А(w) - амплитудная частотная функция, модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы W(jw).

ц(w) - аргумент W(jw), ц(w)=argW(jw), фазовая частотная функция.

(18)

(19)

(20)

Найдём ЛАЧХ разомкнутой системы. Для этого проанализируем разомкнутую систему (3):

1) Звенья - инерционные, каждое из этих звеньев даёт наклон -20 Дб/дек;

2) Звено - усилительное. Оно даёт нам сдвиг по оси L(w) на число 20Log K.

3) Звено - интегрирующее. Оно даёт нам наклон -20 Дб/дек.

Исходя из свойства L(w) можем записать:

(21)

Найдём сопрягающие частоты по формуле (22)

Рассчитаем параметры для построения ЛФЧХ разомкнутой системы, путем суммирования ЛФЧХ всех звеньев.

Значения углов вычисляются в диапазоне частот от минимальной частоты, соответствующей началу координат до частоты, при которой фазовый сдвиг превышает (-180^є).

По свойствам звеньев определим ЛФЧХ для каждого звена по отдельности:

- для усилительного звена ;

- для инерционного звена

- для интегрирующего .

Запишем ЛФЧХ для каждого звена в отдельности

;

;

Значения результирующей ЛФЧХ найдем как

 (23)

Таблица 2 - Значения ЛФЧХ

Результаты вычислений отобразим на графике логарифмических характеристик разомкнутой системы:

Рисунок 5 - ЛАЧХ разомкнутой системы

Рисунок 6 - ЛФЧХ разомкнутой системы

Если разомкнутая система устойчива, для ее устойчивости в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию -180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю).

В данном случае ЛФЧХ не совершает отрицательных переходов при положительных значениях ЛАЧХ. Можно сделать вывод о том, что замкнутая система будет устойчивой.

Из графиков находим, что L (2.436)=0 дБ, отсюда .

Из графиков находим, что , отсюда L (4.17)=-8.07 дБ.

Следовательно, запас по модулю составляет 8,07 дБ, а запас по фазе равен 26,35°.

2. Синтез линейной системы автоматического регулирования по логарифмическим частотным характеристикам

2.1 Построение ЛАЧХ исходной системы

Асимптотическую ЛАЧХ построим по передаточной функции исходной системы (рисунок 5).

2.2 Построение желаемой ЛАЧХ

Желаемую ЛАЧХ построим на основании требований, предъявляемых к свойствам системы по методу В.В. Солодовникова.

Желаемую ЛАЧХ условно разделяют на три части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную.

Низкочастотная часть определяет статическую точность системы - точность в установившемся режиме. Требования к системе в установившемся режиме не оговариваются, поэтому низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ должна совпадать с низкочастотной асимптотой исходной системы .

Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ незначительно влияет на динамические свойства системы. Она должна иметь такой же наклон, что и высокочастотная часть , поэтому либо совпадает, либо параллельна ей.

Среднечастотная асимптота определяет устойчивость, запас устойчивости, быстродействие системы. Ее параметрами являются частота среза , наклон, выражаемый в децибелах на декаду и диапазон частот.

Частоту среза , запасы устойчивости по модулю и по фазе выбирают по заданным значениям максимального перерегулирования и времени регулирования . в соответствии с номограммами предложенными Солодовниковым В.В.

Выбираем , , .

Выбираем частоту среза согласно формуле

. (24)

Подставляя численные значения, получим

Отмечают ее на оси частот на том же рисунке, где изображена ЛАЧХ исходной системы. Через точку проведем прямую линию с наклоном .

На оси ординат отметим точки с координатами , через которые проведем пунктиром горизонтальные прямые до пересечения их с линией .

Частоты, которым соответствуют точки пересечения прямых, определяют нижнюю и верхнюю границы среднечастотного диапазона (рисунок 7, это и ).

Вычислим нижнюю и верхнюю границы среднечастотного диапазона, для этого заметим, что составляет 16 дБ, а , тогда получаем, что:

;

Отметим, что , .

Среднечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ сопрягаем с низкочастотной и высокочастотной асимптотами.

Сопряжение осуществляем асимптотами с наклоном -40 дБ/дек.

Примем частоту =300

Найдя частоты сопряжения желаемой ЛАЧХ, построим синтез желаемой и исходной ЛАЧХ.

Рисунок 7 - Желаемая и исходная ЛАЧХ

2.3 Проверка запаса устойчивости по фазе скорректированной системы

Проверяем запас устойчивости по фазе для желаемой ЛАЧХ.

Для этого сначала получим выражение для фазовой частотной характеристики ФЧХ системы по виду желаемой ЛАЧХ.

Фиксируем частоты излома желаемой ЛАЧХ , . Постоянные времени найдем по формулам:

. (25)

Тогда выражение для расчета фазовой частотной характеристики системы представится в виде

. (26)

Рисунок 8 - Желаемая ЛФЧХ

Запас устойчивости

, (27)

Подставляя в данную формулу значения частот излома желаемой ЛАЧХ, получим .

Откуда видно, что условие запаса устойчивости

(28)

На частоте среза условие выполняется, значит вопрос о коррекции желаемой ЛАЧХ решаем на основе оценки качества системы.

2.4 Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы