20

Предмет: СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА

СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Тема:

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА

ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ

Определим статистические характеристики выхода по заданным статистическим характеристикам входного сигнала. Пусть задана система рис.1 и статистические характеристики S_xx() или R_xx ().

Рассмотрим связи во временной области. Рассмотрим решение задачи в рамках корреляционной теории, так как возмущения, действующие на систему в общем случае являются функциями времени.

Реакция системы y(t) с функцией веса k(t) = L^-1{k(p)} на входной сигнал x(t) при нулевых начальных условиях определяется интегралом свертки (Дюамеля)

, (1)

где k(₁) - функция веса; t - время наблюдения; ₁ - время приложения единичного импульса, при этом ₁ < t, так как реакция системы не может возникнуть раньше момента приложения воздействия.

Математическое ожидание выходного сигнала

(2)

Корреляционная функция выхода

(3)

Взаимно корреляционная функция

(4)

Эти соотношения определяют связи между корреляционными функциями входа и выхода.

Рассмотрим связи в частотной области. Рассмотрим решение задачи в рамках спектральной теории.

Взаимно корреляционная функция равна

. (5)

Выполним преобразование Фурье над правой и левой частью

(6)

так как k(₁) при ₁ <0 не существует, то нижний предел в интеграле можно принять равным .

Выполнив замену переменной u = -_{1 ,} получим:

(7)

Т.е. при преобразовании свертка R_xx() переходит в произведение изображений.

Для детерминированных сигналов связь между выходом и входом определяется соотношением

Для случайных сигналов связь между выходом и входом определяется соотношением

Для автокорреляционной функции выхода можно записать

Выполним замену переменной u = - ₂ + ₁ и умножим правую часть выражения на

Эти соотношения определяют связи между спектральными плотностями входного и выходного сигнала.

Пример 1. Определить для соединения элементов, приведенных на рис. 2 при заданной

При этом выражения для корреляционных функций имеют вид

Пример 2. Определить для соединения элементов, приведенных на рис. 3, при заданных .

Рис.3

Решение: По определению автокорреляционная функция равна

При этом выражения для корреляционных функций имеют вид

Пример 3. Для соединения элементов приведенных на рис. 4, при заданных определить.

Рис.4

Решение: По определению автокорреляционная функция равна

При этом

Пример. Для соединения элементов приведенных на рис. 5 при заданных определить

Рис.5

Решение: По определению автокорреляционная функция равна

При этом

Пример 5. Для системы приведенной на рис.6 определить спектральные плотности при заданной спектральной плотности входного сигнала

Рис. 6

Решение: Спектральные плотности определяются из соотношений:

Решение: Функция веса апериодического звена равна:

Математическое ожидание выхода определяется соотношением:

Для заданной корреляционной функции спектральная плотность имеет вид:

При этом спектральная плотность выхода определяется соотношением:

Определим корреляционную функцию выхода

Проверка:

Определим дисперсию выхода из соотношения:

Пример 7. Определить для соединения элементов, приведенных на рис. 8 при заданной .

Рис.8

Решение: По определению корреляционная функция равна

При этом

Решение: Функция веса апериодического звена равна:

Математическое ожидание выхода определяется соотношением:

Для заданной корреляционной функции спектральная плотность имеет вид:

При этом спектральная плотность выхода определяется соотношением:

Определим корреляционную функцию выходного сигнала

Проверка:

Определим дисперсию выхода из соотношения:

Формирование случайных сигналов с заданными статистическими свойствами. (Формирующие фильтры)

Спектральная плотность любого случайного процесса может быть аппроксимирована дробно-рациональной функцией частоты

(8)

Сигнал с заданной спектральной плотностью может быть получен путем подачи на вход так называемого формирующего фильтра случайного процесса типа “белый шум”.

Рис.14

Для схемы, приведенной на рис. 8 можно записать:

(9)

при

(10)

где

- передаточная функция формирующего фильтра.

Передаточная функция фильтра должно быть минимально-фазовой (устойчивой) и физически реализуемой. Свойства формирующего фильтра широко используются при исследовании систем управления.

Пример 13. Определить передаточную функцию формирующего фильтра, если:

Передаточную функцию формирующего фильтра можно определить из соотношения:

где

Пример 1. Определить передаточную функцию формирующего фильтра, если:

Передаточную функцию формирующего фильтра можно определить из соотношения:

где

Литература

Гальперин М.В. Автоматическое управление Издательство: ИНФРА-М, ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ, 2004с. - 224с.

Егупов Н.Д., Пупков К.А., и др. Методы классической и современной теории автоматического управления: В 5 т. Т. 3: Синтез регуляторов систем автоматического управления. В 5-и тт. Т:3 Учебник Изд-во: МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА, 2004. - 614с.

Иванов В.А., Медведев В.С., Чемоданов Б.К., Ющенко А.С. Математические основы теории автоматического управления. В 3 томах. Том 1 Издательство: МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА, 2006.

Теория автоматического управления: Учебник для вузов. Ч1/Под ред. А.А. Воронова - М.: Высш. Шк.,1986.-367 с.