Размещено на http://www.allbest.ru/

46

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Академия проблем качества

Московский государственный технический университет «МАМИ»

Д.Д. Грибанов

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

Учебное пособие для студентов, обучающихся по специальностям

200501 «Метрология и метрологическое обеспечение» и 200503 «Стандартизация и сертификация».

(Рекомендовано в качестве учебного пособия учебно-методическим советом по направлению 200400 «Метрология, стандартизация и сертификация»)

Москва 2006

Роль метрологии в последние десятилетия резко возросла практически во всех областях научного познания и в практике. Особенно это касается создания новых видов продукции и автоматизированных производств. Без надлежащей организации метрологического обеспечения, включающего обеспечение единства измерений, применения самых современных средств и методов измерений, невозможно обеспечить требуемое качество любой продукции. Управлять этими процессами могут только специалисты высокой квалификации. В связи с этим повышаются требования к квалификации метрологов и подготовке их к практической деятельности. Особенно это касается подготовки в области теоретической метрологии, в состав которой входит и теория измерений.

К сожалению, имеющиеся в настоящее время материалы, касающиеся вопросов теории измерений в машиностроении, рассредоточены в многочисленных источниках. Практически не существует единого для технических ВУЗов учебника по этому направлению. Данная книга является попыткой создания такого учебника.

В нем излагаются основы измерений, сведения о методах и средствах измерений, способах достижения требуемой точности при проведении измерений.

Пособие предназначено для преподавателей и студентов технических ВУЗов, а также лиц, интересующихся вопросами измерений.

Содержание

Введение в теорию измерений

1. Виды измерений

2. Методы измерений

3. Погрешности результатов измерений

3.1 Классификация погрешностей результатов измерений

3.1.1 Систематические погрешности

3.1.2 Случайные погрешности

4. Случайные величины

4.1 Распределение случайных величин

4.2 Интегральная и дифференциальная функции распределения случайной величины

5. Характеристики функции распределения случайных величин

5.1 Моменты функции распределения случайных величин

5.2 Математическое ожидание

Введение в теорию измерений

Любая физическая величина (ФВ) имеет свой идеальный размер (идеальное значение), которого мы не знаем в силу целого ряда причин. Этот размер существует объективно независимо от наблюдателя. Числовое значение этого размера может быть оценено в результате измерений.

Измерение - нахождение значения физической величины с помощью специальных технических средств. Это определение техническое и не отражает физической сущности процесса измерения. Один из основоположников отечественной метрологии Маликов предложил другое понятие измерения:

Измерение - познавательный процесс, представляющий совокупность операций по применению технического средства, хранящего единицу физической величины, заключающихся в сравнении (в явном или неявном виде) измеряемой величины с ее единицей с целью получения значения этой величины (или информации и нем» в форме, наиболее удобной для использования.

Так, в простейшем случае, прикладывая линейку с делениями к какой-либо детали, сравнивают её размер с единицей, хранимой линейкой, и, произведя отсчет, получают значение величины (длины, высоты, толщины или других линейных параметров детали). С помощью измерительного прибора сравнивают размер величины, преобразованной в перемещение указателя, с единицей, хранимой шкалой этого прибора. В измерительном канале измерительной системы также выполняется сравнение с хранимой единицей, при этом нередко оно может происходить в закодированном виде.

Для того чтобы назвать измерениями физической величины указанную в определении совокупность операций, необходимо создать ряд условий, так называемых условий измерения. Такими условиями являются:

возможность выделения измеряемой физической величины среди других величин;

возможность установления единицы, необходимой для измерения выделенной величины;

возможность материализации (воспроизведения или хранения) установленной единицы техническим средством;

возможность сохранения неизменным размера единицы (в пределах установленной точности) как минимум на срок, необходимый для выполнения измерений.

От термина «измерение» происходит термин «измерять». Применяемые в быту выражения «мерить», «замерять», «обмерять», «промерять» метрологическим терминами не являются, и применять их не следует.

Найденное с помощью измерения значение, называемое действительным, отличается от истинного значения измеряемой физической величины на некоторый размер, т. е., результат измерения содержит некоторую неопределенность. Остаточная неопределенность наших знаний об измеряемом объекте может характеризоваться различными мерами неопределенности.

Техническими средствами, применяемыми при измерении, являются средства измерений (СИ). В общем случае при измерении происходит сравнение измеряемой ФВ с её единицей по шкале измерительного прибора.

С точки зрения информационной теории, измерение представляет собой процесс, направленный на уменьшение энтропии измеряемого объекта. Энтропия является мерой неопределенности наших знаний об объекте измерений. В процессе измерения мы получаем дополнительную информацию об объекте, т.е. уменьшаем энтропию объекта.

Измерительной информацией - называется информация о значениях измеряемых ФВ.

Такая мера неопределенности, как энтропия, наиболее широко распространена в теории информации, где с помощью энтропии оценивается степень неточности измерительной информации об измеряемом объекте. В метрологической практике энтропия используется редко. Например, в той области метрологии, которая занимается аналитическими исследованиями.

Измерительную информацию получают в результате решения измерительной задачи. Конечной целью решения любой измерительной задачи является получение оценки истинного значения измеряемой физической величины Q и погрешности измерения при известной доверительной вероятности Р.

Алгоритм получения измерительной информации определяется видом, который классифицируется по основным признакам, и методом измерения. Точность получаемых результатов измерений зависит от математической модели процесса измерения, методики выполнения измерений и применяемых средств измерения (СИ). На точность этих результатов оказывает большое влияние и их обработка.

Под точностью результатов измерений понимается характеристика качества измерений, отражающая близость к нулю погрешности их результата. Точность измерений обычно характеризуется погрешностью измерений. Принимают, что чем меньше погрешность измерения, тем больше точность. Обычно под числовой характеристикой точности понимается значение, обратное значению погрешности, т.е. если относительная погрешность равна 0,01%, то точность - 100%. Поэтому не следует определять точность, равную в процентном отношении погрешности. Выражение «с точностью 0,01%» говорит о том, что относительная погрешность достигает 100%. Обычно говорят о высочайшей, высокой, средней или низкой точности.

Измерительная задача - это получение измерительной информации о конкретной физической величине.

Она включает в себя следующие основные операции:

- выделение из ряда величин именно ту, размер которой необходимо определить;

- определение центра распределения результатов измерений (наблюдений);

- определение параметров рассеяния результатов измерений;

- группировку полученных экспериментальных данных по признаку принадлежности к одной генеральной совокупности;

- анализ суммарной погрешности и разделение её на составные части (составляющие суммарной погрешности);

- исследование зависимости между рядами измерений.

В процессе этих операций приходится:

· вычислять средние квадратичные погрешности (стандарты);

· проверять соответствие экспериментального закона распределения результатов измерений (наблюдений) теоретическому закону (нормальному, равномерному, трапециевидному и др.);

· устанавливать границы доверительных интервалов для результатов измерений и их погрешностей;

· находить и исключать из результатов измерений грубые и систематические погрешности;

· учитывать неисключенные остатки систематических погрешностей.

1. Виды измерений

Для того, чтобы измерения были надежными и достоверными необходимо создать определенные условия, при которых они выполняются.

Необходимо обеспечить возможность:

· четкого выделения измеряемой физической величины среди множества других;

· установления единицы, необходимой для измерения выделенной физической величины;

· воспроизведения и хранения (передачи) установленной единицы техническими средствами;

· сохранение неизменным размера единицы в пределах установленной (заданной) точности на заданный срок (как минимум на срок, необходимый для выполнения измерения и обработки его результата).

Все измерения могут классифицироваться по различным параметрам:

1. Характеристике точности - равноточные, неравноточные.

2. Числу измерений случайной величины - однократные, многократные.

3. По отношению к определяемой величине по времени - статические, динамические;

4. Метрологическому назначению - технические, метрологические.

5. Выражению результата измерений - абсолютные, относительные.

6. Общим приемам получения результатов наблюдений, (по способу получения числового значения ФВ) - прямые, косвенные, совместные, совокупные.

Равноточные измерения - ряд измерений какой-либо величины, выполненных одинаковыми по точности СИ и в одних и тех же условиях.

Неравноточные измерения - ряд измерений какой-либо величины, выполненных несколькими различными по точности СИ и (или) в разных условиях. Неравноточные измерения проводят с целью получения результата измерения только в том случае, когда ряд равноточных результатов получить невозможно.

Однократное измерение - измерение, выполненное один раз.

Многократные измерения - измерения одного и того же размера ФВ, результат которого получен из нескольких следующих друг за другом наблюдений, т.е. состоящих из ряда однократных измерений. Под многократными измерениями можно понимать такие измерения, при которых число измерений равно или больше четырех. В качестве результата многократных измерений обычно принимается среднее арифметическое значение отдельных результатов ряда измерений полученного ряда.

Статические измерения - это измерение физической величины, принимаемой в соответствии с конкретной измерительной задачей за неизменную в течение времени ее измерения. Например, однократное измерение линейного или углового размера.

Динамические измерения - это измерения изменяющейся по размеру во времени физической величине и, при необходимости, ее измерения по времени. Например, измерение переменных электрического тока и напряжения, давления газа внутри цилиндра при работе двигателя внутреннего сгорания и др.

Технические измерения - это измерения с помощью рабочих средств измерений параметров и характеристик объектов, физических систем и происходящих в них процессов. Эти измерения обычно проводятся с целью контроля и управления при изготовлении деталей, узлов, систем и изделий в целом, их испытаниях и др. Главная особенность таких измерений - использование рабочих средств измерений, когда не требуется наивысшая и высшая в метрологическом понимании точность.

Метрологические измерения - это измерения с помощью эталонов от первичного до первого разряда включительно.

Абсолютное измерение - это измерение, основанное на прямых измерениях одной или нескольких физических величин и (или) использовании физических констант. Например, измерение силы основано на измерении основной величины системы СИ - массы и использовании физической константы - постоянной g - ускорения свободного падения в точке измерения массы. Результатом измерения является абсолютное значение измеряемой физической величины.

Относительное измерение - это измерение отношения величины к одноименной величине, выполняющей роль ее единицы, или измерение величины по отношению к одноименной величине, принимаемой за исходную. Результат таких измерений выражается безразмерной величиной.

Прямое измерение - измерение ФВ, проводимое прямым методом, при котором искомое значение ФВ получают непосредственно из опытных данных. Прямое измерение производится путем экспериментального сравнения измеряемой ФВ с мерой этой величины или путем отсчета показаний СИ по шкале или цифровому прибору. (Для примера: измерения с помощью линейки, вольтметра, весов).

Уравнение прямого измерения:

=q,

где - единица измеряемой величины, q - ее числовое значение.

Косвенное измерение - измерение, проводимое косвенным методом, при котором искомое значение ФВ находят на основании результата прямого измерения другой ФВ, функционально связанной с искомой величиной известной зависимостью между этой ФВ и величиной, получаемой прямым измерением.

Уравнение косвенных измерений имеет вид:

Y=F(x₁,x₂,...,x_i,...,x_n); Y=F(x),

где F - известная функция;

n - число прямых измеренных ФВ;

х₁, х₂,...х_i,...х_n - значения прямо измеренных ФВ.

Например: определение площади, объема, электрической мощности методом измерения силы тока I и напряжения U, коэффициента полезного действия.

Совокупные измерения - проводимые одновременно измерения нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, получаемых при измерениях различных сочетаний этих величин.

Пример 1: Значение массы отдельных гирь набора определяют по известному значению массы одной из гирь и по результатам измерений (сравнений) масс различных сочетаний гирь.

Имеются гири с массами m₁, m_2, m₃,.

₁ = M₁, ₂ = M_1,2 - ₁, ₃ = M_1,2,3, - ₁ - ₂

М_1,2 - масса гирь m₁ и m₂;

М_1,2,3 - масса гирь m₁, m_2, m₃;

М_1,3 - масса гирь m₁ и m₃.

Часто именно этим путем добиваются повышения точности результатов измерений.

Пример 2: Градуировка трех компонентных весов для измерения трех моментов М_х, М_y, M_z. (рис. 1.1).

Весы нагружаются тремя моментами силы M_x, M_y и M_z. Необходимо найти значения моментов _х, _y и _z. Они определятся из уравнений, полученных путем решения системы из шести уравнений, в которых не учитываются величины третьего и больше порядка малости:

_х = M_x + K_y M_y + K_z M_z + K_y K_z M_y M_z

_y = M_y + K_x M_x + P_z M_z + K_x P_z M_x M_z

_z = M_z + Q_x M_x

Совместные измерения - проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных физических величин для определения зависимости между ними.

Пример 1. Построение градуировочной характеристики y = f(x) измерительного преобразователя, когда одновременно измеряются наборы значений неодноименных величин:

X₁, X₂, X_3... X_i... X_n

Y₁, Y₂, Y₃... Y_i... Y_n

Пример 2. Определение температурного коэффициента сопротивления (ТКС) путем одновременного измерения сопротивления R и температуры t, а затем определение зависимости

(t)=R/ t.

R₁, R₂,... R_i... R_n

.

t₁, t₂, ... t_i ... t_n

Имея значения R_i и t_i, можно определить зависимость (t)=F(R, t), например, методом наименьших квадратов.

Совместные измерения по своей физической сути не отличаются от косвенных измерений.

Контрольные вопросы

1. Требования к измерениям, обеспечивающие их надежность и достоверность.

2. Классификация измерений по их параметрам.

3. Виды измерений.

2. Методы измерений

Термин «метод» происходит от греческого слова methodos - путь исследования, способ достижения какой-либо цели, решения конкретной задачи.

Под методом измерений понимается прием, совокупность приемов или операций практического или теоретического сравнения измеряемой физической величины с ее единицей в соответствии с принятым принципом измерений.

Под принципом измерений понимается физическое явление или эффект, положенные в основу измерения каким-либо средством измерения. Например, определение скорости объекта на основе эффекта Доплера.

Обычно метод измерений определяется конструкцией применяемых средств измерений и их особенностями.

В метрологической практике и технических измерениях приняты следующие основные методы измерений:

· непосредственной оценки (непосредственный метод);

· сравнения с мерой (нулевой, методы замещением и дополнением);

· дифференциальный;

· контактный;

· бесконтактный.

Непосредственный метод - метод измерений, при котором искомое значение физической величины определяют непосредственно по отсчетному устройству (шкале) измерительного прибора. Например, измерения длины с помощью рулетки, штангенциркуля или микрометра, силы или напряжения электрического тока с помощью амперметра или вольтметра и т.д.

Метод сравнения с мерой - метод измерений, при котором измеряемую величину сравнивают с величиной, воспроизводимой мерой. Например, измерение массы тела на рычажных весах с уравновешиванием этого тела гирями, т.е. мерами массы с известными значениями.

Нулевой метод измерений - метод сравнения с мерой, в котором результирующий эффект воздействия измеряемой физической величины и меры доводится до нуля. Например, измерение активного электрического сопротивления проводника с помощью моста электрических сопротивлений.

Метод измерения замещением - метод сравнения с мерой, при котором измеряемую физическую величину замещают величиной известного размера, воспроизводимого мерой.

Например, на чашку весов устанавливают определенный комплект гирь и уравновешивают их массу произвольным грузом. Затем на чашку с гирями помещают взвешиваемое тело и снимают часть гирь для восстановления равновесия. Суммарное значение массы снятых гирь соответствует значению определяемой массы. Впервые этот способ предложил основоположник отечественной метрологии Д.И. Менделеев.

Метод измерений дополнением - метод сравнения с мерой, в котором значение измеряемой физической величины дополняется мерой этой величины с таким расчетом, чтобы на измерительный прибор воздействовала сумма, равная заранее заданному значению массы.

Дифференциальный метод измерений - метод измерений. при котором измеряемая физическая величина сравнивается с одноименной величиной известного значения, незначительно отличающееся от размера измеряемой величины, а затем измеряется разность между этими двумя значениями. В этом случае относительная погрешность _х измеряемой величины х будет равна

_х = (2.1),

где _и - относительная погрешность калибровки меры (абсолютная погрешность меры, отнесенная к номинальному размеру значения меры х_м),

_м - инструментальная погрешность прибора (а = х-х_м).

При достаточно малых значениях а влияние _и на точность результата измерений может быть сведена практически к нулю. В связи с этим данный метод нашел широкое применение при поверке и калибровке средств измерений.

Контактный метод измерений - метод, основанный на том, что чувствительный элемент измерительного прибора приводится в контакт с объектом измерения. Например, определение диаметра стержня с помощью штангенциркуля.

Бесконтактный метод измерения - метод, основанный на том, что чувствительный элемент измерительного прибора не приводится в контакт с объектом измерения. Например, измерение частоты вращения с помощью свето- и фотодиодов.

Выбор метода измерений определяется задачами и требуемой точностью результатов измерений.

Контрольные вопросы

1. Что понимается под термином «метод измерений»?

2. Что понимается под термином «принцип измерений»?

3. Инструментальная погрешность измерений.

4. Основные методы измерений.

3. Погрешности результатов измерений

измерение погрешность случайная величина

В теории измерений мерой неопределенности результата измерений является погрешность результата измерений.

Под погрешностью результата измерений или погрешностью измерений понимается отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины.

Записывается это следующим образом:

= Х_изм-Х (3.1),

где: - погрешность результата измерения,

Х_изм - результат измерения,

Х - истинное значение ФВ.

Однако поскольку истинное значение ФВ остается неизвестным, то неизвестна и погрешность измерений. Поэтому на практике имеют дело с приближенными значениями погрешности или с так называемыми их оценками. В формулу для оценки погрешности подставляют вместо истинного значения ФВ её действительное значение. Под действительным значением ФВ _д понимается её значение, полученное опытным путем и настолько приближающиеся к истинному значению, что для данной цели может быть использовано вместо него.

Таким образом, погрешность определяется по следующей формуле:

= Х_изм - _д (3.2.),

где - погрешность, _{д -} действительное значение ФВ.

Теория измерений является разделом метрологии. Она базируется на разделах высшей математики, таких как теория вероятностей, математическая статистика, математический и регрессивный анализ и др. Теория измерений направлена, с одной стороны, на обеспечение единства измерений, а с другой - на получение достоверной и надежной измерительной информации. Достоверность измерительной информации характеризуется точностью измерений, а надежность - их правильностью.

Каковы же основные причины возникновения погрешности?

Можно выделить 4 основные группы погрешностей измерений:

Погрешности, обусловленные методиками выполнения измерений (погрешность метода измерений).

Погрешность средств измерений.

Погрешность органов чувств наблюдателей (личные погрешности).

Погрешности, обусловленные влиянием условий измерений.

Все эти погрешности дают суммарную погрешность измерения. В общем случае суммарная погрешность измерений может содержать три различных по своей физической сущности составляющие - случайную, систематическую и грубую погрешность измерений.

Поскольку точность измерений характеризуется случайной составляющей суммарной погрешности измерений, а правильность - систематической, то случайная погрешность характеризует такое качество измерений как их точность, а систематическая - их правильность.

Появление погрешностей измерений обуславливается влиянием различных факторов: условий измерения, несовершенство конструкции средства измерения, не точное знание математической модели процесса измерения, принципиальное несовершенство метода выполнения измерения, неточность изготовления средства измерения, субъективные погрешности, не правильное взаимное расположение объекта и средства измерения и др. Одни из выше перечисленных погрешностей могут быть предусмотрены заранее и сведены к минимуму или практически полностью устранены, другие - не могут быть устранены в принципе. Так, например, погрешность, возникающая из-за не правильного взаимного расположения объекта и средства измерения при линейных измерениях, т.е. нарушения принципа Аббе, может быть устранена достаточно просто. Принцип Аббе заключается в том, что при измерениях линейных величин объект измерения должен располагаться последовательно с мерой сравнения. Другими словами, мера и линия измерения должны быть продолжением друг друга. Погрешность, возникающая из-за не точности изготовления средства измерения, полностью не может быть устранена в принципе, поскольку абсолютно точно изготовить невозможно любое средство измерения.

3.1 Классификация погрешностей результатов измерений

Погрешности измерений могут классифицироваться по причинам их появления и характеру проявления.

По причинам появления погрешности могут быть разделены на четыре основные группы:

1. Погрешности, обусловленные методиками выполнения измерения (погрешности метода).

2. Погрешности средств измерений (приборные погрешности).

3. Погрешности органов чувств наблюдателей (личностные погрешности).

4. Погрешности, обусловленные влиянием условий измерений.

Появление первой группы погрешностей объясняется не полным знанием математической модели процесса измерения, пренебрежением некоторых величин или условий информативного или не информативного характера.

Под погрешностью средства измерения понимают отклонение его показания (выходного сигнала) от воздействующей на его вход измеряемой величины. Появление второй группы погрешностей может объясняться с одной стороны, не точностью его изготовления, а с другой - не точностью математической модели метода, на котором основано данное средство измерения.

Погрешности органов чувств наблюдателей зависят от многих причин, главная из которых - опыт наблюдателя.

Четвертая группа погрешностей зависит как от внешних воздействующих факторов (условия измерений), так и от внутренних (взаимные деформации объекта измерений и чувствительного элемента средства измерения и др.).

Все выше перечисленные погрешности дают так называемую суммарную погрешность результата измерения. В общем случае суммарная погрешность может содержать три составляющих, каждая из которых имеет свой характер проявления: систематическую составляющую, случайную составляющую и грубую погрешность (промах).

Под систематической погрешностью измерения понимают составляющую погрешности результата измерений, которая остается постоянной или же закономерно изменяется при повторных наблюдениях одной и той же детерминированной ФВ.

Систематическая погрешность возникает из-за несовершенства метода выполнения измерений, систематических погрешностей СИ, неточного знания математической модели измерений, из-за систематического влияния условий, погрешностей градуировки и поверки СИ, личных причин.

В большинстве случаев систематические погрешности могут быть достаточно изучены заранее до проведения измерений, а в результат измерения внесены соответствующие поправки. Поправки могут вноситься, если их числовые значения определены. Наиболее предпочтительны такие методики выполнения измерений, в которых устраняется сама причина возникновения систематической погрешности полностью или в значительной степени. В этом случае появляется возможность исключить или значительно снизить влияние этой погрешности на результат измерения.

Случайная погрешность измерения - составляющая погрешности результатов измерений, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в повторных наблюдениях, проведенных с одинаковой тщательностью одной и той же детерминированной ФВ.

Случайная погрешность может обуславливаться следующими основными причинами:

неточностью (перекосом) установки СИ (рулетки, линейки, весов и т.д.);

неточностью установки начала отсчета;

изменением угла наблюдения;

усталостью глаза;

изменением освещенности.

Случайная погрешность не может быть устранена заранее до начала проведения измерений, как это может быть сделано по отношению систематической, поскольку ее возникновение обуславливается воздействием случайных различных факторов. Она может быть только уменьшена за счет увеличения числа повторных измерений.

Поскольку случайные погрешности результатов измерений являются случайными величинами, в основе их обработки лежат методы теории вероятностей и математической статистики.

Под грубой погрешностью измерения (промахом) понимается такая погрешность, значение которой значительно превышает ожидаемые значения систематической или случайной погрешности при данных условиях измерений.

Основными причинами возникновения этих погрешностей могут служить ошибки экспериментаторов, резкое и неожиданное изменение условий измерений, внезапное возникновение неисправности средства измерения и др.

Различают погрешности абсолютные и относительные.

Абсолютная погрешность - погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины. (Например, погрешность измерения массы в 5 кг - 0,005 г).

Относительная погрешность - это безразмерная величина, определяющаяся отношением абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой ФВ, она может выражаться в процентах (%). Иногда берется отношение абсолютной погрешности к максимальному значению ФВ, которое может быть измерено данным СИ (верхний предел шкалы прибора). Это так называемая приведенная погрешность.

Абсолютная погрешность обозначается знаком , относительная - . Она определяется следующим образом:

(3.3).

Поскольку Х_д Х_изм (или очень мало отличается от него), то на практике обычно принимается =/Х_изм.

3.1.1 Систематические погрешности

Как уже было сказано, систематические погрешности остаются постоянными или закономерно изменяющимися. В некоторых случаях их можно определить (оценить) экспериментально. В этих случаях полученный результат измерения может быть уточнен путем введения соответствующих поправок.

Существует ряд способов исключения систематических погрешностей, которые могут быть условно разделены на четыре основные группы:

1. Устранение самих источников погрешностей до начала проведения измерений.

2. Исключение погрешностей в процессе выполнения измерений способами замещения, компенсации погрешности по знаку, противопоставления, симметричными наблюдениями.

3. Внесение известных поправок в результат измерения.

4. Оценка границ доверительного интервала не исключенных систематических погрешностей (НСП).

По характеру проявления систематические погрешности разделяются на постоянные, прогрессирующие и периодические.

Постоянные систематические погрешности - погрешности, которые не изменяются в течение всего времени выполнения измерений. Например, не горизонтальная установка рычажных весов, погрешность градуировки средства измерения (включая не точность установки нулевого деления), погрешность изготовления концевых мер длины, массы и т.п.

Прогрессивные погрешности - погрешности, которые монотонно убывают или монотонно возрастают. К таким погрешностям можно отнести погрешности из-за монотонного изменения длины за счет монотонного изменения температуры, из-за износа контактирующих в процессе измерений поверхностей, монотонного падения или роста напряжения питания и т.п.

Периодические погрешности - погрешности, значения которых являются периодической функцией времени или функцией перемещения указателя средства измерения. Например, если ось стрелки индикатора смещена относительно центра шкалы.

Периодические погрешности могут изменяться по различным, иногда достаточно сложным законам благодаря одновременному действию нескольких воздействующих факторов, каждый из которых изменяется по своему закону.

Систематические погрешности могут также обуславливаться инструментальными погрешностями средств измерений. Под инструментальными погрешностями понимаются погрешности, причина которых заключается в свойствах, присущих применяемым средствам измерения. Например, равноплечие весы не могут быть идеально равноплечими. Кроме того, инструментальные погрешности возникают из-за сил трения и люфтов в сочленениях подвижных деталей средств измерений. Инструментальные погрешности могут изменяться за счет износа средства измерения.

Инструментальная погрешность может возникнуть, если между измеряемой физической величиной или процессом и принципом действия средства измерения нет теоретически доказанной зависимости. Это может явиться причиной возникновения систематической погрешности метода измерения (теоретическая погрешность). Погрешности метода измерения появляются также вследствие упрощений или допущений применения эмпирических формул и зависимостей.

Для получения достоверной измерительной информации систематические погрешности должны быть исключены из результатов измерений выше перечисленными способами.

3.1.2 Случайные погрешности

В отличие от систематической погрешностей, случайная погрешность отличается тем, что в ее появлении, величине и знаке не наблюдается закономерности. Закономерность наблюдается только в распределении случайных погрешностей при проведении повторных измерений.

Случайные погрешности неизбежны и неустранимы, они всегда присутствуют при выполнении измерений и вызывают рассеяние результатов при многократных и достаточно точных измерениях одной т той же величины при неизменных условиях измерения. Каждая случайная погрешность является следствием воздействия многих факторов, ни один из которых не является превалирующим.

Природа, физическая сущность и проявление случайных и систематических погрешностей различны.

Поскольку случайные погрешности не поддаются исключению из результатов измерений, то решение измерительной задачи с этой точки зрения заключается в определении их влияний на результат измерений.

Для изучения и учета случайных погрешностей используются методы теории вероятностей и математической статистики. Однако следует отметить, что аналогичные методы используются и в отношении неисключенных систематических погрешностей.

Случайная погрешность является случайной функцией времени, т.е. . Эта функция, отличается от обычной функции, известной из математического анализа тем, что нельзя сказать какое значение она может принять в некоторый момент времени . Графически это может быть условно представлено следующим образом (рис. 3.1):

Рис. 3.1

Суммарная погрешность измерения , соответствующая каждому значению времени , включает в себя систематическую и случайную составляющие:

=+ (3.4).

Погрешность измерения, соответствующая каждому значению времени _j, называется сечением случайной функции . Она также называется погрешностью наблюдения измеряемой ФВ в момент времени _j.

Систематическая погрешность определяет общую тенденцию изменения погрешности измерения во времени.

Предположим, что (_i) = 0, при i = 1… m, т.е. систематическую погрешность удалось полностью исключить из результатов измерений.

2. Случайная погрешность в каждом сечении не зависит друг от друга, т.е. знание случайной погрешности в одном сечении не дает никакой информации о погрешности в другом сечении. Тогда случайная погрешность может рассматриваться как случайная величина, а сами результаты наблюдения ФВ в каждый момент времени _j являются независимыми, случайными величинами. В этих условиях случайная погрешность наблюдения определяется как разность между исправленным результатом наблюдения Х и истинным значением измеряемой величины:

=Х-.

Исправленный результат наблюдений - это наблюдение, из которого исключена систематическая погрешность. Наблюдение - это совокупность операций при измерении, имеющих своей целью своевременно и правильно произвести отсчет.

С другой стороны, наблюдение - это экспериментальная операция, выполняемая в процессе измерений, в результате которой получают одно значение из группы значений величины, подлежащих обработке для получения результата измерений. Так, например, если по 3 или 5 наблюдениям получают одно измерение, можно считать, что результат наблюдений дает один результат измерения, а результат измерения - значение измеряемой ФВ, найденное путем обработки результатов наблюдений.

Как правило, для уменьшения случайной погрешности и исключения промахов, измерения проводят с многократными наблюдениями. Обработка результатов наблюдений проводится методами математической статистики по правилам, действующим в отношении случайных величин.

Контрольные вопросы

1. Погрешность результатов измерений.

2. Причины появления погрешностей.

3. Абсолютная и относительная погрешности.

4. Суммарная погрешность результатов измерений и ее составляющие.

5. Причины появления случайной составляющей суммарной погрешности.

6. Причины появления систематической составляющей суммарной погрешности.

7. Способы исключения систематических погрешностей.

8. Классификация систематических погрешностей по характеру проявления.

9. Инструментальная погрешность.

10. Систематическая погрешность метода выполнения измерения.

11. Причины возникновения случайной погрешности.

12. Можно ли, зная значение случайной предыдущей величины, определить последующую?

13. Что значит «исправленный» результат наблюдения?

4. Случайные величины

4.1 Распределение случайных величин

По своей физической природе измеряемые величины могут быть детерминированными (определенными) и случайными. Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными. Дискретной (прерывной) называется случайная величина, которая принимает изолированные возможные значения с определенной вероятностью. Отдельные значения такой величины могут быть пронумерованы. Примерами дискретных величин могут быть число деталей, число измерений и т.д. Дискретная величина не может иметь промежуточное значение между двумя соседними. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Например, отклонение размера изготовленной детали от номинального значения, погрешность измерения и т.д. Случайная величина не может характеризоваться одним числом. Для нее обязательно должно быть указано множество возможных значений и вероятностные характеристики ее появления, заданные в указанном множестве.

В теории вероятностей событие, которое может произойти или не произойти, называется случайным. Количественной оценкой возможности появления данного случайного события является его вероятность Р. Если имеется всего n событий, а m - число возможных событий, то вероятность появления возможного события Р = m/n. Невозможному событию соответствует вероятность 0, а возможному соответствует 1.

Случайные дискретные величины x_k полностью характеризуются вероятностями своих отдельных значений P_k:

P_k = P(X= x_k);k=1, 2, …, n,

причем, равенство X= x_k является случайным событием. Поскольку указанное равенство содержит полную группу событий, то сумма всех событий P_k равна 1:

.

Вероятностным описание случайной величины является закон ее распределения.

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан в различной форме: в виде таблицы, графика или в виде зависимости. Графическое представление ряда распределения случайной величины называется полигоном распределения (рис. 4.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

46

Рис. 4.1

Функция распределения случайной дискретной величины представлена на рис. 4.2.



Размещено на http://www.allbest.ru/

46

Рис. 4.2

Функция распределения случайной непрерывной величины представлена на рис. 4.3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

46

Рис. 4.3

4.2 Интегральная и дифференциальная функции распределения

случайной величины

Рассмотрим результат наблюдения Х определенной или так называемой детерминированной ФВ как случайную величину (СВ), принимающую значения Х_i в различных наблюдениях.

Как уже говорилось выше, в теории вероятностей событие, которое может произойти или не произойти, называется случайным. Количественной оценкой возможности появления данного случайного события является его вероятность. Если имеется всего n событий, а m - число возможных событий, то вероятность появления возможного события Р=m/n. Невозможному событию соответствует вероятность 0, а возможному - 1. Наиболее универсальный способ описания СВ заключается в нахождении их интегральных или дифференциальных функций распределения (ФР).

Интегральной функцией распределения результатов наблюдений является зависимость от величины х вероятности Р того, что результат наблюдений Х_i окажется меньше х. Записывается это следующим образом:

F(x) = PXx = Р-X<x (4.1).

Другими словами интегральной функцией распределения случайной величины Х называется вероятность выполнения неравенства Х<х.

Интегральная функция F(x) обладает следующими свойствами:

F(x) - неубывающая функция.

F(x) стремится к 1 при х +.

F(x) стремится к 0 при х-.

F(x) - функция непрерывная, т.к. результат наблюдений в определенном интервале может принять любое значение.

Однако четвертое свойство обычно на практике не реализуется. Это обусловлено тем, что применяемые СИ имеют конечное разрешение: для стрелочного прибора - это цена деления шкалы (квант ФВ), для цифровых приборов - это цена наименьшего разряда кода. Поэтому реально функция распределения имеет ступенчатый вид (рис. 4.4).

Несмотря на это, часто в метрологической практике интегральную функцию распределения принимают непрерывной, что значительно упрощает анализ.

Для случайной погрешности, как и для случайной величины, также имеется своя интегральная функция распределения:

F = P_i = P(X_i-)(x-) = PX_ix (4.2).

Интегральная функция F(x), как и вероятность является безразмерной величиной.

Более удобно и наглядно описывать свойство результатов наблюдений с помощью дифференциальной функции распределения, которая называется плотностью распределения. Необходимо отметить, что дифференциальные функции результатов наблюдений Х и случайной погрешности совпадают, только начало координат графика для располагается в нулевой точке.

p_x(x)=dF_x(x)/dx - для результатов наблюдений,

p()=dF()/d - для погрешности (4.3).

График дифференциальной функции распределения или кривая распределения чаще всего представляет собой симметричную функцию с максимумом в точке «» для результатов наблюдений (рис. 4.5). Кривая распределения для случайной погрешности также чаще всего представляет собой симметричную функцию, но с максимумом в точке «0» (Рис. 4.6).

Для результатов наблюдений - p_x(x)=dF_x(x)/dx (4.4).

Для случайной погрешности - p()=dF()/d (4.5).

Таким образом, дифференциальная функция распределения результатов наблюдений или случайной погрешности получается дифференцированием интегральной функции распределения.

Бывают и несимметричные функции распределения, например, функция Релея (рис. 4.7) или функции, не имеющие максимума (равномерная или трапециевидная) (рис. 4.8, 4.9).

Интегральная функция связана с дифференциальной функцией следующим образом:

F_x(x)=p_x(x)dx,

поскольку F_x()=1, то p_x(x)dx=1,

т.е. площадь под кривой функции распределения равна 1. Это и есть так называемое условие нормировки.

Размерность плотности распределения вероятностей обратна размерности измеряемой физической величины, т.к. интегральная функция распределения является безразмерной. Используя понятие функции распределения, можно получить выражение для вероятности того, что результат наблюдений находится в полуоткрытых интервалах [x₁, x₂] или [₁, ₂].

P{x₁Xx₂}=P{-Xx₂}-P{-Xx₁}=F_x(x₂)-F_x(x₁) (4.6);

P{₁₂}=P{-₂}-P{-₁}=F(₂)-F(₁) (4.7).

Это выражение говорит о том, что вероятность попадания результата наблюдения Х или случайной погрешности измерения в заданный интервал равна разности значений интегральной функции распределения на указанных границах этого интервала.

Если выразить эту вероятность через дифференциальную функцию распределения или плотность распределения вероятности, то получим:

P{x₁xx₂}=F_x(x₂)-F_x(x₁)=p_x(x)dx-p_x(x)dx =p_x(x)dx (4.8);

P{₁₂}=F(₂)-F(₁)=p()d-p()d=p()d.......(4.9).

Т.е. вероятность попадания результата наблюдений Х или случайной погрешности в заданный интервал численно равна площади под кривой плотности распределения вероятности, ограниченной границами интервала (см. рис. 4.10).



Произведение p_x(x)dx называется элементом вероятности. В том случае, когда закон распределения плотности вероятности близок к так называемому «нормальному закону», как видно из графика дифференциальной функции распределения, наиболее вероятны малые значения погрешностей. Вероятность появления больших погрешностей значительно меньше. Результаты наблюдений сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой ФВ, и по мере приближения к нему элементы вероятности возрастают. Это дает основание принять за оценку истинного значения ФВ абсциссу центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой плотности распределения. Эта характеристика случайной величины называется математическим ожиданием (рис.4. 11).

M[Х] =m_x= (4.11).

Теперь можно дать математически строгое определение случайной и систематической погрешности.

Систематическая погрешность (рис. 4.11) - это отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой физической величины:

= M[X]-Q (4.12).



Случайная погрешность - это разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов наблюдений:

=X-M[X] (4.13).

Отсюда действительное значение измеряемой физической величины равно:

Q=X-- (4.14).

Контрольные вопросы.

1. Что понимается под дискретной и непрерывной случайными величинами?

2. Интегральная функция распределение и ее свойства.

3. Дифференциальная функция распределения, связь между интегральной и дифференциальной функциями распределения.

4. Условие нормировки интегральной функции распределения.

5. Что собой графически представляет математическое ожидание случайной величины?

6. Как с физической и математической точек зрения понимать систематическую и случайную составляющие суммарной погрешности?

7. Что понимается под элементом вероятности?

8. Как определить вероятность попадания результата наблюдений Х или случайной погрешности в заданный интервал численно, имея график плотности распределения вероятности, ограниченной границами интервала?

5. Характеристики функции распределения случайных величин

5.1 Моменты функции распределения случайных величин

Распределение случайной величины характеризуется некоторыми численными параметрами: так называемыми моментами, являющимися мерами положения, рассеивания, остро или плоско вершинности и асимметрии.

К характеристикам мер положения относятся математическое ожидание, среднее арифметическое, мода, медиана. К характеристикам мер рассеивания относятся дисперсия и среднеквадратическое отклонение (СКО). Остро- или плосковершинность может характеризоваться эксцессом, а параметры асимметрии - коэффициентом асимметрии.

Моментом ряда распределения M_k (или просто моментом) случайной дискретной величины относительно начального значения х = а называется сумма произведений отклонений значений х_i относительно а в степени k на соответствующую частоту P_x:

M_k = (5.1).

Моментом ряда распределения M_k (или просто моментом) случайной непрерывной величины относительно начального значения х = а называется интеграл от минус бесконечности (- ?) до плюс бесконечности (?) произведений отклонений значений х_i относительно а в степени k на соответствующую частоту P_x: