Основы динамики

Основные понятия и определения динамики

Динамика - есть часть теоретической механики, в которой рассматриваются движения материальных точек (физических тел) под действием внешних сил, действующих на эти материальные точки (физические тела).

Попытаемся представить динамику материальной точки и системы тел (материальных точек), не разделяя ее на отдельные разделы, в общих теоремах и принципах механики.

Напомним, что в динамике решаются две категории задач:

первая - определение внешних сил, действующих на материальную точку или систему материальных точек при известных массах и законах движения,

вторая (основная задача динамики) - определение законов движения материальных точек при известных внешних силах, действующих на них.

Решение задач проводится в инерциальной системе, т.е. такой системе, в которой справедливы законы Ньютона:

1. Закон инерции: если на точку (тело) не действует сила, то точка (тело) движется прямолинейно и равномерно или находится в покое.

2. Основной закон - второй закон Ньютона -- mа =F.

3. Закон равенства действия и противодействия: две точки (тела) взаимодействуют между собой с силами, равными по величине, расположенными на прямой, соединяющей эти точки (тела), и направлены в противоположные стороны.

4. Закон независимости действия сил: если на материальную точку действуют несколько сил, то ускорение точки (тела) равно геометрической сумме тех ускорений, которые получает точка (тело) от каждой силы в отдельности.

Под материальной точкой понимают такое тело, размеры которого по всем направлениям исчезающе малы, но обладающее конечной массой.

Под механической системой материальных точек (тел) понимается множество материальных точек, связанных между собой так, что движение и положение каждой точки зависят от движения и положения остальных точек.

Рассматривая динамику системы материальных точек (тел), все силы, действующие на систему можно разделить на два класса:

ВНЕШНИЕ (Fе) силы - силы, вызванные действием тел, не входящих в данную систему;

и ВНУТРЕННИЕ (Fi ) силы - силы, с которыми действуют между собой тела (материальные точки), входящие в рассматриваемую систему.

Свойства внутренних сил:

1. Геометрическая сумма (сумма проекций на какую-либо ось) внутренних сил равна, нулю:

2Сумма моментов внутренних сил относительно какого-либо центра равна 0:

Дифференциальные уравнения движения материальной точки и системы

В основе дифференциальных уравнений лежит II закон Ньютона (41), согласно которому, произведение ускорения , с которым движется точка на массу m, равна силе , действующей на нее. Направления и силы совпадают.

Если на материальную точку действуют несколько сил, то в уравнении под символом F следует понимать равнодействующую всех сил и тогда (41) принимает вид:

или же

(42), где

(рис. 51)

Для несвободной точки уравнение (42 ) имеет вид:

,

где -- реакция связи.

Рис. 51.

Уравнение (41) в проекциях на оси координат XOYZ имеет вид:

max = Fx m = Fx

may = Fy или же m = Fy (43)

maz = Fz m = Fz

где ax =d?x/dt? = ay =d?y/dt? = az =d?z/dt?=

Fx Fy Fz - проекции силы F на оси x yz соответственно

В проекциях на естественные оси координат (оси естественного трёхгранника) равенство (41) записывается как:

man = Fn mх?/с =Fn

ma = F или же mdх/dt = F (44)

0 = Fb 0 = Fb

Равенства (43 и 44) носят названия дифференциальных уравнений, описывающих движение материальной точки и позволяют решать обе категории задач динамики точки:

первая - при известных массе и законе движения определить силы, вызывающие данное движение;

вторая - по действующим силам и известной массе определить закон движения

Задача 13.

На тело М веса Р, лежащее на негладкой горизонтальной прямой, действует сила Q, направленная под углом б к горизонту.

Определить закон движения тела, если Q = t

(= const), коэффициент трения f. В начальный момент тело покоилось ( при t =0 =0).

Решение

1 Составляем расчётную схему по условиям задачи:

2. Выбираем оси координат; в произвольном положении на прямой движения разместим рассматриваемое тело и расставим все силы, действующие на данное тело, запишем дифференциальные уравнения движения в выбранной системе координат.

Здесь:

N - реакция связи,

Fтр - сила трения

скольжения

Дифференциальные уравнения движения тела в плоскости XOY имеют вид:

m = Fx

m = Fy

Cпроецируем все силы на оси OX и OY:

Fx = Q cosб - Fтр,

Fy = N - P - Q sinб,

после чего дифференциальные уравнения запишутся в виде:

m = Q cosб - Fтр,

m = N - P - Q sinб

Поскольку движение тела осуществляется только вдоль оси ОХ, то =0, и, следовательно, равенство

0 = N - P -Q sinб

определяет величину силы нормального давления тела на линию движения

N = P + Q sinб.

Так как

Fтр = fN = f (P + Q sinб),

то дифференциальное уравнение движения тела М вдоль оси ОХ принимает вид:

m = Q cosб - f (P + Q sinб) или же

m = Q (cosб - f sinб) - Pf.

Теперь, для определения закона движения необходимо дважды проинтегрировать обе части последнего уравнения, правые части которого зависит только от t, но не зависит от х и х.

Известно, что = dхx / dt, поэтому дифференциальное уравнение представим как

или же

Bзяв неопределённые интегралы от обеих частей последнего равенства

, получим

(45)

Так как хx = dx / dt, то по аналогичным рассуждениям, будем иметь

(46)

где c1 и c2 - произвольные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Начальные условия определяются условиями задачи.

Так, в нашем случае начальные условия запишутся в виде:

t=0 xo=0, xo= хxo=0.

Подставляя начальные условия в уравнения (45,46), отображающие текущие координаты хx и Х, получим равенства:

,

из которых определили с1=0, c2=0.

Следовательно, ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ тела М веса Р по негладкой горизонтальной поверхности под действием силы Q = t имеет вид:

,

где g - ускорение свободного падения тела (Р = mg).

Задача 14

Материальная точка М массы m скользит по горизонтальной плоскости АВ со скоростью хо.

Дойдя до точки В она начинает свободно падать и достигает точки

К горизонтальной плоскости СD, параллельной АВ.

Определить величину скорости хо, с которой точка М должна двигаться, чтобы попасть в точку К, если расстояние между плоскостями АВ и СD равно h (м), а положение т.К от края плоскости АВ задано величиной l (м).

Решение.

Принимая порядок решения предыдущей задачи, будем иметь:

1.

2.

m = Fx

m = Fy где Fx = 0 Fy = P

Дифференциальные уравнения движения точки в выбранных осях координат принимают вид: m = 0

m = P.

Из первого уравнения системы, при условии, что масса точки не равна нулю, определяем, что равна нулю проекция ускорения на ось Х (=dхx/dt=0), а это значит, что

хx = const = c1

Из второго уравнения системы следует, что

= dхy/dt = g,

и, следовательно,

хy = gt + c2,

при условии P=mg;

c1 и c2 - произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, текущие составляющие скорости движения точки М определяются равенствами:

хx = c1

хy = gt + c2

Поскольку

хx = dx/dt, а хy = dy/dt,

то дальнейшее интегрирование последней системы уравнений определяет законы движения точки вдоль осей OX и OY, а именно:

x = c1t + c3

y = gt?/2 + c2·t + c4.

Произвольные интегрирования c1, c2, c3, c4 определим из начальных условий, которые имеют вид:

t = 0 x0 = 0; хxo = хx;

y0 = h; хyo = 0.

Подставляя параметры начальных условий в выражения для хx, хy, X Y получим, что

c1= х0 c2 = 0 c3 = 0 c4 = h

Это даёт возможность определить истинные законы движения точки в данной системе координат:

x = хot

y = gt?/2 + h

Из первого выражения определим требуемую начальную скорость х0, с которой должна двигаться точка М, чтобы попасть в т.К плоскости СD. Однако, вначале следует определить из второго выражения время Т движения точки М до т.К, полагая, что, когда точка М попадёт в т.К, координаты которой y=0 a x=l, то

,

и, следовательно:

(м/с)

Относительное движение точки

Пусть т.М массы m под действием заданной силы движется ОТНОСИТЕЛЬНО неинерциальной системы координат XOYZ. В свою очередь эта система координат движется относительно другой системы координат X1O1Y1Z1, которую будем считать неподвижной.

Согласно II- го закона Ньютона

m =F (47),

где -- абсолютное ускорение точки, т.е. ускорение относительно неподвижной системы координат X1O1Y1Z1

Из кинематики известно, согласно теоремы Кориолиса, что вектор абсолютного ускорения точки определяется уравнением

,

где -- вектор переносного ускорения точки М,

-- вектор относительного ускорения точки (относительно подвижной системы координат XOYZ),

--вектор Кориолисова ускорения точки М.

Подставляя оба ускорения в (47)

m(+ + ) = F,

решим это равенство

m = + ( - m ) + ( - m ) (48)

относительно ускорения

:

Слагаемые ( - m) и ( - m) в (2) носят название переносной и кориолисовой сил инерции точки от переносного и кориолисова ускорений.

Эти силы являются как бы поправками для II-го закона Ньютона в неинерциальной системе движении точки. Проекцируя равенство (48) на подвижную систему координат XOYZ, получим:

m = Fx - maex - makорх

m = Fy- maey - makорy (49)

m = Fz - maez - makорz

Равенства (49) носят название ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ.

Таким образом, дифференциальные уравнения относительного движения составляют точно так же, как и для абсолютного движения, только к активной силе, действующей на точку, следует прибавить силы инерции от переносного и кориолисова ускорений.

Рассмотрим частные случаи:

Подвижная система координат движется поступательно.

При этом

e= 0, ;

Отсюда

m = + ( - m )

Подвижная система координат движется поступательно, прямолинейно и равномерно, т.е. является инерциальной.

При этом

= 0; = 0; тогда m=F.

В этом случае уравнение относительного движения точки точно такое же как и уравнение для абсолютного движения точки.

Колебания

Особую роль в развитии динамики машин играют вопросы колебаний. Основными источниками возбуждения колебаний элементов машин являются инерционные нагрузки, несоосность отверстий валов, упругие силы, подчиняющиеся закону Гука, силы трения и др.

Колебаниям механических систем присущи вибрация и шум, которые по своей сути приводят к разладке механизмов, интенсивному износу деталей, снижают надежность работы машинного парка, а так же ведут к снижению производительности труда оператора и качества продукции.

Наука о вибрациях изучает методы обнаружения, измерения и возможного уменьшения интенсивности колебаний. Она рассматривает с одной стороны вопросы борьбы с вибрациями путем создания виброустойчивых конструкций машин и механизмов, с другой стороны - использование резонансного эффекта вибраций для выполнения различных технологических процессов и создание новых вибрационных механизмов, обладающих требуемым кинематическими характеристиками.

Для получения информации о состоянии машин, того или иного агрегата, вибрации (колебания) играют роль наиболее достоверного средства диагностики, что нередко позволяет избежать аварийных ситуаций.

В настоящем разделе будут рассматриваться гармонические колебания как один из типов периодических колебаний, играющих чрезвычайно важную роль в динамике машин вследствие того, что в колоссальном числе случаев физические системы (машины, агрегаты, звенья, тела) создают колебания, близкие именно к гармоническим, и вместе о тем при внешних на них воздействиях сами отзываются именно на гармонические колебания.

Свободные гармонические колебания точки

Колебательное движение материальной точки происходит при действии на т.М, отклоненную от положения равновесия (покоя) силы, стремящейся вернуть т.М в положение этого равновесия, и такая сила называется восстанавливающей.

Чтобы не учитывать влияние силы тяжести т.М на её движение, предположим, что т.М массы m движется вдоль горизонтальной оси ОХ, под действием силы притяжения, направленной к центру притяжения, модуль которой пропорционален расстоянию Х точки до центра притяжения (т.О). Требуется определить закон движения точки.

Изобразим траекторию движения точки, расставим силы действующие на неё и покажем направление движения точки М вдоль траектории (ось OX) согласно условиям задачи.

Примером линейной восстанавливающей силы может служить сила упругости пружины или упругая сила, подчиняющаяся закону Гука, и согласно условиям сила F= сx, где с - заданный постоянный коэффициент пропорциональности. При этом точка весом Р, лежащая на гладкой горизонтальной плоскости, может быть соединена с недеформированной пружиной, другой конец пружины закреплен в т.О. В таком случае, приложенные к материальной точке М силы Р и N, взаимно уравновешены. И в случае отклонения точки от равновесного её положения, на точку будет действовать, наряду с силами Р и N, сила упругости(восстанавливающая сила) пружины F.

Так как для любого положения т.М на линии ОХ восстанавливающая сила F направлена в противоположную сторону смещения, то проекция силы F на. ось ОХ имеет знак минус "-", т.е. Fx = - сx.

Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки под действием силы притяжения (восстанавливающей силы) имеет вид:

m= Fx, или же

(50)

Обозначив с/m = n?, приводим уравнение (1) к виду

+ n?x = 0,

решение которого ищем в виде: x = eлt (51),

поскольку такая функция имеет свойства, присущие гармоническим колебаниям:

- область существования (-; + );

- область изменения ( 0; + );

- не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значений;

- не является ни четной, ни нечетной;

возрастает на всей области существования.

Производные уравнения (51) принимают выражения

= л eлt, = л2 eлt,

подставив которые в (50), получим характеристическое уравнение в виде двучленного уравнения:

л2 + n2 = 0,

корни которого есть

л1 = + in, л2 = - in

Согласно теории дифференциальных уравнений общее решение уравнения (50) имеет вид:

x = c1 x 1 + c2 x 2

или же x = с1еint + c2e-int ( 52 ),

здесь c1, c2 - произвольные постоянные интегрирования.

Используя формулу Эйлера для представления показательной функции в тригонометрической форме, уравнение (52) можно записать как:

Х = c1(cos(nt) + i sin(nt)) + c2(cos(nt) - i sin(nt))

или же X =( c1 + c2)cos(nt) + i(c1 - c2)sin(nt).

Если вместо постоянных интегрирования c1 и c2 ввести постоянные А и б такие, что

c1+ c2 = A sinб, i(c1 - c2) = A cosб,

то можно получить другой вид решения уравнения (50), которое более удобно для общих исследований свободных гармонических колебаний

Х = Asinб сos(nt) + Acosб sin(nt)

и окончательно X = Asin(nt + б)

В этом уравнении наибольшее отклонение точки будет наблюдаться в случае, когда будет выполняться условие

sin(nt +б) = 1,

и смещение точки x примет значение амплитуды. А здесь

(nt + б) - фаза колебаний;

б - определяет фазу начала колебаний;

n - частота колебаний.

Поскольку материальная точка М движется около равновесного положения по закону синуса (sin), то её движение будет периодическим, и период Т колебаний определится как Т = 2р/n, потому что равенство:

sin(nt + б) = sin(n(t+T) + б)

будет иметь место (выполняться) в случае, когда 2 р = nТ; для любого целого числа n синус (sin) угла

(б + 2 рk) = б.

Т - промежуток времени, в течение которого точка совершает ОДНО полное колебание - носит название ПЕРИОДа колебаний.

Фаза

ц = nt + б

- определяет положение точки и направление её движения.

Важным выводом для свободных гармонических колебаний является факт, что частота и период этого вида колебаний зависят лишь от массы точки (тела) и от коэффициента с, характеризующего восстанавливающую силу, и не зависят от начальных условий движения.

Задача 15.

При равномерном спуске кабины грузового лифта массы М =2 тонны, произошла неожиданная задержка верхнего конца троса, которым опускалась кабина грузового лифта, из-за защемления троса на обойме блока. Пренебрегая массой троса, определить его наибольшее натяжение при последующих колебаниях кабины лифта, если коэффициент жесткости троса равен

С = 4?106 Н/м.

Решение.

1. При равномерном спуске кабины лифта (а=0), имеет место равенство:

0 = Т - Р,

откуда Т = Р = c лCT.

2. В момент защемления троса кабина лифта будет двигаться вниз и удлинение троса определится как лCT+х. Сила натяжения троса, как упругая сила, запишется в виде:

Т = c(лCT+х) (53)

3. В момент защемления троса движение кабины лифта на вертикальной оси Х будет определяться дифференциальным уравнением:

m= Р - Т = cлCT - c(лCT+х) = - cх

После преобразования данного уравнения, оно приводится к виду:

+ n?х = 0 (54),

здесь n? =с/m.

Решение уравнения (54) имеет вид:

x = c1 cos(nt) + c2sin(nt) (55)

Для определения произвольных интегрирования c1 и c2, продифференцируем уравнение (55):

= c1n sin(nt) + c2n сos(nt),

= c1n2 cos(nt) - c2 n2 sin(nt) (56).

Подставим начальные условия

t=0 = 0 = 5 м/с,

в систему уравнений (56), определим, что

c1 = 0, c2 = 0 /n.

После подстановки произвольных постоянных интегрирования c1, c2 в уравнение (55), закон движения кабины грузового лифта на тросе в момент защемления последнего запишется:

х =0/n · sin(nt),

здесь 0 /n = хmax и является амплитудой гармонических колебаний.

Максимальное натяжение троса определится, если в равенство (53) вместо текущего параметра смещения кабины относительно ее равновесного положения х подставить хmax и при условии, что сила тяжести Р будут представлена в виде Р = с лCT:

Тmax= с (лCT + xmax) = Р + c0 /n,

Здесь

.

кгс.

Затухающие гармонические колебания материальной точки

Пусть точка массой m движется вдоль оси ОХ, причем на эту точку действует притягивающая сила, направленная к центру О и пропорциональная расстоянию (F = сх), где с - заданный коэффициент пропорциональности). Будем считать, что точка при этом движется в сопротивляющейся среде так, что сила сопротивления, действующая на точку, пропорциональна первой степени скорости точки:

Q = 2 mb = 2 mb,

где m-- масса точки, b - коэффициент пропорциональности.

Требуется определить закон движения точки.

Покажем траекторию движения точки, все силы, действующую на точку, и запишем дифференциальное уравнение движения точки m.

Дифференциальное уравнение движения точки:

m = F Q

или же

m = сх 2mb

После преобразований

+ 2b+ c/m х = 0

и замены c/m = n2, дифференциальное уравнение принимает вид

+ 2b+ n2х =0 (57).

Решение данного уравнения будем искать в виде:

х = eлt, тогда = л eлt, =лІ eлt.

Подставив эти выражения в дифференциальное уравнение (57), получим:

лІ eлt + 2bл eлt +n? eлt = 0

или же

лІ + 2bл + n? = 0.

Таким образам, для определения л получили характеристическое уравнение, корни которого определяются как

.

Предположим, что коэффициент вязкого трения мал ( b<n ), тогда

.

Далее, положим в данном равенстве

, а

-мнимое число, в этом случае корни уравнения будут определяться равенствами

л1 = b + i,

л2 = b - i.

Подставляя корни уравнения в равенство х = eлt, получим следующих два частных решения дифференциального уравнения (57):

x1 = e(-b+i)t = e-bt eit,

x2 = e(-b - i)t = e-bt e-it.

Общее решение дифференциального уравнения (57), как известно, определится уравнением вида:

x = c1 х1 + c2 х2

или же с учетом выражений x1 и x2 и последующих преобразований, как

х = e-bt (c1eit + c2 e-it) (58),

где c1 и c2- произвольные постоянные интегрирования.

Заменим стоящие в скобках произвольные интегрирования на новые произвольные интегрирования А и б так, что

c1 eit + c2 e-it = Asin(t + б),

после чего равенство (58) принимает вид:

х = А e-bt sin(t+б).

Приняв

µ = А e-bt

в последнем равенстве, получим закон движения точки в сопротивляющейся среде

х = µ sin(t+б).

Равенство показывает, что точка будет совершать гармонические колебания по закону синусов (sin), причем амплитуда колебаний µ убывает с течением времени (при t > ? м> 0).

Такое движение называется ЗАТУХАЮЩИМ ГАРМОНИЧЕСКИМ КОЛЕБАНИЕМ ТОЧКИ.

Как изменяется амплитуда затухающих колебаний с течением времени?

t0 = 0 > м0 = А,

t1 = Т/2 > м1 = А e-bT/2,

t2= Т > м2= А e-bt,

Полученные равенства показывают, что амплитуда колебания изменяется по закону убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой e-bT/2 носит название декремента затухания, а степень -bТ/2 - логарифмического декремента затухания.

Задача 16.

Шарик М массы m находится в нижнем положении трубки, изо- гнутой по окружности радиуса r. В начальный момент шарику была сообщена скорость 0, направленная по касательной вправо. При движении шарик испытывает силу сопротивления, пропорциональную первой степени скорости так, что R = 4m.

Определить закон движения шарика по этой окружности, т.е. определить длину дуги окружности в функции времени.

Решение.

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) для условий данной задачи запишется как:

В проекции на направление движения шарика (на ось ф) это уравнение примет вид

mа = - Р sinц - R

или же ma + mg sinц + 4 mх = 0.

После сокращения на m и замены

а= d/dt., где = ds/dt = s,

дифференциальное уравнение движения шарика приводим к виду

+ 4 + g sinц = 0.

Полагая, что шарик М совершает малые колебания около равновеcного положения, можно принять sinц = ц, при этом из чертежа видно, что расстояние s определяется равенством s = r•ц, откуда ц = s/r и окончательно дифференциальное уравнение движение шарика можно записать как

+ 4 + gs/r = 0.

Для определения s в функции времени, следует данное уравнение проинтегрировать. Примем радиус кривизны трубки r = 49 см.

Решение уравнения будем искать в виде s = eлt,что позволяет от дифференциального уравнения перейти к линейному уравнению второго порядка:

л2 +4 л + 20 = 0,

корни которого:

дают частное решение дифференциального уравнения:

s1= e-2t ei4t; s2= e-2t e-i4t.

Общее решение дифференциального уравнения будет:

s = c1s1 + c2s2

здесь c1 и c2 - произвольные постоянные интегрирования, или же:

s = e-2t (с1ei4t + c2e-i4t).

После замены произвольных интегрирования c1 и c2 на новые произвольные интегрирования А и б будем иметь:

s = e-2t А sin(4t+б) (59).

Для определения произвольных интегрирования А и б продифференцируем равенство (59):

= -2 e-2t A sin(4t+б) + 4 e-2t A cos(4t+б) (60),

после чего подставим в равенства (59,60) начальные условия

при

t=0 > s=0, = 0

Равенство (59): 0 = A sinб, sinб = 0, б = 0;

равенство (60): 0 = - 2 A sinб + 4 A cosб, 0=4 A, A = 0/4 = 5

Окончательно, закон движения шарика в сопротивляющейся среде имеет вид

s = 5 е-2t sin(4t).

Задача 17.

Груз Q, падая с высоты h = 1м без начальной скорости, ударяется об упругую горизонтальную балку в её середине; концы балки защемлены. Написать уравнение дальнейшего движения груза на балке, отнеся движение к её оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия груза на балке, если статический прогиб балки в её середине при указанной нагрузке равен 0.5 м; массой балки пренебречь.

Решение.

Покажем схему движения груза Q, совместно с балкой "до" и "после" статического равновесия:

Дифференциальное уравнение движения груза на горизонтальной упругой балке имеет вид:

mх = Q- Fупр

здесь Fупр= c (лcт + х).

Для условия статического равновесного состояния груза и балки имеет место равенство

Q = Fупр= слст откуда с = Q / лст = Q / 0.5 = 2Q.

С учетом указанных выше условий, уравнение (60) приводится к виду

mх = - сх

и далее преобразовывается в дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

х + n2 х = 0 (60),

где n2 = c/m.

Решением уравнения (62) является равенство:

х = c1cos(nt) + c2 sin(nt)

или же х = c1 cos+ c2 sin (63)

Для определения произвольных постоянных интегрирования c1 и c2, продифференцируем равенство (63):

(64),

после чего подставим значения начальных условий:

t=0 x0 = - лcт= - 0.5 cm

 x0= 0 =

в уравнения (63 и 64):

x0 = c1•1+ c2•0 > c1= - лст,

x0 = 0 + c2 > c2 = 0 / = 10 cм

После подстановки произвольных постоянных интегрирования в равенство (63), закон движения груза Q на упругой балке описывается уравнением:

х = - лст cos() + 10 sin()

или же

х = 10 sin() - 0.5 соs() см.

Вынужденные колебания точки

Рассмотрим вынужденные колебания точки при действии на неё силы, меняющейся по закону Q*sin(pt), совпадающей с направлением движения точки, и сил упругости (Fупр = cx) и сопротивления движению (Fсопр=2bmх), направленных в противоположную сторону смещения точки.

Требуется определить закон движения точки.

Дифференциальное уравнение движения точки запишется в виде

m х = - Fупр- Fсопр +Q*sin(pt)

или же m х + 2mbх + cx = Q*sin(pt)

Решением данного уравнения (64) является:

х = x1 + x2,

где x1 - есть общее решение уравнения вида:

mх1+ 2mbx1 + cх1 = 0 (64),

a x2 - есть частное решение уравнения вида

m х2+ 2mbx2+ cх2= Q*sin(pt)

которое перепишем в виде

x2+ 2 b x2+ n?х2 = Q sin(pt) (65).

Общее решение уравнения (64), как известно, имеет вид

x1 = А e-bt sin(щt+б)

где с ростом времени t амплитуда колебаний (А e-bt) убывает, при этом

щ2 = n2 - b2 (в случае n > b), и n2 =с/m.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (65), решение которого будем искать в виде:

x2= В sin(рt+),

где соответственно

= Вp cos(рt+),

= - Вp2 sin(рt+).

Подставив данные выражения в уравнение (65), преобразуем его к виду:

-Вp?sin(pt+) + 2Вpbcos(pt+) + n?вsin(pt+) = Q sin(pt) (66),

полагая, что

(pt+) = ц

и, следовательно,

pt = (ц-),

равенство (66) представим как

-BpІsin(ц) + 2Bpbcos(ц) + nІBsin(ц) = Qcos()sin(ц)-Qsin()cos(ц)

Данное равенство будет иметь место в случае равенства коэффициентов при одинаковых тригонометрических функциях sin и cos, т.е. когда

B(n2-p2) = Q cos() (67),

2Bpb = - Q sin() (68).

Для определения произвольных постоянных интегрирования В и поступим следующим образом:

возведем в квадрат обе части уравнений (67,68) и затем их суммируем, при этом получим

(69)

разделим (68) на (67), тогда

(70)

И окончательно, с условиями (69, 70) частным решением уравнения (65) будет

Полным решением дифференциального уравнения движения точки при действии на нее сил упругости, сопротивления и возбуждающей силы будет решение вида

.

В случае, если на материальную точку будут действовать только упругая сила (F = cх) и возбуждающая сила ( Q*sin(pt)), то уравнение движения преобразится к виду

,

поскольку в этом случае b=0, щ=n,

, > =0.

Поскольку произвольные постоянные интегрирования А и б могут принимать любые значения, то очевидно, возможен случай, когда

, а б = 0.

В этом случае уравнением движения точки будет уравнение вида:

или же



являющееся решением уравнения

х+ n?x = Qsin(pt),

где n - частота собственных колебаний;

р - частота возбуждающая.

В случае совпадения частот (n = р) имеет место проявления резонанса, явления, при котором резко возрастают амплитуды колебаний. Решение (71) принимает вид неопределенности типа х= 0/0 для уравнения движения:

x + р?х = Qsin(pt) (72).

Чтобы получить частное решение последнего уравнения, рассмотрим условие, при котором частоты n и р близки между собой, т.е. n =р +?р; в этом случае равенство (71) преобразуется к виду:

и

перейдя к пределу при ?р > 0, получим частное решение уравнения (72)

Полным решением уравнения (72) будет уравнение

х = A sin(pt+б) - Qt ? cos(pt) / 2p,

где Qt/2p - есть амплитуда вынужденных колебаний точки (тела).

Для изучения движения СИСТЕМЫ материальных точек (тел), воспользуемся принципом освобождаемости, выделив из системы точек (тел) К-ю точку, заменив связи между точками (телами) их реакциями. При этом дифференциальное уравнение движения К-ой точки запишется в виде:

(73),

здесь и являются равнодействующими всех внешних и внутренних сил, приложенных к К-ой точке.

Естественно, что количество таких равенств (73) будет зависеть от количества n точек (тел), образующих рассматриваемую систему (К =1,2,3,..... n), т.е. рассматривая каждую точку системы как свободную и применяя к каждой из них второй закон Ньютона, будем иметь:

(74)

Равенства (74) носят название ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ. Прямыми следствиями уравнений (74) и II закона Ньютона являются общие теоремы динамики, которые дают конкретную СВЯЗЬ между КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ точки (системы) и СИЛАМИ, действующими на материальную точку или систему материальных точек (тел).

Общие теоремы (некоторые сведения)

Теорема ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Для т.М массы m, движущейся по траектории АВ, имеем:

mа = R (75),

здесь R -- равнодействующая всех внешних сил,

.

При векторном способе задания движения материальной точки (a = dх / dt ) равенство ( 75) принимает вид:

или же при m = const

(76).

Вектор m носит название КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ материальной точки.

Чтобы получить интегральную форму равенства (76), разделим в нем переменные и затем полученное соотношение проинтегрируем

(77).

После подстановки в (77) границ интегрирования, т.е. рассмотрения движения материальной точки на конечном промежутке времени при изменении скорости движения от х0 до х1, получим:

(78)

Правая часть равенства (78) носит название импульса силы за промежуток времени от 0 до t. Равенства (76) и (77) представляют рассматриваемую теорему в векторной дифференциальной и интегральной формах:

ИЗЕНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ЗА КОНЕЧНЫЙ ПРОМЕЖУТОК ВРЕМЕНИ РАВНО ИМПУЛЬСУ СИЛЫ, ПРИЛОЖЕННОЙ К ТОЧКЕ, ЗА ТОТ ЖЕ ПРОМЕЖУТОК ВРЕМЕНИ.

Данная теорема в скалярной форме в общем виде (при произвольном движении точки) имеет вид:

Пусть теперъ мы имеем имеем СИСТЕМУ материальных точек с массами m1, т2,...тn,, которая движется относительно неподвижной системы координат XOY. Тогда для каждой точки системы имеем:

Полагая, что

,

mk = const, можем записать:

 (79)

Просуммируем левые и правые части равенств (79) соответственно и вынесем знак производной за знак суммы:

(80)

Принимаем, что:

-- ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР ВСЕХ ВНЕШНИХ СИЛ, действующих на систему;

-- ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ.

По свойству внутренних сил:



Согласно последнему, равенство (80) трансформируется к виду:

(81),

которое и представляет теорему об изменении количества движения системы:

ПРОИЗВОДНАЯ ПО ВРЕМЕНИ ОТ ГЛАВНОГО ВЕКТОРА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ РАВНА ГЛАВНОМУ ВЕКТОРУ ВСЕХ ВНЕШНИХ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СИСТЕМУ.

Запишем равенство (81) в проекциях на оси координат XOYZ.

Полученная система уравнений выражает теорему в скалярной форме:

производная по времени проекции главного вектора количества движения на какую - либо ось равна проекции главного вектора внешних сил на ту же ось.

Теорема О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

Воспользуемся равенством (81)

,

где ;

приняв

и полагая mk = const, получим:

(82)

Полагая, что ,

Где

-- масса всей системы; -- радиус-вектор, определяющий положение центра масс системы последнее равенство ( 82 ) можно записать в виде:



где хс - скорость центра масс системы; или же

(83)

ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ РАВЕН ГЛАВНОМУ ВЕКТОРУ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЙ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ, В КОТОРОМ СОСРЕДОТОЧЕНА ВСЯ МАССА СИСТЕМЫ.

Подставив равенство ( 83) в ( 81 ), получим

.

Т.к.

-- ускорение центра масс системы, равенcтво (81) принимает вид:

M aс=Re (9)

ЦЕНТР МАСС СИСТЕМЫ ДВИЖЕТСЯ КАК МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА,МАССА КОТОРОЙ РАВНА МАССЕ ВСЕЙ СИСТЕМЫ И НА КОТОРУЮ ДЕЙСТВУЕТ ГЛАВНЫЙ ВЕКТОРВНЕШНИХ СИЛ.

В проекциях на оси координат равенство ( 84 ) эквивалентно трём скалярным:

 (85)

Поскольку в равенствах (84,85) в правую часть не входят внутренние силы, то следует:

1. что внутренние силы непосредственно не влияют на движение центра масс системы, и, значит, за счет действия только внутренних сил нельзя вывести из равновесия центр масс системы;

2. если главный вектор всех внешних сил Re действующих на систему, равен нулю, то центр масс материальной системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно;

если какая - либо проекция главного вектора всех внешних сил системы на неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центрa масс системы на эту же ось не изменяется.

Теорема ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Для материальной точки имеем:

Умножим последнее равенство на r векторно слева:

( 86)

Здесь

-- вектор момента силы относительно неподвижного центра О (центра системы координат XOYZ).

Преобразуем левую часть равенства (86):

.

Поскольку

,

то

(векторное произведение параллельных векторов х и mх равно нулю), а поэтому:

.

На основании вышеизложенного в целом равенство (86) принимает вид:

.

Т.к. ,

то окончательно имеем:

. (87)

Здесь уравнение (87) представляет запись теоремы в векторной и дифференциальной форме: ПРОИЗВОДНАЯ ПО ВРЕМЕНИ ОТ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО КАКОГО-ЛИБО ЦЕНТРА РАВНА МОМЕНТУ СИЛЫ, ПРИЛОЖЕННОЙ К ТОЧКЕ, ОТНОСИТЕЛЬНО ТОГО ЖЕ ЦЕНТРА.

В скалярной форме теорема записывается в виде:

Покажем направления составляющих равенств (87) на рисунке 52

Рис.52

плоскости , плоскости .

Рассматривая движение системы материальных точек с массами m1, m2,...mn относительно XOYZ cо скоростями х1,х2..... хn будем иметь систему уравнений вида:

, (88)

где k = 1, 2, 3,……, n

Суммируя левые и правые части таких равенств почленно, вынося знак производной за знак суммы и отбрасывая индекс "к?, будем иметь:

(89)

=

- кинетический момент системы относительно центра О;

=

главный момент всех внешних сил относительно того же центра О;

= 0 - по свойству внутренних сил.

Равенство (89) в связи с этим принимает вид;

(90)

и представляет собой теорему об изменении кинетического момента в векторной и дифференциальной форме: ПРОИЗВОДНАЯ ПО ВРЕМЕНИ ОТ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕКОТОРОГО НЕПОДВИЖНОГО ЦЕНТРА О РАВНА ГЛАВНОМУ МОМЕНТУ ВСЕХ ВНЕШНИХ СИЛ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОГО ЖЕ ЦЕНТРА.

Равенству (90) тождественны три скалярных уравнения:

производная по времени от кинетического момента относительно какой-либо оси равна главному моменту внешних сил относительно той же оси.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Z.

Для определения кинетического момента Кz представим рассматриваемое тело состоящим из нескольких частиц с массами m1, m2,...mn. Расстояния от частиц до оси Z обозначим через h1, h2,.... hn. При вращении тела рассматриваемые частицы будут двигаться по окружностям с радиусами h1, h2,....hn соответственно.

Рассмотрим К-ую точку с mk, k, mk, hk. (рис.53).



рис.53

, (91)

, m0(mk) = mk?хkhk, где хk =щh k и,

тогда m0(mk) = щ h?k mk.

Таких равенств будет n. Cкладывая эти равенства почленно, получим КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ твердого тела относительно оси Z

Кz = щ ? mh?,

Здесь ? mh? - сумма произведения маcc каждой частицы твердого тела на квадрат расстояния этих частиц до оси Z носит название МОМЕНТА НЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ Z, обозначается Jz, cледовательно:

Jz = ? mh? и окончательно Kz = щ Jz.

Таким образом, КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ТВЁРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ PАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ НА МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ЕГО ОТНОСИТЕЛЬНО ЭТОЙ ОСИ.

Подставляя выражение для Кz в последнее равенство (91), получим:

Для абсолютно твердого тела Jz = const, поэтому этот множитель можно вынести за знак производной:

, полагая что , получим:

Jzц = Lez или же ц = Lez / Jz (92)

ц = Lez / Jz

-- при одном и том же значении Lze угловое ускорение тела обратно пропорционально Jz.

Чем больше Jz, тем меньше мы можем сообщить телу угловое ускорение ;

отсюда следует, что Jz есть мера инерции тела при его вращательном движении.

Равенсво (92) является ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ВРАЩЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ.

В частности, если Lze=0, то в равенстве (92):

,

в связи с чем Jz=const (93)

Равенство (93) выражает ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ, т.е. при вращении твердого тела относительно неподвижной оси произведение (Jz) остается постоянным.

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Согласно 2-го закона Ньютона вектор ускорения а и вектор внешних сил F направлены вдоль одной линии.

Запишем равенство m =F в проекции на ось :

mа =F (94)

Т.к. а = d/dt, равенство (94) примет вид:

m d / dt = F или m d =F dt (95)

Умножим равенство (95) на :

m d = F dtили жеm d = F ds,

гдеds = dt.

При условии, что масса точкиm = const,и полагая, что

окончательно равенство (94) преобразуется к виду:

где F d = dA - элементарная работа равнодействующей внешних сил.

Половина произведения массы точки на квадрат её скорости ( m 2 /2) носит название кинетической энергией точки.

Уравнение (96) даёт связь между кинетической энергией и элементарной работой:

ДИФФЕРЕНЦИАЛ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ РАВЕН ЭЛЕМЕНТАРНОЙ РАБО-

ТЕ ВСЕХ ДЕЙСТВУЮЩИХ НА МАТЕРИАЛЬНУЮ ТОЧКУ СИЛ.

Равенство выражает ту же теорему, но в конечном виде: ИЗМЕНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ТОЧКИ НА КАКОМ-ЛИБО ПУТИ РАВНО РАБОТЕ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ТОЧКУ, НА ТОМ ЖЕ ПУТИ.

Задача 18.

Лыжник при прыжке с трамплина спускается с эстакады АВ, наклонённой под углом к горизонту. Перед отрывом он проходит небольшую горизонтальную площадку ВС, длиной которой при расчёте пренебрегаем. В момент отрыва лыжник толчком сообщает себе вертикальную составляющую скорости y= 1 м/с. Высота эстакады h = 9 м, коэффициент трения лыж о снег f = 0.08, линия приземления СD образует угол = 45 с горизонтом. Требуется определить дальность (l) полёта лыжника, пренебрегая сопротивлением воздуха и длиной отрезка ВС.

Решение задачи представим в два этапа: участки АВ и СD.

Участок АВ. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии точки, согласовав её с условием задачи



гдеА - работа (Аp) силы тяжести (Р ) и (АF) силы трения (Fтр):

Аp = Ph = m g h,

и тогда A= m g ( h - 18 f cos30 ).

Поскольку движение лыжника начинается со скоростью А = 0, то выражение теоремы принимает вид:

откуда и определяется скорость лыжника в конце участка АB

Участок СD. На этом участке движение лыжника осуществляется по криволинейной траектории в плоскости XOY. Расcтавим действующие на лыжника, как на движущуюся материальную точку, все внешние силы. Поскольку сопрoтивлением воздуха по условию можно пренебречь, то на точку будет действовать лишь сила тяжести Р. Запишем дифференциальные уравнения движения точки по криволинейной траектории в плоскости ХОУ:

откуда получаем, что

или же x = C1, y = - g t + C2.

Полагая, что

x = dX / dt, а y = dY / dt

после интегрирования вышеназванных равенств, получим закон движения материальной точки в проекциях на оси ОХ и ОУ:

X = C1 t + C3, Y = - g t 2 /2 + C2 t + C4,

где С 1, С2, С3, С4 - произвольные постоянные интегрирования определяются из начальных условий:

t = 0,

Подставляя параметры начальных условий в законы изменения скоростей и координат движущейся материальной точки (лыжника), получаем выражения для произвольных интегрирования:

С1 = B, С3 = 0, С2 = y, С4 = 0,

и, следовательно, законы изменения координат лыжника в плоской системе координат

принимают вид:

Х = В t,

Y = - g t 2 / 2 + y t (*).

Имея в виду, что длина полёта лыжника l в проекциях на оси координат есть

Х = l cos 45,

Y = l sin 45,

при t =B / Х, после совместного решения равенств (*) относительно l, будем иметь: