Обґрунтування вибору методу для математичного опису гідроапаратів із вібраційною лінеаризацією

Обґрунтування вибору методу для математичного опису

гідроапаратів із вібраційною лінеаризацією

П. М. Андренко, канд. техн. наук, доц.

НТУ "ХПІ"

Вступ

Одним із ефективних способів покращання характеристик гідравлічних апаратів (ГА) є вібраційна лінеаризація. Математичному опису ГА, у тому числі й гідроапаратам прямої дії, в яких запірно-регулюючий елемент (ЗРЕ) виконаний у вигляді золотника, присвячена досить велика кількість наукових робіт [1, 2] та ін. Однак наведені в них математичні моделі ГА не враховують параметрів осциляції ЗРЕ, їх зв'язок із іншими параметрами та характеристиками ГА. Спроба усунути даний недолік зроблена в роботі [3], однак отримані в ній математичні залежності не дозволяють врахувати гармоніки вищих порядків як на вході, так і на виході гідравлічного вібраційного контуру, що може призвести до значних похибок. У науково-технічній літературі не обґрунтовано вибору таких методик. Отже, обґрунтування методик, які описують параметри осциляції ЗРЕ ГА, з урахуванням вищих гармонік, що органічно входять до математичних моделей ГА даного класу, є актуальною науково-технічною задачею, що і є метою даної статі.

Методи дослідження нелінійних систем та елементів

Математичне дослідження нелінійних динамічних систем та їх елементів становить великі труднощі. Сьогодні не існує універсальних математичних методів розв'язання нелінійних диференціальних рівнянь, що в загальному вигляді описують динамічні процеси в таких елементах та системах, а існують методи для розв'язання деяких часткових видів нелінійних рівнянь. Наприклад, рівнянь Дюффінга та Хілла, розв'язанню яких присвячені роботи [4 - 7] та деякі інші. Докладне математичне розв'язання існує тільки для невеликої кількості нелінійних задач теорії автоматичного управління. У зв'язку з цим для розв'язання таких задач використовують наближені методи. Зупинимося на розгляді методів, які використовуються при розрахунку таких елементів і можуть бути використані для розрахунку як ГА з вібраційною лінеаризацією, так і їх параметрів.

Основи теорії коливань нелінійних систем, які базуються на роботах Пуанкоре та Ляпунова, наведені в [8]. Розроблені в ній загальні питання теорії коливань, які дали поштовх подальшому розвитку теорії нелінійних коливань, та дозволили вирішити ряд конкретних практичних завдань. У цій роботі вперше були систематично викладені загальні основи теорії нелінійних коливань, з'ясовані основні положення та методи для розв'язання нелінійних систем. Докладно розглянуті питання “малої нелінійності”. Однак ці питання розглядалися стосовно найпростішого випадку - системи з одним ступенем вільності без зовнішньої сили (так називаних автономних систем). Розглянемо методи, що використовуються при розв'язанні рівнянь, які описують коливання нелінійних елементів та систем.

Метод малого параметра [8 - 11].В основу методу покладено припущення, що система має “слабку” нелінійність. Наприклад, коливання системи описуються рівнянням

, (1)

де k - задане число.

Вважаючи, що параметр , який входить до (1), достатньо малий, розв'язок (1) шукаємо у вигляді розкладання згідно з ступенем малого параметра

, (2)

де ,… - невідомі функції часу, що належить визначити.

Окрім цього, необхідно також виконати розкладання коефіцієнта :

…. , (3)

де - нова невідома стала; ,… - невизначені коефіцієнти.

При використанні даного методу постійно необхідно стежити, щоб розв'язок не містив вікового члена, оскільки віковий член із зростанням часу необмежено зросте. Метод використовується для розв'язання нелінійних систем, характеристики яких описані єдиним аналітичним виразом, і не може бути використаний для розв'язання сильно нелінійних систем, що, наприклад, мають ламані характеристики [10]. Крім цього, одним із суттєвих недоліків цього методу є те, що він не дозволяє розв'язати систему, в якій амплітуда коливань змінюється з часом [9]. Зауважимо, однак, що з використанням цього методу в [20] наведена методика розв'язання нестаціонарних коливань нелінійних систем, яка дозволяє отримувати наближені їх розв'язки.

Метод Бубнова-Гальоркіна належить до прямих методів [10, 12]. Відповідно до цього методу заздалегідь припускається форма шуканого розв'язку. Він може задаватися в тому ж вигляді, що й для лінійних систем:

, (4)

де - амплітуда; - частота коливань; - фазовий зсув.

Причому , , та в (4) є сталими величинами.

Відповідно до основної ідеї методу треба зажадати, щоб інтеграл, взятий від рівняння, що описує коливальний процес, у межах одного періоду дорівнював нулю. При використані методу Бубнова-Гальоркіна, якщо розв'язок задається у вигляді (4), з нього автоматично виключаються виші гармоніки. Однак цей метод дозволяє отримувати й вищі наближення. Для цього розв'язок шукають у вигляді функціонального ряду

,

задавшись видом функцій , , ..., та вимагаючи, щоб вищезгадані інтеграли цих функцій дорівнювали нулю.

Недоліком цього методу є можливість виникнення помилки в розв'язку в області основного резонансу [12].

Метод спонтанно змінних коефіцієнтів. Для розв'язання нелінійних задач у першому наближенні Ван-дер-Полем [13, 14] запропоновано наближений метод спонтанно змінних коефіцієнтів. На відміну від методу малого параметра, цей метод не дозволяє отримувати вищі гармоніки, отже, обмежений тільки першим наближенням, що в окремих випадках може призвести до помилки у розв'язанні. Достоїнством цього методу є те, що він дозволяє визначити не тільки періодичний розв'язок, а також процес його усталення в часі біля цього періодичного розв'язку.

Зауважимо, що наближений розв'язок початкового нелінійного рівняння, як відмічено в [15], може виявитися практично більш цінним, ніж точний розв'язок докладними математичними методами з рядом спрощень, оскільки при спрощеннях заданого рівняння може бути загублена навіть якісна картина досліджуваних динамічних явищ. Отже, цей метод правомірно може бути використаний при знаходженні розв'язку першого наближення.

Метод допасовання використовується в розв'язках монотонних спонтанно змінних процесів у нелінійних системах, що мають різні коефіцієнти на окремих ділянках своїх характеристик. У цьому випадку метод показує високу точність.

При досліджені коливальних процесів безпосередньо за заданим диференціальним рівнянням, навіть у випадку, коли задачу можна звести до розв'язання лінійних рівнянь за ділянками, одержуємо настільки велике число ділянок, що співвідношення, отримані методом допасовання, виявляються нескінченними, а тому практично непридатними (особливо для рівнянь високого порядку). Цей метод може бути корисним при пошуку періодичного розв'язку, для чого він і використовується, оскільки там достатньо розглянути мале число ділянок всередині одного періоду. Однак, як відмічено в [15], в разі знаходження розв'язку коливальних процесів із використанням цього методу легко можна отримати велику помилку та навіть неправильний результат, внаслідок швидкої в часі зміни змінної, не кажучи про можливість отримання яких-небудь загальних закономірностей. З урахуванням вищесказаного можна дійти висновку: щоденний метод малопридатний до математичного опису ГА з вібраційною лінеаризацією.

Метод гармонічної лінеаризації, обґрунтування та теоретичні основи якого достатньо докладно наведені в [14 - 16], базується на принципі гармонічного балансу, сформульованого в роботах Н. М. Крилова та Н. Н. Боголюбова [17 - 18], і вперше застосований до дослідження нелінійних систем Л. С. Гольдфарбом [19]. При цьому в результаті гармонічної лінеаризації нелінійності (на відміну від загальної монотонної лінеаризації) не губляться всі ті якості та особливості процесів управління у нелінійних системах та елементах. А саме - враховуються як зміни масштабу початкових умов, так і зміни для конкретної нелінійності, періоду власних коливань залежно від амплітуди коливань у перехідному процесі. Метод дозволяє визначати перехідні процеси типу ковзання, враховувати величину та характер зміни зовнішньої дії. Це пояснюється тим, що гармонічно лінеаризоване рівняння нелінійної системи має коефіцієнти, що залежать від величини відхилення (як від амплітуди коливальної складової, так від величини вільно змінної основної складової процесу управління) [14].

Принциповою відмінністю методу гармонічної лінеаризації від великої кількості квазілінійних методів, в яких у задане рівняння системи біля нелінійних членів вводять малий параметр (мала відмінність лінійного члена від нелінійного), є те, що в ньому малий параметр вводять у шуканий розв'язок. При цьому такий розв'язок, завдяки фільтруючим властивостям лінійної частини системи, на малих ділянках мало відрізняється від лінійного, навіть при сильних нелінійностях, що практично завжди має місце в гідравлічних системах. Використовуючи цей метод для математичного опису ГА з вібраційною лінеаризацією, вважаємо, що в ньому є одна нелінійність, яку в загальному випадку можемо записати у вигляді

, (5)

де - перетворювач Лапласа.

У цьому випадку рівняння системи може бути подано у вигляді

, (6)

де , , - багаточлени з постійними коефіцієнтами записані за допомогою перетворювача Лапласа; f - задана зовнішня дія.

Зробимо аналогічно, як у [16]: спочатку розглянемо однорідне рівняння

. (7)

Відповідно до даного методу за відсутності зовнішніх дій та усталених одночастотних семеричних коливань у системі її розв'язок знаходимо у вигляді

, (8)

де , (9)

- довільна обмежена функція часу; - малий параметр.

Зазначимо перше наближення шуканого періодичного розв'язку, як

. (10)

Запишемо з [15] рівняння для наближеного визначення періодичного розв'язку (7) у вигляді

, (11)

де ,

, а .

Скориставшись методикою, наведеною в [16], можна уточнити першу гармоніку, а також отримати перший наближений розв'язок з урахуванням вищих гармонік, незважаючи на їх мале значення.

Метод гармонічної лінеаризації дозволяє досліджувати двочастотні процеси, особливо за наявності вібрації (яка має високу частоту), що накладається на основний вільно змінний процес управління (який має порівняно низьку частоту). При цьому, внаслідок нелінійності системи, обидва процеси суттєво впливають один на одний. Такий підхід дозволяє зберегти суттєво нелінійні властивості даної системи без використання принципу суперпозиції розв'язків, отже, його використання для математичного опису ГА з вібраційною лінеаризацією з урахуванням параметрів осциляції ЗРЕ є закономірним.

Як зазначено в [14], цей метод дозволяє отримати для більшості нелінійних систем управління та регулювання будь-якої складності правильні результати, які не можуть бути отримані ніякими іншими розрахунковими методами.

Зауважимо, що при використанні методу гармонічної лінеаризації для математичного опису ГА з вібраційною лінеаризацією необхідно вимагати виконання умови (9). Ця вимога виконана, оскільки аналіз пульсацій тиску на виході об'ємної гідромашини, наведений у [21], виявив, що вони відбуваються за синусоїдальним законом чи дуже наближеним до нього. Отже, можемо вважати, що осциляція ЗРЄ ГА відбувається згідно з синусоїдальним законом. Другою, не менш важливою умовою використання цього методу, є виконання властивостей фільтра. Для виконання цієї вимоги необхідно, щоб, крім відсутності чисто уявних розв'язків у багаточлена , були також відсутні розв'язки з додатною дійсною частиною [14]. Отже, необхідно, щоб наведена лінійна частина системи була стійкою та лінійною.

Висновки

Проведений аналіз різних методів, які можуть бути використані для математичного опису ГА з вібраційною лінеаризацією з урахуванням параметрів осциляції його ЗРЕ, дозволив встановити, що найбільш придатний для цього є метод гармонічної лінеаризації, використання якого дозволить:

- зберегти суттєво нелінійні властивості даного ГА без використання принципу суперпозиції розв'язків;

- досліджувати двочастотні процеси, особливо за наявності вібрації;

- отримати розв'язок з урахуванням вищих гармонік.

Отже, використання цього методу порівняно з іншими є простим.

Summary

The analysis of methods of nonlinear mathematical models of hydraulic systems used for construction and devices is lead. It is established, that for the mathematical description of hydrodevices with vibrating linearization the most effective is a method harmonious linearization.

Список літератури

1. Башта Т. М. Гидропривод и гидропневмоавтоматика. - М.: Машиностроение, 1972. - 320 с.

2. Гамынин Н. С. Гидравлический привод систем управления. - М.: Машиностроение, 1972. - 376 с.

3. Андренко П. Н. Выбор параметров осцилляции запорно-регулирующего элемента гидроаппарата с гидравлическим вибрационным контуром // Вісник Сумського державного університету. - Суми: СумДУ - № 13(59). - 2003. - С. 31 - 38.

4. Tlumienie drgan. Pod red Zbigniewa Osinskiego. - Warszawa: PWN, 1997.-500 s.

5. Mc. Duff J. N., Curreri J. R. Drgania w technice. - Warszawa: PWT, 1960.-506 s.

6. Hayashi C. Drgania neliniowe w ukladah fizycznych. - Warszawa: WNT, 1968. - 404 s.

7. Шеплинска - Ступницка В. Высшие гармоники колебания в нелинейных системах с одной степенью свободы и вынуждающей силой // Механика. Перевод. сб. переводов ин. статей. - М.: Иностр. лит. - № 6, - 1969. - С. 11 -23.

8. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. 2-е. изд. - М.: Гос. Изд-во физмат литературы, 1959. - 915 с.

9. Каннгхем В. Введение в теорию нелинейных систем / Перевод с англ. - М.-Л.: Гос. энергетическое изд-во, 1962. - 456 с.

10. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. - 3-е изд, доп. и переработ. - Л.: Машиностроение, 1976. - 320 с.

11. Тондл А. Нелинейные колебания механических систем. - М.: Мир, 1973. - 334 с.

12. Крюков Б. И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем. - М.: Машиностроение, 1984. - 216 с.

13. Ван-дер Поль Б., Брреммер Х. Операционное исчисление на основе двухстороннего преобразования Лапласа / Перевод с англ. - М.: Изд-во иностранной лит., 1959. - 506 с.

14. Попов Е. П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. - М.: Наука, 1973. - 584 с.

15. Попов Е. П., Пальтов Н. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. - М.: Гос. изд. физ. мат. лит., 1960. - 792 с.

16. Попов Е. П. К вопросу обоснования методов, основанных на принципе гармонического баланса // Метод Гольдфарба в теории регулирования (Сборник статей). - М-Л.: Гос. энергетическое издательство, 1962. - С. 130-143.

17. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - 4-е. изд. - М.: Наука, 1974. - 503 с.

18. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. - К.: Изд-во АН УССР, 1937. - 363 с.

19. Метод Гольдфарба в теории регулирования (Сборник статей). - М-Л.: Гос. энергетическое издательство, 1962. - 224 с.

20. Голоскоков Е. Г., Филиппов А. П. Нестационарные колебания механических систем. - К.: Наукова думка, 1966. - 336 с.

21. Андренко П.Н., Дмитриенко О.В., Асатрян Р.Я. Использование пульсаций давления рабочей жидкости в системах гидроприводов // Вестник Харьковского государственного политехнического университета. - Харьков: ХГПУ. - 1997. - Вып. 7.- Ч. 2 - С. 35-37.

22. Хвингия М. В., Богданова А. М., Габарадзе Д. Т. и др. Колебания и устойчивость упругих систем машин и поборов. - Тбилиси: Мецниереба, 1974. - 284 с.

23. Самойло К. А. Метод анализа колебательных систем второго порядка. - М.: Советское радио, 1976. - 208 с.