Решения Яблонского С1,С4,К3

Расчет статически неопределимых стержневых систем

Стержень АС абсолютно жесткий, стержни 1и 2 - упругие. Стержень 2 оказался короче проектного размера на ?_T2.

Стержень 2 нагревают на ?t₂ и присоединяют в шарнире В к недеформируемому стержню АС и образуют цельную конструкцию.

Исходные данные

Стержень 1

Стержень2

P, кН

F1/F2

Материал

L1, м

?t1, С0

Е1, МПа

б, 1/С0

[у]1, МПа

Материал

L2, м

?t2, С0

Е2, МПа

б, 1/С0

[у]2, МПа

Сталь

1.1

60

2*105

12*10-6

200

Медь

2.1

10

1*105

17*10-6

50

50

0.5

В схемах с температурным воздействием или монтажным зазором определить напряжения в стержнях, приняв F₁ = 5 см².

При решении поставленной задачи необходимо рассмотреть несколько сторон задачи.

1. Статическая сторона задачи

После сборки конструкция будет представлять единое целое. Так как определение опорных реакций R_BX и R_BY не требуется, то наиболее подходящим является составить уравнения равновесия стержня AВС в виде суммы моментов всех приложенных к стержню AВС сил и реакций опор, относительно точки В.

Усилия N_X1 и N_X2 направляем, предполагая, что оба они являются растягивающими.

N_X2*a + N_X1*2a - Р*а= 0;

N_X2 + 2*N_X1 = Р;

2. Геометрическая сторона задачи

Рассмотрим конструкцию в деформированном состоянии. Перемещение v_C равно удлинению ?l₁ от искомого усилия N_X1: v_C = ?l₁. Перемещение v_В равно сумме удлинения ?l₂ от искомого усилия N_X2 и удлинения ?l_T2 от температурного расширения: v_A = ?l₂ + ?l_t2. Таким образом: v_В/a = v_C/2a. Получим условие совместимости деформации: v_С = 2v_В.

2*(?l₂ + ?l_t2) = ?l₁; 2*?l₂ - ?l₁ = - 2?l_t1.

3. Физическая сторона задачи

Выразим удлинения ?l₁ и ?l₂ с помощью закона Гука, а температурное удлинение ?t₂ - с помощью закона теплового расширения материала.

?l₁ = N_X1*l₁/E₁*F₁, ?l₂ = N_X2*l₂/E₂*F₂, ?t₂ = б₂l₂?t_2,

Е₁ и Е₂ - модули упругости материалов; б₂ - коэффициент температурного расширения материала; а ?t₂ - заданное изменение температуры стержня 2.

Синтез.

Объединив уравнения получим:

Введем жесткости стержней k₁ = E₁F₁/l₁; k₂ = E₂F₂/l₂ и преобразуем предыдущее уравнение к виду:

- N_X1 + 2k N_X2 = -2*k₁(б₂l₂?t₂).

k = E₁F₁l₂/ E₂F₂l₁ - отношение жесткостей стержней 1 и 2.

Получим полную систему двух уравнений с двумя неизвестными усилиями N_X1 и N_X2:

N_X2 = Р - 2*N_X1;

- N_X1 + 2k*(Р - 2*N_X1) = - 2k₁(б₂l₂?t₂).

Решая систему, найдем искомые усилия:

;

Видно, что усилия N_X1 и N_X2 зависят от отношения жесткостей стержней k, что особенно проявляется при действии силовой нагрузки.

Подбор сечений стержней

Составим условия прочности стержней

;

Подставим значения в уравнения N_X1 и N_X2.

;

Выразим значение F₁ и F₂ из полученных выражений:

; ;

При упрощении выражения получим следующее:

; () = 17*10^-6*2.1*10³*10 = 0.357

; F₂ = 5.9 см²

; F₁ = 8 cм²

Окончательно принимаем F₁ = 8 cм², а F₂ = 4 см².

Исходные данные

Стержень 1

Стержень2

P, кН

F1/F2

Материал

L1, м

?t1, С0

Е1, МПа

б, 1/С0

[у]1, МПа

Материал

L2, м

?t2, С0

Е2, МПа

б, 1/С0

[у]2, МПа

Сталь

1.7

40

2*105

12*10-6

200

Медь

2.7

10

1*105

17*10-6

50

30

0.5

В схемах с температурным воздействием или монтажным зазором определить напряжения в стержнях, приняв F₁ = 5 см².

При решении поставленной задачи необходимо рассмотреть несколько сторон задачи.

1. Статическая сторона задачи

После сборки конструкция будет представлять единое целое. Наиболее подходящим является составить уравнения равновесия стержня AВС в виде суммы моментов всех приложенных к стержню AС сил и реакций опор, относительно точки А.

Усилия N_X1 и N_X2 направляем, предполагая, что оба они являются растягивающими.

P*a - N_X1*a - N_X2*2a = 0;

N_X1 + 2*N_X2 = Р;

2. Геометрическая сторона задачи

Рассмотрим конструкцию в деформированном состоянии. Перемещение v_C равно удлинению ?l₂ от искомого усилия N_X2: v_C = ?l₂. Перемещение v_В равно сумме удлинения ?l₁ от искомого усилия N_X1: v_B = ?l₁. Таким образом: v_В/a = v_C/2a. Получим условие совместимости деформации: v_С = 2v_В.

2*?l₁ = ?l₂;

2. Физическая сторона задачи

Выразим удлинения ?l₁ и ?l₂ с помощью закона Гука.

?l₁ = N_X1*l₁/E₁*F₁, ?l₂ = N_X2*l₂/E₂*F₂. Е₁ и Е₂ - модули упругости материалов.

Синтез.

Объединив уравнения получим:

Введем жесткости стержней k₁ = E₁F₁/l₁; k₂ = E₂F₂/l₂ и преобразуем предыдущее уравнение к виду:

2N_X1 = k N_X2.

k = E₁F₁l₂/ E₂F₂l₁ - отношение жесткостей стержней 1 и 2.

Получим полную систему двух уравнений с двумя неизвестными усилиями N_X1 и N_X2:

N_X1 = Р - 2*N_X2;

kN_X2 = 2(Р - 2*N_X2).

Решая систему, найдем искомые усилия:

;

Видно, что усилия N_X1 и N_X2 зависят от отношения жесткостей стержней k, что особенно проявляется при действии силовой нагрузки.

Подбор сечений стержней

Составим условия прочности стержней

;

Подставим значения в уравнения N_X1 и N_X2.

;

Выразим значение F₁ и F₂ из полученных выражений:

; ;

При упрощении выражения получим следующее:

;

; F₂ = 18.4 см²

; F₁ = 5.8 cм²

Окончательно принимаем F₁ = 9.2 cм², а F₂ = 18.4 см².

Недонапряжение в стержне 2 составляет:

Задание С.1. Определение реакций опор твердого тела.

Определить реакции опор для того способа закрепления бруса, при котором реакция М_А имеет наименьший модуль.

Номер варианта	Р, кН	М, кН*м	q, кН/м	Исследуемая реакция
6	6	2	1	МА

Решение.

Действие связей на конструкцию заменяем их реакциями. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем равнодействующей: Q = q*4 = 4 кН.

Чтобы выяснить, в каком случае момент в заделке является наименьшим, найдем его для всех трех схем, не определяя остальные реакции.

Значение распределенной силы Q инверсивно углу наклона стержня приложенного, значение которого определяем из значения тангенса: tg = 4, = 76⁰; tg = 0.25, = 14⁰.

Для схемы а:

М_А - M - 2*P - 2*Q*cos = 0;

M_A = M + 2*P + 2*Q*cos = 21.76 кН*м;

Для схемы б:

М_А^! - M - 2*P + 2*Q*cos = 0;

M_A^! = M + 2*P - 2*Q*cos = 6.24 кН*м;

Для схемы с:

М_А^!! - M + 1*P + 2*Q*cos;

M_A = M - 1*P - 2*Q*cos = -11.76 кН*м;

Таким образом, наименьшим моментом в заделке получается при закреплении бруса по схеме б. Определим остальные опорные реакции для этой схемы:

X_A + P + Q*cos = 0; X_A = - 6.96 кН;

- Q*cos - R_B = 0; R_B = - 3.88 кН;

Схема	Момент МА, МА!, МА!!, кН*м	Силы, кН
		ХА	YB
а	21.76	--	--
б	6.24	- 6.96	- 3.88
с	-11.76	--	--

Задание С.4. Определение реакций опор составной конструкции.

Найти реакции опор конструкции, состоящей из трех тел, соединенных в двух точках. Составные части соединены с помощью шарниров.

Номер варианта	Р1, кН	Р2, кН	М1, кН*м	q, кН/м
6	10	17	28	1

Решение.

Изобразим отдельно все три части тела, образующие систему.

Давление в шарнире заменим составляющими X_C и Y_C.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к телу AD₁E:

R_1A + P₁*cos30⁰ - R_E - P₂*cos60⁰ - X_С = 0;

R_2A - P₁*cos60⁰ - P₂*cos30⁰ + Y_C = 0;

- P₁*cos30⁰*1 + R_E*3 + P₂*cos60⁰2* + Y_C*2 + X_C*2 = 0;

Уравнения равновесия сил, приложенных к телу D₂C:

R_C +Y_C - P₂*cos30⁰ = 0;

Уравнения равновесия сил, приложенных к телу D₃B:

X_C - P₂*cos60⁰ - Q = 0;

Y_C - P₂*cos30⁰ + R_B = 0;

-Y_C*2 - X_C*3 + 2*P₂*cos30⁰ + 1.5*Q = 0;

Последовательно решая уравнения, получим:

3. X_C = P₂*cos60⁰ + Q = 11.5 кН;

Y_C = (- X_C*3 + 2*P₂*cos30⁰ + 1.5*Q)/2 = 0.278 кН;

R_B = - Y_C + P₂*cos30⁰ = 15 кН;

2. R_C = - Y_C + P₂*cos30⁰ = 15 кН;

1. R_2A = P₁*cos60⁰ + P₂*cos30⁰ - Y_C = 20 кН;

R_E = P₁*cos30⁰*1 - R_E*3 - P₂*cos60⁰2* - Y_C*2 - X_C*2 = -10.3 кН;

R_1A = - P₁*cos30⁰ + R_E + P₂*cos60⁰ + X_С = -1.1 кН;

Силы, кН
XС	YС	RB	RC	R1A	R2A	RE
11.5	0.27	15	15	-1.1	20	-10.3

Расчет статически неопределимых стержневых систем

Исходные данные

Стержень 1	P, кН	F1/F2	?t
Материал	L1, м	?t1, С0	Е1, МПа	б, 1/С0	[у]1, МПа
Д-16	1.6	50	0.7*105	23*10-6	100	20	0.5	35

В схемах с температурным воздействием или монтажным зазором определить напряжения в стержнях, приняв F₁ = 5 см².

При решении поставленной задачи необходимо рассмотреть несколько сторон задачи.

3. Статическая сторона задачи

После сборки конструкция будет представлять единое целое. Наиболее подходящим является составить уравнения равновесия стержня AС в виде суммы моментов всех приложенных к стержню AС сил и реакций опор, относительно точки С.

Усилие N_X1 направляем, предполагая, что оба они являются растягивающими.

 N_X1*2a + N_X1*3a - P*2a = 0;

5N_X1 = 2P;

4. Геометрическая сторона задачи

Рассмотрим конструкцию в деформированном состоянии. Перемещение v_B равно удлинению ?l₁ от искомого усилия N_X1 и удлинения ?t₁ от температурного расширения: v_B = ?l₁+?l_t1. Перемещение v_A равно сумме удлинения ?l₁ от искомого усилия N_X1 и удлинения ?t₁ от температурного расширения: v_A = ?l₁ + ?l_t1. Таким образом: v_B/2a = v_A/3a. Получим условие совместимости деформации: 3v_B = 2v_A.

3(?l₁ + ?l_t1)= 2*(?l₁ + ?l_t1); ?l₁ = - ?l_t1.

5. Физическая сторона задачи

Выразим удлинения ?l₁ с помощью закона Гука, а температурное удлинение ?t₁ - с помощью закона теплового расширения материала.

?l₁ = N_X1*l₁/E₁*F₁, ?t₁ = б₁l₁?t_1,

Е₁- модуль упругости материалов; б₁ - коэффициент температурного расширения материала; а ?t₁ - заданное изменение температуры стержня 2.

Синтез.

Объединив уравнения получим:

Введем жесткости стержней k₁ = E₁F₁/l₁; k₂ = E₂F₂/l₂ и преобразуем предыдущее уравнение к виду:

N_X1 = k₁(б₁l₁?t₁).

Получим полную систему двух уравнений с двумя неизвестными усилиями N_X1:

5N_X1 = 2P;

N_X1 = k₁(б₁l₁?t₁).

Подбор сечений стержней

Составим условия прочности стержней

;

см²;

(б₁*l₁*?t₁) = 23*10^-6*1.6*10³*50 = 1.84;

кН;

Мпа;

Недонапряжение стержня1 составляет:

Задание К-3 Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движении

Дано: схема поступательного и вращательного движений, R₂ = 100 см; r₂ = 60 см; R₃ = 30 см; x(t) = 60t² + 5; s = 0.5 м.

Найдем момент времени, когда путь s, пройденный грузом, равен 50 см:

сек.

Скорость груза найдем путем дифференциации по времени уравнения движения:

х₁ = x' = 120t см/сек.

Угловая скорость звена 2:

сек^-1.

Угловые скорости колес 2 и 3, связанных гибкой передачей, обратно пропорциональны радиусам этих колес:

; сек^-1.

Угловое ускорение:

е₃ = щ₃' = 20/3 сек^-2 = const.

Скорость точки М: х = R₃* щ₃ = 200t см/сек - направлена перпендикулярно к радиусу в сторону вращения колеса 3.

Вращательное ускорение точки М: щ^В = R₃* е₃ = 200 см/сек² - имеет одинаковое со скоростью направление, т.к. вращение колес ускоренное.

Центростремительное ускорение точки М: щ^Ц = R₃* щ₃² = 4000/3t см/сек² - направлено по радиусу к центру колеса.

Полное ускорение: см/сек².

Значения величин сведены в таблицу 3.

щ3, сек-1	е3, сек-2	х, см/сек	Ускорение, см/сек2
			щВ	щЦ	щ
6.06	6.7	182	200	1101.7	1119.7

Стержень АС абсолютно жесткий, стержни 1и 2 - упругие. Стержень 1 оказался короче проектного размера на ?_T1.

Стержень 1 нагревают на ?t₁ и присоединяют в шарнире А к недеформируемому стержню АВС и образуют цельную конструкцию.

Исходные данные

Стержень 1

Стержень2

P, кН

F1/F2

Материал

L1, м

?t1, С0

Е1, МПа

б, 1/С0

[у]1, МПа

Материал

L2, м

?t2, С0

Е2, МПа

б, 1/С0

[у]2, МПа

Д-16

1.3

80

0.7*105

23*10-6

100

Сталь

2.3

60

2*105

12*10-6

200

70

0.5

В схемах с температурным воздействием или монтажным зазором определить напряжения в стержнях, приняв F₁ = 5 см².

При решении поставленной задачи необходимо рассмотреть несколько сторон задачи.

1. Статическая сторона задачи

После сборки конструкция будет представлять единое целое. Так как определение опорных реакций R_BX и R_BY не требуется, то наиболее подходящим является составить уравнения равновесия стержня AВС в виде суммы моментов всех приложенных к стержню AВС сил и реакций опор, относительно точки В.

Усилия N_X1 и N_X2 направляем, предполагая, что оба они являются растягивающими.

- N_X1*3a + N_X2*a = 0;

N_X2 = 3*N_X1;

2. Геометрическая сторона задачи

Рассмотрим конструкцию в деформированном состоянии. Перемещение v_C равно удлинению ?l₂ от искомого усилия N_X2: v_C = ?l₂. Перемещение v_A равно сумме удлинения ?l₁ от искомого усилия N_X1 и удлинения ?l_T2 от температурного расширения: v_A = ?l₁ + ?l_t1. Таким образом: v_A/3a = v_C/a. Получим условие совместимости деформации: v_A = 3v_C.

3*?l₂ = ?l₁ + ?l_t1; 3*?l₂ - ?l₁ = ?l_t1.

3. Физическая сторона задачи

Выразим удлинения ?l₁ и ?l₂ с помощью закона Гука, а температурное удлинение ?t₂ - с помощью закона теплового расширения материала.

?l₁ = N_X1*l₁/E₁*F₁, ?l₂ = N_X2*l₂/E₂*F₂, ?t₁ = б₁l₁?t_1,

Е₁ и Е₂ - модули упругости материалов; б₂ - коэффициент температурного расширения материала; а ?t₂ - заданное изменение температуры стержня 2.

Синтез.

Объединив уравнения получим:



Введем жесткости стержней k₁ = E₁F₁/l₁; k₂ = E₂F₂/l₂ и преобразуем предыдущее уравнение к виду:

- N_X1 + 3k N_X2 = k₁(б₁l₁?t₁).

k = E₁F₁l₂/ E₂F₂l₁ - отношение жесткостей стержней 1 и 2.

Получим полную систему двух уравнений с двумя неизвестными усилиями N_X1 и N_X2:

N_X2 = 3*N_X1;

- N_X1 + 3k N_X2 = k₁(б₁l₁?t₁).

Решая систему, найдем искомые усилия:

;

Видно, что усилия N_X1 и N_X2 зависят от отношения жесткостей стержней k, что особенно проявляется при действии силовой нагрузки.

Подбор сечений стержней

Составим условия прочности стержней

;

Подставим значения в уравнения N_X1 и N_X2.

;

Выразим значение F₁ и F₂ из полученных выражений:

; ;

При упрощении выражения получим следующее:

; () = 23*10^-6*1.3*10³*80 = 2.39

; F₂ = 4.35 см²

; F₁ = 8.8 cм²

Окончательно принимаем F₁ = 8.8 cм², а F₂ = 4.4 см².

Задание К-3 Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движении

Дано: схема поступательного и вращательного движений (рис. 3), R₂ = 40 см; r₂ = 20 см; R₃ = 35 см; x(t) = 40t² + 10; s = 0.5 м.

Найдем момент времени, когда путь s, пройденный грузом, равен 50 см:

сек.

Скорость груза найдем путем дифференциации по времени уравнения движения:

х₁ = x' = 80t см/сек.

Угловая скорость звена 2:

сек^-1.

Угловые скорости колес 2 и 3, связанных гибкой передачей, обратно пропорциональны радиусам этих колес:

; сек^-1.

Угловое ускорение:

е₃ = щ₃' = 4.57 сек^-2 = const.

Скорость точки М: х = R₃* щ₃ = 160t см/сек - направлена перпендикулярно к радиусу в сторону вращения колеса 3.

Вращательное ускорение точки М: щ^В = R₃* е₃ = 160 см/сек² - имеет одинаковое со скоростью направление, т.к. вращение колес ускоренное.

Центростремительное ускорение точки М: щ^Ц = R₃* щ₃² = 730.97t² см/сек² - направлено по радиусу к центру колеса.

Полное ускорение:

см/сек².

Значения величин сведены в таблицу 3.

щ3, сек-1	е3, сек-2	х, см/сек	Ускорение, см/сек2
			щВ	щЦ	щ
5.12	4.57	179.2	160	916.9	930.75

Задание С.1. Определение реакций опор твердого тела

Определить реакции опор для того способа закрепления бруса, при котором реакция М_А имеет наименьший модуль.

Номер варианта	Р, кН	М, кН*м	q, кН/м	Исследуемая реакция
10	2	4	2	RA

Решение.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к конструкции. Действие связей на конструкцию заменяем их реакциями. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем равнодействующей: Q = q*3 = 6 кН.

Чтобы выяснить, в каком случае момент в заделке является наименьшим, найдем его для всех трех схем, не определяя остальные реакции.

Значение распределенной силы Q инверсивно углу наклона стержня приложенного, значение которого определяем из значения тангенса: tg = 4, = 76⁰; tg = 0.25, = 14⁰.

M + X_A*6 + P*cos60⁰*5 - Q*2.5 = 0;

M + X_A*cos45⁰*4 + P*cos30⁰*3 + Q*1.5 = 0;

M - R_A*cos45⁰*4 + Q*1.5 = 0;

Таким образом, решая последовательно уравнения каждой схемы, находим, что наименьшим модулем реакции R_A будет в схеме а. Определим остальные опорные реакции для этой схемы:

X_A + P*cos60⁰ - R_B*cos60⁰ = 0; R_B = 4 кН;

Y_A - P*cos30⁰ - Q + R_B*cos30⁰ = 0; Y_A = 4.3 кН;

Схема	Силы, кН
	RB	YA	XA
а	4	4.3	1
б	--	--	6.4
с	--	--	4.2

Задание С.4. Определение реакций опор составной конструкции

Найти реакции опор конструкции, состоящей из двух тел, соединенных в одной точке. Составные части соединены с помощью шарнира.

Номер варианта	Р1, кН	М1, кН*м	q, кН/м	Функция
10	14	12	2.6	RA

Решение. Изобразим отдельно все две части тела, образующие систему.

Давление в шарнире заменим составляющими X и Y точки соединения.

1. Определение реакций опоры А:

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции. Составим уравнение моментов сил относительно точки В.

X_A*1 - Y_A*5 - Q*1 + M + P₁* = 0;

X_A - Y_A*5 = 0;

Уравнения равновесия сил, левой части конструкции, относительно точки С:

X_A*4 - Y_A*2 + Q*2 + M = 0;

X_A*4 - Y_A*2 = 0;

Решая систему двух уравнений находим:

X_A = - 5.64 кН; Y_A = 5.13 кН;

Модуль реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С равен:

кН;

2. Для нахождения реакций опоры в точке В рассмотрим следующие уравнения:

Y_A - P₁*cos45⁰ + R_B = 0; R_B = 4.81 кН;

3. Для нахождения реакций опор в точке С рассмотрим следующие уравнения левой части конструкции:

X_A + Q + X_C = 0;

X_C = - 4.76 кН;

Y_A + Y_C = 0;

Y_C = - 5.13 кН;