Формирование вихревой структуры закрученных течений в цилиндрической области с проницаемой боковой поверхностью

Формирование вихревой структуры закрученных течений в цилиндрической области с проницаемой боковой поверхностью

Е.В. Мочалин, канд.физ.-мат. наук

Донбасский горно-металлургический институт

Закрученные внутренние течения находят широкое применение в инженерной практике. Это объясняется тем известным обстоятельством, что закрутка потока, среди прочего, интенсифицирует процессы тепло- и массообмена, способствует разделению фаз потока.

Рядом специфических черт отличаются закрученные потоки в осесимметричных каналах с подачей жидкости через проницаемую боковую поверхность. Изучение и описание таких сложных течений позволит оптимизировать работу многих технических устройств, в которых реализуются подобные течения. Сюда можно отнести циклонные камеры, фильтры с вращающимся фильтроэлементом и многие другие технические и технологические устройства.

Закрученным потокам, в силу их важного прикладного значения, посвящены многочисленные исследования. Здесь стоит упомянуть работы [1],[2], в которых представлен значительный объем экспериментальных и расчетных результатов. В работе [1] изложены подходы к аналитическому и численному расчетам закрученных течений, которые трудно применить для сильнозакрученных течений при наличии проницаемой боковой поверхности. В [2] обсуждаются более подробные численные решения, на базе которых проводится моделирование сложных течений, в том числе и в вихревых камерах с боковым подводом. Хотя авторами и отмечен тот факт, что подобные течения зачастую нельзя считать стационарными, однако он не учитывался в приведенных данных по численному моделированию.

В работе [3] отмечено, что существенным препятствием, затрудняющим математическое моделирование сильно закрученных внутренних течений в областях типа вихревых камер, является недостаточная изученность механизмов образования вторичных течений и когерентных структур.

Таким образом, известные результаты исследований, посвященные закрученным течениям, показывают, что важным фактором, определяющим особенности таких течений, является их вихревая структура. Поэтому вскрытие механизма формирования вихревой структуры определенного класса закрученных течений, установление зависимостей между характеристиками завихренности и интегральными гидродинамическими параметрами потока позволят в значительной степени продвинуться в вопросах практического расчета устройств, в которых реализуются подобные течения.

Для закрученных потоков в цилиндрической области с проницаемой боковой поверхностью, например, внутри вращающегося отсасывающего цилиндра, характерны пространственный нестационарный характер и большие потери напора. Поэтому следует искать такой механизм формирования вихревой структуры и такой суммарный уровень и распределение завихренности, которые верно отражают данное обстоятельство. При этом следует иметь в виду, что гидродинамические потери возрастают с уменьшением вязкости жидкости. Целью настоящей работы является выяснение механизма формирования вихревой структуры и количественной связи характеристик завихренности с гидродинамическими потерями.

С этой целью обратимся к расчетной схеме на рис. 1. Для установления соотношений, характеризующих уровень завихренности, будем исходить из уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в следующей форме [4]:

,(1)

где - кинематическая вязкость, векторы скорости и ротора скорости соответственно. Удобной характеристикой интенсивности завихренности в области , как показано в [4], является скалярная величина

.(2)

Умножив уравнение (1) скалярно на , получим следующее выражение:

.(3)

После преобразования слагаемых в правой части (3) на основе известных [5] в теории векторного поля соотношений придем к равенству

.(4)

Рисунок 1 - Расчетная схема течения внутри вращающегося цилиндрас проницаемой боковой поверхностью

Интегрируя уравнение (4) по объему рассматриваемой области, применяя формулу Гаусса-Остроградского и учитывая обозначение (2), получим соотношение

(5)

Равенство (5) можно рассматривать как баланс интенсивности завихренности в исследуемой области. В таком представлении все слагаемые в правой части имеют вполне определенный смысл. Первое слагаемое характеризует изменение интенсивности завихренности за счет ее конвективного переноса через граничную поверхность. Второе слагаемое соответствует диффузии через граничную поверхность. Физический смысл третьего слагаемого рассмотрен в [4] как изменение завихренности за счет деформации вихревых линий. Последнее слагаемое соответствует вязкой диссипации завихренности в области.

Остановимся подробнее на каждом из перечисленных слагаемых применительно к расчетной схеме на рис.1. Для этого вначале сформулируем граничные условия для вектора скорости

.

На проницаемой боковой поверхности имеем

,(6)

где - расход жидкости и угловая скорость вращения проницаемого цилиндра.

На торцовых вращающихся плоскостях условия выглядят так:

. (7)

На боковой поверхности выходного патрубка

.(8)

В выходном сечении , выбирая его таким образом, чтобы закрутку потока считать погашенной, получим условия

.(9)

Для вектора вихря на граничной поверхности, с учетом условий (6)-(9), имеем

.(10)

Для упрощения дальнейших выкладок примем допущение об отсутствии касательных напряжений трения на внутренней вращающейся поверхности (). При рассмотрении выражений, характеризующих конвекцию завихренности, принятое допущение не должно привести к искажению, так как молекулярная вязкость не играет в этом процессе определяющей роли. В соответствии с определением касательных вязких напряжений и условиями (6) будем иметь

. (11)

С учетом (6) и (11) выражение (10) на примет следующий вид:

.(12)

В выходном сечении в силу условий (9) имеем

.

Поскольку

в центральной части выходного сечения и завихренность сосредоточена вблизи стенок патрубка, где , то можно считать, что на

.(13)

Равенства (6)-(9) и (12),(13) позволяют вычислить первый поверхностный интеграл в выражении (5):

.(14)

Так как рассматривается внутреннее течение в ограниченной области, можно предположить, что удлинение вихревых линий не является ведущим механизмом, обуславливающим в нашем случае значительный рост завихренности. Поэтому будем считать, что третье слагаемое в правой части уравнения (5) влияет на изменение интенсивности завихренности в рассматриваемом течении существенно меньше, чем первое.

Вязкая диссипация завихренности в области, характеризуемая последним объемным интегралом в правой части равенства (5), является, очевидно, тем фактором, который вместе с диффузией через границу в конце концов компенсирует рост интенсивности завихренности. При этом логично предположить, что диффузионное слагаемое имеет существенно меньший вес в уравнении баланса (5).

На основе проведенного анализа представим равенство (5) в следующем виде:

. (15)

Здесь первое слагаемое в правой части в соответствии с (14) выражает рост интенсивности завихренности за счет конвекции через граничную поверхность. Второе слагаемое - функция - в основном выражает вязкую диссипацию завихренности внутри области течения.

Совокупность приведенных выше представлений о механизме формирования вихревой структуры исследуемого класса течений и степени влияния отдельных механизмов на рост суммарной завихренности можно обобщить под названием гипотезы «вихревого насоса». Такое название образно отражает тот факт, что при подаче вязкой жидкости сквозь проницаемую боковую поверхность при наличии тангенциальной составляющей скорости на этой поверхности имеет место «накачивание» завихренности внутрь области. Равенство (15) можно рассматривать как формальное выражение этой гипотезы. В пользу ее справедливости говорит тот известный факт, что при увеличении вязкости жидкости, при прочих равных условиях, потери напора в рассматриваемых течениях снижаются.

Для количественной оценки суммарной интенсивности завихренности необходимо получить конкретное представление функции в уравнении (15). Для этого воспользуемся методом теории размерностей и подобия.

Можно предположить, что среди величин, от которых зависит функция в уравнении (15), есть в первую очередь интенсивность завихренности и вязкость жидкости . Естественно также считать, что значения функции зависят от объема области и площади поверхности ее границ, поскольку слагаемые в уравнении (5), представляемые этой функцией, суть поверхностный и объемный интегралы. Таким образом, имеем

.(16)

В соответствии с - теоремой теории размерностей [6] зависимость (16) может быть преобразована к следующему виду:

. (17)

При фиксированном отношении из (17) получим

. (18)

Предположим, что функция в (18) есть линейная функция своего аргумента, обращающаяся в ноль при . Тогда

,(19)

где - некоторая постоянная величина (в общем случае зависящая от параметра ). Если, напротив, предположить нелинейную зависимость от , то в итоге функция не будет линейно зависеть от вязкости . В то же время явное выражение для слагаемых в уравнении (5), представляемых этой функцией, содержит именно как линейный множитель. Подставляя выражение (19) в уравнение (15) и решая последнее, получим

.

Установившееся (максимальное) значение суммарной интенсивности завихренности в исследуемой области определяется равенством

.(20)

Анализ механизма образования вихревых потерь напора позволяет представить их в следующем обобщенном виде:

.

Методами теории размерностей, с учетом (20), для случая придем к следующей формуле:

.(21)

Выяснение вида зависимости от безразмерного параметра

следует проводить на основе экспериментальных данных.

Таким образом, на основе анализа полученного уравнения баланса суммарной интенсивности завихренности в расчетной области выдвинута гипотеза о механизме формирования вихревой структуры внутри вращающегося отсасывающего цилиндра. Гипотеза «вихревого насоса» вскрывает причину образования значительных гидродинамических потерь и согласуется с фактом возрастания этих потерь с уменьшением вязкости жидкости.

Формулы (20), (21), полученные на основе выдвинутых предположений, касающихся баланса интенсивности завихренности, устанавливают явную связь основных конструктивных параметров, определяющих область течения и граничные условия, с суммарной интенсивностью завихренности и гидродинамическими потерями.

Следующим шагом в данном направлении должно стать экспериментальное определение эмпирических величин, входящих в полученные зависимости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Бабенко В.В., Турик В.Н.,Воскобойник А.В. Визуализация структуры течения в вихревой камере// Технологии в машиностроении: Вестник Национального технического университета “Харьковский политехнический институт”. - Вып. 129.- Ч.1.-Харьков: НТУ «ХПИ», 2001.- С. 215-221.

Бетчелор Дж. Введение в динамику жидкости.- М.: Мир, 1973.- 757с.

Гупта А., Лилли Д., Сайред Н. Закрученные потоки.- М.: Мир, 1987.- 588с.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.- М.: Наука, 1973.- 848 с.

Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.- М.: Физматгиз, 1981.- 359с.

Щукин В.К., Халатов А.А. Теплообмен, массообмен и гидродинамика закрученных потоков в осесимметричных каналах.- М.: Машиностроение, 1982.- 199с.