Методы выбора оптимальных параметров технических систем

198

198

«Вісник СумДУ», №12(58), 2003

НТУУ «КПИ

МЕТОДЫ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

С.И. Пастушенко, канд.техн.наук;

О.М. Яхно д-р.техн.наук, проф.

Проблема определения наиболее эффективных в функциональном и экономическом отношениях параметров машин имеет как научное, так и практическое значение.

Определение оптимального решения возможно при принятии ряда ограничений, в рамках которых производится соответствующий поиск. Поэтому выбор оптимальных параметров машин предполагает в той или иной степени компромиссное решение.

Определение экстремума критерия оптимизации Ф(х) может выполняться несколькими путями. Наиболее рекомендуемые из них следующие.

Рассматривается однокритериальная задача. Следовательно, критерий Ф(х) выбирается в качестве основного, а остальные принимаются как ограничения. В этом случае экстремальное значение Ф(х) находится в рамках этих ограничений и в определенной области пространства параметров.

В другом случае вместо единственного обобщенного критерия Ф(х) исходят из нескольких противоречивых показателей Ф₁(х), Ф₂(х),, Ф_к(х), каждый из которых не полностью отражает характеристики машины. Поэтому для перехода к обобщенному критерию Ф(х) необходимо обратится к соотношению

, (1)

где s = 1, 2, ..., к; Р_s -- назначаемые разработчиками весовые коэффициенты (функции).

Путь поиска оптимума следующий. Исходя из данных P_so, устанавливается, что полученное значение Ф(х) и модель машины нас не устраивает. В таком случае задается новый набор P_si, снова определяется экстремальное значение х_i и, следовательно, Ф(х) и т.д. При противоречивости предъявляемых к машине требований окончательное решение возможно на основе компромиссов между Ф_s.

Предположим, что имеются п элементов данной установки и возможны т позиций для установки элементов. Кроме того, известна стоимость П_ij назначения i-го элемента на j-ю позицию. Необходимо определить для каждого элемента всего множества элементов объекта такую позицию, чтобы общая стоимость размещения всех элементов была бы минимальной. Формулировка математической задачи заключается в минимизации функций всех перестановок Р:

, (2)

где Р_(i) -- назначение некоторой позиции i-го элемента.

Возможен другой критерий оптимизации, а именно стоимость связи элемента. В этом обращаются к квадратичной задаче о назначениях. Будем считать, что известна стоимость С_ij единицы связи между элементами i и j. При этом элементы i и j назначаются на позиции Р_(i) и Р_(j). Расстояние между соответствующими позициями обозначим через L_Р(i)Р(j). В таком случае речь идет о минимизации выражения

. (3)

Иногда может стоять более сложная задача, а именно оптимизация по двум указанным выше критериям. Математически это формулируется следующим образом:

. (4)

Поиск оптимального варианта размещения элементов объекта завершается, когда рассмотрены все перспективные варианты решения (R_i):

,

где П_м -- верхняя граничная оценка на данном поиске варианта размещения элементов объекта.

Для следующего типа поиска характерно то, что по мере накопления информации о возможностях разрабатываемой машины усложняется и совершенствуется постановка задачи. При этом с учетом используемой информации некоторые требования ослабляются, другие -- усиливаются.

Рассмотрим вопрос многокритериальной оптимизации [1].

Примем, что оптимизируемая функция имеет вид

. (5)

Функция гладкая, т.е. непрерывная и имеет производные в каждой точке. Следовательно, можно записать

. (6)

Условие экстремума определяется тем, что независимо от выбранной переменной

. (7)

Принимая во внимание, что не все переменные Х_n являются независимыми, следует записать систему уравнений

(8)

где т -- число уравнений связи; п -- число переменных; (п-т) -- «степень свободы» системы.

Если свобода отсутствует, т.е. все переменные определены, нет смысла рассматривать задачу об оптимизации.

Для определения, какие т являются зависимыми и какие (п-т) независимыми, используется метод Лагранжа. При этом система т-уравнений получит вид

. (9)

Поскольку мы имеем п уравнений, можно получить значения т величин л_i из т уравнений. Оставшиеся (п-т) уравнений вместе с исходными т образуют п уравнений, достаточных для определения п значений Х_i.

В последние годы методы эксергоэкономического анализа развиваются на базе теории информации. В этом случае функция распределения вероятностей определяется, используя заданные средние значения величин. При этом используются следующие уравнения: сумма вероятностей, связанных с определенными возможными состояниями, которая всегда должна быть равна единице; математическое ожидание или его среднее значение предполагается известным.

Особый интерес представляет геометрический аппарат оптимизации. Этот метод обладает наглядностью и поэтому он удобен для решения оптимизационных задач.

Приведем основы теории С-кривых.

Примем, к примеру, что критерием оптимизации являются затраты эксергии. Функция Z =f(EX) имеет минимумы по отношению к каждой из осей: EX_min и Z_min (рис. ).

Рисунок 1 - Термоэкономическая модель системы в виде С-кривой

Рисунок 2 - С-поверхность

Оптимальное значение (точка А) может быть определено, предположив линейную зависимость между затратами эксергии и затратами :

, (10)

где k - капиталовложения на прирост первичной энергии.

При многокритериальной оптимизации используют метод С-поверхностей.

Оптимальное значение методами С-кривых и С-поверхностей может быть определено путем графического дифференцирования в границах рассматриваемого участка или построением касательной к кривым (поверхностям) б = arctg k и определением соответствующей точки (на рис. 2 обозначено через min). Графический способ легко переводится в аналитический.

Метод эксергоэкономического анализа и оптимизации изложен в работах [2,3].

В каждом конкретном случае в зависимости от задач исследований выбирается тот или другой метод оптимизации.

SUMMARY

Consider one- and many criterion optimization methods of technical systems.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Морозюк Т.В. Водоаммиачные термотрансформаторы (теория, анализ, синтез, оптимизация): Автореф. дисс... докт. техн. наук. ОГПУ.- Одесса, 2001. - 34 с.

2. Пастушенко С.І. Методи термодинамічного аналізу і термоекономічної оцінки систем гідроприводів сільськогосподарських машин // Вісник аграрної науки Причорномор'я. - Миколаїв: Видавничий відділ МДАА. - 2002. - Вип. 4 (18). - Т. 1. - С. 64-74.

3. Пастушенко С.І., Нікульшина В.В. Методи ексергоекономічної оптимізації систем гідроприводів сільськогосподарських машин // Вісник Харківського ДТУСГ “Механізація сільськогосподарського виробництва”. -Харків: Видавництво СПДФО “Червяк В.Є.”. -2002