Исследование сложных цепей постоянного тока

21

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА



Цель работы:

Экспериментально убедиться в правомерности 1 и 2 законов Кирхгофа. Получить практические навыки сборки, испытания и расчёта сложных электрических цепей постоянного тока.

Основные теоретические положения

При анализе работы многих электротехнических устройств приходится иметь дело со сложными электрическими цепями. В таких цепях для упорядочения их сборки и расчёта вводят некоторые термины, отражающие элементы её топологии (структуры). Рассмотрим некоторые из них.

Ветвью электрической цепи называют её участок с последовательным соединением элементов, заключенный между двумя узлами. Через все элементы ветви протекает одинаковый ток.

Узлом электрической цепи называют место соединения трёх и более ветвей. Различают понятия геометрического и потенциального узлов.

В качестве примера на рис. 1 приведена схема замещения электрической разветвлённой (сложной) цепи с пятью ветвями. На этой схеме имеется четыре геометрических и три потенциальных узла. Геометрические узлы и могут быть объединены в один потенциальный узел.

Контуром называют замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов разветвлённой электрической цепи, например, контур на рис. 1.

Двухполюсником называют часть электрической цепи с двумя выделенными зажимами - полюсами. Например, часть цепи с зажимами и (рис. 1) может быть представлена двухполюсником, который изображают в виде прямоугольника с буквой (рис. 2). Буква означает пассивный двухполюсник, в котором отсутствуют активные элементы. Если двухполюсник содержит активные элементы, то его называют активным (рис. 3).

Четырёхполюсником называют часть электрической цепи, имеющую две пары зажимов, которые могут быть входными ( и на рис. 1) или выходными ( и на рис. 1). Так же как и двухполюсники, четырёхполюсники могут быть пассивными (рис. 4) и активными (рис. 5). Четырёхполюсник является частным случаем многополюсника, под которым понимают часть электрической цепи, имеющую более двух выделенных зажимов.

Основными законами, используемыми для анализа и расчёта электрических цепей, является первый и второй законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа обосновывается более общим законом сохранения вещества. Согласно этому закону количество материальных заряженных частиц, подтекающих к узлу электрической цепи, должно быть равно количеству заряженных частиц, вытекающих из этого узла за одно и тоже время. Поскольку электрические заряды переносятся исключительно материальными частицами, а электрический ток определяется направленным движением электрических зарядов, то следствием указанных рассуждений и является 1 закон Кирхгофа. Согласно этому закону - алгебраическая сумма токов в ветвях сходящихся в одном узле равна нулю:

(1)

В выражении (1) токи, направленные к узлу следует брать со знаком плюс, а направленные от узла - со знаком минус.

Второй закон Кирхгофа обосновывается более общим законом сохранения энергии. Поясним утверждение:

Как известно из курса физики электрическим потенциалом, применительно к электрической цепи, называется работа сил электрического поля, совершаемая при перемещении единичного положительного заряда из рассматриваемой точки электрической цепи в другую точку этой цепи, потенциал которой принят за нуль, а электрическим напряжением или разностью потенциалов называется работа при перемещении такого же заряда между двумя рассматриваемыми точками электрической цепи. То есть и потенциал, и напряжение, хотя они и измеряются в Вольтах, являются энергетическими характеристиками режима работы электрической цепи.

Электрическое поле является полем потенциальным, т.е. изменение потенциала или напряжения в замкнутом контуре равно нулю. Применительно к электрической цепи это положение называется 2-м законом Кирхгофа. Согласно этому закону алгебраическая сумма напряжений всех участков любого контура цепи равна нулю:

, (2)

если под понимать разность потенциалов между началом и концом каждой ветви контура. Если же учесть, что в ветвях могут быть активные элементы, то применительно к схемам замещения с источником ЭДС второй закон Кирхгофа для цепей постоянного тока можно сформулировать таким образом: алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур:

(3)

Для определения знака входящих в (2) и (3) слагаемых вводят понятие направления обхода контура, которое задают произвольно. При этом слагаемое берут со знаком плюс в случае, когда направление обхода контура совпадает с положительным направлением напряжения, тока или ЭДС, соответственно. В противном случае слагаемые берут со знаком минус.

Анализ и расчёт любой электрической цепи можно провести на основании непосредственного использования обоих законов Кирхгофа.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов ветвей цепи (рис. 6), если сопротивления и ЭДС всех элементов известны.

Рекомендуется следующий порядок составления уравнений по законам Кирхгофа: определяют число ветвей, узлов и независимых контуров. Независимым называют контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь. Устанавливают число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа, остальные составляют по второму закону Кирхгофа.

Для определения неизвестных токов в ветвях необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа, количество которых должно быть равно количеству неизвестных токов. По первому закону Кирхгофа можно составить независимых уравнений, где - количество потенциальных узлов цепи. Использовать все уравнений невозможно, так как одно из них обязательно будет зависимым. Это связано с тем, что токи ветвей войдут в уравнения, составленные для всех узлов, дважды, причём с разными знаками, поскольку один и тот же ток направлен от одного узла (имеет знак минус в уравнении) к другому узлу (имеет знак плюс). При сложении всех уравнений левая и правая части будут равны нулю, а это означает, что одно из уравнений можно получить суммированием уравнений и заменой знаков всех токов на противоположные. Таким образом, - е уравнение всегда будет зависимым и поэтому использовать его для определения токов нельзя.

Схема электрической цепи (рис. 6) имеет пять ветвей и три узла, поэтому по первому закону Кирхгофа для неё можно составить два независимых уравнения, например:

для узла 1: (4)

для узла 2: (5)



Количество уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, должно быть равно количеству независимых контуров.

Для схемы цепи (рис. 6) надо составить три уравнения по второму закону Кирхгофа для трёх независимых контуров. Примем направление обхода по часовой стрелке. Тогда

для контура 1: (6)

для контура 2: (7)

для контура 3: (8)

При составлении уравнений (6-8) со знаком плюс записаны те слагаемые, в которых ток и ЭДС имеют направления, совпадающие с направлением обхода контура.

Решая систему уравнений (4-8), можно определить все пять неизвестных токов. Если в результате решения этих уравнений получаются отрицательные значения токов, то это значит, что истинные направления токов в ветвях цепи противоположны тем направлениям, для которых составлялись уравнения.

Правильность расчёта токов в ветвях электрической цепи может быть проверена с помощью уравнения баланса мощностей источников и приёмников электрической цепи,

(9)

в котором правая часть характеризует мощность пассивных приёмников электрической энергии, а левая - мощность активных элементов цепи. При составлении уравнения баланса мощностей следует иметь в виду, что в левой его части со знаком плюс записываются те слагаемые, для которых направления ЭДС и тока совпадают. Если же направления ЭДС и тока противоположны, то соответствующие слагаемые записываются со знаком минус в левой части уравнения или со знаком плюс в правой части, что соответствует мощности активного приёмника электрической энергии.

Рассмотрим основные способы соединения элементов электрической цепи и основные соотношения, отвечающие таким соединениям.

Последовательным называется такое соединение элементов, когда условный конец первого элемента соединяется с условным началом второго, конец второго - с началом третьего и т. д.

Характерным для последовательного соединения является один и тот же ток во всех элементах. Последовательное соединение нашло широкое применение на практике.

Например, последовательно с приёмником часто включается резистор для регулирования напряжения, тока или мощности приёмника (рис. 7). Для расширения пределов измерения вольтметров последовательно с ними включают добавочные резисторы (рис. 8). С помощью реостата, включаемого последовательно в различные ветви цепи двигателя постоянного тока, производят изменение его пускового тока или частоты вращения.

В общем случае, при последовательном соединении резистивных элементов (рис. 9) ток в цепи, напряжения на элементах и потребляемые ими мощности определяются следующими соотношениями:

, (10)

где - номер элемента;

- эквивалентное сопротивление последовательной цепи;

- ток в последовательной цепи.

Напряжение и мощность всей цепи:

(11)

Соотношение между напряжениями, мощностями и сопротивлениями и :

, (12)

где - номера элементов.

С помощью приведённых формул нетрудно выяснить характер изменения тока, напряжений и мощностей при изменении значений сопротивлений или числа включённых резистивных элементов. Например, если увеличить число элементов, то эквивалентное сопротивление возрастёт, а ток, напряжения и мощности ранее включённых элементов уменьшаются; уменьшается также и общая мощность.

Самостоятельные приёмники электрической энергии последовательно, как правило, не соединяются, так как при этом требуется согласование номинальных данных приёмников, исключается возможность независимого их включения и отключения, а при выходе из строя одного из приёмников отключаются также остальные приёмники. Чаще их включают параллельно.

Параллельным называется такое соединение резистивных элементов, при котором соединяются между собой как условные начала всех элементов, так и их концы (рис. 10). Характерным для параллельного соединения является одно и то же напряжение на выводах всех элементов. Параллельно соединяются обычно различные приёмники электрической энергии и другие элементы электрических цепей, рассчитанных на одно и то же напряжение. При параллельном соединении не требуется согласовывать номинальные данные приёмников, возможно включение и отключение любых приёмников независимо от остальных, а при выходе из строя какого-либо приёмника остальные остаются включёнными.

Параллельное соединение применяется часто для расширения пределов измерения амперметров (рис. 11): если ток в электрической цепи превышает номинальный ток амперметра, параллельно с ним включают шунтированный резистор . Нередко параллельное соединение используют для уменьшения эквивалентного сопротивления какого-либо участка электрической цепи.

Токи и мощности параллельно соединённых ветвей (рис. 10) при не зависят друг от друга и определяются по формулам:

(13)

Ток и мощность всей цепи:

(14)

, (15)

где (16) - эквивалентная проводимость;

(17) - эквивалентное сопротивление.

Соотношение между токами, мощностями, проводимостями и сопротивлениями:

(18)

При увеличении числа параллельно соединённых ветвей эквивалентная проводимость электрической цепи возрастает, а эквивалентное сопротивление соответственно уменьшается. Это приводит к увеличению тока . Если напряжение остаётся постоянным, то увеличивается также общая мощность ; токи и мощности ранее включённых ветвей не изменяются.

В линейных электрических цепях важное значение имеет закон Ома. Фактически он является следствием законов Кирхгофа, но очень часто этот закон используется для расчёта режимов работы участков электрической цепи. Поэтому закон Ома имеет самостоятельное значение. Рассмотрим его на примере схемы (рис. 12). Эта схема представляет собой участок с последовательным соединением резистивных элементов и источников ЭДС. Наша цель, в соответствии с законом Ома, установить зависимость между током и напряжением . Видоизменим эту схему, как показано на рис. 13., зададимся направлением обхода и составим уравнение по второму закону Кирхгофа для указанного участка цепи, как для контура. Получим:

, (19)

откуда:

(20)

Соотношение (20) представляет собой обобщённый закон Ома для участка цепи с источником ЭДС.

В самом общем случае для такого участка цепи этот закон будет иметь вид:



, (21)

где - алгебраическая сумма ЭДС источников, включённых в этот участок;

- арифметическая сумма резистивных элементов, включённых в этот участок.

Если направление тока совпадает с положительным направлением источника ЭДС, то в (21) указанная ЭДС берётся со знаком плюс, в противном случае - со знаком минус. Аналогично определяется знак .

На практике, используя обобщённый закон Ома, можно определить ЭДС и внутреннее сопротивление источника с помощью экспериментальных данных (при этом полагается, что линейное). Для этого собирают электрическую цепь (рис. 14) и проводят эксперимент: определяют показания вольтметра (напряжение. о в (21) указанная Э. ет с положительным направлением источника иметь вид:

) и амперметра (ток в цепи ) при замкнутом и разомкнутом ключе .

На основании соотношения (21) имеем:

- для первого опыта (ключ разомкнут):

, (22)

так как

- для второго опыта (ключ замкнут):

,

откуда:

(23)

Таким образом, определяя на основании первого опыта (по показанию вольтметра) ЭДС источника , с помощью второго опыта (по показаниям вольтметра и амперметра) по соотношению (23) определяют внутреннее сопротивление источника.

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения работы и записать технические данные источников ЭДС, реостатов и измерительных приборов.

2. Для исследования 1-го закона Кирхгофа собрать электрическую цепь по схеме рис. 15:

а) установить максимальное значение сопротивлений реостатов (реостаты подобрать по указанию руководителя занятий) и измерить токи в параллельных ветвях и общий ток в цепи. Результаты измерений записать в таблицу 1. (рис. 17);

б) для второго опыта передвинуть ползунки реостатов произвольно, наблюдая, чтобы стрелки измерительных приборов не зашкаливали;

в) по закону Ома вычислить сопротивление каждого реостата и эквивалентное сопротивление схемы для обоих опытов;

г) определить с помощью вычисленных сопротивлений реостатов по соотношению (17), эквивалентное сопротивление схемы эксперимента (рис. 15) , также для обоих опытов и сравнить эту величину с ;

д) вычислить относительную погрешность каждого опыта по формуле:

3. Для исследования 2-го закона Кирхгофа собрать электрическую цепь по схеме рис. 16:

a) перед сборкой схемы определить величину ЭДС каждого источника, подключив к нему вольтметр. Результаты измерений занести в таблицу 2 (рис. 18);

б) ползунки реостатов, установленные в положении после второго опыта по схеме рис. 15, не передвигать. Сохранить порядок нумерации реостатов, установленный в схеме рис. 15, для схемы рис. 16;

в) замерить токи и напряжения на участках цепи в трёх опытах:

- опыт первый: ключ - разомкнут, ключ - замкнут;

- опыт второй: ключ - замкнут, ключ - разомкнут;

- опыт третий: оба ключа и замкнуты.

Результаты измерений занести в таблицу 2 (рис. 18);

г) вычисленные значения сопротивлений реостатов (второй опыт по таблице 1) записать в таблицу 2;

д) рассматривая первую ветвь схемы (рис. 16), как участок цепи с источником ЭДС, на основании обобщённого закона Ома, данных первого опыта и известной величине , определить внутреннее сопротивление первого источника ЭДС . Результаты занести в таблицу 2;

е) аналогично пункту д., на основании данных второго опыта и известной величины , определить внутреннее сопротивление второго источника ЭДС. ление второго источника Э. .

4. На основании условий проведения первого, второго и третьего опытов привести, соответственно, эквивалентные схемы замещения электрической цепи (рис. 16).

5. Для каждой схемы замещения составить уравнения по 2-му закону Кирхгофа и, подставив измеренные, вычисленные и известные значения величин, проверить их правомерность:

a) для 3-го опыта уравнение по 2-му закону Кирхгофа составить по одному из контуров или (по указанию преподавателя);

b) вычислить в контурах эквивалентных схем замещения падения напряжений на пассивных элементах, алгебраически просуммировать их в соответствии с выбранным направлением обхода и результат занести в таблицу 2 (графа );

c) определить относительную погрешность каждого опыта по формуле:

6. Используя только вычисленные и известные величины, определить в эквивалентной схеме замещения цепи третьего опыта токи в ветвях по методу контурных токов или по методу двух узлов (по указанию преподавателя).

7. Составить для цепи третьего опыта на основании схемы замещения уравнение баланса мощностей и проверить его правомерность.

8. Построить потенциальную диаграмму для контура одной из схем замещения (по указанию преподавателя).



Рекомендуемая литература

1. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебное пособие для ВУЗов. - М.: Энергоатомиздат, 1983 (подразделы 1.6; 1.7; 1.8; 1.9; 1.10; 1.13; 1.14).

2. Электротехника: Учебник для неэлектрических специальностей ВУЗов/Под ред. В.Г. Герасимова. - М.: Высшая школа, 1985 (подразделы 1.4; 1.6; 1.8; 1.10; 1.12).

3. Борисов Ю.М., Липатов Д.Н., Зорин Ю.Н. Электротехника: Учебник для ВУЗов. - М.:Энергоатомиздат, 1985 (подразделы 1.7; 1.10; 1.12; 1.13; 1.14).

4. Общая электротехника: Учебное пособие для ВУЗов/Под ред. А.Т. Блажина. - Л.:Энергоатомиздат, 1986 (подраздел 1.5).



Контрольные вопросы

1. Дать определение параллельному и последовательному соединению элементов. По заданной преподавателем схеме определить эквивалентное сопротивление.

2. Для заданной преподавателем схемы составить систему уравнений по законам Кирхгофа для расчёта токов. Обосновать физическую сущность законов Кирхгофа и объяснить особенности составления данной системы уравнений.

3. Для заданной преподавателем схемы составить систему уравнений по методу контурных токов (узловых потенциалов). Объяснить особенности составления системы уравнений и определения токов в ветвях цепи.

4. Для заданной преподавателем схемы составить выражения для определения токов в ветвях по методу двух узлов.

5. Формулы эквивалентного преобразования схем «звезда» в «треугольник» и «треугольник» в «звезда».

6. Баланс мощностей. Особенности составления уравнения баланса мощностей на конкретном примере.

7. Закон Ома для участка цепи с активными элементами.



21

Рис. 1

21

Рис. 2

21

Рис. 3

21

Рис. 4

21

Рис. 5

21

Рис. 6

21

Рис. 7

21

Рис. 8

21

Рис. 9



21

Рис. 10

21

Рис. 11

21

Рис. 12

21

Рис. 13

21

Рис. 14

21

Рис. 15



21

Рис. 16

Таблица 1.

Результаты эксперимента по исследованию I закона Кирхгофа

№ опыта

Результаты измерений

Результаты вычислений

I0, A

I1, A

I2, A

I3, A

U, B

R1, Ом

R2, Ом

R3, Ом

Rэ, Ом

Rэт, Ом

д, %

Первый опыт

Второй опыт

Таблица 2.

Результаты эксперимента по исследованию II закона Кирхгофа

Наименование опыта	Данные измерений	Данные вычислений
	U3	I1	I2	I3	Ом	Ом	?IR	д
	B	A	A	A			B	%
Ключ К1 замкнут Ключ К2 разомкнут
Ключ К1 разомкнут Ключ К2 замкнут
Ключи К1 и К2 замкнуты
E1= , B; E2= , B; R1= , Ом; R2= , Ом; R3= , Ом.