.

Знак «минус» означает, что в действительности реакция направлена в ту сторону, противоположную той, которая показана на рис. Д7.5.

2.3 Нахождение вертикальной составляющей УА

Так же, как и при определении , для нахождения вертикальной составляющей УА отбросим связь, препятствующую вертикальному перемещению точки А. Для этого заменим связь «жесткое защемление» другой связью - «ползун, жестко связанный с балкой АС, перемещающийся в вертикальных направляющих» и приложим к ползуну неизвестную реакцию (рис. Д7.6).

Дадим системе возможное перемещение ду. При этом балка АС будет совершать поступательное движение, а балка ВС будет вращаться вокруг точки В. Учитывая, что внешние нагрузки в этом случае

, ,

и М, составим уравнение равновесия на базе принципа возможных перемещений:

(7)

Элементарные работы равны:

а) силы :

б) силы :

в) силы :

(8)

В уравнении (8) учтено, что

г) момента М:

Подставим выражения элементарных работ в уравнение (7):

Отсюда:

кН.

Знак «минус», как и при нахождении реакции , означает что действительное направление реакции противоположно принятому в наших расчетах.

Ответ: RB = 15,2 кН; МА = 18,0 кН·м; ХА = -21,2 кН; УА = -10,9 кН.

Пример 2 выполнения задания Д7

Условие задачи: Определить реакции идеальных связей составной конструкции, изображенной на рис. Д7.7, если заданы следующие параметры: Р1 = 12 кН; Р2 = 18 кН; М = 10 кН·м; а = 1,0 м; в = 0,25 м; б = 45°.

Решение

Конструкция состоит из двух балок АС и ВС, соединенных между собой шарниром С. Связями для данной конструкции являются неподвижные шарниры А и В. Конструкция под действием внешних нагрузок находится в равновесии, следовательно, данная механическая система (конструкция) имеет ноль степеней свободы.

При решении задач реакцию неподвижного шарнира раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие. Это, как правило, горизонтальная и вертикальная составляющие.

1. Определение реакции в шарнире А

1.1 Определение горизонтальной составляющей ХА

Для этого, имеющуюся связь «шарнир неподвижный» заменим связью «шарнир подвижный» и приложим горизонтальную составляющую (рис. Д7.8). Таким образом конструкция условно стала подвижной с одной степенью свободы за счет того, что балка АС может вращаться вокруг шарнира С, а балка ВС осталась неподвижной.

Рис. Д7.8

Дадим системе возможное перемещение дх и составим уравнение равновесия на основе принципа возможных перемещений с учетом, что на эту конструкцию действуют внешние нагрузки

, , и М:

(9)

Найдем значения элементарных работ:

а) реакции :

б) силы :

в) силы :

т.к. приложена к неподвижной точке;

г) момента М:

т.к. балка ВС неподвижна.

Таким образом, уравнение (9) примет вид:

И, искомая реакция равна:

кН.

1.2 Определение вертикальной составляющей УА

Изначально имеющуюся связь «шарнир неподвижный» заменим связью «шарнир подвижный» и приложим вертикальную составляющую . При этом связь «шарнир подвижный» может быть как опора «на колесах», так и «ползун», имеющий возможность перемещаться в вертикальном направлении и не связанный жестко с соответствующей балкой.

В настоящем примере, в отличие от предыдущего, в качестве «шарнира подвижного» рассмотрим «ползун», перемещающийся в вертикальных направляющих, и подвижный относительно балки АС (рис. Д7.9).

Заменив связь видим, что конструкция становится подвижной с одной степенью свободы. При этом, балка АС может совершать поступательное движение, а балка ВС - вращательное вокруг шарнира В. На расчетной схеме (рис. Д7.9) показаны действующие на механическую систему (конструкцию) внешние нагрузки:

, , и М.

Дадим системе возможное перемещение ду и, для нахождения искомой реакции УА, составим уравнение равновесия на основе принципа возможных перемещений:

(10)

Определим значения элементарных работ:

а) реакции :

б) силы :

в) силы :



г) момента М:

Подставим вычисленные значения элементарных работ в уравнение (10):

Находим искомую реакцию УА:

кН.

2. Определение реакции в шарнире В

2.1 Нахождение горизонтальной составляющей ХВ

Заменяем связь «шарнир неподвижный» новой связью «шарнир подвижный» и прикладываем к т. В горизонтальную составляющую (рис. Д7.10). Внешние нагрузки для данной механической системы (составной конструкции):

, , и М.

Дадим системе возможное перемещение дх и составим уравнение равновесия на основе принципа возможных перемещений:

(11)

Рис. Д7.10

Элементарные работы равны:

а) силы :

В этом уравнении учли, что

б) силы :

в) момента М:

г) силы :

С учетом значений элементарных работ уравнение (11) примет вид:

Сокращая обе части на дх ? 0, учитывая, что cos 45° = sin 45°, находим искомую реакцию:

кН.

2.2 Определение вертикальной составляющей УВ

Заменяем связь «шарнир неподвижный» новой связью «шарнир подвижный» и прикладываем к т. В вертикальную составляющую (рис. Д7.11). К внешним нагрузкам отнесем:

, , и М.

Дадим системе возможное перемещение ду и составим уравнение равновесия на основе принципа возможных перемещений (учтем при этом, что балка ВС будет вращаться вокруг шарнира С, а балка АС останется неподвижной):

принцип перемещение динамика связь шарнир

Элементарные работы:

Следовательно,

Решаем полученное уравнение относительно искомой реакции:

кН.

Ответ: ХА = -6,8 кН; УА = -10,9 кН; ХB = -14,4 кН; УВ = 15,2 кН.

ЗАДАНИЕ Д8. Применение общего уравнения динамики для изучения движения механической системы

Механическая система под действием сил тяжести начинает движение из состояния покоя. Начальное положение системы показано на рис. Д8.1.

Массы тел системы m1, m2, m3 и m4, коэффициент трения скольжения тела 1 по шероховатой поверхности f, внешние радиусы ступенчатых блоков 2 и 3 R2 и R3, радиусы инерции этих блоков i2 и i3, углы б и в приведены в таблице Д8-1.

Зависимости между внешними и внутренними радиусами ступенчатых блоков указаны на рис. Д8.1.

Каток 4, который катится по наклонной плоскости без скольжения, считать однородным сплошным цилиндром радиуса R4 (значения R4 даны в таблице Д8-1).

Силами сопротивления в подшипниках и массами нитей, которые считать нерастяжимыми, пренебречь.

Нити, соединяющие тела 1 и 4 с соответствующими блоками, параллельны наклонным плоскостям.

Определить:

1. Направление движения механической системы.

2. Значения искомых величин, которые указаны в таблицах Д8-1 в столбце «найти», где: а1 и аС - ускорения тела 1 и т. С; е2, е3 и е4 - угловые ускорения тел 2, 3 и 4.

Указания: 1. Номер схемы на рис. Д8.1 выбирается в соответствии с последней цифрой шифра.

2. Данные из табл. Д8-1 выбирать согласно предпоследней цифре шифра.



вариант		вариант
1		2
3		4
5		6
7		8
9		0

Рис. Д8.1

Таблица Д8-1

Предпоследняя цифра шифра	m1	m2	m3	m4	R2	R3	R4	i2	i3	f	б	в	Найти
	кг	м		град
0	70	0	5	14	0,50	0,40	0,34	0,27	0,22	0,14	75	30	а1 , е4
1	65	5	0	13	0,55	0,45	0,32	0,30	0,25	0,13	70	28	аC , a1
2	60	0	4	12	0,60	0,50	0,30	0,33	0,28	0,12	65	26	а1 , е3
3	55	4	0	11	0,65	0,55	0,28	0,36	0,31	0,11	60	24	аC , a1
4	50	0	3	10	0,70	0,60	0,26	0,39	0,34	0,10	55	22	а1 , е2
5	45	3	0	9	0,75	0,65	0,24	0,42	0,37	0,09	50	20	е4 , а1
6	40	0	2	8	0,45	0,35	0,22	0,24	0,19	0,08	45	18	е3 , а1
7	35	2	0	7	0,40	0,30	0,20	0,21	0,16	0,07	40	15	а1 , е2
8	30	0	1	6	0,35	0,25	0,15	0,18	0,13	0,06	35	12	а1 , aC
9	25	1	0	5	0,30	0,20	0,10	0,15	0,10	0,05	30	10	а1 , aC

Пример выполнения задания Д8

Краткое условие задачи (схема приведена на рис. Д8.2):

Дано: m1 = 20 кг; m2 = 0; m3 = 6 кг; m4 = 8 кг; R2 = 0,50 м; R3 = 0,40 м; r2 = 0,6 R2; r3 = 0,5 R3; i2 = 0,27 м; i3 = 0,20 м; f = 0,10; б = 45°; в = 30°; д = 0,008 м; R4 = 0,30 м.

Найти: а1, аC.

Рис. Д8.2

Решение

1. Для решения задачи воспользуемся общим уравнением динамики: при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю, т.е.

Таким образом, для решения задачи необходимо выделить активные силы, действующие на точки данной механической системы, присоединить к ним все силы (и, если требуется - моменты) инерции, определить число степеней свободы, дать системе возможное (или возможные, если число степеней свободы больше одного) перемещение и определить элементарные работы указанных сил. Силу тяжести блока 2 не показываем, т.к. по условию задачи масса этого тела m2 = 0.

2. Показываем активные силы

, и

на рисунке. К активным силам также следует отнести силу трения скольжения тела 1 о наклонную плоскость и момент сопротивления МС , который имеет место вследствие наличия трения качения катка о наклонную плоскость (д ? 0).

Предполагаем, что груз 1 движется вниз с ускорением а1. Тогда каток 4 поднимается по наклонной плоскости. В соответствии с этим показываем на рис. Д8.2 и МС.

3. Произведем кинематический расчет: выразим угловые ускорения тел 2, 3 и 4 и ускорение т. С через ускорение а1. Покажем на рисунке эти ускорения.

угловое ускорение блока 2:

с-2;

угловое ускорение блока 3:

с-2;

ускорение т. С:

м/с2;

угловое ускорение катка 4:

с-2.

4. Определим силы инерции:

Груз 1 совершает поступательное движение, следовательно:

Н;

направлена в сторону, противоположную ускорению .

Масса блока 2 m2 = 0, поэтому главный момент сил инерции .

Блок 3 совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси. В этом случае все силы инерции приводятся к главному моменту сил инерции, который

равен:

и направлен в сторону, противоположную угловому ускорению блока е3.

Момент инерции блока 3:

кг·м2.

Следовательно:

Н·м.

Каток 4 совершает плоское движение, поэтому все силы инерции приводятся к главному вектору и главному моменту . Главный вектор сил инерции равен:

Н;

а главный момент сил инерции равен:

 Н·м.

Момент инерции катка относительно оси, проходящей через центр масс (учитываем, что каток - сплошной однородный цилиндр) равен:

кг·м2.

Таким образом,

Н·м.

5. Определим Fтр и МС.

Сила трения равна

Н;

Момент сил сопротивления вследствие трения качения катка 4:

Н·м.

6. Данная механическая система имеет одну степень свободы. Дадим системе одно возможное перемещение дS тела 1 в сторону его движения и определим элементарные перемещения других тел.

Элементарный угол поворота блока 2:

рад;

элементарный угол поворота блока 3:

рад;

возможное перемещение т.С:

элементарный угол поворота катка 4

рад.

7. Вычислим элементарные работы всех активных сил и сил инерции на возможных перемещениях. Составим общее уравнение динамики:

Или

Разделим обе части уравнения на дS ? 0 и решим относительно искомого ускорения тела 1:



м/с2.

Положительный знак ускорения а1 подтверждает, что предположение, будто груз 1 опускается по наклонной плоскости, оказалось верным.

Определим ускорение т.С:

м/с2.

Ответ: 1. Груз 1 движется по наклонной плоскости вниз.

2. а1 ? 5,2 м/с2; аС ? 1,56 м/с2.