Сопротивление материалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Брянский государственный технический университет

Кафедра: «Прикладная механика»

КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

Г.А. Неклюдова

Брянск 2007

Введение

Сопротивление материалов наука, изучающая инженерные методы расчета на прочность жесткость и устойчивость.

При эксплуатации конструкции подвергаются действию различных нагрузок. Для нормального функционирования они должны соответствовать необходимым критериям прочности, жесткости и устойчивости.

Прочность - свойство конструкции или ее элементов противостоять внешней нагрузке, не разрушаясь.

Жесткость - свойство конструкции при нагружении противостоять внешним деформациям.

Деформации конструкции при ее нагружении не должны превышать некоторых предварительно заданных весьма малых величин, которые определены из условий нормальной работы конструкции.

Устойчивость - свойство конструкции сохранять первоначальную форму, равновесие при нагружении внешними силами. Расчету на устойчивость подвергаются сжатые стержни.

Сопротивление материалов - экспериментально-теоретическая наука, теоретическая часть которой основывается на теоретической механике и математике, а экспериментальная на физике и материаловедении.

Объекты исследования сопротивления материалов

Стержень - это тело, у которого размеры поперечного сечения b или n значительно меньше его длины l (рис. В1).

Рис. В1 Стержень

Оболочка - тело, у которого толщина значительно меньше других размеров (рис. В2). Серединная поверхность - это геометрическое место точек, равноудаленных от внешней и внутренней поверхностей оболочки.

Рис. В2 Оболочка

Пластина - оболочка, у которой серединная поверхность - плоскость (рис. В3).

Рис. В3 Пластина

Массивное тело - это тело, у которого все три размера сопоставимы (рис. В4).

Рис. В4 Массивное тело

Расчетная схема - схематичное (условное) изображение реального объекта, освобожденного от несущественных с точки зрения данного расчета особенностей.

Стержень на расчетной схеме изображается своей осью (рис. В5):

Рис. В5 Расчетная схема двутавровой балки

Внешние нагрузки приводятся к оси стержня (см. рис. В6):



Рис. В6 Приведение внешних нагрузок

Ось стержня - это геометрическое место центров тяжести поперечных сечений стержня. Силы разделяют на внешние и внутренние. Внешние силы приложены к конструкции, а внутренние возникают в элементах конструкции. Внешние силы подразделяются на поверхностные, приложенные к участкам поверхности, и объемные, распределенные по всему объему конструкции (например, сила тяжести, магнитного притяжения, силы инерции при ускоренном движении конструкции - это объемные внешние силы). Поверхностные силы могут быть сосредоточенными, если они приложены к малым участкам поверхности, или распределенными, если они приложены к конечным участкам.

На расчетной схеме внешние силы приводятся к центру тяжести поперечного сечения стержня (см. рис. В7).

Рис. В7 Приведение внешних нагрузок

1. Метод сечений

Внутренние силовые факторы

Внешние силы стремятся разрушить конструкции или узлы, а внутренние силы противодействуют этому.

Рассмотрим произвольный брус, нагруженный самоуравновешенной системой сил (рис. 1.1):

Рис. 1.1 Приведение внешних нагрузок

Чтобы найти внутренние силы воспользуемся методом сечений РОЗУ (рис. 1.2).

Р - разрезаем произвольной плоскостью на А и В.

О - отбрасываем одну из этих частей, например, В (рис. 1.2а). Рассмотрим оставшуюся часть(рис. 1.2б).

З - заменяем. Внутренние силы мы заменяем главным вектором и главным моментом.



Рис. 1.2 Метод сечений РОЗУ

Раскладываем главный вектор и главный момент в плоскости на оси (рис. 1.2в).

Внутренние силовые факторы:

Qx, Qy - вызывают сдвиг - перерезывающие поперечные силы;

N - нормальная продольная шина, растяжение, сжатие бруса;

Мz - крутящий момент;

Мx, Мy - изгибающий момент (рис. 1.2в).

В общем случае нагружения в сечении действуют 6 внутренних факторов. График изменения внутреннего фактора при передвижении вдоль оси стержня называется - эпюрой.

У - уравновешиваем.

1.1 Построение эпюр внутренних факторов для стержней

Построение эпюр нормальных сил N

Правило знаков для N имеет физический смысл: нормальная сила является положительной, если вызывает растяжение бруса, отрицательной - если сжатие.

Пример 1 (рис. 1.3).

Если на стержень действуют силы, приложенные вдоль его оси, то он находится в условиях растяжения и остается только один внутренний фактор N.

Рис. 1.3 Стержень

Порядок построения эпюр:

Определяем реакции опор.

Разбиваем стержень на участки.

Участок - часть стержня между точками приложения сосредоточенных сил, включая опорные реакции.

Записываем аналитические выражения для внутренних силовых факторов.

Строим график (эпюру) (рис. 1.4).

Рис. 1.4 Построение эпюры нормальных сил

Эпюра - график, заштрихованный линиями, перпендикулярными оси.

Используя метод РОЗУ, отбрасывают ту часть, где больше нагрузки.

Внутренний фактор - равнодействующая внутренних сил.

Nz2 = P-3P = -2P

Nz2 = P-3P = -2P

Пример 2 (рис. 1.5).

Построить эпюру нормальных сил N.

q - интенсивность равномерно - распределенной нагрузки.

Опасное сечение в заделке, т.к. там самое большое значение N.

Рис. 1.5 Построение эпюры нормальных сил

Построим эпюру нормальных сил

1.2 Построение эпюр крутящих моментов

Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент, а прочие силовые факторы равны нулю. Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков.

Рис. 1.6 Правило знаков для крутящего момента

Если со стороны внешней нормали к сечению вращение осуществляется против часовой стрелки, то крутящий момент положительный (рис.1.6).

Правило знаков носит формальный характер (можно установить произвольно).

Стержень, в основном работающий на кручение, называется валом.



Рис.1.7 Схематичное изображение крутящего момента (против часовой стрелки).

Пример (К - 1)

Построить эпюру крутящих моментов (рис 1.9).

Рис.1.9 Построение эпюры крутящих моментов



Пример на построение эпюры крутящих моментов (рис 1.10).

Рис.1.10 Построение эпюры крутящих моментов



1.3 Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для

балок

Балка - стержень, в основном работающий на изгиб. При расчете балку принято заменять ее осью, все нагрузки приводятся к этой оси, а силовая плоскость будет совпадать с плоскостью чертежа.

Вал - стержень в основном работающий на кручение.

Виды опор: Шарнирно-подвижная опора - опора, в которой может возникать только одна составляющая реакции, направленная вдоль опорного стержня (рис.1.11).

Рис.1.11 Шарнирно-подвижная опора

Шарнирно-неподвижная опора - опора, в которой могут возникать две составляющие реакции: вертикальная и горизонтальная (рис.1.12).

Рис.1.12 Шарнирно-неподвижная опора

Заделка (жесткое защемление) - опора, в которой могут быть: вертикальная и горизонтальная реакции и опорный момент (рис.1.13).

Рис.1.13 Заделка

1.3.1 Правило знаков для Q

1.3.2 Правило знаков для М

Эпюру для М строят на сжатых волокнах.

Пример (Э-3)

Построить эпюры внутренних усилий Q и M для однопролетной балки (рис. 1.14).

Рис. 1.14 Расчетная схема

Дано:

Р=0,5qa

M=0,5qa2

Решение:

Вычислим реакции опор.

Освободим балку от связей и заменим их действие реакциями.

Y: RA-P-q·2a+RB=0

Составим уравнения равновесия:

Сумма моментов всех сил относительно точки А равна

откуда



Сумма моментов всех сил относительно точки В равна

Разделим балку на четыре участка. Применим метод сечений на каждом из участков и запишем выражения для внутренних усилий

Внутренние усилия на втором участке равны

На третьем участке

Внутренние усилия на четвертом участке равны

Строим эпюры для M и Q (рис 1.15). Для проверки правильности полученных эпюр могут быть использованы следствия из дифференциальных зависимостей между Q и M.



Рис. 1.15 Построение эпюр Q и M

2. Дифференциальные зависимости при изгибе

Пусть стержень закреплен произвольным образом и нагружен распределенной нагрузкой q=f(z), принятое направление q считать положительным (рис. 2.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.1 Стержень с распределенной нагрузкой

Выделим из стержня элемент длиной dz и в проведенных сечениях приложим моменты M и M+dM, а также поперечные силы Q и Q+dQ (рис. 2.2). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать равномерно распределенной.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.2 Элемент длиной dz стержня

Приравниваем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов относительно поперечной оси:



После упрощения получим

Из полученных соотношений можно сделать некоторые общие выводы о характере эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для прямого стержня.

2.1 Правила проверки эпюр

Если на участке отсутствует распределенная нагрузка, то есть q = 0,

=> Q=const=C1; => M=C1z+D1,

то эпюра поперечных сил постоянна, а эпюра изгибающих моментов М изменяется по линейному закону (рис. 2.3).

Рис. 2.3 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

Если в сечении приложена сосредоточенная сила, то на эпюре Q скачек на величину этой силы, от начала предыдущего, до начала следующего. А на эпюре М излом, направленный навстречу этой силе.

Если первая производная положительная, то момент возрастает слева направо, если отрицательная, то наоборот: +Q => M -Q => M.

Если в сечении приложен сосредоточенный момент Мi, то на эпюре Q нет никаких изменений, а на эпюре М скачек на величину этого момента (рис. 2.4).

Рис. 2.4 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

Если на участке приложена равномерно распределенная нагрузка q = const, то Q - наклонная прямая, а М - парабола, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке (рис. 2.5).

Рис. 2.5 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

Если на участке эпюра Q меняет знак и пересекает ось, то эпюра М имеет экстремум в точке пересечения Q с осью.

Если ветви эпюры Q сопрягаются без скачка на границах участка, то ветви эпюры М на границе этих же участков сопрягаются без изломов (рис. 2.6).

Рис. 2.6 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

Если на участке стержня Q равна нулю, то

(рис. 2.7)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.7 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

3. Напряжения и деформации

Введем оси координат Ox, Oy, Oz. Выделим элементарную площадку F в плоскости поперечного сечения бруса (рис. 3.1). На нее действует произвольная сила, которая может быть разложена на составляющие N (NxOy) и T (TxOy).

Рис. 3.1 Поперечное сечение бруса

Введем понятие касательного и нормального напряжений:

нормальное напряжение

Нормальное напряжение - это предел отношения нормальной составляющей внутренних усилий N, действующих на элементарную площадку F при стремлении последней к нулю.

касательное напряжение

Касательное напряжение - это предел отношения тангенциальной составляющей внутренних усилий T, действующих на элементарную площадку F при стремлении последней к нулю.

Общий вид формул:

Закон парности касательных напряжений

«Вырежем» элементарную площадку dF бруса размером dx на dy (рис. 3.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.2 Площадка dF

На двух взаимно перпендикулярных площадках, имеющих общее ребро, касательные напряжения равны по величине и направлены или оба к ребру или оба от ребра.

3.1 Интегральные зависимости между и и внутренними силовыми

факторами

Рис. 3.3Связь между напряжениями и внутренними усилиями

4. Деформации

Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым; под действием внешних сил все тела в той или иной мере меняют свою форму(деформируются).

Изменение формы напряженного тела существенно влияет на распределение в нем внутренних сил, хотя само по себе это изменение формы является, как правило, незначительным и обнаруживается в большинстве случаев только при помощи чувствительных приборов.

Рассмотрим основные виды деформации, которые учитываются при решении задач в сопротивлении материалов.

Абсолютная деформация

Пусть левый конец стержня зафиксирован, к обоим концам стержня приложена горизонтальная сила P (рис. 4.1).

Абсолютная деформация - это полное удлинение стержня, т.е. перемещение свободного конца стержня относительно положения этого конца в ненагруженном состоянии стержня.

Рис. 4.1 Растяжение стержня

Относительная деформация

- относительная деформация (вдоль оси х - x,

вдоль оси y - y)

Закон Гука для линейных деформаций

,

где Е - модуль Юнга или модуль упругости I-го рода, для стали Eст = 2105 МПа

Относительная угловая деформация

- относительный угол деформации, равен изменению прямого угла при приложении нагрузки.

Рис. 4.2 Относительная угловая деформация

Закон Гука для угловых деформаций

где G - модуль сдвига или модуль упругости II-го рода

Упругие постоянные материала связаны зависимостью:

где - коэффициент Пуассона.

Он равен отношению поперечной деформации бруса к продольной деформации , взятого по модулю.

стали = 0,25 -0,35

5. Основные гипотезы, допущения, принципы, принимаемые в курсе

сопротивления материалов

Методы расчета на прочность и жесткость конструкции в сопротивлении материалов основаны на применении следующих гипотез и допущений.

Материал конструкции считается сплошным и однородным. Атомистическая теория строения вещества в расчет не принимается.

Исключение: допущение неприемлемо при рассмотрении усталостной природы разрушения металлов.

Материал конструкции считается анизотропным, то есть обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях.

Исключение: дерево, прокатный материал.

Материал конструкции подчиняется закону Гука

для линейных деформаций;

при деформациях сдвига.

Материал тела считается абсолютно упругим.

Поперечные и нормальные к оси сечения бруса до приложения нагрузки остаются плоскими и нормальными после приложения нагрузки (Гипотеза Бернулли или гипотеза плоских сечений).

Принцип суперпозиции. Результат действия на конструкцию суммы нагрузок равен сумме результатов действия каждой нагрузки отдельно (рис. 5.1).



Рис. 5.1 Принцип суперпозиции

Принцип Сен-Венана. На расстоянии равном размеру поперечного сечения бруса способ приложения нагрузки не оказывает влияния на напряженно деформированное состояние бруса (рис. 5.2).

Рис. 5.2 Принцип Сен-Венана

Деформации конструкции малы и не влияют на взаимное положение точек приложения внешних сил и изменение размеров конструкции.

6. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии

Растяжение - такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникают только нормальные силы N, а все остальные внутренние силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.

Приложение нормальных сил к стержню может быть различным, но в любом случае система внешних сил образует равнодействующую Р, направленную вдоль оси стержня, то есть во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы N, равные силе Р: N=P.

При расчетах в сопротивлении материалов сжатие отличается от растяжения формально только знаком силы N.

Таким образом, при рассмотрении задач сохраняется единство подхода к вопросам растяжения и сжатия.

Если для нагруженного по концам растянутого однородного стержня напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, то такое напряженное состояние называется однородным.

Рассмотрим задачу о распределении напряжений и при растяжении (сжатии) в поперечном сечении стержня (рис. 6.1).

Три стороны задачи о растяжении и сжатии стержня.

1. Статистическая сторона задачи

Рис. 6.1 Растяжение стержня



(1)

(2)

2. Геометрическая сторона задачи

Применим гипотезу плоских сечений:

Волокна при растяжении (сжатии) по высоте в поперечном сечении бруса деформируются одинаково (3).

Выделим два сечения стержня до приложения нагрузки и рассмотрим их положение в нагруженном состоянии (рис. 6.2).

Рис. 6.2 Деформация стержня

3. Физическая сторона задачи

Заключается в применении закона Гука.

(4) где - относительная деформация,

Е - модуль упругости 1 рода = 2105 МПа

Объединяем все три стороны задачи

(5)

подставляем в интеграл (2)

=>

(6) - нормальное напряжение

Найдем растяжение стержня при удлинении, сжатии.

Рис. 6.3 Нормальное напряжение при растяжении

EF - жесткость бруса при растяжении, сжатии.

Абсолютная деформация бруса длинной l=dz равна

 где l - абсолютная деформация.

Условия прочности:

- допускаемое нормальное напряжение.

Материалы

Пластичные материалы	Хрупкие материалы
- предел текучести материала	- предел прочности материала
n - коэффициент запаса прочности

n - вводится по следующим причинам:

неточное определение внешних нагрузок

приближенные методы расчета

отклонения в размерах деталей

разброс в механических характеристиках материала.

Для хрупких материалов n больше чем для пластичных материалов, так как у хрупких материалов большая неоднородность структуры.

если N(z) = const, F(z) = const

Условие жесткости l [l]

7. Типы задач сопротивления материалов

Мы выполняем расчет по допускаемым напряжениям, при этом вся конструкция считается прочной, если напряжение в опасной точке max не превосходит [] - допускаемого значения (рис. 7.1).

Рис. 7.1 Эпюра напряжений

1. Проверочный расчет

Дано:

Размеры стержня, внешняя нагрузка.

?

2.Проектировочный расчет

Дано:

Внешняя нагрузка, []

max = [] условие экономичности

3.Определение допустимой внешней нагрузки

Дано:

размеры стержня,

max = =

4. Расчет на жесткость.

Условия жесткости:

l =

Пример (Р-1)

все величины заданы в системе СИ

Рис. 7.2 Пример решения задачи Р-1

Решение

Найдем реакции связей

Построим эпюру нормальных сил

Построим эпюру нормальных напряжений

Построим эпюру перемещений

8. Кручение стержней

Это такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникают только крутящие моменты, отличные от 0. а N = Qx = Qy = Mx = My = 0. Стержень, работающий на кручение, называется валом.

8.1 Кручение круглых стержней

Три стороны задачи о кручении.

Рассмотрим вал, находящийся под действием крутящих моментов (рис. 8.1).

Рис. 8.1 Вал

1. Статическая сторона задачи:

Mкр (z) = M,

Mкр = dF (2)

Mx = ydF = 0

My = xdF = 0 (3)

N = dF = 0

Анализируя формулы (3), приходим к выводу, что нормальные напряжения в нормальных сечениях = 0.

Найдем закон изменения касательных напряжений “” в поперечном сечении бруса.

2. Геометрическая сторона задачи.

Она связана с применением гипотезы Бернулли (плоских сечений)

Экспериментально установлено, что при кручении круглого бруса ось стержня не меняет своей длины и формы, а поперечные сечения, плоские и нормальные к плоскости бруса до приложения крутящего момента, остаются такими же после приложения крутящего момента, и поворачиваются друг относительно друга. Физическая модель резинового бруса: поперечные сечения закручиваются друг относительно друга.

Выделим участок бруса длиной dz и имеющего радиус (рис. 8.2).

Рис. 8.2 Участок бруса

Пусть левая часть неподвижна.

(4)

- абсолютный угол поворота

- относительный угол закручивания (поворота), приходящийся на единицу длины

- угловая деформация

3. Физическая сторона задачи

Заключается в применении закона Гука.

Закон Гука для угловых деформаций:

= G (5), G - модуль сдвига (модуль упругости II-го рода)

Gстали = 8104 МПа = 81010 Па

Объединяя три стороны задачи, получаем:

Рис. 8.3 Эпюра касательных напряжений

из (4), получаем = => (5) Mкр = dF

= G (6) => (2) Mкр = 2G dF (2) = G 2 dF

const Ip

Ip = 2 dF - полярный момент инерции

Ix = Iy = D4/64; Ip = 2Ix = 2Iy = D4/32

= Mкр/ (GIp) (7)

(7)(6) => = (MкрG)/Ip= (Mкр)/Ip

= (Mкрi)/Ip (8)

Анализируя формулу (8), делаем вывод, что касательные напряжения при кручении распределяются по нормальному закону (рис. 8.3).

max возникают при =

Wp = Ip/(D/2) - полярный момент сопротивления

Для круглого сплошного сечения: Wp = (D3)/16

Тогда max = Mкр/Wp; Мкр/Wк ,

где Wк - момент сопротивления при кручении, равный в данный момент Wp.

max = Mкр/Wк - условие прочности при кручении.

8.1.1 Геометрические характеристики Ip и Wp

Анализируя эпюру , мы видим, что в центре сечение не нагружено, т.о. рациональным сечением является не сплошной вал, а кольцо.

Задача: сопоставить по металлоемкости два равноправных сечения (рис. 8.4).

Рис. 8.4 Полое и сплошное сечения вала

Равнопрочные:

max1 = max2

max1 = Мкр/Wp1

max2 = Мкр/Wp2

Мкр/Wp1 = Мкр/Wp1 1/Wp1 = 1/Wp1

(D31)/16 = (D32)/16(1-(d24/D24))1/D13 = 1/(D23(1-0.84));

0.59 D23 = D13;

D1 = D0.839.

Сопоставляем сечения 1 и 2 по металлоемкости:

F1/F2 = (D12)/4/((D22)/4)-(1-d22/D22) = 1.9.

8.2 Кручение прямоугольных стержней

При кручении прямоугольных стержней гипотеза плоских сечений не выполняется, так как сечения искривляются депланируют. Задача о кручении прямоугольных стержней решается в теории упругости.

Готовые формулы

h>b

Рис. 8.5 Эпюра касательных напряжений для некруглых стержней

В углах и центре тяжести 0

где Wk = b2h - момент сопротивления при кручении

Ik = b3h -

, , -коэффициенты, зависят от соотношения

Некоторые значения коэффициентов , , .

	1	1,5	1,75	2	2,5	3	10
	0,208	0,231	0,239	0,246	0,256	0,267	0,313
	0,141	0,196	0,214	0,229	0,249	0,263	0,313
	1	0,869	0,82	0,795	0,766	0,753	0,742

Абсолютный угол закручивания вала, состоящего из n участков - .

Пример (К-1)

Дано (рис. 8.6)

Решение

первый участок

второй участок

третий участок

мы приняли за диаметр трубки диаметр D1, тогда пересчитаем момент сопротивления

найдем угол закручивания стержня

Рис. 8.6 Эпюра крутящих моментов



Рис. 8.7 Эпюра касательных напряжений для различных сечений стержня

сопротивление материал эпюр деформация

9. Геометрические характеристики плоских сечений

Рассмотрим произвольное плоское сечение (рис. 9.1). Выделим элементарную площадку dF и определим ее характеристики.

Рис. 9.1 Произвольное плоское сечение тела

Статистический момент инерции сечения.

Называется Sx и Sy относительно осей x и y

интегральная сумма произведения элементарных площадок на их расстояние до оси.

=> [S] = м3

Используется для определения центра тяжести касательных напряжений при изгибе.

Координаты центра тяжести сечения

Если фигура состоит из нескольких простых

Осевой момент инерции сечения.

[м4]

[м4]

Главная характеристика при расчетах на изгиб.

Центробежный момент инерции скольжения - интегральная сумма произведения элементарных площадок на расстояние до осей.

[м4]

Полярный момент инерции.

[м4]

Радиус инерции.

Осевой момент сопротивления.

Wx, Wy [м2]

Для сечения, имеющего две оси симметрии:

Для сечения, имеющего одну ось симметрии:

полярный момент сопротивления

Пример

dF = bdy

Ix = ?

тогда

9.1 Геометрические характеристики простых сечений

Вид сечения	Координата ц.т.	Ixc	Iyc	Ixc,yc центробежн момент ин-и	Приме-чания
				0
				0
				0

9.2 Параллельный перенос осей

Рис. 9.2 Параллельный перенос осей

Дано: F, a, b, Ix, Iy, Ixy; (рис. 9.2)

Найти: Ix1, Iy1, Ix1y1;

Решение:

Если оси x и y центральные, то Sx=Sy=0 и формулы имеют вид:

В общем виде формулы параллельного переноса имеют вид:

n число составных частей

9.3 Поворот осей

Рис. 9.3 Поворот осей

Дано: Ix, Iy, Ixy, (рис. 9.3)

Найти:Ix1, Ix2, Ix1y1

Решение:

Исследуем на экстремум Ix1

- ось максимума

- ось минимума

- сумма осевых моментов инерции при повороте осей инвариантна (=const)

Оси, относительно которых центробежный момент равен 0, называются главными. Моменты инерции относительно этих осей принимают максимальные и минимальные значения:

, - главные моменты инерции

Главные оси, u, v, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными.

Главные центральные моменты сечения:

Если сечение обладает симметрией, то оси симметрии и являются главными осями.

Размещено на Allbest.ru