Динамический расчет механической системы с одной степенью свободы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Аннотация

Часть 1: Исследование линейных колебаний механической системы с одной степенью свободы

1.1 Описание системы и условий расчёта

1.2 Задание на расчёт

1.3 Составление дифференциального уравнения движения системы

1.4 Определение закона движения системы

1.5 Анализ результатов

Часть 2: Динамический расчёт машины с кулисным приводом

2.1 Текст задания и условия расчёта

2.2 Задание на расчёт

2.3 Составление дифференциального уравнения движения системы

2.4 Определение окружного усилия в точке К

2.5 Построение алгоритма вычислений

2.6 Расчёты на ЭВМ. Анализ результатов

Список литературы



Аннотация

Данная работа называется «Динамический расчет механической системы с одной степенью свободы». Она состоит из двух частей. В первой части исследуются линейные колебания механической системы с одной степенью свободы. Составляется дифференциальное уравнение, которое интегрируется аналитически. Проводится анализ результатов.

Во второй части рассматривается нелинейная механическая система (машина с кулисным приводом). Нелинейное дифференциальное уравнение движения машины интегрируется с помощью пакета MathCAD. В виде анализа результатов строятся графики движения.



Часть 1. Динамический расчёт машины с кулисным приводом

1.1 Описание системы и условий расчета

Механическая система расположена на наклонной плоскости. Состоит из ползуна 1 массы и катка 2 массы . Ползун связан с пружинами жесткости и , соединенными последовательно, и с демпфером 3. Оси пружин параллельны наклонной плоскости (рис. 1).

Ползун перемещается поступательно. Каток катится без проскальзывания. Трением при движении ползуна, сопротивлением качению катка, массой пружин и поршней демпфера пренебречь.

Рис. 1.

Сила сопротивления, развиваемая в демпфере, пропорциональна скорости поршня: , где - коэффициент сопротивления. К центру катка приложена гармоническая сила , где и - амплитуда, и круговая частота этой силы.

1.2 Задание на расчет

1. Составить дифференциальное уравнение движения данной механической системы.

2. Найти закон движения системы, если в начальный момент времени центр масс катка смещен вниз по наклонной плоскости на м от положения равновесия, сообщена скорость м/c, направленная вниз.

3. Провести анализ результатов. Для расчета принять данные из таблицы 1:

Таблица 1

кг	Н/м	Н с/м	Н	1/с	м	м/с
10	5	1000	1400	500	175	8	0,12	0,4

1.3 Составление дифференциального уравнения движения системы

Система имеет одну степень свободы. Это обеспечивается принятыми условиями: жёсткостью стержня, соединяющего ползун и каток, и отсутствием проскальзывания при качении катка. Направим координатную ось Х параллельно наклонной плоскости, совместив её начало с положением равновесия (точка О). В качестве координаты, определяющей положение системы, примем величину Х - координату центра масс ползуна.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.

Построим схему задачи (рис. 2). Покажем скорости центров масс ползуна и катка, они направлены в сторону возрастания координаты х. Точка Р катка является его мгновенным центром скоростей.

Изобразим внешние силы, действующие на систему:

1) силы тяжести тел и ;

2) возмущающую силу ;

3) реакции связей: реакцию ползуна , реакцию катка , равнодействующую реакций пружин , силу сопротивления .

Для составления дифференциального уравнения движения применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

, (1.1)

где - кинетическая энергия системы,

- сумма мощностей внешних сил,

- сумма мощностей внутренних сил.

При принятых допущениях сумма внутренних сил системы равна нулю. Тогда соотношение (1.1) примет вид:

(1.2)

Найдём кинетическую энергию системы. Она равна сумме энергий тел:

(1.3)

Кинетическую энергию ползуна, движущегося поступательно со скоростью V, найдём по формуле:

(1.4)

Каток совершает плоское движение, поэтому его кинетическая энергия равна:

, (1.5)

где V - скорость центра масс катка,

- угловая скорость катка,

- момент инерции катка относительно оси, проходящей через его центр масс.

Так как скорости тел равны, а , то кинетическая энергия системы равна:

,

где (приведённая масса),

Тогда формула кинетической энергии системы примет вид:

(1.6)

Найдём производную по времени от кинетической энергии системы:

(1.7)

Вычислим сумму мощностей внешних сил:

. (1.8)

Мощность силы равна нулю, так как эта сила и скорость её точки приложения взаимно перпендикулярны, мощность силы также равна нулю, так как равна нулю скорость её точки приложения.

1) Мощность силы тяжести ползуна:

2) Мощность силы тяжести катка:

3) Мощность возмущающей силы:

4) Мощность силы упругости пружин:

движение система линейный колебание

5) Мощность силы сопротивления:

Таким образом, сумма мощностей запишется в виде:

, (1.9)

Где

статическая деформация пружин,

коэффициент жесткости эквивалентной пружины,

условие равновесия системы.

.

Тогда

(1.10)

Или

(1.11)

Теперь приведённую силу можно записать в виде:

(1.12)

Подставив это выражение в формулу (1.11), найдём:

,

Откуда

.

Введём обозначения:

,

где n - коэффициент затухания;

,

где k - циклическая (круговая) частота собственных колебаний;

,

где h - относительная амплитуда возмущающей силы.

Тогда дифференциальное уравнение движения системы запишется в виде:

. (1.13)



Данное уравнение является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний механической системы с учётом сил сопротивления. Таким образом, движение данной системы описывается неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1.4 Определение закона движения системы

Чтобы найти закон движения системы , нужно решить задачу Коши для уравнения (1.13), т.е. найти решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Решение задачи Коши состоит из двух этапов:

1) отыскания общего решения дифуравнения;

2) определение постоянных интегрирования по начальным условиям.

Общее решение можно представить в виде:

(1.14)

где общее решение однородного уравнения

; (1.15)

частное решение неоднородного уравнения (1.13).

Функция зависит от соотношения коэффициентов п и k. Вычислим их:



кг;

Н/м;

;

;

.

В данном уравнении n > k (большое сопротивление). Значит общее решение уравнения (1.13) имеет вид:

(1.16)

где и - постоянные интегрирования,

.

Частное решение неоднородного уравнения (1.13):

(1.17)

Постоянные интегрирования и определяются по формулам:

, .

Вычислим их:

м,

рад.

Итак, общее решение дифференциального уравнения (1.13) имеет вид

(1.18)

Чтобы определить закон движения, необходимо подобрать и так, чтобы выполнялись начальные условия. Найдём производную:

. (1.19)

Если t=0, то и должны принять начальные значения и .

Так, получаем систему уравнений:

(1.20)

(1.21)

Из этих равенств следует (используется формула ):

м.

Из (1.20) находим

,

откуда .

Тогда закон движения системы запишется в виде:

м. (1.22)

1.5 Анализ результатов

Из последнего уравнения следует, что движение данной механической системы является совокупностью двух движений (графики показаны в приложении 1):

1) собственного движения системы, которое определяется первым слагаемым закона; это движение апериодическое, оно быстро затухает.

2) вынужденных колебаний, определяемых вторым слагаемым закона движения; эти колебания являются гармоническими; их период

с.

Сдвиг между фазами данной силы и вынужденных колебаний

Итак, из совокупности движений определяющими являются вынужденные колебания, так как после некоторого промежутка времени собственное движение системы затухает.

Размещено на Allbest.ru