Один спосіб визначення параметрів резонансних об’єктів

Сумський державний університет

Один спосіб визначення параметрів резонансних об'єктів

І.Д. Пузько, канд. техн. наук, доц.

ВСТУП

Механічні коливання в різного типу компресорних установках і машинах виникають здебільшого при дії змінних збуджувальних сил, частоти яких, зокрема, дорівнюють або кратні числу обертів за одну хвилину головного вала машини. Числа обертів за одну хвилину цього вала при робочих режимах підбираються таким чином, щоб не виникли небезпечні резонансні коливання. Однак у режимах пуску, останову, при переходах з режиму на режим частота збуджувальних сил змінюється за часом і в більшості випадків проходить через резонансні значення.

ПОСТАВЛЕННЯ ЗАВДАННЯ

Для оцінки того факту, який свідчить про те, що є проходження через резонанс і при цьому амплітудні значення не є небезпечними для міцності конструкції, необхідно визначити резонансні частоти і відповідні цим частотам амплітуди коливань.

Дослідження нестаціонарних процесів у лінійних системах, зокрема з одним степенем вільності, за умови, якщо джерело енергії має достатньо велику потужність, тобто відсутня зворотна дія системи на джерело енергії зводиться до інтегрування диференціальних рівнянь.

Для моделі у вигляді коливальної системи з одним степенем вільності і опором, пропорційним швидкості, задача про визначення вимушених коливань за наявності сигналу збуджувальної дії зводиться до визначення інтеграла згортки.

Якщо частота сигналу збудження збільшується або зменшується за лінійним законом і сила опору відсутня, то цей інтеграл зводиться до інтегралів Френеля. За наявності сили опору інтеграл згортки не визначається в замкнутій формі через відомі функції, а його числове визначення пов`язане з великими труднощами, що пояснюється швидко-коливальним виглядом підінтегральної функції.

Визначення інтеграла згортки можливо виконати шляхом застосування асимптотичних рядів, рядів, що сходяться, або після перетворення цього інтеграла і послідовним його числовим або наближеним інтегруванням.

У більшості випадків технічного застосування задачі, що розглядається, не вимагається знання всіх значень безперервного процесу зміни амплітуд залежно від змінної частоти сигналу збуджувальної дії, а інформаційний інтерес мають лише значення максимумів обвідних напіврозмахів коливань динамічних резонансних піків і відповідні цим максимумам частоти.

У відомих дослідженнях не наведені аналітичні співвідношення для визначення інерційно-жорстких і дисипативних параметрів, оцінювання значень яких необхідно для розв'язання цілого ряду технічних задач, а саме, діагностики, оптимального керування та ін.

Відомі способи і пристрої для визначення резонансних частот елементів випробуваних конструкцій при реалізації режимів сканування частоти сигналу збуджувальної дії мають недостатню точність, що пояснюється наближеністю застосованого аналітичного співвідношення, отриманого на основі застосування наближеного визначення інтеграла згортки [1,2].

Реалізація алгоритму, заснованого на відомих співвідношеннях, призводить до дещо завищеного значення резонансної частоти статичного резонансного піка, що пояснюється нелінійністю зміщення частоти максимуму обвідної напіврозмахів коливань динамічного резонансного піка залежно від постійної швидкості сканування частоти сигналу збуджувальної дії [1,2].

Виникає необхідність формування нового співвідношення, а також нового алгоритму, який дозволяє ураховувати нелінійність зміщення за частотою максимумів обвідних напіврозмахів коливань динамічних резонансних піків залежно від постійної швидкості сканування частоти сигналу збуджувальної дії [3].

ОТРИМАНІ ТЕОРЕТИЧНІ РЕЗУЛЬТАТИ

У відомому дослідженні [3] наведено аналітичне співвідношення для визначення резонансної частоти динамічного резонансного піка, що визначена методом підбору на підставі кривих, наведених у роботі [4].

Максимум обвідної напіврозмахів коливань динамічного резонансного піка при урахуванні нелінійності величини зміщення за частотою при реалізації режиму сканування частоти сигналу, що збуджує резонансну систему дії, за лінійним законом відповідає частоті , яка визначається співвідношенням [3]

, (1)

де - власна частота статичного резонансного піка;

- коефіцієнт демпфування;

- постійна швидкість розгортки частоти сигналу збуджувальної дії.

При виконанні умови:

, (2)

де - мале число (<<1), із (1) маємо наближене співвідношення

, (3)

де знак „+” має місце при збільшенні, а знак „-” - при зменшенні частоти сигналу збуджувальної дії.

Співвідношення (3) - це нелінійне регресійне рівняння з двома параметрами , і незалежною змінною , яке в детермінованому варіанті має вигляд

, (4)

а в стохастичному

, (4а)

де - стохастичний процес, що має нульове математичне сподівання.

У детермінованому варіанті для чотирьох значень постійних, але різних швидкостей розгорток частоти сигналу збуджувальної дії за умови

із (3) маємо систему рівнянь

.(5)

Із перших двох рівнянь системи (5) рівнянь отримаємо таке рівняння:

.(6)

Із першого і третього рівнянь системи (5) рівнянь отримаємо таке рівняння:

.(7)

Із першого и четвертого рівнянь системи (5) рівнянь отримаємо таке рівняння:

.(8)

Після ділення лівих і правих частин відповідно рівнянь (6), (7) і нескладних перетворень отримаємо таке рівняння відносно невідомих і :

. (9)

Після ділення лівих і правих частин відповідно рівнянь (6) і (8) і нескладних перетворень отримаємо таке рівняння відносно невідомих і :

. (10)

Таким чином, отримана система (9), (10) двох алгебраїчних рівнянь відносно невідомих і :

(11)

де - коефіцієнти при невідомих , і значення правої частини відповідно рівняння (9);

- коефіцієнти при невідомих , і значення правої частини відповідно рівняння (10).

Розв'язання системи (11) рівнянь має такий вираз:

, (12)

, (13)

де коефіцієнти , визначаються значеннями величин , тобто

. (14)

Нелінійні регресійні рівняння типу (4а) для випадків

та

мають вигляд

, (15)

. (16)

Застосовуючи метод найменших квадратів для (15), (16), отримаємо функції похибок

, (17)

. (18)

На підставі (17), (18) отримаємо систему рівнянь

, (19)

. (20)

Після проведення нескладних перетворень із (19), (20) отримаємо систему рівнянь для оцінки параметрів ,

, (21)

. (22)

Підсумовуючи ліві частини (21), (22), отримаємо співвідношення для визначення

. (23)

Беручи різницю лівих частин (22) і (21), отримаємо співвідношення

. (24)

Проведемо наближене перетворення правої частини співвідношення (24) і отримаємо співвідношення для визначення параметра при формуванні лінійного відносно рівняння

. (25)

У подальших дослідженнях варто приділити увагу можливості отримання наближених аналітичних співвідношень для визначення інерційно-жорстких параметрів

та комп'ютерного моделювання для отримання числових значень .

ВИСНОВКИ

Таким чином, у роботі в детермінованому варіанті проведений аналіз можливості визначення власної частоти і коефіцієнта демпфування резонансної системи при реалізації чотирьох режимів розгортки частоти сигналу збуджувальної дії з постійними, але різними швидкостями розгортки частоти при фіксації і запам'ятовуванні частот максимумів обвідних напіврозмахів коливань чотирьох динамічних резонансних піків за умови незначного коефіцієнта демпфування і найменшої швидкості розгортки частоти із ряду застосованих значень швидкостей.

Отримані також співвідношення для визначення , для лінійного регресійного рівняння при застосуванні методу найменших квадратів.

Summary

Analytical ratios for obtaining own frequency and damping factor of resonance system were given in the paper. Results were got while realization of regims of scanning the frequency of exotation signal.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Авт. свид. № 1633294 СССР. МКН G01H13 / 00. Способ определения резонансной частоты элементов конструкций / И.Д. Пузько. - Опубл. 07.03.91. - Бюл. № 9.

2. Авт. свид. № 1832183 СССР. МКН G01М7/00. Устройство для измерения резонансной частоты элементов конструкции / И.Д. Пузько. - Опубл. 07.08.93. - Бюл. № 29 .

3. Кац А.М. Вынужденные колебания при прохождении через резонанс // Инженерный сборник института механики АН СССР, 1947 - Т. III. - Вып. 2. - С. 100-125.

4. Lewis E.M. Vibration During Acceleration Through a Critical Speed. Transactions of the A.S.M.E. - Vol. 54. - № 23. - 1932. - Р.253-261.