Физические основы работы прибора.

В изолированном атоме энергетический спектр электронов дискретный. Заполнение энергетических уровней осуществляется по определенным правилам. При этом в s-состоянии может находиться 2 электрона в p-6, в d-10, f-14 и g-18 электронов. При образовании кристалла в результате химического взаимодействия валентные электроны соседних атомов обобществляются, и дискретные уровни расщепляются в энергетические зоны, которые могут быть заполненными или свободными, в зависимости от заполнения соответствующих атомных уровней.

В кристаллах полупроводников можно выделить 3 энергетических зоны: Валентную зону, полностью заполненную электронами. Запрещенную зону - зону, в которой нет энергетических уровней (в чистом полупроводнике ). Электроны находиться в этой зоне не могут. Зону проводимости, свободную от носителей заряда.

Если электрон из валентной зоны возбуждается в зону проводимости, то в валентной зоне остается его вакансия (дырка), при перемещении которой по кристаллу переносится положительный заряд. Таким образом заряд в кристалле может переноситься электронами, находящимися в зоне проводимости и дырками, находящимися в валентной зоне. В идеальном кристалле, в котором отсутствуют дефекты и посторонние примеси (такой полупроводник называется собственным), количество свободных электронов, электронов в зоне проводимости, (n) равно количеству дырок(p), равно некоторой характеристической величине, которая называется собственной концентрацией

(ni): n=p=ni.

Чем уже запрещенная зона, тем больше в полупроводнике термически возбужденных свободных носителей заряда. Концентрации свободных электронов и дырок в собственном полупроводнике зависят от температуры по экспоненциальному закону.

n=N_c--exp(-(E_c-F)/kT)--

p=N_v--exp(-(F-E_v)/kT)

np=--N_v--N_c--exp(-(E_c-F)/kT)--exp(-(F-E_v)/kT)=--N_v--N_c--exp(-(E_g)/kT)=n_i²

N_c--=2(2pm_n--kT/h²)_--^3/2--

Эффективная плотность состояний в зоне проводимости .

N_v--=2(2pm_p--kT/h²)_--^3/2

Эффективная плотность состояний в валентной зоне .

Где F-энергия уровня Ферми, m_n m_p эффективные массы электрона и дырки соответственно.

Положение уровня Ферми находят из условия электронейтральности для собственного полупроводника т.е.: n=p. Откуда: F=1/2(Ec+Ev)+kT/2ln(m_p/m_n), т.е. при низких температурах уровень Ферми лежит около середины запрещенной зоны и с повышением температуры постепенно смещается к зоне проводимости.

Наличие в кристалле примесей и дефектов приводит к появлению в запрещенной зоне энергетических уровней, положение которых зависит от типа примеси или дефекта.

Так, например, примесные атомы B (3 группа периодической таблицы элементов) в кристалле Si принимают электроны из валентной зоны, что ведет к образованию дырок и возникновению дырочной проводимости (легированный акцепторной примесью материал приобретает проводимость "Р" типа). Атомы P (5 группа) в кристалле Si отдают электроны в зону проводимости, что приводит к возникновению электронной проводимости (легированный донорной примесью материал приобретает проводимость "N" типа).

При ионизации акцепторного атома, он захватывает электрон и заряжается отрицательно, при этом в валентной зоне кристалла появляется свободная дырка. При низких температурах большая часть акцепторной примеси не ионизована и уровень Ферми расположен между потолком валентной зоны и акцепторным уровнем. При повышении температуры число электронов, переходящих из валентной зоны на акцепторный уровень возрастает, соответственно возрастает и концентрация дырок(область 1 на правой верхней диаграмме). При этом уровень Ферми приближается к акцепторному уровню (левая диаграмма). При некоторой температуре вся примесь оказывается ионизованной и концентрация дырок (возникших за счет акцепторов), перестает изменяться (область 2 на диаграмме). Это область истощения акцепторной примеси (уровень Ферми в этой области выше акцепторного уровня). При дальнейшем увеличении температуры, наступает момент, когда концентрация носителей заряда, возникающих при возбуждении электронов из валентной зоны в зону проводимости становится больше концентрации акцепторной примеси и зависимость концентрации дырок от температуры принимает такой же вид, что и в собственном полупроводнике (участок 3), при этом уровень Ферми находится вблизи середины запрещенной зоны.

При ионизации донорного атома, он отдает электрон в зону проводимости и заряжается положительно. При низких температурах большая часть донорной примеси не ионизована и уровень Ферми расположен между дном зоны проводимости и донорным уровнем. При повышении температуры число электронов, переходящих с донорного уровня в зону проводимости возрастает, соответственно возрастает и концентрация свободных электронов (область 1 на правой верхней диаграмме). При этом уровень Ферми приближается к донорному уровню (левая диаграмма). При некоторой температуре вся примесь оказывается ионизованной и концентрация электронов (возникших за счет ионизации доноров), перестает изменяться (область 2 на диаграмме). Это область истощения донорной примеси (уровень Ферми в этой области ниже донорного уровня). При дальнейшем увеличении температуры, наступает момент, когда концентрация электронов, возникающих при их возбуждении из валентной зоны в зону проводимости становится больше концентрации донорной примеси и зависимость концентрации электронов от температуры принимает такой же вид, что и в собственном полупроводнике (участок 3), при этом уровень Ферми находится вблизи середины запрещенной зоны.

Газовые датчики представляют из себя тонкую ( около 80-100 микрон ) полупроводниковую пленку, размещенную на поверхности нагревательного элемента. В отсутствии внешнего загрязнителя проводимость сенсора мала и обусловлена движением только электронов, переброшенных из валентной зоны в зону проводимости (собственная проводимость кристалла ). При адсорбции на поверхности пленки молекул примеси в запрещенной зоне полупроводника образуются дополнительные примесные уровни. Очевидно, что плотность состояний на таком уровне будет прямо пропорциональна количеству примеси, осевшей на поверхности полупроводниковой пленки. Примесная проводимость полупроводника пропорциональна количеству носителей заряда, освободившихся при ионизации примеси. Поэтому примесная проводимость полупроводника пропорциональна количеству осевших на его поверхности атомов примеси. Принцип действия измерителей загрязненности воздуха на полупроводниковых детекторах основан на измерении примесной проводимости датчика.

Количество электронов, выброшенных в зону проводимости с уровня донорной примеси описывается соотношением

n_d=N_d--*--(1+exp(-(E_d-F)/kT))--^?1 (1)

Количество электронов, захваченных акцепторной примесью из валентной зоны описывается соотношением

n_a=N_a--*--(1+exp(-(F-E_a)/kT))--^?1 (2)

В этих формулах N_a и N_d Эффективные плотности состояний атомов донорной и акцепторной примесей, а E_d и E_d их энергетические уровни.

Из формул (1) и (2) видно, что доля ионизированных атомов примеси зависит не только от температуры, но и от положения энергетического уровня примеси в запрещенной зоне. При фиксированной температуре ионизация примеси будет тем меньше, чем ближе ее энергетический уровень к центру заперщенной зоны.

Далее рассматривается задача с малыми концентрациями примесей. В качестве условия малости концентрации выдвигается условие, что эффективные плотности состояний каждой из примесей много меньше эффективных плотностей состояний в валентной зоне и зоне проводимости. Далее рассматриваем задачу с малыми концентрациями примесей. Количество носителей заряда в зоне проводимости полупроводника определяется как сумма носителей заряда, ионизированных с каждого из донорных уровней в отдельности. Таким образом

n_d=SN_dⁱ--*--(1+exp(-(E_dⁱ-F)/kT))--^{?1 -- --}(--3)

Далее концентрации «дырок» в валентной зоне. Можно записать аналогичное соотношение.

n_a=SN_aⁱ--*--(1+exp(-(F-E_aⁱ)/kT))--^{?1 --}(--4)

При записи выражений (3) и (4) не учтено влияние переброса носителей заряда из валентной зоны в зону проводимости. Однако можно показать, что этот вклад много меньше вклада от примесей.

Используя определение проводимости вещества j=????? будем иметь выражение, связывающее проводимость полупроводника с концентрациями носителей заряда в нем.

s=e--n_d--m_d--+e--n_a--m_a ^{-- --}(--5)

Подставляя в (5) выражения для n_d и n_a получаем выражение для ?

s=e--(_--m_d--SN_dⁱ--*--(1+exp(-(E_dⁱ-F)/kT))--^?1+_--m_a--SN_aⁱ--*--(1+exp(-(F-E_aⁱ)/kT))--^?1)

s=--(S--e--m_d--N_dⁱ--*--(1+exp(-(E_dⁱ-F)/kT))--^?1+_--S--e--m_a--N_aⁱ--*--(1+exp(-(F-E_aⁱ)/kT))--^?1)

Обозначая

s_d^i--=e--m_d--N_dⁱ--*--(1+exp(-(E_dⁱ-F)/kT))--^?1

s_aⁱ--=e--m_a--N_aⁱ--*--(1+exp(-(F-E_aⁱ)/kT))--^?1

Преобразуем выражение для ??к виду

s=--Ss_dⁱ--+_--Ss_aⁱ --(--6)

В последнем выражении величины ?_dⁱ и ?_aⁱ являются проводимостями, обусловленными ионизацией i-ой донорной или акцепторной примеси (далее эти величины называются парциальными проводимостями ). Таким образом суммарная проводимость полупроводника рассчитывается как сумма парциальных проводимостей от каждой из примесей.

D=S(F-S--X_iF_i(x_j))²

при дополнительных ограничениях X_i>0.

Для решения этой задачи может применяться симплекс-метод, или другие методы математического программирования.

Достоинствами данного метода являются:

Надежность получения решения. Всегда будет получено какое-либо решение - в крайнем случае решением будет признано начальное приближение.

Возможность возврата в систему для определения концентраций элементов, изъятых на предыдущих шагах.

Недостатками данного метода являются:

Зависимость метода от свойств матрицы M. Корректная работа возможна только в случае положительно определенной матрицы.

Невысокая скорость работы как из-за сложности алгоритма, так и благодаря большому количеству итераций

Возможная зависимость окончательного результата от выбора начального приближения решения. ( в случае, если у невязки имеется более одного минимума в рассматриваемой области)

Сложность алгоритма.

Определение «суммарной концентрации неизвестных веществ» - С=1/N для функции ???????--G(x_j)=(F-S--X_iF_i(x_j))

При разработке прибора проверялась работа алгоритма определения концентраций. В приложении 6 приведены результаты определения концентраций алгоритмами обоих типов. Окончательный выбор был сделан в пользу первого метода определения концентраций как из-за меньшего количества ограничений, налагаемых на исходные данные, так и из-за большей логичности.