Расчет входа вязкой жидкости в канал с легкопроницаемой шероховатостью

РАСЧЕТ ВХОДА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛ С ЛЕГКОПРОНИЦАЕМОЙ ШЕРОХОВАТОСТЬЮ

Е.А. Гаев, д-р.техн.наук;

С.З. Шихалиев Е.А. Гаева, канд.физ.-мат.наук

В технической гидравлике встречаются напорные трубопроводы с попутной очисткой воды пористыми фильтрами. Две таких задачи - вход жидкости и дальнейшее ее течение в трубе или напорном канале с пористыми слоями бесконечной или конечной длины у стенок - поясняются рис.1. Для математического исследования второй из них сначала следует отработать методику работы на более простой первой задаче, чему и посвящена данная статья.

Задача о входе вязкой несжимаемой жидкости в напорный канал с безграничными пористыми слоями у стенок оказывается весьма сложной сама по себе и рассматривается впервые в нашей работе [1]. При этом пористый слой интерпретируется как некоторый объем неограниченной протяженности в направлении с локальной массовой силой сопротивления , т.е. как некоторая (легко) проницаемая шероховатость [2]. Задачи с такой распределенной силой представляют интерес для экологии лесных насаждений и городской застройки, гидравлики русел с растительностью или с искусственной шероховатостью, для теории брызгальных охладителей и т.п. [2]. Они обобщают задачу о входе жидкости в канал с гладкими стенками, изучавшуюся Л. Шиллером, Г.Шлихтингом и в недавнее время И.Е. Идельчиком, К. Флетчером, П. Роучером, В.Г.Зубковым и др.

Рисунок 1 - Варианты размещения пористых слоев(легкопроницаемой шероховатости, ЛПШ) в канале

Полагаем, что движение жидкости подчиняется уравнениям Навье-Стокса

(1)

с разрывной массовой силой, обращающейся в нуль вне ЛПШ, при . Скорость на входе в канал считаем распределенной равномерно, , . На стенках канала и выполняются условия прилипания. Очевидно, что безразмерный расход жидкости равен единице. Указанные граничные условия позволяли бы однозначно определить двумерное поле скоростей , , если бы имелась достаточная информация о давлении . С ее определения и следует начинать.

Задача о входе вязкой жидкости в бесконечный плоский канал, но с гладкими стенками в 1970-е годы была тестом для первых алгоритмов численного решения полных уравнений Навье-Стокса. Было предложено замыкать задачу (1) заданием градиента давления на достаточно большом удалении от входа в канал по окончании начального участка, а величину брать из расчета стабилизированного течения в канале бесконечной длины. Для канала с гладкими стенками такая зависимость была известна, . При наличии же у стенок пористых слоев (ЛПШ) эта величина становится функцией также высоты ЛПШ и плотности .

Найти зависимость удается легко в аналитическом виде в случае линейной ЛПШ, когда [1]. В настоящей работе мы идем дальше, исследуя случай (квадратичная ЛПШ). Тогда течение жидкости на стабилизированном участке течения приводит к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

(2)

не имеющего аналитического решения (индекс "s" и означает отношение к стабилизированному участку течения, ). При этом имеют место условия прилипания на нижней и верхней стенках:

; .(3)

Пусть в точках разрыва силовой функции (правой части) и скорость течения и трение принимают определенные значения и , которые наряду с будут определены в ходе решения. Решение (2) в центральной части течения, очевидно, может быть представлено в виде

, ,

так что трение здесь распределено линейно, а скорость, как и свойственно ламинарным течениям, - параболически. При этом трение на границах раздела равно

и не зависит от режима течения.

Уравнение (2) в области пористого слоя (ограничимся с учетом симметрии ЛПШ областью ) линейно при , и его аналитическое решение представлено в [1]. В случае же квадратичной ЛПШ аналитическое решение невозможно. Поэтому краевые задачи (2), (3) формулируем в области как

, , ,(4)

где - полученная выше функция .

Краевая задача (4) разрешима численно при любом . Однако не каждое значение можно считать подходящим решением, а лишь такое, при котором расход жидкости через канал равен 1. Задача состоит, таким образом, в многократном численном решении краевой задачи (4) для различных , подсчете интеграла от найденных распределений скорости (расхода) и отборе такого значения , которое обеспечивает единичный расход. Физический смысл параметра состоит в том, что он равен половине коэффициента гидравлического сопротивления . Зависимость от числа Рейнольдса и параметров задачи и представлена на рис.2. Тонкие кривые (а) соответствуют аналитическому расчету для линейной ЛПШ, значки на них - результаты численного расчета задачи (4) для , что демонстрирует точность алгоритма. Толстые кривые - по численным значениям для квадратичной ЛПШ, . Значит, гидравлическое сопротивление при квадратичной силе меньше. При в обоих случаях приходим к известному результату .

Теперь для каждого набора параметров , и имеем , как что краевые условия

(5)

Рисунок 2 - Зависимость сопротивления канала от числа Рейнольдса и проницаемости линейной (а) и квадратичной (б) ЛПШ высотой

позволяют однозначно определить решение системы (1) на начальном участке канала . Сама же длина начального участка подбирается такой, чтобы при ее увеличении изменений в решении не происходило. В предельных случаях или (когда ЛПШ исчезает) согласно рис.2 , поэтому задача (1), (5) переходит в известную задачу о входе в канал с гладкими стенками [3].

Расчеты краевой задачи в частных производных (1), (5) проведены методом установления, отлаженным на линейной задаче [1]. Течение с квадратичной ЛПШ оказывается качественно подобным случаю линейной ЛПШ. На рис.3 показана трансформация продольной скорости течения в одном из расчетных случаев. Можно видеть, что наличие ЛПШ дает новые возможности управлять развитием пограничных слоев у стенок канала. Отметим существенное различие профилей скорости внутри и вне слоя препятствий: ЛПШ создает интенсивное торможение течения в занятых ею областях. При этом из-за "прилипания" жидкости к стенкам сила торможения вблизи них оказывается меньшей, чем у верхней границы ЛПШ, в результате чего на части входного участка канала профили продольной скорости приобретают немонотонный вид с характерным максимумом. Величина локального максимума скорости с ростом убывает. Далее профили продольной скорости становятся монотонными. Ввиду значительно более сильного, чем в случае отсутствия ЛПШ, торможения потока у стенок оттеснение жидкости к оси усиливается, отчего наибольшая скорость , складывающаяся в каждом сечении канала на оси, возрастает до некоторого предела , который уже не равен , как при отсутствии ЛПШ (штриховые линии рис.3), а становится функцией числа Рейнольдса, высоты и плотности ЛПШ. Если параметры численного решения выбраны правильно, то расчетный профиль скорости в сечении оказывается близким к , определяемым численным расчетом краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений (2), (3) при соответствующем . Последнее, таким образом, служит критерием достоверности численных результатов.

Рисунок 3 - Двумерное поле продольной скорости потока на начальном участке канала

Рисунок 4 - Длина начального участка при ЛПШ высоты в зависимости от плотности и числа Рейнольдса (номер кривой:1, 2 - малые , 4, …,9 - большие)

Практическое значение имеет вопрос о длине начального участка канала как функции параметров задачи . Численные результаты для линейной задачи приведены на рис.4, где номера кривых соответствуют 1 - , 2 - 5, 3 - 10, затем , 50, 100, 200, 400 и 1000. Можно заключить, что при больших приближение пограничного слоя допустимо, при малых - нет.

Таким образом, численный расчет, основанный на полных уравнениях гидромеханики, позволяет полностью исследовать закономерности ламинарного входа жидкости в плоский напорный канал при квадратичной зависимости массовой силы от локальной скорости течения. Результаты расчета найдут применение при фильтрационной очистке жидкости, в расчетах обтекания "пористых структур" в виде городской застройки [4] и лесных массивов [5], в ряде других задач. После необходимой дальнейшей проверки алгоритма планируется приступить к исследованию задачи с ЛПШ конечной длины. В зависимости от плотности ЛПШ за нею могут возникать сложные вихревые течения, кардинальным образом изменяющие условия фильтрации (рис.1б).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Гаев Е.А., Шихалиев С.З. Численное исследование входа жидкости в канал с линейной легкопроницаемой шероховатостью.//Прикладна гідромеханіка.- 2001.- 4(76).-№4.- с.32-39.

Гаев Е.А. Модели легкопроницаемой шероховатости для задач гидромеханики и теплофизики. Дисс. докт. техн. Наук. - К.: ИГМ НАНУ, 2001.

Тейлор Т.Д., Ндефо Э. Расчет течений вязкой жидкости в канале при помощи метода расщепления/Численные методы в механике жидкостей. М. Мир, 1973. - C.218-229.

Shikhaliev S.Z. On one generalization of method of Markets and Cells. - Engineering Simulation. - 15. - 1998. - Р. 395 - 406.