Расчет электрических цепей постоянного и переменного токов

Министерство образования Республики Беларусь

Витебский государственный политехнический техникум

Курсовая работа

по предмету:

Теоретические основы электротехники

Расчет электрических цепей постоянного и переменного токов

Исполнитель:

учащийся группы птуЭП-35

С.Н. Бурдо

Руководитель проекта:

О.В. Воронцова

Витебск 2009г.



Содержание отчета:

Введение

1. Сведения из теории

2. Расчет линейной цепи постоянного тока:

а) метод Кирхгофа

б) метод контурных токов

в) метод наложения

г) таблица результатов

д) баланс мощностей

е) метод эквивалентного генератора

ж) потенциальная диаграмма (график)

3. Расчет нелинейной цепи постоянного тока (график)

4. Расчет однофазной электрической цепи переменного тока символическим методом

5. Расчет трёхфазной электрической цепи переменного тока

6. Переходные процессы

Литература



Введение

Со второй половины XIX в. Начался период бурного расцвета и практического применения нового вида энергии - электричества. Электрическая энергия обладает очень ценными свойствами: она просто преобразуется из других видов энергии (механической, химической и других энергий), передается с малыми потерями на большие расстояния (сотни километров) в города, на заводы и фабрики. В пункте потребления электрическая энергия просто дробится и преобразуется в нужный вид энергии: механическую, тепловую, химическую и другие. Таким образом, электричество позволяет использовать и транспортировать дешевую энергию, накопленную в природе (энергию падающей воды), или удешевляет ее использование (торф, низкосортный уголь).

Замечательные свойства электрической энергии находят еще большее применение при использовании новой - ядерной - энергии.

Электроника развивается так стремительно, что высокий сегодняшний уровень ее развития завтра может оказаться недостаточным.

Электроника - увлекательная и интересная наука. Но изучение электроники требует настойчивости, воли и большой энергии.

Электротехника - наука, изучающая техническое использование электромагнитных явлений для нужд промышленного производства, быта. Энергия - это общая количественная мера различных форм движения материй. Электрическая энергия, как известно, широко применяется во всех отраслях промышленности, на транспорте, в сельском хозяйстве и быту.

Поскольку все отрасли электротехники связаны между собой, то в системе высшего электротехнического образования возникла необходимость создания курса “Теоретическое основание электротехники”, являющегося базой для изучения различных электротехнических величин.

В настоящее время специальные электротехнические дисциплины ставят перед курсом ТОЭ задачи расчета и исследования, характеризуемых токами, напряжениями, мощностями, магнитными потоками, а также задачи исследования явлений, которые характеризуются индукцией магнитного и напряженностью электрического полей, потоком мощности.

Во всех современных электротехнических устройствах, предназначенных для различных технических целей, происходят те или иные энергетические преобразования. При помощи трансформаторов электрической энергии одного напряжения преобразуются в электрическую энергию другого напряжения. Электрические генераторы и двигатели служат для взаимного преобразования механической и электрической энергии. В электрической лампе происходит процесс преобразования электрической энергии в световую. Во многих электротехнических устройствах электрическая энергия перераспределяется между отдельными элементами этих устройств.

Исследования электромагнитных явлений и процессов, протекающих при различных энергетических преобразованиях в электротехнических устройствах, привели, начиная с двадцатых годов прошлого столетия, к стремительному развитию курса ТОЭ.

Предмет ТОЭ опирается на курсы физики, химии и включает изучение принципов устройств, приборов, машин, использующих электромагнитную энергию.

Электротехника - увлекательна интересная наука. Но изучение электротехники требует настойчивости, воли и энергии. Учащиеся учебных заведений должны помнить о больших задачах перед ними как строителями нашего государства, и большой ответственности за свою работу перед народом.



1. Краткие сведения из теории

1.1 Расчет электрических цепей постоянного тока

Методы расчета электрических цепей основаны на применении законов Кирхгофа. Эти цепи содержат несколько источников ЭДС и имеют такие понятия, как ветвь, узел, контур.

Узел-это точка цепи, в которой сходится несколько ветвей (три и более).

Ветвь-это часть цепи, лежащая между двумя соседними узлами, причем на ней имеется как минимум один источник напряжения и (или) один потребитель.

Контур-это совокупность замкнутых простых цепей, которые можно обойти, перемещаясь по нескольким ветвям.

Первый закон Кирхгофа формируется следующим образом: сумма токов, направленных к точке разветвления, равна сумме токов, направленных от точки, т.е. алгебраическая сумма токов в точке разветвления равна нулю.

Уi=0, где У-знак суммы; i-ток.

В сложных электрических цепях имеется уже не один, а ряд замкнутых контуров, питаемых несколькими источниками. Направление ЭДС источников и направление токов в отдельных участках контура известны. В общем виде для любого замкнутого контура формула суммы уравнений равна:

УE=У (ir), где Е-ЭДС

ir-падение напряжения в отдельных сопротивлениях.

Это уравнение выражает второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна сумме падения напряжения в отдельных сопротивлениях.

Метод уравнения Кирхгофа основан на применении первого и второго законов Кирхгофа. Для расчета нужно составить столько уравнений, сколько неизвестных токов. Определяется число неизвестных токов, и произвольно выбираем их направление. Составляем уравнение по закону Кирхгофа и решаем их.

Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа, что позволяет уменьшить число уравнений, которые необходимо решать совместно. Поэтому этот метод применяется для решения более сложных схем. Выбираются контуры. Для каждого из них произвольно выбирается направление контурного тока, а также токов в ветвях. Для каждого контура составляем уравнение по второму закону Кирхгофа. Выражаем токи в ветвях через контурные. Токи в ветвях, которые являются общими для двух контуров, определяются как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов. Выражаем токи.

Метод эквивалентного генератора удобен для определения тока в одной сложной цепи. Рассматриваемая цепь делится на два участка, т.е. исследуемая ветвь выделяется, а остальную часть в цепи заменяем эквивалентным генератором. Далее вычисляем параметры эквивалентного генератора, для этого исключаем исследуемую ветвь и схему перечерчиваем без нее, т.е. получаем режим холостого хода.

1.2 Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока

Расчет таких цепей осуществляется графическими методами, которые применимы при любом виде ВАХ и дают результаты достаточной точности.

Задачу решают, определяя ток одного элемента по напряжению этого элемента или обратно. Выбирают одинаковый масштаб, в общей системе координат строят ВАХ каждого элемента цепи. По этим ВАХ стоится общая ВАХ. Для этого достаточно сложить абсциссы исходных кривых.

При параллельном соединении нелинейных элементов (двух) к ним приложено одно и тоже напряжение, а ток в неразветвленной цепи равен сумме токов в ветвях. Для построения общей ВАХ нужно для ряда значений напряжений сложить ординаты ВАХ элементов.

При смешанном соединении двух нелинейных элементов графический расчет цепи производиться методом ,,свертывания схемы” в соответствии со схемой соединения элементов их ВАХ складывают.

1.3 Однофазные электрические цепи переменного тока

Переменным электрическим током называется электрический ток, изменение которого по величине и направлению повторяется периодически через равные промежутки времени Т.

Электрическая энергия называется активной, когда электрическая энергия необратимо преобразуется в другой вид энергии.

Реактивное сопротивление не вызывает расход энергии и показывает, что энергия, запасающаяся магнитным полем катушки, не расходуется, а возвращается обратно в цепь.

Индуктивное сопротивление учитывает противодействие ЭДС самоиндукции периодическим изменениям тока. Оно пропорционально частоте этого тока.

XL=2fL, где

XL-индуктивное сопротивление;

-период величина постоянная;

f-частота, [Гц];

L-индуктивность, [Гн].

Емкость сопротивления вычисляется по формуле:

Xс=,

где С-емкость;

Хс-емкостное сопротивление.

Действующее значение переменного тока широко применяется при расчете цепей переменного тока.

При синусоидальном токе i=i_m·sinщt действующее значение тока равно:

i==0,707 i_m

Мгновенная величина ЭДС-это величина ЭДС в рассматриваемый период времени. Мгновенная величина ЭДС определяется по уравнению:

е=Еm · sin (щt±ц),

где Еm-амплитуда;

щ-угловая частота;

t-время, за которое происходит изменение фазы.

Угловая частота-это скорость изменения фазы. За время одного периода Т фазовый угол равномерно изменяется на 2П, поэтому

щ==2f, где f-частота, величина обратная периоду

Активная мощность равна:

P=i ·UR=i?R=UR?/R [Вт], где

i-ток в цепи, [А];

R-активное сопротивление, [Ом].

Реактивная мощность обусловлена энергией магнитного поля индуктивности и электрического поля емкости, не совершает никакой полезной работы, однако оказывают влияние на режим работы цепей.

QL=UL · i=i? · XL=UL?/XL, где

QL-индуктивная мощность, [Вар];

QC=i · XC=i? · Xc=UC?/XC, где

QC-емкостное сопротивление, [Вар].

Полная мощность вычисляется из треугольника мощности по теореме Пифагора:

S? =P? + Q?, где

S-полная мощность цепи, [В^.А].

1.4 Трехфазные цепи переменного тока

Трехфазной системой ЭДС называется система трех переменных ЭДС одинаковой частоты, сдвинутых относительно друг друга по фазе так, что сумма трехфазных углов равна 2П.

Простейший генератор трехфазного тока по конструкции аналогичен генератору однофазного тока, только его якорь имеет ни одну, а три обмотки, сдвинутых в пространстве друг относительно друга на 120?.

Отдельные обмотки трехфазного генератора называются фазами. Условно выбирают положительное направление ЭДС в обмотках, от концов фаз к началу.

У реальных трехфазных генераторов обмотки имеют одну общую, в которой соединены концы обмоток. Такую схему соединения называют звездой, а общую обмотку - нейтралью генератора.

Напряжение между линейными проводами принято называть линейным. Напряжение между линейными и нейтральными проводами называют фазными напряжениями. Фазное напряжение отличается от фазной ЭДС по величине падения напряжения в обмотке генератора.

Между действующими значениями фазных UФ и линейных UЛ напряжений существует соотношение:

UЛ=2UФ · сos30?=2UФ ·= · UФ, где

UЛ-линейное напряжение;

UФ-фазное напряжение.

Векторная диаграмма симметрична линейных напряжений сдвинута на 30? в сторону вращения векторов относительно диаграммы фазных напряжений.

В схеме соединения обмоток трехфазного генератора, которую называют треугольником, три обмотки генератора образуют замкнутый контур с весьма малым сопротивлением. При соединении обмоток треугольником линейное напряжение в то же время является и фазным напряжением генератора, т.е.

UЛ=UФ

Звезда векторов линейных токов сдвинута относительно звезды фазных токов на 30? против вращения векторов:

IЛ=2 · iФcos30?=2iФ=iФ, где

IЛ-линейный ток;

IФ-фазный ток.

При симметричной нагрузке точке во всех фазах одинаковы.

Расчет электрической цепи переменного тока

Е₁= 21

E₂=12 B,

r₀₁=1 О м,

r₀₂=0,2 Ом,

R₁= 2 Ом,

R₂= 7 Ом, рис.1

R₃=12 Ом,

R₄=17 Ом,

R₅=22 Ом,

R₆=27 Ом.

Расчет электрической цепи с применением законов Кирхгофа

Этот метод расчета является универсальным, то есть данный методом можно рассчитать любую электрическую цепь различной конфигурации и сложности. Сущность заключается в следующем:

1. Произвольно выбрал положительное направление токов и указал на схеме стрелками (рис.1).

2. Необходимо помнить, количество уравнений для расчета цепи должно быть столько, сколько неизвестных токов.

3. Составляем 3 необходимых и достаточных уравнений (так как узлов в цепи 4) по первому закону Кирхгофа, который гласит:

Арифметическая сумма токов в узле равна 0.

При этом выбираем обход контура.

Для узла 2: I₃=I₁+I₂

Для узла 4: I₁=I₄+I₆

Для узла 3: I₃=I₄+I₅

4. Недостающие уравнения составляем по второму закону Кирхгофа, в котором сказано, что:

В контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжения на пассивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС этого источника.

Для контура 2-3-4-5-2: E₁=I₁R₁+I₁r₀₁+I₃R₃+I₄R₄

Для контура 1-2-5-8-1: E₂=I₂R₂+I₂r₀₂+I₃R₃+I₅R₅

Для контура 8-5-4-6-7-8: 0=I₅R₅+I₆R₆-I₄R₄

5. Преобразовываем составленные уравнения, подставляя в них значения сопротивления и ЭДС:

а) 3I₁+12I₃+17I₄=21, б) 3(I₃-I₂)+1₂I₃+17I₄=21,

7,5I₂+12I₃+22I₅=12, 7,5I₂+12I₃+22(I₃-I₄)=12,

22I₅+27I₆-17I₄=0. 22(I₃-I₄)+27(I₁-I₄)-17I₄=0.

в) 3I₃-3I₂+12I₃+17I₄=21, г) -3I₂+15I₃+17I₄=21,

7,5I₂+12I₃+22I₃-22I₄=12, 7,5I₂+34I₃-22I₄=12,

22I₃-22I₄+27(I₃-I₂)-27I₄-17I₄=0. -27I₂+49I₃-66I₄=0.

д) -3I₂+15I₃+17I₄=21,

7,5I₂+34I₃-22I₄=12,

-27I₂+49I₃-66I₄=0.

6. Вычислим токи I₂, I₃, I₄ по формулам Крамера:

-3I₂+15I₃+17I₄=21,

7,5I₂+34I₃-22I₄=12,

-27I₂+49I₃-66I₄=0.

= -3*34*(-66)+15*(-22)*(-27)+7,5*49*17-34*17*(-27)-7,5*15*(-66)-49*(-22)* (-3)=41686,5

I₂= 21*34*(-66)+12*49*17+0-0-49*21*(-22)-12*15*(-66)=11880

I₃= -3*12*(-66)+21*(-22)*(-27)+0-17*12*(-27)-7,5*21*(-66)-0=30753

I₄= 0+7,5*49*21+15*12*(-27)-34*21*(-27)-49*12*(-3)-0=23899,5

Следовательно, I₂=I₂/ =11880/41686,5=-0,0626101 (А),

I₃=I₃/=30753/41686,5=0,7377208 (А),

I₄=I₄ / =23899,5/41686,5=0,5733151 (А).

I₂ имеет отрицательное значение, потому что на схеме выбрали неправильное направление этого тока (указал на рис. истинное направление тока I₂).

7. Остальные токи находим с помощью уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа (пункт 3):

I₁=I₃-I₂=0,7377208 - (-0,0626101)=0,8003309 (A),

I₅=I₃-I₄=0,7377208 - 0,5733151=0,1644057 (A),

I₆=I₁-I₄=0,8003309 - 0,5733151=0,2270158 (A).

8. В результате расчета электрической цепи по законам Кирхгофа получил следующие токи:

I₁=0,8003309 0,800 А

I₂=0,0626101 0,063 A

I₃=0,7377208 0,738 A

I₄=0,5733151 0,573 A

I₅=0,1644057 0,164 A

I₆=0,2270158 0,227 A.

б) Расчет электрической цепи методом контурных токов

Эту же электрическую цепь можно также рассчитать методом контурных токов.

Контурный ток - это расчетная величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура.

Расчет производим следующим образом:

1. Определяем в данной схеме независимые контура и указываем в них контурные токи (обозначил контура на схеме).

2. Находим собственное и общее сопротивления контуров, зная, что Собственное сопротивление контура - это сумма сопротивлений данного контура.

Общее сопротивление контура - это сопротивление (или их сумма), входящее в два смежных контура.

Нашел собственные сопротивления контуров I_К1, I_К2, I_К3:

R₁₁=R₁+R₃+R₄+r₀₁=2+12+17+1=32 (Ом),

R₂₂=R₂+R₃+R₅+r₀₂=7+12+22+0,5=41,5 (Ом),

R₃₃=R₄+R₅+R₆=17+22+27=66 (Ом).

общие сопротивления:

R₁₂=R₃=12 Ом,

R₁₃=R₄=17 Ом,

R₂₃=R₅=22 Ом.

3. Составляем контурные уравнения по второму закону Кирхгофа, руководствуясь следующим правилом:

Алгебраическая сумма всех ЭДС контура равна произведению контурного тока на собственное сопротивление этого контура за вычетом падения напряжения на смежных сопротивлениях.

для контура 2-3-4-5-2: E₁=I_К1R₁₁-I_К2R₁₂-I_К3R₁₃,

для контура 1-2-5-8-1: - E₂=I_К2R₂₂-I_К1R₁₂-I_К3R₂₃,

для контура 8-5-4-6-7-8: 0=I_К3R₃₃-I_К1R₁₂-I_К2R₂₃ .

4. Решаем составленную систему уравнений, применяя при этом формулы Крамера:

32I_К1-12I_К2-17I_К3=21,

-12I_К1+41,5I_К2-22I_К3= -12,

-17I_К1-22I_К2+66I_К3=0 .

=32*41,5*66 - 12*(-17)*(-22) -12*(-17)*(-22) -41,5*(-17)*(-17) - - 32*(-22)*(-22) - 66*(-12)*(-12)=41686,5

I_К1=21*41,5*66 - 12*(-17)*(-22) +0 - 0 - 21*(-22)*(-22) - 66*(-12)* *(-12)=33363

I_К2=32*66*(-12)+21*(-17)*(-22)+0 - (-12)*(-17)*(-17) - 66*21*(-12)= 2610

I_К3=0 - 17*(-12)*(-12)+21*(-12)*(-22) - 21*41,5*(-17) - 32*(-12)*(-22) - 0=9463,5 .

Следовательно,

I_К1= 33363/41686,5=0,800331 (A),

I_К2= 2610/41686,5=0,0626101 (A),

I_К3= 9463,5/41686,5=0,2270159 (A).

5. Из полученных контурных токов находим остальные действительные токи во всех ветвях цепи:

I₁=I_К1=0,800331 0,800 (А),

I₂=I_К2=0,0626101 0,063 (A),

I₃=I_К1 - I_К2=0,800331 - 0,062101=0,7377209 0,738 (A),

I₄=I_К1 - I_К3=0,800331 - 0,2270159=0,5733151 0,573 (A),

I₅=I_К3 - I_К2=0,2270159 - 0,0626101=0,1644058 0,164 (A),

I₆=I_К3= 0,2270159 0,227 (A).

в) Расчет электрической цепи методом наложения

В некоторых случаях расчет электрических цепей можно провести относительно просто, используя принцип наложения. Этот принцип применяется только к линейным системам, а в данном случае - для расчета линейной электрической цепи.

Порядок расчета:

1.На основе исходной схемы составляем частные расчетные схемы (рис.2а, рис.2б), в каждой из которых действует только одна ЭДС. Все другие ЭДС исключаем и от каждого источника в схеме остается только его внутреннее сопротивление.

При определении общих токов необходимо правильно учесть направления частных токов: в исходной схеме наметил условно-положительные направления токов в ветвях. Частный ток считают положительным, если он одинаково направлен с положительным током в той же ветви схемы, а противоположного направления - отрицательным.

2. Любым подходящим методом определяют токи в частных схемах, которые чаще всего оказываются относительно простыми.

В этой схеме нет элементов, соединенных последовательно или параллельно, но имеется замкнутый контур из трех сопротивлений (треугольник сопротивлений), причем точки, разделяющие каждую пару смежных сопротивлений, являются узловыми.

К узловым точкам А, В, С присоединен треугольник сопротивлений . Его можно заменить эквивалентной трехлучевой звездой сопротивлений R_А, R_В, R_С (на схеме изображены штриховыми линиями), присоединенных с одной стороны к тем же точкам А, В, С, а с другой - к общей (узловой) точке.

Замена треугольника сопротивлений эквивалентной звездой и наоборот осуществляется при условии, что такая замена не изменяет потенциалов узловых точек А, В, С, являющихся вершинами треугольника и эквивалентной звезды. Одновременно предполагают, что в остальной части схемы, не затронутой преобразованием, режим работы не изменяется (не изменяются токи, напряжения, мощности).

Для определения сопротивлений трехлучевой звезды по известным сопротивлениям эквивалентного треугольника служат следующие уравнения:

R_x= R_{xy *}R_xz/(R_xy +R_yz+R_xz)

R_y=R_xy*R_yz/(R_xy+R_yz+R_xz)

R_z=R_xz*R_yz/(R_xy+R_yz+R_xz)

Для первой схемы (рис.2а):

R_Б=R₄*R₅/(R₄+R₅+R₆)=17*22/(17+22+27)=374/66=5,666666 (Ом)

R_В=R₄*R₆/(R₄+R₅+R₆)=17*27/(17+22+27)=459/66=6,954545 (Ом)

R_Г=R₅*R₆/(R₄+R₅+R₆)=22*27/(17+22+27)=594/66=9 (Ом)



Рис.2а

Находим эквивалентное сопротивление первой частной схемы:

R_экв=R₁+(R₃+R_Б)*(R₂+R_Г+r₀₂)/(R₂+R₃+R_Б+R_Г+r₀₂)+R_B=2+(12+5,666666)*7+9+0,5)/(7+12+5,666666+9+0,5)+6,954545=8,694545+17,666666*16,5/ 34,166666=18,486252 (Ом)

Следовательно

I₁=I_B=E₁/(R_экв+r₀₁)=21/(18,486252+1)=1,135979 (A)

I₃=I_Б=I₁*(R₂+R_Г+r₀₂)/(R₂+R₃+R_Б+R_Г+r₀₂)=1,135979*(7+9+0,5)/

(7+12+5,666666+9+0,5)=1,135979*16,5/34,166666=0,548594 (A)

I₂=I_Г=I₁- I₃=1,135979 - 0,548594=0,587384 (A)

U_АБ=I₃R₃=0,548594*12=6,583137 (B)

U_АГ=I₂(R₂+r₀₂)=0,587384*(7+0,5)=4,405382 (B)

U_БГ=U_АБ - U_АГ=6,583137 - 4,405382=2,177755 (В)

Поскольку потенциал точки Б больше потенциала точки Г (_Б>_Г), то ток I₅ потечет от точки Б к точке Г и будет равен

I5=UБГ/R5=2,177755/22=0,098988 (A)



откуда следуют остальные токи

I₆=I₂ - I₅=0,587384 - 0,098988=0,488395 (A)

I₄=I₃+I₅=0,548594+0,098988=0,647583 (A)

Рис.2б

Для второй схемы (рис.2б):

R_Б=R₄*R₆/(R₄+R₅+R₆)=17*27/(17+22+27)=459/66=6,954545 (Ом)

R_В=R₅*R₆/(R₄+R₅+R₆)=22*27/(17+22+27)=594/66=9 (Ом)

R_Г=R₄*R₅/(R₄+R₅+R₆)=17*22/(17+22+27)=374/66=5,666666 (Ом)

R_экв=R₂+(R₁+R_Б+r₀₁)*(R₃+R_Г)/(R₁+R₃+R_Б+R_Г+r₀₁)+R_В=7+(2+6,954545+ +1)*(12+5,666666)/(2+12+6,954545+5,666666+1)+9=16+9,954545**17,666666/27,621211=22,366977 (Ом)

I₂=I_В=E₂/(R_экв+r₀₂)=12/(22,366977+0,5)=0,524774 (A)

I₁=I_Б=I₂*(R₃+R_Г)/(R₁+R₃+R_Б+R_Г+r₀₁)=0,524774*(12+5,666666)/

/(2+12+6,954545+5,666666+1)=0,524774*17,666666/27,621211=0,335648 (A)

I₃=I_Г=I₂ - I₁=0,524774 - 0,335648=0,189126 (A)

U_АБ=I₁(R₁+r₀₁)=0,335648*(2+1)=1,006944 (B)

U_АГ=I₃R₃=0,189126*12=2,269512 (B)

U_БГ=U_АГ - U_АБ=2,269512 - 1,006944=1,262567 (В)



Так как _Б<_Г, то ток I₄ будет следовать из точки Г в точку Б.

I₄=U_БГ/R₄=1,262567/17=0,074268 (A)

I₅=I₃+I₄=0,189126+0,074268=0,263394 (A)

I₆=I₁ - I₄=0,335648 - 0,074268=0,261379 (A)

Алгебраическим сложением (наложением) частных токов определяем токи в исходной схеме:

I₁=I₁-I₁=1,135979 - 0,335648=0,800331 (A)

I₂=I₂-I₂=0,587384 - 0,524774=0,06261 (A)

I₃=I₃+I₃=0,548594 + 0,189126=0,73772 (A)

I₄=I₄-I₄=0,647583 - 0,074268=0,573915 (A)

I₅=I₅-I₅=0,263394 - 0,098988=0,164405 (A)

I₆=I₆-I₆=0,488395 - 0,261379=0,227015 (A)

г) Составил таблицу по результатам расчета эл. цепи различными методами:

Методы	I1, A	I2, A	I3, A	I4, A	I5, A	I6, A
Кирхгофа	0,800330	0,06261	0,73772	0,573315	0,164405	0,227015
Контурных токов	0,800331	0,06261	0,73772	0,573315	0,164405	0,227015
Наложения	0,800331	0,06261	0,73772	0,573915	0,164405	0,227015

Как видно из таблицы токи, рассчитанные различными методами, практически имеют одинаковую величину, что в свою очередь доказывает эффективность всех данных методов расчета линейной электрической цепи постоянного тока.



д). Баланс мощностей

Величина энергии, вырабатываемой за единицу времени, т. е. скорость преобразования энергии в источнике, называется мощностью источника.

Pu=Wu/t=EIt/t=EI

Скорость преобразования электрической энергии в другой вид энергии в приемнике называется мощностью приемника.

P_п=W_п/t=UIt/t=UI

Эта формула справедлива для любого приемника независимо от вида, который получается в результате преобразования.

Если электрическая энергия полностью превращается в тепловую, то мощность приемника можно выразить через ток проводника и его сопротивление:

Р_п=I²R

Явление преобразования в проводах электрической энергии в тепловую широко используется в практике. На этом принципе основано действие большинства электро-промышленных и бытовых нагревательных устройств.

Составим баланс мощностей для данной электрической цепи:

E₁I₁ - E₂I₂=I₁²(R₁+r₀₁)+I₂²(R₂+r₀₂)+I₃²R₃+I₄²R₄+I₅²R₅+I₆²R₆

E₁R₁-E₂R₂=0,800331*21 - 0,062610*12=16,806951-0,751321=16,055629 (Вт)

I₁²(R₁+r₀₁)+I₂²(R₂+r₀₂)+I₃²R₃+I₄²R₄+I₅²R₅+I₆²R₆=0,8003312(2+1)+0,06261012*(7+0,5)+0,73772092*12+0,57331512*17+0,16440582*22+0,22701592*27= 1,921589+0,0294+6,530785+5,587733+0,594644+1,391477=16,055630 (Вт)

Следовательно, получил 16,055629 Вт 16,055630 Вт

е) Расчет электрической цепи методом эквивалентного генератора

В практических расчетах часто нет необходимости знать режимы работы всех элементов сложной цепи, но становится задача исследовать режим работы одной определенной ветви.

Для определения тока, напряжения, мощности этой ветви можно воспользоваться одним из ранее описанных методов расчета.

При расчете сложной электрической цепи приходиться выполнять значительную вычислительную работу даже в том случае, когда требуется определить ток в одной ветви. Объем этой работы в несколько раз увеличится, если необходимо установить изменение тока, напряжения, мощности при изменении сопротивления данной ветви, так как вычисления нужно проводить несколько раз, задаваясь различными величинами сопротивления.

Решение такой задачи значительно упрощается при использовании метода эквивалентного генератора.

Для определения этих величин рассмотрим два режима эквивалентного генератора - режим холостого хода и короткого замыкания.

Отсоединим исследуемую ветвь в точках А и Б, тогда эквивалентный генератор будет находиться в режиме холостого хода.

Напряжение холостого хода U_хх на его внешних зажимах А и Б равно эквивалентной ЭДС (Е_экв =U_xx).

Сопротивление r_экв эквивалентного генератора можно определить по формуле

r_экв=Е_экв/I_к=U_xx/I_к

Для того, чтобы получить расчетную схему для определения r_экв, нужно все ЭДС активного двухполюсника принять равными нулю, замкнув накоротко точки цепи, к которым присоединены источники этих ЭДС. Тогда активный двухполюсник превращается в пассивный.

Расчетная схема изображена на рис.3:

Рис. 3

Необходимо найти ток во второй ветви(I₂), для этого сначала найдем эквивалентную ЭДС:

R₅₆=R₅+R₆=22+27=49 (Ом)

R₄₅₆=R₄*R₅₆/(R₄+R₅₆)=17*49/(17+49)=833/66=12,621212 (Ом)

R_общ=R₁+R₃+R₄₅₆=2+12+12,621212=26,621212 (Ом)

Значит

I₁=I₃=E₁/(R_общ+r₀₁)=21/(26,621212+1)=0,760285 (A)

I₅=I₃*R₄/(R₄+R₅₆)=0,760285*17/(17+49)=12,924845/66=0,19583 (A)

Вычислим напряжение на зажимах А и Б(U_xx), которое и будет равно E_экв:



_O=0;

_Б - _O=I₅R₅ - 0=0,19583*22=4,30826 (B)

_Б=4,30826 (В)

_O - _A=0 - I₃R₃=-0,760285*12= - 9,12342 (В)

_А= - 9,12342 (В)

_АБ=_Б - _А=4,30826 - (-9,12342)=13,43168 (В)

Следовательно

E_экв=U_xx=_АБ - E₂=13,43168 - 12=1,43168 (B)

R_A=R₃*R₄/(R₁+R₃+R₄)=12*17/32=6,375 (Ом)

R_Б=R₁*R₃/(R₁+R₃+R₄)=3*12/32=1,125 (Ом)

R_В=R₁*R₄/(R₁+R₃+R₄)=3_*17/32=1,59375 (Ом)

R_B6A5=(R₆+R_В)*(R₅+R_A)/(R₅+R₆+R_B+R_A)=(27+1,59375)*(22+6,375)/(22+

+27+1,59375+6,375)=28,59375*28,375/56,96875=14,241977 (Ом)

r_экв=R_B6A5+R_Б=14,241977+1,125=15,366977 (Ом)

Следовательно, I₂=E_экв.(r_экв+R₂)=1,43168/22,3669770,063 (A)

ж) Построение потенциальной диаграммы

Изменение потенциалов в электрической цепи можно наглядно изобразить графически в виде потенциальной диаграммы.

Потенциальная диаграмма представляет собой график изменения потенциала при обходе цепи, построенный в прямоугольной системе координат, в которой по оси абсцисс откладывается в определенном масштабе сопротивления участков цепи, а по оси ординат - потенциалы соответствующих точек.

В большинстве случаев источники ЭДС обладают внутренним сопротивлением r, отличным от нуля. Эти сопротивления учитываются при определении тока цепи и в построении потенциальной диаграммы. Величина I определяется алгебраической суммой ЭДС всех источников, деленное на полное сопротивлении цепи.

Для определения величины и направления тока в неразветвленной цепи с несколькими источниками выбирают направление обхода контура цепей (по часовой стрелке или против). Тогда ЭДС, совпадающие по направлению с выбранным направлением обхода, в алгебраической сумме берут со знаком “+”, а несовпадающие - со знаком “--“. Если при расчете результат получился положительный, то ток совпадает с произвольно выбранным направлением обхода контура, иначе ток имеет противоположное направление.

Вычислим потенциалы точек цепи, взяв предварительно потенциал точки О равным нулю, при этом обход контура по часовой стрелке считать положительным (рис. 4):

R_общ=R₁+R₂+R₄+R₅+r₀₁+r₀₂=2+7+17+22+1+0,5=49,5 (Ом)

I=(E₁ - E₂)/R_общ=(21 - 12)/49,5=9/49,5=0,181818 (A)

_o=o B;

₁=_o + E₁ - Ir₀₁=0+21 - 0,181818=20,818182 (B)

₂=₂ - IR₄=20,818182 - 0,181818*17=17,727276 (B)

₄=₃ - IR₅=17,727276 - 0,181818*22=13,727278 (B)

₅=₄ - E₂ - Ir₀₂=13,727278 - 12 - 0,181818*0,5=1,636369 (B)

₆=₅ - IR₂=1,636369 - 0,181818*7=0,363643 (B)

₁=₆ - IR₁=0,363643 - 0,181818*2=0,363643 - 0,363636=0,000007 (B)



3.Расчет нелинейной цепи постоянного тока

Расчет цепи, содержащей нелинейные элементы, осуществляется графическим методом, которые применяются при любом виде ВАХ. Сначала в общей системе координат строим ВАХ линейного и нелинейного элементов. ВАХ линейного элемента строим по уравнению

I=Ur/R

Она представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

Далее строим общую ВАХ с учетом схемы соединения элементов. В нашей цепи соединены смешанно, поэтому сначала строим общую ВАХ линейного и нелинейного элементов, которые соединены параллельно. По оси абсцисс произвольно выбираем точки на каждом нелинейном графике с одним U и строим общую ВАХ для них.

Получим график:

I₁=f (U₂)

Далее строим общую ВАХ нелинейных элементов I₁=(U₁) и I₁=(U₂). Так как эти элементы соединены последовательно, значит, чтобы построить общую ВАХ, по оси ординат выбираем точку и откладываем их, тем самым строя общую ВАХ для всей схемы.

Дальнейший расчет цепи производим по полученным графикам.

Чтобы найти I и U на всех элементов цепи, поступаем так: по оси напряжений находим нужное U. Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с общей ВАХ. Получим точку, из которой опускаем перпендикуляр на ось I. Так, опуская перпендикуляры из всех полученных точек на ось токов, получим токи на каждом участке цепи:

I₁= 5,3 (A); I₂=2,15 (A); I₃=3,15 (A)



Опустив перпендикуляры на ось U, получил следующие напряжения:

U₁=220 (B); U₂=110 (B); U₃=110 (B)



4.Расчет однофазной цепи переменного тока символическим методом

Методы расчета электрических цепей переменного тока при помощи векторных диаграмм основаны на изображении синусоидальных величин векторами.

Из курса математики известно, что каждому вектору А в комплексной плоскости соответствует комплексное число А, которое можно выразить в форме:

алгебраической А=a+jb;

тригонометрической А=Аcosa+Asina;

показательной А=Аe^ja .

Это дает основание от графического (векторного) выражения синусоидальных напряжений и токов перейти к аналитическому выражению их комплексными числами, а операции с векторами заменить алгебраическими действиями.

Представление векторов напряжений и токов комплексами, выражение сопротивлений и проводимостей комплексными числами, а также замена операций с векторами алгебраическими действиями с комплексными числами позволяют значительно упростить расчет сложных цепей переменного тока. Кроме того, применение комплексных чисел обеспечивает единство методов расчета электрических цепей постоянного и переменного токов. Это значит, что все методы расчета и вытекающие из них соотношения для цепей постоянного тока можно применить и для цепей переменного тока, если величины выражены в комплексной форме. В этом практический смысл применения комплексных чисел для решения задач электротехники.

При использовании символического метода законы Кирхгофа и все вытекающие из него выводы остаются неизменными, меняется только формулировка.

Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма комплексов токов в электрическом узле равна нулю.

Второй закон Кирхгофа: В контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексов ЭДС источников равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения.

При расчёте электрических цепей переменного тока используют или определяют следующие величины: ЭДС, напряжения, токи, сопротивления и проводимости, мощность. Все эти величины должны быть выражены в символической форме, то есть комплексными числами.

Действительная и мнимая части комплексов тока и напряжения соответственно равны проекциям вектора тока или напряжения на оси комплексной плоскости (ось действительных и ось мнимых величин).

Активное сопротивление в комплексной форме выражается действительным положительным числом, реактивные сопротивления выражаются мнимыми числами, причем индуктивное (X_L) положительно, а емкостное (X_C) отрицательно. Полное же сопротивление участка цепи при последовательном соединении R и X выражается комплексным числом, действительная часть которого равна активному сопротивлению, а мнимая часть равна реактивному сопротивлению этого участка (при выражении полной проводимости в комплексной форме поступают также, только индуктивная проводимость отрицательна, а емкостная - положительна).

К зажимам электрической цепи, схема замещения которой приведена на рисунке а, подключен источник синусоидального напряжения

u=311sin(t+30) B частотой f=50 Гц.

Параметры элементов схемы замещения: R1=20 Ом, R2=30 Ом,

X_L1=2fL₁=2*3,14*50*63,6*10^-3=10,97 (Ом)

X_L2=2fL₂=2*3,14*50*127,2*10^-3=39,941 (Ом)

X_C1=1/(2fC₁)=1/(2*3,14*50*79,5*10^-6)=40,059 (Ом)

X_C2=1/(2fC₂)= 1/(2*3,14*50*53*10^-6)=60,089 (Ом)

Z₁=jX_L1=j19,97=19,97e^j90 (Ом)

Z₂=R₁ - jXC₁=20 - j40,059 (Ом)

Z₃=R₂=30 (Ом)

Z₄=jX_L2=j39,941=39,941e^j90 (Ом)

Z₅= - jX_C2= - j60,089=60,089e^j-90(Ом)

Z₃₄=(Z₃*Z₄)/(Z₃+Z₄)=(30*39,941e^j90)/(30+39,041e^j90)=1198,23e^j90/49,953e^j53=23,987e^j37=19,156+j14,435 (Ом)

Z₂₃₄₅=Z₂+Z₃₄+Z₅=20 - j40,059=19,156+j14,435-j60,089=39,156 - j85,713=94,233e^-j65,5 (Ом)

Z_экв=(Z₁*Z₂₃₄₅)/(Z₁+Z₂₃₄₅)=(19,97e^j90*94,233e^j-65,5)/(j19,97+39,156 - j85,713)=1881,833ej^24,5/(39,156 - j65,743)=1881,833e^j24,5 / 76,58e^-j59,2=24,593e^j83,7 (Ом)

U=U_m/1,41e^j30=311/1,41e^j30=220,567e^j30 (В)

I=U/Z_экв=220,567e^j30/24,593e^j83,7=8,969e^-j53,7 (A)

I₁=U/Z₁=220,567e^j30/19,97e^j90=11,045e^-j60 (A)

I₂=U/Z₂₃₄₅=220,567e^j30/94,233e^-j65,5=2,341e^j95,5 (A)

U_dc=U_Z3=U_Z4=I₂*Z₃₄=2,341e^j95,5*23,987e^j37=56,154e^j132,5 (Ом)

I₃=U_Z3/Z3=56,154e^j132,5/30=1,872e^j132,5 (A)

I₄=U_Z4/Z4=56,154e^j132,5/39,941e^j90=1,406e^j42,5 (A)

S=U*I=220,567e^j30*8,969e^j53,7=1978,265e^j83,7=210+j1966,988 (В^.А)

P_и=210 (Вт)

Q_и=1966,988 (Вар)

P_пр=I₂²R₁+I₃²R₂=2,341²*20+1,872²*30=109,606+105,132=214,738 (Вт)

Q_пр=I₁²X_L1+I₄²X_L2+I₂²(-X_C1 - X_C2)=11,045²*19,97 - ,

341²(40,059+60,089)+ +1,406²*39,941=2435,181 - 548,839+78,957=1966,299 (Вт)

P_иP_пр Q_иQ_пр

210214,738 1966,9881966299

U_аb=I₁*X_L1=11,045*19,97=220,569 (В)

U_ас=I₂*X_C2=2,341*60,089=140,668 (B)

U_cd=I₃*R₂=1,872*30=56,16 (B)

U_cd=I₄*X_L2=1,406*39,941=56,16 (B)

U_de=I₂*X_C1=2,341*40,059=93,778 (B)

U_eb=I₂*R₁=2,341*20=46,82 (B)

M_I=1A/см M_U=15B/см

l_Uab=U_ab/M_U=220,569/1514,7 (см)

l_Uac=U_ac/M_U=140,668/159,4 (см)

l_Ucd=U_cd/M_U=56,16/153,7 (см)

l_Ude=U_de/M_U=93,778/156,3 (см)

l_Ueb=U_eb/M_U=46,82/153,1 (см)



Литература:

Ф.Е. Евдокимов Теоретические основы электротехники

Высшая школа 1981г.

Н.И. Мансуров Теоретические основы электротехники

В.С. Попов Высшая школа 1965г.