Коэффициент запаса прочности

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра инженерной графики

РЕФЕРАТ

На тему:

«КОЭФФИЦИЕНТ ЗАПАСА ПРОЧНОСТИ. ВЫБОР ДОПУСКАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИЙ. ЗАКОН ПАРНОСТИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ»

МИНСК, 2008

Фактические нагрузки, действующие на деталь, и свойства материалов, из которых она изготовлена, могут значительно отличаться от тех, которые принимаются для расчета.

При этом факторы, снижающие прочность детали (перегрузки, неоднородность материалов и т. д.), носят чаще всего случайный характер и предварительно не могут быть учтены.

Так как, однако, детали и сооружения в целом должны безопасно работать и при этих неблагоприятных условиях, то необходимо принять определенные меры предосторожности. С этой целью напряжения, обеспечивающие безотказную работу (эксплуатацию) машины или любого другого сооружения, должны быть ниже тех предельных напряжений, при которых может произойти разрушение или возникнуть пластические деформации.

Таким образом, принимают

, (1)

где [?] -- допускаемое напряжение;

[п] -- нормативный (т. е. предписываемый нормами проектирования конструкций) коэффициент запаса прочности, называемый также коэффициентом безопасности;

? _пр -- предельное напряжение материала.

При статических нагрузках за предельное напряжение для хрупких материалов принимают предел прочности, для пластичных -- предел текучести, так как при напряжениях, равных пределу текучести, возникают значительные пластические деформации, которые недопустимы.

Таким образом, коэффициент запаса прочности вводится для того, чтобы обеспечить безопасную, надежную работу сооружения и отдельных его частей, несмотря на возможные неблагоприятные отклонения действительных условий их работы от расчетных.

Вопрос о величине нормативного коэффициента запаса прочности [п] решается с учетом имеющегося опыта эксплуатации сооружений и машин.

В последнее время один общий коэффициент запаса [п] расчленяют на ряд составляющих, частных коэффициентов запаса, каждый из которых отражает влияние на прочность элемента конструкции какого-либо определенного фактора или группы факторов. Например, один из коэффициентов отражает возможные отклонения механических характеристик материала от принимаемых в качестве расчетных, другой -- отклонения величин действующих нагрузок от их расчетных значений и т. д.

Такое разделение общего коэффициента запаса позволяет лучше учесть многообразные конкретные условия работы деталей машин и сооружений и проектировать их с большей надежностью и экономичностью.

Коэффициент запаса прочности представляют в виде произведения

[n]= [n₁] [n₂] [n₃] (2)

В вопросе о числе частных коэффициентов и их величине до сих пор нет единообразия.

Значения коэффициентов запаса прочности обычно принимают на основании опыта конструирования и эксплуатации машин определенного типа.

В настоящее время в машиностроении пользуются одним, тремя, пятью и даже десятью частными коэффициентами запаса прочности.

В «Справочнике машиностроителя» рекомендуется пользоваться тремя частными коэффициентами

[n]= [n₁] [n₂] [n₃] (3)

где [n₁]-- коэффициент, учитывающий неточность в определении нагрузок и напряжений. Значение этого коэффициента при повышенной точности определения действующих напряжений может приниматься равным 1,2?1,5, при меньшей точности расчета -- 2?3;

[n₂]-- коэффициент, учитывающий неоднородность материала, повышенную его чувствительность к недостаткам механической обработки. Величину [n₂] при расчете по пределу текучести при действии статических нагрузок можно принимать по табл. 1 (без учета влияния абсолютных размеров) в зависимости от отношения предела текучести к пределу прочности.

Таблица 1

При расчете по пределу прочности для малопластичных и хрупких материалов величину [n₂] принимают:

а) для малопластичных материалов (высокопрочные стали при низком отпуске) [п₂] = 2?3;

б) для хрупких материалов [п_г] = 3?4;

в) для весьма хрупких материалов [п₂] =4?6.

При расчете на усталость (см. главу XII) величину коэффициента [п₂] принимают равной 1,5?2,0, увеличивая его для материала с пониженной однородностью (особенно для литья) и для деталей больших размеров до трех и более;

[п₃] -- коэффициент условий работы, учитывающий степень ответственности детали. Величина его принимается в пределах 1?1,5.

В табл. 2 приведены ориентировочные величины допускаемых напряжений при статическом нагружении для некоторых материалов.

Таблица 2

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ ПРИ РАСЧЕТЕ НА ПРОЧНОСТЬ РАСТЯНУТЫХ (СЖАТЫХ) СТЕРЖНЕЙ

Определив напряжение в опасном сечении растянутого (сжатого) стержня по формуле (2.2) и установив допускаемое напряжение в соответствии с соображениями, изложенными выше, можно произвести оценку прочности стержня.

Для этого необходимо фактические напряжения в опасном сечении стержня сопоставить с допускаемыми:

. (3)

Здесь имеется в виду допускаемое напряжение или на растяжение [?_р], или на сжатие [?_с] в зависимости от того, с каким случаем мы имеем дело -- с растяжением или сжатием.

Неравенство (3) называется условием прочности при растяжении (сжатии).

Пользуясь этим условием, можно решать следующие задачи:

1. Проверять прочность стержня, т. е. определять по заданным нагрузке и размерам поперечного сечения стержня фактические напряжения и сравнивать их с допускаемыми. Фактические напряжения не должны отклоняться от допускаемых более чем на ±5%. Перенапряжение больше этой величины недопустимо с точки зрения прочности, а недонапряжение свидетельствует о перерасходе материала.

2. Определять (по известным нагрузке и величине допускаемого напряжения) размеры поперечного сечения стержня, требуемые по условию его прочности,

(4)

Определять величину допускаемой продольной силы по заданным размерам поперечного сечения стержня и известному допускаемому напряжению

. (5)

Определив допускаемую продольную силу и установив связь между продольной силой и нагрузкой (методом сечений), можно определить и допускаемую нагрузку.

Следует иметь в виду, что сжатые стержни, кроме расчета на прочность в наиболее ослабленном сечении, должны также рассчитываться на устойчивость, так как при определенной величине сжимающей силы может произойти выпучивание (продольный изгиб) сжатого стержня.

НАПРЯЖЕНИЯ В НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЯХ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ) В ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ

Для полного суждения о прочности материала необходимо уметь определять напряжения, действующие по любому наклонному сечению растянутого (сжатого) элемента (рис. 2.26). Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня ? считаем известными ().

Определим напряжения, возникающие в наклонном сечении АВ, нормаль к которому повернута на угол ? к направлению ?₁. За положительное направление отсчетов угла ? примем направление, обратное движению часовой стрелки.

Обозначим:

F -- площадь сечения, перпендикулярного к оси стержня;

F_? -- площадь наклонного сечения, при этом

. (6)

В общем случае в наклонном сечении могут действовать и нормальные напряжения ?_а и касательные напряжения ?_?. Их величину найдем из условия равновесия отсеченной, например, нижней части (рис. 2.26, б). Проектируем силы на направление ?_а:

?_аF_?- ?₁Fcos?=0.

Используя соотношение (2.23), получаем

?_а= ?₁cos²?7)

Проектируя силы на направление ?_?, получаем

?_?F_?- ?₁Fsin?=0,

откуда

?_?=. (8)

При положительном значении ?₁ (т. е. растягивающем) и при 0???90° получим положительное значение для ?_?. Это означает, что касательное напряжение будет направлено так, как изображено на рис. 2.26, б.

Данное направление касательного напряжения характеризуется тем, что внешнюю нормаль п к площадке для совпадения с касательным напряжением необходимо поворачивать по часовой стрелке.

Касательные напряжения такого направления принято считать положительными.

Если же нормаль к площадке для совпадения с касательным напряжением необходимо поворачивать против часовой стрелки, то касательное напряжение считается отрицательным (рис. 2.26, в).

Из формул [2.24] и [2.25] видно, что при ? = 90^? ?=0 и ?= 0.

Таким образом, в продольных сечениях нет ни нормальных, ни касательных напряжений.

Как уже было отмечено, площадки, на которых нет касательных напряжений, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по главным площадкам, называются главными напряжениями.

Следовательно, нормальное напряжение в поперечном сечении растянутого или сжатого стержня есть главное напряжение.

Поэтому оно обозначено ?₁, поскольку индексы 1, 2, 3 принято присваивать только главным напряжениям .

Так как в данном случае отлично от нуля, только одно главное напряжение, то рассматриваемое напряженное состояние является одноосным.

Из формулы [7] видно также, что максимальное касательное напряжение имеет место в сечении под углом ?=45? и равно половине главного напряжения

. (8)

Именно в этих сечениях и начинаются первые сдвиги кристаллов, о чем свидетельствуют линии Чернова -- Людерса (см. выше).

ЗАКОН ПАРНОСТИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Определим нормальные и касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках.

Для площадки, наклоненной под углом ?, по формулам [6] и [7] имеем:

?_?= ?₁cos² ?,

?_?= (?₁sin2 ?)/2.

Для взаимно перпендикулярной площадки при значении угла нормальные и касательные напряжения можно определить или непосредственно из условия равновесия верхней или нижней части стержня (рис. 2.26, в), или по формулам [6] и [7] с заменой ? на .

Применяя формулы [2.24] и [2.25], получим:

, (9)

. (10)

Анализируя полученные результаты, видим, что, во-первых,

,

т. е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам постоянна и равна главному напряжению; во-вторых,

, (11)

т. е. на двух взаимно перпендикулярных площадках действуют равные по величине и обратные по знаку касательные напряжения (закон парности или взаимности касательных напряжений). При этом касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках направлены оба либо к ребру пересечения площадок, либо от ребра, как на рис. 2.26, а.

Например, если изменить знак ?, то напряжения ?_? и изменят свое направление на противоположное и будут оба направлены к ребру А пересечения площадок.

Закон парности (взаимности) касательных напряжений имеет силу не только для одноосного, но и для любого другого напряженного состояния: двухосного и объемного.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЯХ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ) В ДВУХ НАПРАВЛЕНИЯХ

Рассмотрим более общий случай плоского (двухосного) напряженного состояния, когда отличны от нуля два главных напряжения ?₁ и ?₂ (рис. 2.27, а).

Как уже было отмечено в § 7, индексы у обозначений главных напряжений ставятся так, что соблюдается неравенство ?₁>?₂. Положительный угол ? между направлением ?₁ и нормалью к произвольной площадке будем отсчитывать против часовой стрелки.

Между направлением напряжения ?₂ и площадкой угол равен .

Напряжения ?_? и ?_? в произвольном наклонном сечении можно или определить из условий равновесия трехгранной призмы АВС (рис. 2.27, б), или вычислить по формулам [6] и [7], суммируя напряжения от действия ?₁ с

напряжениями от действия ?₂ (при замене угла ? на угол a ).

В результате получим

,

откуда

. (11)

Далее

,

откуда

.12)

Из формулы [11] видно, что максимальные касательные напряжения равны полуразности главных напряжений

(13)

и имеют место в сечениях, наклоненных под одним и тем же углом к направлениям ?₁ и ?₂, т.е. при ?=45?. Это следует из условия, что ?_max соответствует sin 2 ? = 1.

Определив касательные напряжения на площадке, перпендикулярной к площадке АВ, убедимся, что и для двухосного напряженного состояния сохраняет свою силу закон парности касательных напряжений. В этом можно убедиться также по формуле [13], определив по ней значения ?_? и ?_?+90?.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ПЛОЩАДОК

Рассмотрим обратную задачу. Даны нормальные и касательные напряжения, действующие по граням элемента (рис. 2.28, а). Требуется определить положение главных площадок и величину главных напряжений. Рассмотрим равновесие трехгранной призмы с основанием АВС (рис. 2.28, б). Примем, что ?_? > ?_?. Угол ? будем отсчитывать от направления большего напряжения до нормали к площадке. За положительное направление отсчетов угла ? примем направление против

часовой стрелки. Площадь наклонной грани обозначим через dF. Тогда площадь вертикальной грани будет dF sin ?, а горизонтальной -- dF cos ?.

Проектируя все силы на направление ?_?, получим

Проектируем теперь все силы на направления ?_?

Сократив на dF и введя функции двойных углов, получим:

(14)

(15)

При изменении угла наклона площадки ? величина ?_? будет непрерывно изменяться.

Чтобы отыскать положения главных площадок, т. е. площадок, на которых действуют экстремальные нормальные напряжения, следует либо приравнять нулю производную , либо приравнять нулю касательные напряжения ?_?, так как на главных площадках касательных напряжений нет.

В обоих случаях получаем следующую зависимость для определения угла ?₀ наклона главных площадок:

или

(16)

Для получения экстремальных значений нормальных напряжений, т. е. величин главных напряжений, значение угла из формулы (16) подставим в формулу (14). Предварительно тригонометрические функции в формуле (14) следует выразить через тангенс двойного угла. Для этого используют известные формулы тригонометрии:

После несложных преобразований, которые необходимо сделать учащемуся самостоятельно, получим следующую формулу для определения величин главных напряжений

(17)

Если одно из заданных нормальных напряжений равно нулю, то формула (17) упростится и примет вид

(18)

Этой формулой будем пользоваться в дальнейшем при изучении изгиба и сложного сопротивления.

Исследуя вторую производную можно убедиться, что на

главной площадке под углом ?₀ при принятых условиях (?_?>?_?) действует максимальное главное напряжение, а на площадке под углом ?₀+ 90°- действует минимальное главное напряжение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов., 2006

2. Красковский Е.Я., Дружинин Ю.А., Филатова Е.М. Расчет и конструирование механизмов приборов и вычислительных систем , 2006

3. Беляев Н.М. Сопротивление материалов, 2001