2

КУРСОВАЯ РАБОТА

РАСЧЕТЫ ИНЕРЦИИ ДЛЯ ЗАДАННОГО СЕЧЕНИЯ

ЗАДАНИЕ

Для составного сечения показанного на рис.2.1 состоящего из угольника №11/7(8), швеллера №20 и полосы с размерами 200мм20мм определить положение главных центральных осей инерции сечения и рассчитать главные моменты инерции сечения (для удобства и наглядности результаты расчетов сводим в табл.1 )

Вычерчиваем заданное сечение в стандартном масштабе, размеры угольника и швеллера и положение их центров тяжести берем по сортаменту [1]. Для удобства нумеруем отдельные фигуры сечения: уголок -1; швеллер -2; прямоугольник-3.

Выбираем первоначальные (произвольные) оси координат Z₀Y₀ как показано на рис.2.1, проводим собственные центральные оси фигур Z_СiY_0i. Необходимые геометрические характеристики стандартных сечений, для угольника: F₁=1390 мм² - площадь поперечного сечения; I_Zc1=5.4610⁵ мм⁴, I_Yc1=1.7210⁶ мм⁴ - осевые моменты инерции; I_{U min}=3.2310⁵ мм⁴ - минимальный главный момент инерции; угол между главной осью U и осью Z_С1, для швеллера: F₂=2340 мм² - площадь поперечного сечения; I_Zc2=1.1310⁶ мм⁴, I_Yc2=1.5210⁷ мм⁴ -моменты инерции относительно собственных центральных осей выписываем из сортамента. При выписывании моментов инерции следует обращать внимание на расположение фигуры в сечении и в рисунке сортамента.

Для полосы: F₃=20020=4000 мм² - площадь поперечного сечения;

,

моменты инерции относительно собственных центральных осей.

1).Определение координат центра тяжести сечения относительно осей Z₀Y₀.

Площадь всего сечения:

F₀= F₁+F₂+F₃=1390+2340+4000=7730 мм².

Статические моменты фигур относительно оси Z₀:

S_Z1=y_С1•F₁=113•1390=1.5710⁵ мм³- уголка;

S_Z2=y_С2•F₂=221•2340=5.1710⁵ мм³ - швеллера;

S_Z3=y_С3•F₃=100•4000=410⁵ мм³ - прямоугольника.

Статический момент всего сечения:

S_Z0= S_Z1+ S_Z2+ S_Z3=1.5710⁵+5.1710⁵+410⁵=1.0710⁶ мм³.

Статические моменты фигур относительно оси Y₀:

S_Y1=z_С1•F₁=0•1390=0 мм³ - уголка;

S_Y2=z_С2•F₂=84•2340=1.9710⁵ мм³ - швеллера;

S_Y3=z_С3•F₃=84•4000=3.3610⁵ мм³ - прямоугольника.

Статический момент всего сечения:

S_Y0=S_Y1+S_Y2+S_Y3=0+1.9710⁵+3.3610⁵=5.310⁵ мм³

(значения y_i и z_i определяются по чертежу сечения см. рис.2.1).

Координаты центра тяжести сечения:

Z_C=S_Y0/F₀=5.3 10⁵/7730=68,56 мм

Y_C=S_Z0/F₀=1.07 10⁶/7730=138.42 мм

Через найденный центр тяжести проводим центральные оси всего Z_СY_С сечения параллельно первоначальным осям.

2).Определение моментов инерции сечения относительно центральных осей сечения Z_СY_С. Моменты инерции находим, используя теорему Штейнера.

Моменты инерции фигур относительно оси Z_С:

I^I_Zc=(I_Zc1+a₁²•F₁)=(5.4610⁵+(-25)²1390)=1.4110⁶ мм⁴ - угольника;

I^II_Zc=(I_Zc2+a₂²•F₂)=(1.1310⁶+82²2340)=1.6810⁷ мм⁴ - швеллера;

I^III_Zc=(I_Zc3+a₃²•F₃)=(1.3310⁷+(-38)²4000)=1.9010⁷ мм⁴ - полосы.

Момент инерции всего сечения относительно оси Z_С:

I_Zc= I^I_Zc+ I^II_Zc + I^III_Zc=1.4110⁵+1.6810⁷+1.910⁷=3.5910⁷ мм⁴.

Моменты инерции фигур относительно оси Y_С:

I^I_Yc=(I_Yc1+b₁²•F₁)=(1.7210⁶ +(-69)²1390)=8.3310⁶мм⁴ - угольника;

I^II_Yc=(I_Yc2+b₂²•F₂)=(1.5210⁷ +15²2340)=1.5710⁷ мм⁴ - швеллера;

I^III_Yc=(I_Yc3+b₃²•F₃)=(1.3310⁵+15²4000)=1.0310⁶ мм⁴ - полосы.

Момент инерции всего сечения относительно оси Y_С:

I_Yc= I^I_Yc+ I^II_Yc + I^III_Yc=8.3310⁶+1.5810⁷+1.0310⁶=2.5110⁷ мм⁴.

Центробежные моменты инерции фигур относительно осей Z_СY_С:

I^I_YcZc=(I_Yc1Zc1+a₁b₁•F₁)=(-5.5910⁵+(-25)(-69)1390)=2.9510⁵ мм⁴ - угольника;

I^II_YcZc=(I _Yc2Zc2+ a₂b₂•F₂)=(0+82152340)= 2.8710⁶ мм⁴ - швеллера;

I^III_YcZc=(I _Yc3Zc3+ a₃b₃•F₃)=(0+(-38)154000)= 2.2810⁶ мм⁴ - полосы.

(Центробежные моменты инерции швеллера и полосы относительно собственных центральных осей - I _Yc2Zc2=0, I _Yc3Zc3=0, поскольку у швеллера одна, а у полосы обе центральные оси являются осями симметрии, следовательно, главными осями).

Рис.2.1

Центробежный момент инерции угольника относительно собственных центральных осей можно найти, используя зависимости изменения моментов инерции при повороте осей:

.

Для проверки найдем I_Yc1Zc1 другим способом. Разобьем угольник упрощенно на два прямоугольника, определим их центры тяжести и собственные центральные оси (смотри рис.2.2). Так как собственные центральные оси прямоугольников являются осями симметрии и, следовательно, главными осями то центробежные моменты инерции относительно этих осей равны нулю. Тогда центробежный момент инерции I_Yc1Zc1 найдется как сумма поправок Штейнера для двух прямоугольников (размеры прямоугольников и расстояния между осями показаны на рис.2):

I_Yc1Zc1= a₁₁b₁₁•F₁₁+ a₁₂b₁₂•F₁₂=23.6•(-32.1)•8•62+(-12.4)•18.9•8•110= 5.8210⁵ мм⁴.

Рис.2.2

Центробежный момент инерции всего сечения относительно осей Z_СY_С:

I_YcZc = I^I_YcZc+I^II_YcZc +I^III_YcZc=2.9510⁵ 2.8710⁶ 2.2810⁶=4.8610⁶ мм⁴.

3).Нахождение положения главных осей инерции I_U, I_V. Угол наклона главных центральных осей инерции к центральным осям инерции Z_СY_С определим по формуле:

, ,

так как >0, то главные оси получаются поворотом центральных осей Z_СY_С против часовой стрелки.

4).Вычисление главных моментов инерции сечения.

_{, .}

Ось I_U относительно, которой главный момент инерции максимален, получается поворотом на угол оси Z_С, так как I_Zc>I_Yc.

Проверка -

I_U + I_V = I_Zc + I_Yc