Побудова математичної моделі нового гідравлічного вібраційного контуру

Національний технічний університет України

Вступ

Одним із напрямків підвищення характеристик гідроагрегатів та обладнання, збудованого з їх використанням, є застосування в них гідроапаратів із гідравлічним вібраційним контуром та новим гідравлічним вібраційним контуром (НГВК). Схемні рішення таких гідроапаратів вперше наведені в [1], а стосовно гідророзподільника із НГВК _ [2]. Як основний елемент НГВК використовується резонатор із відгалуженням (РВ), який до цього використовувався як гасник. У зв'язку з цим постає питання більш докладного дослідження його характеристик, та визначення впливу на них його конструктивних і робочих параметрів. Спроба вирішення цього питання зроблена у даній статті.

Аналіз публікацій

Методам проектування РВ, який до цього використовувався як гасник, присвячена невелика кількість робіт. Так, в [3, 4] наведено їх принципові схеми та залежності для визначення об'єму камери та розмірів каналів. В [5] наведено методику проектування, яка заснована на електроаналогії, при використанні якої накладається ряд обмежень, пов'язаннях з розмірами РВ та часом проходження нестаціонарних гідродинамічних процесів. Крім того, використання цієї методики потребує проведення попередніх експериментальних досліджень, що значно ускладнює її використання. В [6] наведені математичні моделі РВ, збудовані з використанням методу Ейлера, але в них відсутні рекомендації щодо визначення їх раціональних, конструктивних і робочих параметрів. Крім того, використання даних математичних моделей є досить трудомістким. Більш повне відображення цієї проблеми знайшло в [7], де наведені математичні моделі таких пристроїв, побудованих з використанням перетворень Фур'є, які можуть бути використані при визначені їх раціональних, конструктивних і робочих параметрів. Однак в ній більше уваги приділено гасникам пульсацій тиску. Отже, визначення конструктивних і робочих параметрів РВ на основі проведення всебічних аналітичних досліджень є актуальною науково-технічною задачею.

Мета і задачі дослідження

Метою статті є побудова математичної моделі РВ, аналіз впливу його конструктивних і робочих параметрів на коефіцієнт передачі.

Обґрунтування вибору методу для побудови математичної моделі НГВК

При течії робочої рідини (РР) в НГВК у ньому відбуваються складні гідромеханічні процеси, що належать до нестаціонарного потоку РР зі зміною гідродинамічних величин у просторі та часі. Зупинимося на їх розгляді більш докладно.

Для опису нестаціонарних гідродинамічних процесів, які мають місце в елементах гідроагрегатів, в припущені, що РР є ньютонівською, більшість дослідників використовують методи, які ґрунтуються на розв'язанні рівнянь руху РР, нерозривності та рівняння стану при заданих граничних та початкових умовах. При цьому використовується один із методів їх розв'язання: прямого розв'язку диференціальних рівнянь (класичний метод), суперпозиційний, спектрального аналізу та операторний [8].

У прямому методі для розв'язку диференціальних рівнянь використовують один із методів чисельного інтегрування: Рунге-Кутта, Ейлера чи метод кінцевих різниць з використанням прямокутної сітки [9]. Останнім часом широке застосування для розв'язання задач гідромеханіки знайшов один із прямих способів розв'язання диференціальних рівнянь - метод характеристик, а саме сітковий метод. Цей метод є кращим у цьому класі, і його використання ефективно при розрахунку неусталеної течії РР з нульовими початковими умовами. З використанням цього методу в [10] проведено розрахунок динаміки позиційного слідкуючого гідроприводу з довгими гідроканалами, де диференціювання рівнянь першого порядку здійснюється методом Ейлера. Однак треба зауважити, що використання методу Ейлера не забезпечує достатньо малу похибку при великому кроці . Тому, зазвичай, для розрахунку гідравлічних систем замість методу Ейлера використовують метод Рунге-Кутта другого та четвертого порядків, а ще краще використати неявний метод, наприклад формулу Адамса.

Зауважимо, що в НГВК відбувається рух пульсуючої РР і не існує часу, коли всі швидкості дорівнюють нулю. Це робить використання сіткового методу для математичного опису НГВК мало придатним. Треба однак зауважити, що інколи для вирішення цієї проблеми використовують метод “розрахунку на встановлення”. У цьому випадку спочатку апріорі набувають нулюві початкові умови, і одним із сіткових методів послідовно розраховують підряд декілька циклів. Розрахунок проводиться до того часу, поки результати не зациклюються, тобто відхилення розрахункових значень за період стають нехтувано малі. Отже, такий чисельний метод є досить трудомістким.

В [11] для розв'язання диференціальних рівнянь, які описують нестаціонарний рух РР в гідроагрегаті, використано метод різницевих схем Рунге-Кутта-Фельбера з визначеним кроком дискретизації. Однак наведена математична модель не враховує запізнення імпульсів тиску, в межах ділянки гідроагрегату, що розглядається. При розрахунках це може привести до значних похибок, особливо в системах, які працюють з великою циклічністю, якою і є НГВК.

До недоліків прямих методів досліджень нестаціонарних гідродинамічних процесів слід віднести труднощі, які виникають при складанні вихідних рівнянь, і великий об'єм розрахунків, а також необхідність проведення розрахунку у повному обсязі, навіть при незначній зміні одного із параметрів. Незважаючи на відмічені недоліки прямих методів досліджень нестаціонарних гідродинамічних процесів, більшість дослідників віддають перевагу саме їм.

Суперпозиційний метод полягає у визначенні реакції системи на довільну функцію, якщо відома реакція цієї системи на одиничну функцію чи одиничний імпульс [12]. Однак його використання для опису періодичного руху РР є трудомістким і тому недоцільним.

Операторний метод. До цього методу належить і метод гармонічної лінеаризації, який дозволяє досліджувати нелінійні гідромеханічні процеси в гідроагрегатах та їх елементах за допомогою перетворень Лапласа [13]. Його використання потребує розрахунку коефіцієнтів гармонічної лінеаризації, які визначені в літературних джерелах тільки для обмеженої кількості типових нелінійностей і розрахунок яких для математичного опису нестаціонарних гідромеханічних процесів є складним та трудомістким.

У [14, 15] розрахунок пульсацій тиску за допомогою перетворень Лапласа виконано з використанням так званих функцій-оригіналів з властивостями при , що не відповідають умові періодичності коливань. Інколи ці перетворення використовують для математичного опису періодичних коливань [16]. В літературних джерелах, присвячених розробленню даного методу, при розгляді тривалих неусталених процесів, при яких тертя приводить до усталеного процесу, користуються формулами для так званого періодичного оригіналу, використання яких є цілком виправданим.

Для математичного опису та аналізу періодичних процесів замість перетворень Лапласа рекомендується використовувати його “періодичний” аналог Фур'є [8]. Цей аналог може бути використаний при математичному описі гідродинамічних процесів в НГВК.

Зауважимо, що математичний опис нестаціонарних гідродинамічних процесів може бути виконаний також із застосуванням електроаналогії [5, 17]. Однак при цьому накладається ряд обмежень, пов'язаних з геометричними вимірами гідроапаратів, часом проходження нестаціонарних гідродинамічних процесів та необхідністю знання акустичного опору проточних частин гідроапарата до проведення розрахунків. Це робить застосування даного методу малоефективним.

Метод спектрального аналізу ґрунтується на виразі вхідного імпульсу елементарними гармонічними коливаннями [1]. Цей метод досить трудомісткий, оскільки приводить до синтезу великої кількості складових. Враховуючи, що характер зміни пульсацій тиску (швидкості) РР у НГВК з достатньою для практичних розрахунків докладністю може бути прийнятим гармонічним, а витрата РР дорівнює нулю (що значно спрощує розв'язання вихідних рівнянь), його використання для математичного опису руху РР в НГВК є цілком виправданим.

Таким чином, для побудови математичної моделі НГВК будемо використовувати метод спектрального аналізу.

Принцип дії РВ

У циліндричному корпусі 3 (рис. 1) (ємнісний елемент) розміщено циліндричний звужений патрубок 2 (інерційний елемент), який через патрубок 1 підключено до магістралі живлення (джерела пульсацій тиску). Реалізовано шунтувальний резонансний контур. Патрубок 4 з'єднує РВ із камерою керування гідророзподільника. Пульсації тиску РР надходять в ємність через патрубки 1 та 2. У разі наявності зрушення фаз пульсуючого потоку робочої рідини та власної частоти РВ, відбувається підсилення пульсацій тиску, який надходить до камери керування гідророзподільника. Добираючи відповідні ємності, перетин та довжину звуженого патрубка 2, можна отримати різні коефіцієнти підсилення.

Рисунок 1 - Схема РВ: 1 - вхідний трубопровід; 2 - вхідний звужений патрубок; 3 - камера НГВК; 4 - камера гідророзподільника

Математична модель НГВК

При складанні математичної моделі НГВК зробимо такі припущення:

- вважаємо, що в НГВК відбуваються усталені гідродинамічні процеси. Не розглядаємо перехідні процеси, пов'язані з різкою зміною параметрів на його вході. Розглядаємо періодичні гідродинамічні процеси, обумовлені пульсацією тиску РР на виході із насоса;

- припустимо, що профіль розподілу швидкості РР по перерізу каналів НГВК сформований;

Розрахункові дослідження впливу параметрів нгвк на його коефіцієнт передачі

У загальному випадку вибір раціонального значення k_НГВК є достатньо трудомісткою задачею, оскільки при ?_осц = const маємо справу з 8 параметрами, які можуть змінюватись самостійно. Введемо обмеження на зміну деяких із них, що дозволить зменшити діапазон їх зміни, завдяки чому зменшується час знаходження їх раціональних значень.

d₁ - діаметр трубопроводу на вході НГВК - за рекомендаціями [24] вибирається таким, що дорівнює або більше D_у ГР. Припустимо, що d₁=D_у ГР;

l₁ - визначається виходячи з місця розміщення гідророзподільника в гідроагрегаті, зазвичай складає 0,3 - 0,5 м. Візьмемо l₁ з цього діапазону;

d₄ дорівнює діаметру поршня d_пор НГВК і його беремо із цих міркувань;

l₄ - вибирається залежно від довжини пружини НГВК.

Дослідження впливу параметрів НГВК на коефіцієнт передачі робили на основі наведеної математичної моделі у пакеті прикладних програм. За базову модель РВ брали розроблену нами, в якій l₃ = 126 мм; d₃ = 32мм; d_у = 10 мм; d₂ = 6 мм; l₂ = 45 мм і яка працює на мінеральному маслі ІГП - 30 при температурі 50С. Змінюючи один із параметрів, визначали коефіцієнт передачі (рис. 3). Як видно з рис. 3, найбільший вплив на коефіцієнт передачі мають діаметри камери і завуженого патрубка. Частота пульсацій РР на коефіцієнт передачі розробленого РВ впливає незначно.

Таким чином, ефективною областю застосування розробленого РВ є діапазон частот 150 - 300 Гц. Зауважимо, що значення k_п > 2, які відповідають умові виникнення в РВ резонансу, є небажані, що треба враховувати при проектуванні РВ.

Висновки

Встановлено, що для побудови математичної моделі НГВК доцільно використовувати метод спектрального аналізу.

З використанням цього методу отримано математичну модель НГВК.

Проведені аналітичні дослідження дозволили встановити, що найбільший вплив на коефіцієнт передачі мають діаметри камери РВ і завуженого патрубка. Для отримання бажаних коефіцієнтів передачі НГВК довжину камери РВ слід вибирати якомога більшою.

Рисунок 3 - Залежність коефіцієнта передачі k_п РВ при зміні:

а - частоти; б - діаметра камери РВ; в - діаметра звуженого патрубка; г - довжини камери РВ; д - довжини звуженого патрубка

Список літератури

1. Андренко П. Н. Принцип построения гидравлических аппаратов нового класса //Вестник НТУ “ХПИ”. - 2001.- Вып. 129. - Ч.2. - С. 102 - 106.

2. Гречка І. П. Математична модель гідророзподільника з НГВК //Автоматизація виробничих процесів. - 2004. - №2 (19). - С. 16 - 23.

3. Проектирование и изготовление гидроприводов машин с учетом обеспечения минимального шума. - М.: НИИмаш, 1973. - 55 с.

4. Kollek W., Kudzma Z., Rutanski J. Mozliwosci skutecznego tlumienia halasu ukladem filtrow akustycznych // V Konferencja naukowo-tecniczna: Rozwoj budowy eksploatacji I badan maszyn roboczych ciezkich. Zakopane, 1992. - S. 203 - 208.

5. Шорин В.П. Устранение колебаний в авиационных трубопроводах. - М.: Машиностроение, 1980. - 156 с.

6. Андренко П. Н., Клитной В. В., Дмитриенко О. В. Расчет пульсаций давления на выходе однокамерного преобразователя пульсаций // Вестник НТУУ КПИ.-1999. - Том 1. - Вып. 36. - С. 87 - 93.

7. Андренко П. М., Дмитрієнко О. В. Математичні моделі і розрахункові дослідження гідравлічних гасників і підсилювачів пульсацій тиску // Східноєвропейский журнал передових технологій. - 2004. - № 5 (11). - С. 88 - 93.

8. Могендович Е. М. Гидравлические импульсные системы. - Л.: Машиностроение, 1977. - 216 с.

9. Андренко П. Н., Клитной В. В., Новгородцев В. А. Математическое моделирование течения вязкой жидкости в дросселирующем канале золотникового гидравлического аппарата // Вісник Східноукраїнського національного університету ім. В. Даля.- 2002. - №10 (56). - С. 40 - 50.

10. Скляревский А. Н., Денисенко А. И. Динамика позиционного следящего привода с длинными гидролиниями // Промислова гідравліка і пневматика. _ 2003.- №1. _ С. 47 - 51.

11. Іванов М.І., Дусанюк С.В., Репінський С.В. Імітаційні дослідження хвильових процесів у довгих гідравлічних лініях гідросистем сільськогосподарських машин // Вибрации в технике и технологиях. - 2003. - № 4. - С. 69 - 72.

12. Теория автоматического регулирования. Книга 3. Ч. 1. Теория нестационарных, нелинейных и самонастраивающихся систем автоматического регулирования /Под ред. В. В. Солодовникова. - М.: Машиностроение, 1969. - 607 с.

13. Попов Е. П., Пальтов Н. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. - М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1960. - 792 с.

14. Колисниченко К. А., Коротков В. Д. Резонансные явления в гидросистемах с высокооборотными насосами // Гидропривод и гидропневмоавтоматика.- К.: Техніка, 1970. - Вып. 16. - С. 115 - 123.

15. Коробочкин Б. Л., Комитовски М. Д. О передаточных функциях в гидросистемах в сосредоточенных и распределенных параметрах // Машиностроение. _ 1968. _ №4. - С. 37 - 44.

16. Попов Д. Н. Нестационарные гидромеханические процессы. - М.: Машиностроение, 1982. - 240 с.

17. Гликман Б. Ф. Математические модели пневмогидравлических систем. - М.: Наука; Гл. ред. физ.-техн. лит., 1986. - 368 с.

18. Емцев Б. Т. Техническая гидромеханика. _ М.: Машиностроение, 1987. - 440 с.

19. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1973.- 847 с.

20. Андренко П. Н. Построение математических моделей интерференционных преобразователей пульсаций на основе уравнения Навье-Стокса //Вісник Сумського державного університету. - 2004._ № 2(61)._ С. 14 - 18.

21. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. - М.: Физматгиз, 1963. - 444 с.

22. Попов Д.Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1987. - 464 с.

23. Фильчаков П. Ф. Справочник по высшей математике.- К.: Наукова думка, 1974.-743 с.

24. Свешников В. К. Станочные гидроприводы: Справочник.- М.: Машиностроение, 1995. - 448 с.