Влияние гидродинамических характеристик течения жидкости на устойчивость колебаний упруго закрепленной стенки плоского канала

Влияние гидродинамических характеристик течения жидкости на устойчивость колебаний упруго закрепленной стенки плоского канала

Ю.Я. Тарасевич, асп.

(Сумский государственный университет)

Одними из наиболее распространенных в насосном оборудовании уплотнений остаются бесконтактные уплотнения, что обусловлено простотой конструкции и дешевизной, возможностью использования в широком диапазоне давлений, температур и сред. Отличительной особенностью таких уплотнений является значительное влияние динамических сил и моментов, возникающих в кольцевых и торцовых зазорах, на вибрационное состояние роторной машины в целом. Потому определение гидродинамических характеристик таких уплотнений даже в первом приближении является очень важной задачей. В связи с тем, что кривизна поверхностей, образующих короткое кольцевое уплотнение, незначительна, по сравнению с радиусом, их можно развернуть на плоскость. В работе определены гидродинамические характеристики жидкости в плоском канале при совместном действии напорного течения и нестационарного потока вытеснения.

Рассмотрен плоский конусный канал, в котором верхняя стенка вместе с осью АВ (рисунок 1) совершает малые поперечные (вдоль оси 0у) и угловые (вокруг оси 0х) колебания. Амплитуда поперечных колебаний мала по сравнению со средним зазором. Зазор, в свою очередь, мал по сравнению с длиной канала

.

Поэтому изменение давления по толщине зазора не учитывалось

.

Рисунок 1 - Схема плоского конусного канала

После оценки членов уравнения Рейнольдса с учетом локальной и нелинейной конвективной составляющих силы инерции в качестве исходного уравнения движения принято [1]:

.(1)

где qpc - расход напорного течения; - вязкость жидкости,

(постоянные С и n зависят от режима течения),

Re0 - число Рейнольдса для канала с параллельными стенками.

Значение зазора в произвольном сечении выражается формулой

где

- безразмерные параметры и координаты. Параметр конусности и относительные амплитуды поперечных и угловых колебаний - величины первого порядка малости относительно единицы.

Осреднив по толщине зазора уравнение неразрывности, с учетом нестационарных граничных условий для скоростей

Получим

,(2)

где - полный расход через канал:

, qd

- расход потока вытеснения.

Для принятых граничных условий правая часть осредненного уравнения неразрывности принимает вид

,

и не содержит продольных скоростей стенок, а представляет распределение по длине канала поперечных скоростей верхней стенки ( - постоянная по длине амплитуда поперечных скоростей стенки; - антисимметричные относительно оси амплитуды скоростей, порождаемых угловыми колебаниями стенки). То есть правая часть осредненного уравнения неразрывности определяет поток вытеснения, расход которого равен:

.

В первом приближении постоянную составляющую расхода потока вытеснения С можно определить из уравнения Рейнольдса без учета инерционных сил:

,

где .

Выразив расход из уравнения движения (1) и подставив его в осредненное уравнение неразрывности (2), получили уравнение Рейнольдса для распределения давления по длине канала

.(3)

В уравнении (3) инерционный член заменен его осредненным по толщине зазора значением.

Из последнего выражения путем интегрирования по длине канала с учетом граничных условий для давления:

,

найдено распределение давления по длине канала.

Гидростатическая составляющая давления

представляет закон изменения заданного давления в связи с потерями энергии на преодоление гидравлического сопротивления канала.

Гидродинамическую составляющую, характеризующую изменение давления потока вытеснения, можно разложить на две компоненты:

,

, .

Первое слагаемое представляет собой распределение давления, обусловленное радиальными колебаниями верхней стенки, второе - угловыми.

Инерционная составляющая давления

.

По компонентам давления определены соответствующие составляющие силы давления на стенку и моменты этих составляющих относительно оси . Гидростатические составляющие силы и момента:

Если учитывать влияние местных сопротивлений на величину гидростатической силы и момента, то граничные условия для давления будут включать в себя потери на образование входной скорости и на преодоление местных сопротивлений на входе и выходе, обусловленных внезапным сужением и расширением канала.

Считая коэффициенты местных гидравлических потерь постоянными величинами, элементарная сила напорного течения примет вид

где

- скоростной напор; и относительные коэффициенты гидравлических потерь на входе и выходе соответственно;

- коэффициент полных гидравлических потерь; - коэффициент потерь по длине канала.

Линеаризованные выражения для потока вытеснения:

, ;

Следует отметить, что момент, обусловленный радиальными колебаниями стенки, увеличивает амплитуду угловых колебаний при движении стенки вверх в конфузорном канале и при движении стенки вниз - т в диффузорном.

Элементарная сила и момент инерционного давления:

Найденные силовые характеристики являются реакциями потока на внешние гармонические воздействия, вызывающие колебания верхней стенки канала. Полученные силовые характеристики потока определяют относительные амплитуды вынужденных колебаний стенки и могут использоваться для вычисления ее амплитудных и фазовых частотных характеристик.

Для оценки динамической устойчивости упруго закрепленной стенки канала (рисунок 2) рассмотрим случай, когда на нее не действуют внешние силы и моменты: выведенная из состояния равновесия за счет возмущения начальных условий стенка совершает свободные колебания.

Начало координат расположено в центре масс пластинки, когда она находится в положении статического равновесия. Обобщенные координаты в безразмерной форме имеют вид

.

Рисунок 2 - Схема плоского канала с упруго закрепленной верхней стенкой

Уравнения свободных колебаний в безразмерных обобщенных координатах имеют вид:

,(4)

где

- парциальные частоты; - коэффициенты упругой связи; - сила и момент, действующие со стороны потока на элемент стенки единичной ширины.

Уравнения колебаний в операторной форме () примут вид:

где

коэффициенты упругой диссипативной и инерционной связей.

Условием существования нетривиальных решений уравнений (4) относительно амплитуд является равенство нулю определителя этой системы.

Раскрыв определитель, получим характеристическое уравнение

С04+С13+С22+С3+С4=0,(5)

коэффициенты которого равны:

С0=а11, С1=а12+а21, С2=а13+а22+а31-3b1,

C3=a23+a32+3b2, C4=a33-3b3.

Характеристическое уравнение может иметь как вещественные, так и комплексные корни. Вещественные корни соответствуют апериодическому движению. Границей апериодической устойчивости, разделяющей области возрастания и убывания по экспоненциальному закону обобщенных координат, являются нулевые вещественные корни.

В диффузорном канале коэффициенты жесткости а3 и 3, коэффициент инерционной связи b1, коэффициент диссипативной связи b2 зависят от параметра конусности и могут становиться отрицательными или равными нулю, а значит, и коэффициенты характеристического уравнения могут также менять знак или обращаться в нуль.

В случае равенства

С4=а3 3-3 b3=0

характеристическое уравнение (5) имеет один вещественный, равный нулю корень, что соответствует расположению системы на апериодической границе устойчивости: любое изменение параметров системы может привести к неограниченным отклонениям ее от положения равновесия. В гидроаэроупругости такое явление называется дивергенцией.

Критическое значение перепада давления, при котором возникает дивергенция, равно

.

В канале с параллельными в равновесном состоянии стенками (0=0) статическая потеря устойчивости возможна лишь в случае различных жесткостей, значения которых должны увеличиваться по направлению потока (k<0). Если жесткости стенки равны (k1=k2), то дивергенция возникает за счет начальной диффузорности

.

Если корни характеристического уравнения комплексные, то вещественная часть корня характеризует изменение амплитуды во времени, а мнимая часть определяет частоту колебаний. Чисто мнимые корни () являются границей колебательной устойчивости, им соответствуют незатухающие колебания системы.

В случае отрицательной демпфирующей связи (b2<0) момент, вызванный радиальными колебаниями вала, увеличивает угловые колебания стенки. При этом коэффициент характеристического уравнения С3 может быть равен нулю.

Коэффициент С1 представляет собой произведения инерционных и коэффициентов демпфирования. Поскольку положительные значения демпфирующих сил и моментов стабилизируют движение стенки, примем С1=0, т.е. найдем границу устойчивости с некоторым запасом. Характеристическое уравнение в этом случае становится биквадратным:

,

а его корни .

Если подкоренное выражение положительно - корни характеристического уравнения чисто мнимые, - система совершает колебания с постоянной амплитудой.

Если подкоренное выражение отрицательно, то

, где а=, b=.

В этом случае корни характеристического уравнения - сопряженные комплексные числа:

,

следовательно, система совершает колебания с возрастающей во времени амплитудой.

Из условия

определим перепад давления, при котором возникает флаттер (в теории гидроаэроупругости: самовозбуждающиеся колебания элементов конструкций, возникающие при определенных скоростях обтекания воздухом упругих элементов этих конструкций)

.

Для канала: H/м2, H/м2, H= м, =, критическое значение перепада давления - Па, Па.

Таким образом, вследствие отрицательной демпфирующей связи, в канале с колеблющимися стенками под действием напорного течения возможно явление, подобное флаттеру.

Следует отметить, что даже в конфузорном канале при перепадах давления сравнимых или превышающих жесткости k1 и k2 подвесок, С3 также может быть равным нулю. Поэтому, несмотря на то, что в дросселирующих каналах рекомендуется конфузорная форма, даже при такой геометрии канала возможны колебания стенок с возрастающей амплитудой.

Динамическая система ротор-щелевые уплотнения намного сложней рассматриваемого плоского канала с упруго закрепленной жесткой стенкой (ротор - упругое тело с распределенными параметрами, а в щелевых уплотнениях возникает более сложная система гидродинамических сил), однако полученные результаты позволяют понять физику экспериментально установленного факта - самовозбуждающихся колебаний вала в щелевых уплотнениях при отсутствии вращения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Марцинковский В.А. Бесконтактные уплотнения роторных машин. - М.: Машиностроение, 1980. - 200с.

Марцинковский В.А. Вибрации роторов центробежных машин: В 2 книгах. Гидродинамика дросселирующих каналов. - Суми: Вид-во СумДУ, 2002.- Кн.1. -337с.

Никитин Г.А. Щелевые и лабиринтные уплотнения гидроагрегатов. - М.: Машиностроение, 1982. - 109 с.

Тарасевич Ю.Я., Савченко Е.Н. Гидродинамические характеристики плоского канала с колеблющимися стенками // Вестник СумГУ. - 2000. - №19.- С.16-22.